【文档说明】四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题 含答案.docx，共(8)页，719.976 KB，由小赞的店铺上传

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四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2Axx=，230Bxxx=−，则AB

=A．()2,3−B．()2,0−C．()0,2D．()2,32．若复数()()211izxx=−++为纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为A．−1B．0C．1D．−1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指

标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A．0.005a=B．估计这批产品该项质量指标的众数为45C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在)50,70的概率约为0.54．若实数x，y满足约束条件2301030x

yxyxy−−−++−，则2zxy=+的最小值为A．1−B．4C．5D．145．执行下面的程序框图，如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为A．14B．18C．116D．1326．一个容器装有细沙3cma，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，mint后剩余的细

沙量为()3cmbtyae−=，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A．24minB．26minC．8minD．16min7．已知α满足2si

n()46+=，则2tantan1=+A．3B．﹣3C．49D．49−8．已知曲线322yxxx=−++在1x=处的切线为l，若l与222:250Cxyaxa+−+−=相切，则实数=aA．2或3−B．2−

或3C．2D．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是A．25B．12C．35D．31010．已知定义在R上的偶函数()fx，其导函数为()fx，若()2()0xfxfx−，(3)1f−=，则不等式()19fxx

x的解集是A．(,3)(0,3)−−B．()3,3−C．(3,0)(0,3)−D．(,3)(3,)−−+11．已知双曲线1C：xye=上一点11(,)Axy，曲线2C：1ln()yxxm=+−(0)m上一点22(,)Bxy，当12yy=时，对于任意1x，2x都有ABe恒成立，则m的

最小值为A．1e−B．eC．1D．1e+12．在三棱锥−PABC中，已知2PAABAC===，2PAB=，23BAC=，D是线段BC上的点，2BDDC=，ADPB⊥．若三棱锥−PABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为A．1B．2C．3D．5二、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22xy12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB，CD是过抛物线28yx=焦点F且互相垂直的两弦，则11A

FBFCFDF+的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)Rfxx=+在区间75,126上单调，且满足73124ff=−．有下列结论：①2

03f=；②若5()6fxfx−=，则函数()fx的最小正周期为；③关于x的方程()1fx=在区间)0,2上最多有4个不相等的实数解；④若函数()fx在区间213,36上恰有5个零点

，则的取值范围为8,33．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）ABC

的内角,,ABC的对边分别为cba,,，已知2sin8)(sin2BCA=+．（1）求cosB；（2）若6ac+=，ABC面积为2，求b．18．（12分）体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业

生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率

分布直方图（如图所示），体考成绩分布在0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”

有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？附参考公式与数据：()()()()()22nadbcKabcd

acbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.150.100.050k2.0722.7063.84119．（12分）如图，在三棱锥−PABC中，ABC为直角三角形，90ACB=，PAC

△是边长为4的等边三角形，23BC=，二面角PACB−−的大小为60，点M为PA的中点．（1）请你判断平面PAB垂直于平面ABC吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（2）求CM与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知

椭圆()222210xyabab+=的离心率为22，右焦点为F，上顶点为A，左顶点为B，且||||1052FAFB=+.（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C−，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CPCM=，DPDN=，求证：+为定值.

21．（12分）已知函数()lnaxfxbxx=+在1x=处的切线方程为1yx=−.（1）求函数()yfx=的解析式；（2）若不等式()fxkx在区间()0,+上恒成立，求实数k的取值范围；（3）

求证：444ln2ln3ln1232nne+++.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程1cossinxy=+=（为参数）．以O为极点，x轴

的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin3cos33+=，射线:3OM=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．设()|1||3|fxxx=+−−．（

1）对一切xR，不等式()fxm恒成立，求实数m的取值范围；（2）已知0,0,()abfx最大值为M，(2)2abMab+=，且224128ab+，求证：216ab+=．四川省泸县四中高2023届高

三上期末考试理科数学参考答案：1．A2．C3．C4．B5．C6．D7．D8．A9．D10．A11．A12．D13．()3,0−，()3,014．6315．11616．①②④．17．（1）()2sin8sin2BAC+=，∴()sin41cos

BB=−，∵22sincos1BB+=，∴()22161coscos1BB−+=，∴()()17cos15cos10BB−−=，∴15cos17B=；（2）由（1）可知8sin17B=，∵1sin22ABCSacB==，∴172ac=，∴()2222222217152cos2

152153617154217bacacBacacacac=+−=+−=+−=+−−=−−=，∴2b=．18．（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200，所以非城镇学生人数为

