【文档说明】北京市第一六一中学2024届高三上学期12月阶段测试数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.411 MB，由小赞的店铺上传

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北京一六一中学2023—2024学年度第一学期12月阶段测试高三数学试卷一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．

．1.设全集{1,2,3,4,5}U=，集合M满足{1,3}UM=ð，则（）A.2MB.3MC.4MD.5M【答案】A【解析】【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M=,对比选项知，A正确,

BCD错误故选:A2.已知向量()(),1,1,2amb==−．若a∥b，则m=（）A.2B.1C.1−D.12−【答案】D【解析】【分析】由两向量共线直接列方程求解即可【详解】因为()(),1,1,2amb==−，且a∥b，所以112m=−，解得12m=−，故选：D3.下列函数中，

值域为()1,+的是（）A.1sinyx=B.1yx=+C.()lg1yx=+D.21xy=+【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质逐一求出相应值域即可得答案.【详解】因为1sin1x−，且sin0x，所以11sinx−或11sinx，A错误；因

为0x，所以11x+，B错误；因为11x+，所以()lg1lg10x+=，C错误；因为20x，所以211x+，即21xy=+的值域为()1,+，D正确.故选：D4.在ABC中，点D在边AB上，2BDDA=．

记CAmCDn==，，则CB=（）A.32mn−B.23mn−+C.32mn+D.23mn+【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，2BDDA=，所以2BDDA=，即()2CDCBCACD−=−，所以CB=

3232CDCAnm−=−23mn=−+．故选：B．5.若0ab，且ab，则下列不等式一定成立的是（）A.22abB.11abC.2baab+D.2abab+【答案】C【解析】【分析】取3,2ab=−=−即可判

断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.【详解】取3,2ab=−=−满足0ab，且ab，此时22ab，A错误；取3,2ab=−=−满足0ab，且ab，此时11ab，B错误；0,0baab可得22babaabab+=，C正确；取3

,2ab=−=−满足0ab，且ab，此时2abab+，D错误.故选：C.6.设F为抛物线2:4Cyx=的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若AFBF=，则AB=（）A.2B.22C.3D.32【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A

的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F，则2AFBF==，即点A到准线=1x−的距离为2，所以点A的横坐标为121−+=，不妨设点A在x轴上方，代入得，()1,2A，所以()()22310

222AB=−+−=.故选：B7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据

（单位：cm），那么该壶的容积约接近于（）A.3100cmB.3200cmC.3300cmD.3400cm【答案】B【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算即可．【详解】解：设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为h，则5R=，3r

=，4h=，()221π3VhRRrr=++圆台()()31196ππ425159200cm33=++=，故选：B．8.“sintan0+”是“为第一或第三象限角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.【详解】因为sin(cos1)sintan0cos++=时，则tan0，所以为第一或第三象限角，反之，当为第一或第

三象限角时，tan0，所以sintan0+，综上，“sintan0+”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件，故选：C9.在长方体1111ABCDABCD−中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A.2ABAD=B

.1AB与1AD所成的角为60C.1ACCB=D.1BD与平面11BBCC所成的角为45【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义易得130ABD=、130BDB=，进而可得1122DBADBB==，令11ADBB==求相关边的长度，结合异面直线、线面角定义判断各项正

误.【详解】由AD⊥面11AABB，故1BD与平面11AABB所成角为130ABD=，由1BB⊥面ABCD，故1BD与平面ABCD所成角为130BDB=，所以1122DBADBB==，令11ADBB==，则112,3DBABB

D===，所以2AB=，故2ABAD=，A错；由11//ADBC，故1AB与1AD所成角，即1AB与1BC所成角，为1ABC或其补角，在1ACB中1123ACABCB===，显然1ABC不为60，B、C错；由CD⊥面11BBCC，故1BD与平面11BBCC所成角为1DBC

