【文档说明】北京市第一六一中学2024届高三上学期12月阶段测试数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.411 MB，由小赞的店铺上传

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北京一六一中学2023—2024学年度第一学期12月阶段测试高三数学试卷一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.设全集{1,2,3,4,5}U

=，集合M满足{1,3}UM=ð，则（）A.2MB.3MC.4MD.5M【答案】A【解析】【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M=,对比选项知，A正确,BCD错误故选:A2.已知向量()(),1,1,2amb==−．若a∥b，则m=（）A.2B.1C.1

−D.12−【答案】D【解析】【分析】由两向量共线直接列方程求解即可【详解】因为()(),1,1,2amb==−，且a∥b，所以112m=−，解得12m=−，故选：D3.下列函数中，值域为()1,+的是（）A.1sinyx=B.1yx=+C.()lg1yx=+D.21xy=+【答案】D【解析】

【分析】根据初等函数的性质逐一求出相应值域即可得答案.【详解】因为1sin1x−，且sin0x，所以11sinx−或11sinx，A错误；因为0x，所以11x+，B错误；因为11x+，所以()lg1lg10x+=，C错误；因为20x，所以211x+，即21xy=+的

值域为()1,+，D正确.故选：D4.在ABC中，点D在边AB上，2BDDA=．记CAmCDn==，，则CB=（）A.32mn−B.23mn−+C.32mn+D.23mn+【答案】B【解析】【分析】根据几

何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，2BDDA=，所以2BDDA=，即()2CDCBCACD−=−，所以CB=3232CDCAnm−=−23mn=−+．故选：B．5.若0ab，且ab，则下列不等式一定成立的是（）A.22abB.11abC.2baa

b+D.2abab+【答案】C【解析】【分析】取3,2ab=−=−即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.【详解】取3,2ab=−=−满足0ab，且ab，此时22ab，A错误；取3,2ab=−=−满足0ab，且ab，此时11ab，B错误；0,0baab

可得22babaabab+=，C正确；取3,2ab=−=−满足0ab，且ab，此时2abab+，D错误.故选：C.6.设F为抛物线2:4Cyx=的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若AFBF=，则AB=（）A.2B.2

2C.3D.32【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F，则2AFBF==，即点A到准线=1x−的距离为2，所以点A的横坐标为121−+=，不妨设点A在x轴上方，

代入得，()1,2A，所以()()22310222AB=−+−=.故选：B7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的

相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约接近于（）A.3100cmB.3200cmC.3300cmD.3400cm【答案】B【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算即可．【详解】解：设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为h，则5R=，3r=，4h=，(

)221π3VhRRrr=++圆台()()31196ππ425159200cm33=++=，故选：B．8.“sintan0+”是“为第一或第三象限角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析

】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.【详解】因为sin(cos1)sintan0cos++=时，则tan0，所以为第一或第三象限角，反之，当为第一或第三象限角时，tan0，所以sintan0+

，综上，“sintan0+”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件，故选：C9.在长方体1111ABCDABCD−中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A.2ABAD=B.1AB与1AD所成的角为60C.1ACCB=D.1BD

与平面11BBCC所成的角为45【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义易得130ABD=、130BDB=，进而可得1122DBADBB==，令11ADBB==求相关边的长度，结合异面直线、线面角定义判断各项正误.【详解】由A

D⊥面11AABB，故1BD与平面11AABB所成角为130ABD=，由1BB⊥面ABCD，故1BD与平面ABCD所成角为130BDB=，所以1122DBADBB==，令11ADBB==，则112,

3DBABBD===，所以2AB=，故2ABAD=，A错；由11//ADBC，故1AB与1AD所成角，即1AB与1BC所成角，为1ABC或其补角，在1ACB中1123ACABCB===，显然1ABC不为60，B、C错；由CD⊥面11BBCC，故1BD与平面11BB

CC所成角为1DBC（锐角），所以112sin2CDDBCDB==，故1DBC=45，D对；故选：D10.黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann）发现提出黎曼函数定义在0,1上，其解析式为：当qxp=为真约数且*,Npq时()1Rxp=，当0,1x=

