【文档说明】西藏日喀则市第二高级中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试卷 含解析.doc，共(21)页，1.575 MB，由小赞的店铺上传

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日喀则市第二高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高三理科数学试卷一、选择题：在每小题给出的4个选项中，有且只有一个符合题目要求1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U=−−−，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}AB=−=−，则()UAB=ð（）A.{3,

3}−B.{0,2}C.{1,1}−D.{3,2,1,1,3}−−−————C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.解答：由题意结合补集的定义可知：U2,1,1B=−−ð，则()U1,1AB=−ð.故选：C.点拨：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.若

z=1+i，则|z2–2z|=（）A.0B.1C.2D.2————D分析：由题意首先求得22zz−的值，然后计算其模即可.解答：由题意可得：()2212zii=+=，则()222212zzii−=−+=−.故2222zz−=−=.故选：D.点拨：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，

属于基础题.3.函数241xyx=+的图象大致为（）A.B.C.D.————A分析：由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.解答：由函数的解析式可得：()()241xfxfxx−−==−+，则函数()

fx为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当1x=时，42011y==+，选项B错误.故选：A.点拨：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象

的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0——

——D分析：由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.解答：方法一：由α为第四象限角，可得3222,2kkkZ++，所以34244,kkkZ++此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin20故选：D.

方法二：当6=−时，cos2cos03=−，选项B错误；当3=−时，2cos2cos03=−，选项A错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0=，选项C错误，选项D正确；故选：D.点拨：本题主要考查三角

函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=（）A.19B.13C.12D.23————A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据222cos2ABBCACBABBC+−=，

即可求得答案.解答：在ABC中，2cos3C=，4AC=，3BC=根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC=+−2224322433AB=+−可得29AB=，即3AB=由22299161cos22339ABBCACBABBC+−+−===故1cos9B=.故选：A

.点拨：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6.已知向量()()4,,4,4axb==−，若//ab，则x的值为()．A.0B.4C.4−D.4————C分析：根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得x的值.解答：由于//ab，故()4440x

−−=，解得4x=−.故选:C.点拨：本小题主要考查平面向量平行的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.7.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.63+B.623+C.123+D.1223+————D分析：首

先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.解答：由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin6012232S=+=+.故选：D.点

拨：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算

侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．8.执行如图所示程序框图输出的S值为（）A.2021B.1921C.215231D.357506————D分析：根据循环体的运算，可得1111

1324352123S=++++，应用裂项相消法，即可求出结论.解答：由程序框图知，输出11111324352123S=++++111111111111357112324352123222223506

=−+−+−++−=+−−=，故选:D.点拨：本题考查循环结构程序框图运行结果，注意裂项相消法求和的运用，属于中档题.9.函数43()2fxxx=−的图像在点(1(1))f，处的切线方程为（）

A.21yx=−−B.21yx=−+C.23yx=−D.21yx=+————B分析：求得函数()yfx=的导数()fx，计算出()1f和()1f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.解答：()432fxxx=−，()3246fxxx=−，()11f=−

，()12f=−，因此，所求切线的方程为()121yx+=−−，即21yx=−+.故选：B.点拨：本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题10.在5(2)x−的展开式中，2x的系数为（）．A.5−B.5C.10−D.10————C分析：首先写出展开式的通项公式，然后

结合通项公式确定2x的系数即可.解答：()52x−展开式的通项公式为：()()()55215522rrrrrrrTCxCx−−+=−=−，令522r−=可得：1r=，则2x的系数为：()()11522510C−=−=−.故选：C.点

拨：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数

为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．11.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种————C分析：分别安排各场馆的志

愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.解答：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C

C==种.故选：C点拨：本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.12.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b———

—A分析：由题意可得a、b、()0,1c，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由8log5b=，得85b=，结合5458可得出45b，由13log8c=，得138c=，结合45138，可得出45c

，综合可得出a、b、c的大小关系.解答：由题意可知a、b、()0,1c，()222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab

++====，ab；由8log5b=，得85b=，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log8c=，得138c=，由45138，得451313c，5

4c，可得45c.综上所述，abc.故选：A.点拨：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：把答案填写在题中横线上13.若x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy+−−−