（锐角），所以112sin2CDDBCDB==，故1DBC=45，D对；故选：D10.黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann）发现提出黎曼函数定义在0,1上，其解析式为：当qxp=为真约数且*,Npq时()1Rxp=，当0,1x=或0,1上的无理数时()0R

x=，若函数()fx是定义在R上的偶函数，且Rx，()(2)0fxfx++=，当[0,1]x时，()()fxRx=，则：()2023π5ff−=（）A.25−B.15−C.15D.25【答案】B【解析】【分析】

根据已知可推得偶函数()fx的周期为4，利用偶函数性质、周期性求目标函数值.【详解】由题意(2)()(4)(2)fxfxfxfx+=−+=−+，则(4)()fxfx+=，所以偶函数()fx的周期为4，(π)(π4)(4π)(4π)0fffR=−=−=−

=，20233331(404)()()55555fffR=+===，所以20231(π)55ff−=−.故选：B二、填空题：本大题共5小题，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．11.函数2()log(1)fxx

x=−+的定义域是_____________．【答案】[0,1)【解析】【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：10010xxx−，所以该函数的定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)12

.复数z满足()1i2iz−=，则z=__________．【答案】2【解析】【详解】由题意得2i2i(1i)i(1i)1i1i(1i)(1i)z+===+=−+−−+，∴|1i|2z=−+=．13.记双曲线C：22221(0,0)x

yabab−=的离心率为e，写出满足条件“直线3yx=与C无公共点”的e的一个值______．【答案】10（答案不唯一）【解析】【分析】写出一个双曲线方程，使3yx=是其一条渐近线，进而求离心率.【详解】直线3yx=与C无公共点，双曲线的一条渐近线是3by

xxa==即可，如2219yx−=，此时离心率10cea==.故答案为：10（答案不唯一）14.如图，为了测量湖两侧的A，B两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B点，距离A点30km处的C点，以及距离C点10km处的D点进行观测.甲同学在B点测得30DBC=，乙同学在C点测得45

ACB=，丙同学在D点测得45BDC=，则A，B两点间的距离为______km.【答案】105【解析】【分析】由已知数据，在BCD△中用正弦定理求出BC，ABC中用余弦定理求出AB即可.【详解】3

0DBC=，45ACB=，45BDC=，30AC=，10CD=，BCD△中，由正弦定理，有sinsinCDBCDBCBDC=，则sin10sin45102sinsin30CDBDCBCDBC===，ABC中，由余弦定理，有()2222222cos102

302102305002ABBCACBCACACB=+−=+−=，得105AB=，即A，B两点间的距离为105.故答案为：105.15.已知函数()22,2,xaxafxxaxxa+=+给出下列四个结论：①当0a=时，()fx的最

小值为0；②当1(1,0),3a−+时，()fx不存在最小值；③()fx零点个数为()ga，则函数()ga的值域为0,1,2,3；④当1a时，对任意1x，2Rx，()()121222xxfxfxf++．其中所有正确结论的

序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】①根据指数函数、二次函数性质求()fx值域判断；②由(,)a−上值域为(,2)aaa+，讨论0a、a<0确定在[,)a+上值域，根据()fx不存在最小值，列不等式组求参数范围；③讨论a<0、0

a=、0a，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值4a=，得到(3)12,(4)48,(5)65fff===即可判断.【详解】①当0a=时，22,0(),0xxfxxx=，在(,0)−上的值域为(0,1)，在[0,)+上值域为[0,)+.所以()fx的最小值为0，故①正确；

②在(,)a−上()fx的值域为(,2)aaa+，当0a时，在[,)a+上值域为2[3,)a+；当a<0时，在[,)a+上值域为2[,)a−+；要使()fx不存在最小值，则203aaa或20aaa−，解得13a或10a−，故②正确；③2xy

a=+至多一个零点，22yxax=+至多有两个零点，当a<0时，若),xa+，则由220xax+=，可得0x=或2xa=−，故()fx恒有两个零点；(),xa−时，若20aa+，则()fx存在一个零点；若20aa+，()fx不存在零点，所以a<0时，()fx零点个数

可能为2或3个；若0a=，则22,0(),0xxfxxx=，此时20x，即(,0)−上无零点，而200xx==，故()fx有一个零点，即(0)1g=；若0a，则22,()2,xaxafxxaxxa+=+