或0,1上的无理数时()0Rx=，若函数()fx是定义在R上的偶函数，且Rx，()(2)0fxfx++=，当[0,1]x时，()()fxRx=，则：()2023π5ff−=（）A.25−B.15−C.15D.25【答案】B【解析】【分析】根据已知可推得偶函数()fx的周期为

4，利用偶函数性质、周期性求目标函数值.【详解】由题意(2)()(4)(2)fxfxfxfx+=−+=−+，则(4)()fxfx+=，所以偶函数()fx的周期为4，(π)(π4)(4π)(4π)0fffR=−=−=−=，20233331(404)()()55555f

ffR=+===，所以20231(π)55ff−=−.故选：B二、填空题：本大题共5小题，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．11.函数2()log(1)fxxx=−+的定义域是_____________．【答案】[0,

1)【解析】【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：10010xxx−，所以该函数的定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)12.复数z满足()1i2iz−

=，则z=__________．【答案】2【解析】【详解】由题意得2i2i(1i)i(1i)1i1i(1i)(1i)z+===+=−+−−+，∴|1i|2z=−+=．13.记双曲线C：22221(0,0)xyabab−=

的离心率为e，写出满足条件“直线3yx=与C无公共点”的e的一个值______．【答案】10（答案不唯一）【解析】【分析】写出一个双曲线方程，使3yx=是其一条渐近线，进而求离心率.【详解】直线3yx=与C无公共点，双曲线的一条渐近线是3

byxxa==即可，如2219yx−=，此时离心率10cea==.故答案为：10（答案不唯一）14.如图，为了测量湖两侧的A，B两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B点，距离A点30km处的C点，以及距离C点10km处的D点进行观测.甲同学在B点测得30

DBC=，乙同学在C点测得45ACB=，丙同学在D点测得45BDC=，则A，B两点间的距离为______km.【答案】105【解析】【分析】由已知数据，在BCD△中用正弦定理求出BC，ABC中用余弦定理求出AB即可.【详解】3

0DBC=，45ACB=，45BDC=，30AC=，10CD=，BCD△中，由正弦定理，有sinsinCDBCDBCBDC=，则sin10sin45102sinsin30CDBDCBCDBC

===，ABC中，由余弦定理，有()2222222cos102302102305002ABBCACBCACACB=+−=+−=，得105AB=，即A，B两点间的距离为105.故答案为：105.15.已知函数()22,2,xaxa

fxxaxxa+=+给出下列四个结论：①当0a=时，()fx的最小值为0；②当1(1,0),3a−+时，()fx不存在最小值；③()fx零点个数为()ga，则函数()ga的值域为0,1,2,3；④当1a时，对任意1x，2Rx，()()121222xxfxfxf+

+．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】①根据指数函数、二次函数性质求()fx值域判断；②由(,)a−上值域为(,2)aaa+，讨论0a、a<0确定在[,)a+上值域，根据()fx不存在最小

值，列不等式组求参数范围；③讨论a<0、0a=、0a，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值4a=，得到(3)12,(4)48,(5)65fff===即可判断.【详解】①当0a=时，22,0(),0xxfxxx=，在(,0)−上的值域为(0,1)，在[0,)+上

值域为[0,)+.所以()fx的最小值为0，故①正确；②在(,)a−上()fx的值域为(,2)aaa+，当0a时，在[,)a+上值域为2[3,)a+；当a<0时，在[,)a+上值域为2[,)a−+；要使()fx不存在最小值，则203aaa或20aaa

−，解得13a或10a−，故②正确；③2xya=+至多一个零点，22yxax=+至多有两个零点，当a<0时，若),xa+，则由220xax+=，可得0x=或2xa=−，故()fx恒有两个零点；(),xa−时，若20aa+，则()fx存在一个零点；若20aa+，()fx不

存在零点，所以a<0时，()fx零点个数可能为2或3个；若0a=，则22,0(),0xxfxxx=，此时20x，即(,0)−上无零点，而200xx==，故()fx有一个零点，即(0)1g=；若