+则z=x+7y的最大值为______________.————1分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.解答：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy=+即：1177yxz=−+，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：22010xyxy+−=−−=，可得点A的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值

为：max1701z=+=.故答案为：1．点拨：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时

，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.14.函数23sin2cos2yxx=+的最小正周期为__________.————解答：31cos1sinsin()2262xyxx+=+=++，其周期为.考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质.15.在平面直角

坐标系xOy中，若双曲线22xa﹣25y=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=52x，则该双曲线的离心率是____.————32分析：根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.解答：双曲线22215xya−=，故5b=.由

于双曲线的一条渐近线方程为52yx=，即522baa==，所以22453cab=+=+=，所以双曲线的离心率为32ca=.故答案为：32点拨：本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.16.已知na是公差不为

零的等差数列，且1109aaa+=，则12910aaaa+++=________————278分析：根据已知结合等差数列的通项公式，求出首项1a与公差d的关系，将所求的式子用公差d表示，即可求解.【详解】由条件可知111298adadad+=+=−，()

112951010194...92727988adaaaadaaadd++++====+.故答案为：278点拨：本题考查等差数列通项公式基本量的计算，以及等差数列性质的应用，考查计算求解能力，属于基础题.三

、解答题：简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB===．（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5AD

C=−，求tanDAC的值．————（1）5sin5C=；（2）2tan11DAC=.分析：（1）利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC.（2）根据cosADC的值，求得sinADC的值，由

（1）求得cosC的值，从而求得sin,cosDACDAC的值，进而求得tanDAC的值.解答：（1）由余弦定理得22222cos9223252bacacB=+−=+−=，所以5b=.由正弦定理得sin5sinsinsin5cbcBCCBb==

=.（2）由于4cos5ADC=−，,2ADC，所以23sin1cos5ADCADC=−=.由于,2ADC，所以0,2C，所以225cos1sin

5CC=−=.所以()sinsinDACDAC=−()sinADCC=+sincoscossinADCCADCC=+3254525555525=+−=.由于0,2DAC，所以2115co

s1sin25DACDAC=−=.所以sin2tancos11DACDACDAC==.点拨：本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.18.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1BB的中点．（Ⅰ）求证：1//BC平面1A

DE；（Ⅱ）求直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值．————（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.分析：（Ⅰ）证明出四边形11ABCD为平行四边形，可得出11//BCAD，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）

以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz−，利用空间向量法可计算出直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值.解答：（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCDABCD−中，11//ABA

B且11ABAB=，1111//ABCD且1111ABCD=，11//ABCD且11ABCD=，所以，四边形11ABCD为平行四边形，则11//BCAD，1BC平面1ADE，1AD平面1ADE，1//BC平面1AD

E；（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz−，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则()0,0,0A、()10,0,2A、()12,0,2D

、()0,2,1E，()12,0,2AD=，()0,2,1AE=，设平面1ADE的法向量为(),,nxyz=，由100nADnAE==，得22020xzyz+=+=，令2z=−，则2x=，1y=，则()2,1,2n=−.11142cos,323nAAnAAnAA

==−=−.因此，直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值为23.点拨：本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.19.已知函数2()12fxx=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=的斜率等于

2−的切线方程；（Ⅱ）设曲线()yfx=在点(,())tft处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()St，求()St的最小值．————（Ⅰ）2130xy+−=，（Ⅱ）32.分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的

几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.解答：（Ⅰ）因为()212fxx=−，所以()2fxx=−，设切点为()00,12xx−，则022x−=−，即01x=，所以切点为()1,11，由点斜式可得切

线方程为：()1121yx−=−−，即2130xy+−=.（Ⅱ）显然0t，因为()yfx=在点()2,12tt−处的切线方程为：()()2122yttxt−−=−−，令0x=，得212yt=+，令0y=，得2122txt+=，所以()St=()221121222||ttt++，不妨

设0t(0t时，结果一样)，则()423241441144(24)44ttSttttt++==++，所以()St=4222211443(848)(324)44ttttt+−+−=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44ttttttt−+−++==，