，此时(,)a−上20xa+，无零点，),xa+时，220xax+=也无解，故()fx无零点，即()0ga=；综上，()ga的值域为0,1,2,3，故③正确；④当4a=时，224,4()8,4xxfxxxx+=+，

则(3)12,(4)48,(5)65fff===，所以(3)(5)772(4)96fff+==，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.三、解答题：本大题共6小题，共85分．把答案填在

答题纸中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．16.已知函数()()2coscos2fxxx=+，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()fx存在.条件①：13f=；条件②：函数()fx在区间π0,4上是增

函数；条件③：()2πR,3xfxf.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求的值；（2）求()fx在区间π,02−上的最大值和最小值.【答案】（1）选择见解析；答

案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意先把函数()fx进行化简，然后根据所选条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数()fx存在，从而求解；（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数()fx的解析

式，然后求出在区间π,02−上的最大值和最小值.【小问1详解】由题意得：()()2coscos2coscoscossinsinfxxxxxx=+=−()()22coscos2sincossin

coscos21sinsin2coscos2sinsin2coscos2cosxxxxxxxx=−=+−=−+=++.的当选条件①：π2π2π13πcoscos1sinsincossincos133

3223f=+−=−=+=，又因为π2，所以ππ22−，所以ππ5π636−+，所以πcos13+=时，即得：π03+=，即π3=−.当选条件②：()()()2coscoscos2cosfxx

xx=+=++从而得：当2ππ22π,Zkxkk−+时，()fx单调递增，化简得：当πππ,Z222kxkk−−−时，()fx单调递增，又因为函数()fx在区间π0,4上是增函数，

所以得：ππ022,Zππ24kkk−−−，解之得：π2ππ2π,Z2kkk−−，与已知条件π2矛盾，故条件②不能使函数()fx存在.故：若选条件②，不存在.当选条件③：由()2πR,3xfxf，()()()2c

oscoscos2cosfxxxx=+=++，得当2π3x=时，()4πcos2cos13x+=+=−，又因为π2，所以得4ππ3+=，得π3=−.【小问2详解】由（1）知：π3=−，则得：()π1cos232fxx=−+，

又因为π,02−x，所以π4ππ2,333x−−−，所以当0x=时，()fx有最大值()π10cos0132f=−+=；所以当π3x=−时，()fx有最小值π2π

π11cos33322f−=−−+=−.17.如图是2023年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．（1）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；（2）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过14

0的天数，求X的分布列和数学期望；（3）记每天新增确诊的人数为Y，每天新增疑似的人数Z，根据这20天统计数据，试判断DY与DZ的大小关系（结论不要求证明）．【答案】（1）320（2）23（3）DYDZ【解析】【分析】（1）根据走势图新增确诊和新增

疑似人数超过100人的有3天，从而根据随机事件的概率公式，得到答案；（2）根据题意得到X的所有可能值为0，1，2，从而得到相应的概率；（3）基于图表的数据，观察新增确诊人数与新增疑似人数的波动情况，从而得解.【小问1详解】由图知，在统计出的20天中，新增确诊和新增疑似人数

超过100人的有3天，设事件A为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”，则()320PA=.【小问2详解】由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天，其中有2天人数超过140，所以X的所有可能值为0，1，

2.所以()2426C20C5PX===，()112426CC81C15PX===，()2226C12C15PX===，所以X的分布列为X012P25815115所以X的数学期望为()2812012515153EX=++=.【小问

3详解】根据这20天的统计数据，可以看到新增确诊人数的波动情况相对新增疑似人数的波动情况更为平稳，所以新增确诊人数的方差要小于新增疑似人数的方差，即DYDZ.18.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面,2,23ABCPAACBCPB====．（1）求证：BC⊥

平面PAC；（2）求二面角APBC−−的大小；（3）求点C到平面PAB的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）2.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质判断异面直线垂直，再由勾股定理证明线线垂