0a，则22,()2,xaxafxxaxxa+=+，此时(,)a−上20xa+，无零点，),xa+时，220xax+=也无解，故()fx无零点，即()0ga=；综上，()ga的值域为0,1,2,3，故③正确；④当4a=时，224,4()8,4xxfx

xxx+=+，则(3)12,(4)48,(5)65fff===，所以(3)(5)772(4)96fff+==，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.三、解答题：本大题

共6小题，共85分．把答案填在答题纸中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．16.已知函数()()2coscos2fxxx=+，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()fx存在.条件①：13f=；条件②：函数()fx在

区间π0,4上是增函数；条件③：()2πR,3xfxf.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求的值；（2）求()fx在区

间π,02−上的最大值和最小值.【答案】（1）选择见解析；答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意先把函数()fx进行化简，然后根据所选条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数()fx存在，从而求解；（2）根据（

1）中选的不同条件下得出不同的函数()fx的解析式，然后求出在区间π,02−上的最大值和最小值.【小问1详解】由题意得：()()2coscos2coscoscossinsinfxxxxxx

=+=−()()22coscos2sincossincoscos21sinsin2coscos2sinsin2coscos2cosxxxxxxxx=−=+−=−+=++.的当选条件①：π2π2π13πcoscos1sin

sincossincos1333223f=+−=−=+=，又因为π2，所以ππ22−，所以ππ5π636−+，所以πcos13+=时，即得：π03+=，即π3=−.当选条件②：()()()2coscos

cos2cosfxxxx=+=++从而得：当2ππ22π,Zkxkk−+时，()fx单调递增，化简得：当πππ,Z222kxkk−−−时，()fx单调递增，又因为函数()fx在区间π0,4上是增函数，所以得：ππ022,Zππ24kkk−−

−，解之得：π2ππ2π,Z2kkk−−，与已知条件π2矛盾，故条件②不能使函数()fx存在.故：若选条件②，不存在.当选条件③：由()2πR,3xfxf，()()()2coscoscos2cosfxxxx=+=++，得当2π3x=时，()4

πcos2cos13x+=+=−，又因为π2，所以得4ππ3+=，得π3=−.【小问2详解】由（1）知：π3=−，则得：()π1cos232fxx=−+，又因为π,02−x，所以π4ππ2,333x−

−−，所以当0x=时，()fx有最大值()π10cos0132f=−+=；所以当π3x=−时，()fx有最小值π2ππ11cos33322f−=−−+=−.17.如图是2023年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．（

1）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；（2）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；（3）记每天新增确诊的人数为Y，每天新增疑似的人数Z，根据这20天统计数据，试判断D

Y与DZ的大小关系（结论不要求证明）．【答案】（1）320（2）23（3）DYDZ【解析】【分析】（1）根据走势图新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，从而根据随机事件的概率公式，得到答案；（2）根据题意

得到X的所有可能值为0，1，2，从而得到相应的概率；（3）基于图表的数据，观察新增确诊人数与新增疑似人数的波动情况，从而得解.【小问1详解】由图知，在统计出的20天中，新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，设事件A为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”

，则()320PA=.【小问2详解】由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天，其中有2天人数超过140，所以X的所有可能值为0，1，2.所以()2426C20C5PX===，()112426CC81C15P

X===，()2226C12C15PX===，所以X的分布列为X012P25815115所以X的数学期望为()2812012515153EX=++=.【小问3详解】根据这20天的统计数据，可以看到新增确诊人数的波动情况相

对新增疑似人数的波动情况更为平稳，所以新增确诊人数的方差要小于新增疑似人数的方差，即DYDZ.18.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面,2,23ABCPAACBCPB====．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求二面角APBC−−的大小；（3）求点C到平面PAB的距离．【

答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）2.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质判断异面直线垂直，再由勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直的判定证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求法向量，