由()0St，得2t，由()0St，得02t，所以()St在()0,2上递减，在()2,+上递增，所以2t=时，()St取得极小值，也是最小值为()16162328S==.点拨：本题考查了利用导数的几何意义求

切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，且过点()2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN⊥，ADMN⊥，D为垂足

．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．————（1）22163xy+=；（2）详见解析.分析：（1）由题意得到关于,,abc的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为ykxm=+,联立直线方程与椭

圆方程，根据已知条件，已得到,mk的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.解答：（1）由题意可得：2222222411caab

abc=+==+，解得：226,3ab==，故椭圆方程为：22163xy+=.(2)设点()()1122,,,MxyNxy，若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：ykxm=+，代入椭圆方程

消去y并整理得：()22212k4260xkmxm+++−=，可得122414kmxxk+=−+，21222614mxxk−=+，因为AMAN⊥，所以·0AMAN=，即()()()()121222110xxyy−−+−

−=，根据1122,kxmykxmy=+=+,代入整理可得：()()()()22121212140xxkmkxxkm++−−++−+=，所以()()()22222264121401414mkmkkmkmkk−++−−−+−+=++，整理化简得()()231210kmkm+++−=，因

为2,1A（）不在直线MN上，所以210km+−，故2310km++=，1k于是MN的方程为2133ykx=−−，1k所以直线过定点直线过定点21,33P−，当直线MN的斜率不存在时，可得()11,Nxy−，由·0AMAN=得：()()()()111122

110xxyy−−+−−−=，得()1221210xy−+−=，结合2211163xy+=可得：2113840xx−+=，解得：123x=，或22x=，当22x=时与A横坐标重合舍去，此时直线MN过点21,33P−，令Q为AP的中点，即41,33Q

，若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故12223DQAP==，若D与P重合，则12DQAP=，故存在点41,33Q，使得DQ为定值.点拨：关键点点睛：本题的关键点是利用AMAN⊥得·0AMAN=，转

化为坐标运算，需要设直线MN的方程，点()()1122,,,MxyNxy，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：ykxm=+，与椭圆方程联立消去y可12xx+，12xx代入·0AMAN=即可，当直线MN的斜率不存在时，可得()11,Nxy−，利用

坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.21.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[

0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公

园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼

的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828————（1）该

市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.分析：（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数

，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.解答：（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为5

10120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100++=（3）

22列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228()2210033837225.8203.84155457030K−=，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的

人次与该市当天的空气质量有关.点拨：本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224cos4s

inxy==，（θ为参数），C2：1,1xttytt=+=−（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.————（1）()1

:404Cxyx+=；222:4Cxy−=；（2）17cos5=.分析：（1）分别消去参数和t即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.解答：（1）由22cossin1+=得1C的普通方程为：()4

04xyx+=；由11xttytt=+=−得：2222221212xttytt=++=+−，两式作差可得2C的普通方程为：224xy−=.（2）由2244xyxy+=−=得：5232xy==，即53,22P；设所

求圆圆心的直角坐标为(),0a，其中0a，则22253022aa−+−=，解得：1710a=，所求圆的半径1710r=，所求圆的直角坐标方程为：22217171010xy−+=，即221

75xyx+=，所求圆的极坐标方程为17cos5=.点拨：本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.23.已知函数()||||fxx

axb=−++，(0,0)ab.（1）当1a=，3b=时，求不等式()6fx的解集；（2）若()fx的最小值为2，求证：11111ab+++.————（1）(4,2)−；（2）证明见解析.分析：（1）利

用零点分界法，分类讨论即可求解.（2）利用绝对值三角不等式可得2ab+=，再利用基本不等式即可求解.解答：（1）依题意|1||3|6xx−++，当1x时，136xx−++，解得2x，即12x，当31x

−时，136xx−++，解得46成立，即31x−，当3x−时，136xx−−−，解得4x−，即43x−−，综上所述，不等式的解集为(4,2)−.（2）()|||||()()|||fxxaxbxaxbaba

b=−++−−+=−−=+，所以2ab+=11111111(11)2111411411baabababab+++=++++=++++++++.当且仅当1ab==时，取等号.点拨：本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，

属于基础题.