直，根据线面垂直的判定证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求法向量，求出二面角；（3）应用等体积法求点到面的距离即可.【小问1详解】因PA⊥平面ABC，BC平面ABC，BA平面ABC，所以,PABCPABA⊥⊥，又,232PAPB==

，所以2222ABPBPA=−=，又因2ACBC==，222ACBCAB+=，所以BCAC⊥，因为AC平面PAC,PA平面PAC，且ACPAA=，所以BC⊥平面PAC；【小问2详解】过C作CM//PA，则CM⊥平面ABC，又由（1）知BCAC⊥，所以以,,CACBCM为

,,xyz轴建立空间直角坐标系，如下图，则()()()()2,0,0,2,0,2,0,2,0,0,0,0APBC，设平面APB的法向量为()111,,mxyz=，又()()0,0,2,2,2,0APAB==−，所以1112002200zmAPxymAB==−+==

令11x=，则11y=，则()1,1,0m=，设平面PBC的法向量为()222,,nxyz=，又()()2,0,2,0,2,0CPCB==，所以2222200200xznCPynCB+====，令21x=，则21z=−

，则()1,0,1n=−，令二面角APBC−−的平面角为，则11coscos,222mnmnmn====，由图知此二面角为锐二面角，所以60=，故二面角APBC−−为60；【小问3详解】设点C到平面PAB的距离为h，为为122ABCSACB

C==，所以1433PABCABCVPAS−==△，又1222PBASPAAB==，所以12233CPABPABPABCVhShV−−===，解得2h=，所以点C到平面PAB的距离为2.19.已知椭圆:E22221(0)xyabab+=过点31,2P

，焦距为2．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为点F，右顶点为点A．过点F的直线l交椭圆E于不同的两点,MN，直线,AMAN与y轴分别交于点,BC．当12BC=时，求直线l的方程．【答案】（1）22143xy+=（2）310xy−=【解析】【

分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）联立直线与椭圆方程得到1212,yyyy+，再利用点斜式推得,BC的坐标，从而得到关于12,yy的方程，进而得到关于m的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为椭圆:E22221(0)xyabab+=过点3

1,2P，焦距为2，所以22222221914cababc=+==+，解得22431abc===，所以椭圆E的方程为22143xy+=.小问2详解】因为椭圆:E22143xy+=，所以()2,0

A，()1,0F，【由题意易知，直线l的斜率不为0，设直线l方程为1xmy=+，联立221431xyxmy+==+，消去x，得()2234690mymy++−=，易知0，不妨设()()()112212

,,,0MxyNxyyy，则12122269,3434myyyymm+=−=−++，而AM的直线方程为()1122yyxx=−−，令0x=，得1122yyx=−−，即1120,2yBx−−，同理：2220

,2yCx−−，因为120yy，122,2xx，则11202yx−−，22202yx−−，又12BC=，所以()()121212212121212222221222111yyyyyyxxmymymyymyy−=−+=−+=−−−−−++，又()22

2121222296411343434mmmyymyymmm−++=−++=+++，所以()122421234yym−=+，则()222121212222224636121434343434mmyyyyyymmmm+=−=+−=−+=++++

，即212124m+=，解得3m=，所以直线l方程为31xy=+，即310xy−=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()(

)1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.已知函数2()ln1()fxmxxxm=−+

R．（1）当1m=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若()0fx在区间[1,)+上恒成立，求m的取值范围；（3）试比较ln4与2的大小，并说明理由．【答案】（1）10xy+−=（2）(,2−（3）ln42

【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0fx在区间)1,+上恒成立，转化为1ln0mxxx−+，令()1lngxmxxx=−+，问题转化为()max0gx，利用导数求函数()maxgx即可得解；（3）由（2）知，2m=时，()0fx

在区间)1,+上恒成立，取2x=，可得解.【小问1详解】当1m=时，()2n1lfxxxx−+=，()ln12fxxx=+−，所以曲线()fx在点()()1,1f处切线的斜率()11kf==−，又()10f=，所以曲线()fx在点()(

)1,1f处切线的方程为()1yx=−−即10xy+−=.【小问2详解】()0fx在区间)1,+上恒成立，即2ln10mxxx−+，对)1,x+，即1ln0mxxx−+，对)1,x+，令()1lngxmxxx=