求出二面角；（3）应用等体积法求点到面的距离即可.【小问1详解】因PA⊥平面ABC，BC平面ABC，BA平面ABC，所以,PABCPABA⊥⊥，又,232PAPB==，所以2222ABPBPA=−=，又因2ACBC==，222ACB

CAB+=，所以BCAC⊥，因为AC平面PAC,PA平面PAC，且ACPAA=，所以BC⊥平面PAC；【小问2详解】过C作CM//PA，则CM⊥平面ABC，又由（1）知BCAC⊥，所以以,,CACBCM为,,xyz轴建立空间直角坐标系，

如下图，则()()()()2,0,0,2,0,2,0,2,0,0,0,0APBC，设平面APB的法向量为()111,,mxyz=，又()()0,0,2,2,2,0APAB==−，所以1112002200z

mAPxymAB==−+==令11x=，则11y=，则()1,1,0m=，设平面PBC的法向量为()222,,nxyz=，又()()2,0,2,0,2,0CPCB==，所以2222200

200xznCPynCB+====，令21x=，则21z=−，则()1,0,1n=−，令二面角APBC−−的平面角为，则11coscos,222mnmnmn====，由图知此二面角为锐二面角，所以60=，故二面角APB

C−−为60；【小问3详解】设点C到平面PAB的距离为h，为为122ABCSACBC==，所以1433PABCABCVPAS−==△，又1222PBASPAAB==，所以12233CPABPABPABCVhShV−−===，解得2h=，所以点C到平面PAB的距离为

2.19.已知椭圆:E22221(0)xyabab+=过点31,2P，焦距为2．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为点F，右顶点为点A．过点F的直线l交椭圆E于不同的两点,M

N，直线,AMAN与y轴分别交于点,BC．当12BC=时，求直线l的方程．【答案】（1）22143xy+=（2）310xy−=【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）联立直线与椭圆方程得到1212,yyyy+，再利用点斜

式推得,BC的坐标，从而得到关于12,yy的方程，进而得到关于m的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为椭圆:E22221(0)xyabab+=过点31,2P，焦距为2，所以222222

21914cababc=+==+，解得22431abc===，所以椭圆E的方程为22143xy+=.小问2详解】因为椭圆:E22143xy+=，所以()2,0A，()1,0F，【由题意易知，直线l的斜率不为0，设直线l方程

为1xmy=+，联立221431xyxmy+==+，消去x，得()2234690mymy++−=，易知0，不妨设()()()112212,,,0MxyNxyyy，则12122269,3434myyyym

m+=−=−++，而AM的直线方程为()1122yyxx=−−，令0x=，得1122yyx=−−，即1120,2yBx−−，同理：2220,2yCx−−，因为120yy，122,2xx，则11202yx−−，22202y

x−−，又12BC=，所以()()121212212121212222221222111yyyyyyxxmymymyymyy−=−+=−+=−−−−−++，又()222121222296411343434m

mmyymyymmm−++=−++=+++，所以()122421234yym−=+，则()222121212222224636121434343434mmyyyyyymmmm+=−=+−=−+=++++，即212124m+=，解得3m=，所以

直线l方程为31xy=+，即310xy−=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理

；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.已知函数2()ln1()fxmxxxm=−+R．（1）当1m=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若()0fx

在区间[1,)+上恒成立，求m的取值范围；（3）试比较ln4与2的大小，并说明理由．【答案】（1）10xy+−=（2）(,2−（3）ln42【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0fx在区间)1,+上恒成

立，转化为1ln0mxxx−+，令()1lngxmxxx=−+，问题转化为()max0gx，利用导数求函数()maxgx即可得解；（3）由（2）知，2m=时，()0fx在区间)1,+上恒成立，取2x=，可得解.【小问1详解】当

1m=时，()2n1lfxxxx−+=，()ln12fxxx=+−，所以曲线()fx在点()()1,1f处切线的斜率()11kf==−，又()10f=，所以曲线()fx在点()()1,1f处切线的方程为()1yx=−−即10xy+−=.【小问2详解】()0fx在区间)1,+上

