【文档说明】广东省四校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题答案.docx，共(7)页，168.391 KB，由小赞的店铺上传

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2023届广东省四校高三第一次联考数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DACABCAD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.BC10.BC11.AC12.BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1

14.−1415.−1或316.4√217四、解答题：本题共6小题，共70分17.(10分）（1）当1=n时，,32,1111+==SSa所以即51=a---------------------------------------1分当()111122232322−−−−=−=+−+=−=nn

nnnnnnSSa,n，------------------------------3分显然51=a不符合上式，所以数列na的通项公式为==−22151nnann---------------------5分（2）因为在ka与1+ka之间插入k个1，所以ka在nb中对应的项数

为()21121+=−++++=kkkkn当9=k时，452109=，当10=k时，5521110=所以5510459ba,ba==，且1504746====bbb，---------------------------------------8分()

529822558218192150+++++=++++++++=aaaT5562122469=−−+=---------------------------------------10分18.（12分）解：（1）在三角形𝐴𝐵𝐷中，由正弦定理得𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛∠𝐴

𝐷𝐵=𝐷𝐵𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐴𝐷，在三角形𝐴𝐶𝐷中，由正弦定理得𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐶=𝐷𝐶𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐴𝐷，---------------------------------------2分因为∠�

�𝐷𝐵与∠𝐴𝐷𝐶互补，所以sin∠𝐴𝐷𝐵=sin∠𝐴𝐷𝐶，由题意得𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐵𝐷𝐶，所以sin∠𝐶𝐴𝐷=sin∠𝐵𝐴𝐷，即∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷，所以𝐴𝐷平分∠𝐵

𝐴𝐶.得证；---------------------------------5分（2）∆𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏得：cos𝜋3=𝑎2+82−722×8𝑎解得𝑎=3或𝑎=5-

--------------------------------------7分若𝑎=3,则有：𝑎2+𝑐2<𝑏2,则B为钝角，不合题意，舍去；----------------------------------8分若𝑎=5,则有：𝑎2+𝑐2>𝑏2,则B为锐角，合题意，

所以𝑎=5由（1）知：𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐵𝐷𝐶=78,所以𝐵𝐷=73，𝐷𝐶=83---------------------------------------10分在∆𝐴𝐶𝐷中，由余弦定理得：𝐴𝐷2=𝐴𝐶2+𝐶𝐷2−2𝐴𝐶∙𝐶𝐷∙cos𝜋3

解得：AD=83√7所以AD=83√7---------------------------------------12分19.（12分）解：（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：(0.042540.062540.06254

0.024)10075+++=，则“睡眠不足”的人数为25；不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：()0.072540.03540.01540.015455+++=,则“睡眠不足”的人数为45；列联表如下：

睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员7525100不常参加体育锻炼人员5545100总计13070200-----------------------------------------------------------------------------2分零假设0H：睡眠足与常参加体育

锻炼无关因为𝜒2=200×(75×45−55×25)2130×100×70×100≈8.791>6.635---------------------------------------4分根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断0H不成立，所以认为“睡眠足

”与“常参加体育锻炼”有关.---------------------------------------5分（2）由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不

足的有2人-----------------------------------6分从这8人随机抽取2人，则X的所有取值为0，1，2.()026228CC10C28PX===，()116228CC1231=C287PX===，()206228CC152C28PX===；所以分布列为X

012P128371528---------------------------------------9分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分）数学期望()13153012287282EX=++=---

-----------------------------------10分（3）由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为75100=34，由题意知：𝑌~𝐵(3，34)-------------------------------------

-11分𝐷(𝑌)=3×34×14=916---------------------------------------12分20.（12分）解：（1）取𝐵𝐶中点𝐸，连接𝐴𝐸、𝑃𝐸，连接𝐴�

�.∆𝑃𝐶𝐵为等边三角形，∴𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，----------------------------1分𝐴𝐷𝐶=90°，𝐴𝐷=√3，𝐷𝐶=1∴𝐴𝐶=2又𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴𝐶𝐴𝐵=60°，又𝐴𝐶

=𝐴𝐵，∴∆𝐴𝐶𝐵为等边三角形，𝐵𝐶=2，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶且𝐴𝐸=√3𝑃𝐸=√3---------------------------------------3分𝑃𝐴𝐸中𝑃𝐴2

=𝑃𝐸2+𝐴𝐸2𝑃𝐸𝐴=90°，𝑃𝐸⊥AE，又𝐴𝐸面𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝐸𝐵𝐶=𝐸𝑃𝐸⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷，--------------------------------

-------4分又𝑃𝐸面𝑃𝐶𝐵，面𝑃𝐶𝐵⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷.---------------------------------------5分（2）由（1），以点𝐸为坐标原点，建系如图，则𝐸(0,