−+，只需()max0gx，()222111mxmxgxxxx−+−=−−=，)1,x+，当0m时，有0mx，则()0gx，()gx在)1,+上单调递减，()()10gxg=符合题意，当

0m时，令()21hxxmx=−+−，其对应方程210xmx−+−=的判别式24m=−，若0即02m时，有()0hx，即()0gx，()gx在)1,+上单调递减，()()10gxg=符合题意，若0即m>2时，()21hxxmx=−+−

，对称轴12mx=，又()120hm=−，方程210xmx−+−=的大于1的根为2042mmx−−=，()01,xx，()0hx，即()0gx，()0,xx+，()0hx，即()0gx，所以函数()gx在()01,x上单调递增，()()10gxg

=，不合题意.综上，()0fx在区间)1,+上恒成立，实数m的取值范围为(,2−.【小问3详解】由（2）知，当2m=时，()0fx，在区间)1,+上恒成立，即22ln1xxx−，对)1,x+，取2x=代入上式得

22ln21，化简得ln42.21.设无穷数列na的前n项和为,nnSi为单调递增的无穷正整数数列，记1nnniiASS+=−，()1,2,n=，定义*Ω0,1,2,kjjSSkjj=−=++N．（1）

若()2,1,2,nnaninn===，写出12,AA的值；（2）若()111,2,2nnan−=−=，求Ω；（3）设()1,0,sgn0,0,1,0.xxxx==−求证：对任意的无穷数列na，存在数列ni，使得()sgnnA为常数列．【答案】（

1）129,35AA==（2）{2,1,2,}xxmm===∣（3）证明见解析【解析】【分析】（1）通过公式即可求出12,AA的值；（2）求出数列na的前n项和，对j讨论其奇偶，即可求出Ω；（3）通过讨论为有限集和无限集时的不同情况下()sgnnA的值，即可证明

结论.【小问1详解】由题意，1nnniiASS+=−，()1,2,n=，()2,1,2,nnaninn===，∴11a=，221231,24,39iii=====，111Sa==，241234123410iSSaaaa==

+++=+++=，3912912945iSSaaa==+++=+++=，∴1412941019,451035ASSASS=−=−==−=−=【小问2详解】由题意，在数列na中，()111,2,2nnan−=−=，11a=∴1112221133212nnnS−−

==−−−−.若j为奇数，则11102jjjjSSa++−==−.所以j.若j为偶数，则当1,2,kjj=++时，2112110.322322jkjkkjSS

−=−−−−所以j.所以{2,1,2,}xxmm===∣.【小问3详解】由题意证明如下，在()1,0,sgn0,0,1,0.xxxx==−中，若为有限集，设其最大

元素为m(若为空集，取0m=)，则当1,2,jmm=++时，存在kj满足0kjSS−.令*111min,0(1,2,),nnnkiimikkiSSn+=+=−=N∣，则10nnniiASS+=−.所以()sgn1(1,2,)nAn=−=;若为无限

集，设12,,jj=，其中12jj，记1nnnjjBSS+=−，则0(1,2,)nBn=.①若数列nB中只有有限项为正数，记*max0nmnB=N∣(若nB中没有正数项，取0)m=，则

0(1,2,)mnBn+==.令()1,2,nmnijn+==，则()101,2,nnniimnASSBn++=−===.所以()sgn0(1,2,)nAn==;②若数列nB中有无穷项为正数，将这些项依次记为12,,ttBB，其中12tt，则()101,2,

nnnjjBSSn+=−=.令(1,2,)nntijn==，则11110ttnnnnnnjjtttASSBBB+++−=−=+++.所以()sgn1(1,2,)nAn==.综上所述，对任意的无穷数列na都存在数列ni，使得()sgnnA为常数列

.【点睛】关键点点睛：本题考查求数列项，数列求和，无穷数列的证明，符号函数，考查学生的计算能力，逻辑思维能力和分类讨论能力，具有很强的综合性.的