恒成立，即2ln10mxxx−+，对)1,x+，即1ln0mxxx−+，对)1,x+，令()1lngxmxxx=−+，只需()max0gx，()222111mxmxgxxxx−+−=−−=，)1,x+，当0m

时，有0mx，则()0gx，()gx在)1,+上单调递减，()()10gxg=符合题意，当0m时，令()21hxxmx=−+−，其对应方程210xmx−+−=的判别式24m=−，若0即02m时，有()0hx，即()0gx，()gx在

)1,+上单调递减，()()10gxg=符合题意，若0即m>2时，()21hxxmx=−+−，对称轴12mx=，又()120hm=−，方程210xmx−+−=的大于1的根为2042mmx−−=，()01,xx，()0hx，即()0gx，()0,xx+，()0

hx，即()0gx，所以函数()gx在()01,x上单调递增，()()10gxg=，不合题意.综上，()0fx在区间)1,+上恒成立，实数m的取值范围为(,2−.【小问3详解】由（2）知，当2m=时，()0fx，在区间)1,+上恒成

立，即22ln1xxx−，对)1,x+，取2x=代入上式得22ln21，化简得ln42.21.设无穷数列na的前n项和为,nnSi为单调递增的无穷正整数数列，记1nnniiASS+=−，()1,2

,n=，定义*Ω0,1,2,kjjSSkjj=−=++N．（1）若()2,1,2,nnaninn===，写出12,AA的值；（2）若()111,2,2nnan−=−=，求Ω；（3）设()1,0,sgn

0,0,1,0.xxxx==−求证：对任意的无穷数列na，存在数列ni，使得()sgnnA为常数列．【答案】（1）129,35AA==（2）{2,1,2,}xxmm===∣（3）证明见解析【解析】【分析】（

1）通过公式即可求出12,AA的值；（2）求出数列na的前n项和，对j讨论其奇偶，即可求出Ω；（3）通过讨论为有限集和无限集时的不同情况下()sgnnA的值，即可证明结论.【小问1详解】由题意，1nnniiASS+=

−，()1,2,n=，()2,1,2,nnaninn===，∴11a=，221231,24,39iii=====，111Sa==，241234123410iSSaaaa==+++=+++=，3912912945iSSaaa

==+++=+++=，∴1412941019,451035ASSASS=−=−==−=−=【小问2详解】由题意，在数列na中，()111,2,2nnan−=−=，11a=∴1112221133212nnnS−−==−−

−−.若j为奇数，则11102jjjjSSa++−==−.所以j.若j为偶数，则当1,2,kjj=++时，2112110.322322jkjkkjSS−=−−−−

所以j.所以{2,1,2,}xxmm===∣.【小问3详解】由题意证明如下，在()1,0,sgn0,0,1,0.xxxx==−中，若为有限集，设其最大元素为m(若为空集，取0m=)

，则当1,2,jmm=++时，存在kj满足0kjSS−.令*111min,0(1,2,),nnnkiimikkiSSn+=+=−=N∣，则10nnniiASS+=−.所以()sgn1(1,2,)nAn=−=;若为无限集，设12,,jj=，其中12j

j，记1nnnjjBSS+=−，则0(1,2,)nBn=.①若数列nB中只有有限项为正数，记*max0nmnB=N∣(若nB中没有正数项，取0)m=，则0(1,2,)mnBn+==.令()1,2,nm

nijn+==，则()101,2,nnniimnASSBn++=−===.所以()sgn0(1,2,)nAn==;②若数列nB中有无穷项为正数，将这些项依次记为12,,ttBB，其中12tt，则()101,2,nnnjjBSSn+=−=.令(1,2,)

nntijn==，则11110ttnnnnnnjjtttASSBBB+++−=−=+++.所以()sgn1(1,2,)nAn==.综上所述，对任意的无穷数列na都存在数列ni，使得()sgnnA为常数列.【点睛】关键点点睛：本题考查求数列项，数列求和，无穷数列的证明，符

号函数，考查学生的计算能力，逻辑思维能力和分类讨论能力，具有很强的综合性.的