50，城镇学生人数为150，故城镇学生优良人数为15011535−=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+=，所以非城镇优良学生共为503515−=，则非城镇不优良学生人数为501535−=，类

别非城镇学生城镇学生合计优良153550不优良35115150合计50150200代入数据计算()222001511535350.8892.7065015050150K−=，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关；（2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概

率为5012004p==，记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X，则1~3,4XB，所以()13344EX==，故成绩为“优良”人数的期望值为34．19．（1）平面PAB⊥平面ABC理由如下：如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE

，则//DEBC．因为90ACB=，23BC=．所以DEAC⊥，3DE=．因为PAC△是边长为4的等边三角形，所以PDAC⊥，23PD=．于是，PDE为二面角PACB−−的平面角，则60PDE=，在PDE△中，由余弦定理，得222cos603PEPDDEPDDE=+−=，所以222=PDP

EED+，所以PEED⊥．因为EDAC⊥，PDAC⊥，EDPDD=，所以AC⊥平面PED，所以ACPE⊥．又ACEDD=，所以PE⊥平面ABC因为PE平面ABC．所以平面PAB⊥平面ABC．（2）以点C为原点，CA，CB分别为x，y轴，过

点C且与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B，(4,0,0)A，(2,3,0)E，(2,3,3)P，33(3,,)22M333,,22CM→=，()0,23,0CB→=，()2,3,3CP→=．设平面PBC的一个法向量为(

)111,,nxyz→=，则00nCBnCP==，即1111230,2330yxyz=++=取13x=，则()3,0,2n→=−．所以CM与平面PBC所成角的正弦值639sincos,132313CMn→→

===20．解：()1设(),0Fc.由题意得||FAa=，||FBac=+，22ca=，222abc=+，()||||1052FAFBaac=+=+.解得210a=，25b=.椭圆的方程为221105xy+=.()2设()00,Pxy，()11,Mxy，()22,Nxy.

由CPCM=，DPDN=，得()()00114,4,xyxy+=+，()()00224,4,xyxy−=−，()010141,,xxyy−=−=，()020241,,xxyy−=−=()1284xx−=−+，①又点P，M，N均在

椭圆上，由220022222111,105,105xyxy+=+=且01,yy=得()()01012110xxxx−+=−，()01512xx+=−+.②同理，由220022

222221,105,105xyxy+=+=且02,yy=得()()22002110xxxx−+=−()02512xx+=+.③联立②③得()12552xx−=−+−.④联立①④得263+=，+为定值263.21．（1）()lnaxfxbx

x=+，该函数的定义域为()0,+，()()21lnaxfxbx−=+，由题意可知，点()()1,1f在直线1yx=−上，()10f=，由题意得()()1011fbfab===+=，解得10ab==，()lnxfxx=；（2）对任意的()0,x+

，由()fxkx，得lnxkxx，即2lnxkx，令()2lnxgxx=，其中0x，则()maxkgx，()312lnxgxx−=，令()0gx=，可得xe=，列表如下：x()0,ee(),e+(

)gx+0−()gx单调递增极大值单调递减所以，函数()ygx=在xe=处取得极大值，亦即最大值，即()()max12gxgee==.12ke，因此，实数k的取值范围是1,2e+；（3）由（2）可知，当xe时，()ln2xxfxxe=，则42ln112xxex，

当2n时，42ln11111221nnenenn=−−，4ln2111222e−，4ln31113223e−，L，4ln11121nnenn−−，上述不等式全部相加得444ln2ln3ln11112322nnene+++−

.因此，对任意的2n，444ln2ln3ln1232nne+++.22．（1）因为，圆C的参数方程1cossinxy=+=（为参数），消去参数可得：()2211xy−+=；把cossinxy==

代入()2211xy−+=，化简得：2cos=，即为此圆的极坐标方程；（2）设,PQ两点的极坐标为：1(,)P，2(,)Q，因为直线l的极坐标方程是()sin3cos33+=，射线:3OM=，将3=代入()sin3cos33+=得3133322+=

，即23=；将3=代入2cos=得12cos13==，所以122PQ=−=．23．（1）由题意4,1()1322,134,3xfxxxxxx−−=+−−=−−,所以min()4f

x=−，所以，实数m的取值范围是(,4]−−；（2）证明：由（1）知，4M=，由(2)2abMab+=得2(2)1abab+=，224128ab+，所以2222(2)212816abab++=，当且仅当2ba=，且224128ab+=，即4a=，8b=时，等号成立；2(2

)442(2)2422416ababababababbaba++=+=+++=，当且仅当4abba=，且2(2)1abab+=，即4a=，8b=时，等号成立；综上所述，216ab+=．