0,0)，𝐴(√3,0,0），𝐵(0,1,0)，𝐶(0,−1,0)，𝑃(0,0,√3)，𝐷(√32,−32,0)，则𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,−32,−√3)--------------

------------------------------------6分假设存在点𝑄，使得二面角𝐴−𝐵𝐶−𝑄的大小为𝜋4，则设𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(√32𝜆,−32𝜆,−√3𝜆)，λ∈[0,1]，-------------------

-------7分则𝑄(√32𝜆,−32𝜆,√3(1−𝜆))，显然面ABC的一个法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(0,0,1)，--------------------------------8分又∵𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，CQ⃗⃗⃗⃗⃗=(√32𝜆,1−3

2𝜆,√3(1−𝜆))，设面BCQ的一个法向量为𝑛2⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑛2⃗⃗⃗⃗=0𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑛2⃗⃗⃗⃗=0，即{𝑦=0√32𝜆𝑥+(1−32𝜆)𝑦+√3(1−𝜆)𝑧=0解得𝑛2⃗⃗⃗⃗=(

2−2𝜆,0,1)，--------------------------------------------10分由题|cos<𝑛1⃗⃗⃗⃗,𝑛2⃗⃗⃗⃗>=√22|，∴1√(2−2λ)2+1=√22，解得𝜆=23或者𝜆=2（舍）---------------

-----------------------------------11分则𝑃𝑄𝑃𝐷=23.-----------------------------------------------12分21.(12分）(1)由已知可得𝑀𝑁为圆�

�的直径，则1−=ONOMkk记𝑀(1,𝑚),𝑁(1,𝑛)，则𝑚𝑛=−1𝑘𝐴𝑀∙𝑘𝐴𝑁=𝑚3∙𝑛3=−19---------------4分(2)𝑘𝐴𝑀∙𝑘𝐴𝑁=𝑘𝐴𝑃∙𝑘𝐴𝑄=−19----------5分由已知直线PQ

存在斜率，记其方程为mkxy+=代入4422=+yx有0)4m48)41(222=−+++（kmxxk记),(),,x2211yxQyP（，则当0时有22212214144,418kmxxkkmxx+−=+−=+-------------7分

91222121−=++=))(x(xyykkAQAP()104)(29212121=++++xxxxyy22222121221414)(kkmmxxkmxxkyy+−=+++=，代入（1）式化简有0)2)(1013020161322=−+=−−kmkmkkmm，（当

),1310(:,1310−=−=xkylkm过定点（1013，0）当km2=时，)2(:+=xkyl，过定点A（−2，0），舍去-------------------------11分综上有，直线l过定点（1013，0）-----------

--------------------------------------------------12分xyNoABMQP22.（12分)解：𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎(1)当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)≥0，𝑓(𝑥)在R上单调递增----

----------------------1分当a>0时，由𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎=0，𝑥=ln𝑎当𝑥<ln𝑎时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)在（−∞，ln𝑎）上单调递减当𝑥>ln𝑎时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)在（ln𝑎，+∞）上单调递增----

-------------------------3分综上有：当𝑎≤0时，𝑓(𝑥)在R上单调递增；当a>0时，𝑓(𝑥)在（−∞，ln𝑎）上单调递减，𝑓(𝑥)在（ln𝑎，+∞）上单调递增.----4分（2）

由已知𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒𝑥,因为对于∀𝑥∈(0,+∞)，ex−𝑒𝑥≥𝑡(𝑥2−𝑥−𝑥ln𝑥)所以𝑒𝑥𝑥−𝑒≥𝑡(𝑥−1−ln𝑥)e𝑥−ln𝑥−𝑒≥𝑡(

𝑥−1−ln𝑥)设𝑚=𝑥−ln𝑥∈[1,+∞）,则e𝑚−𝑒≥𝑡(𝑚−1),𝑚∈[1,+∞）----------------------7分e𝑚−𝑡𝑚_+𝑡−𝑒≥0,𝑚∈[1,+∞）记𝜑(𝑥)=e𝑥−𝑡𝑥+𝑡−𝑒,𝑥∈[1,+

∞）𝜑′(𝑥)=e𝑥−t当𝑡≤𝑒时，𝜑′(𝑥)≥0，φ(𝑥)在[1,+∞)上单调递增;φ(𝑥)≥φ(1)=0恒成立.---------9分当𝑡>𝑒时，𝜑′(𝑥)=0，𝑥=ln𝑡∈(1,+∞),φ(𝑥)在(1,ln𝑡)上单调递减

，则φ(ln𝑡)<φ(1)=0与φ(𝑥)≥0矛盾；---------------11分综上，当𝑡≤𝑒时，𝑥∈[1,+∞)φ(𝑥)≥0恒成立，即ex−𝑒𝑥≥𝑡(𝑥2−𝑥−𝑥ln𝑥)恒成立.-------

-----------------------------------12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com