【文档说明】北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，694.732 KB，由小赞的店铺上传

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大兴区2023~2024学年度第二学期高二期中检测数学2022.41．本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效

．4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设函数()1fxax=+，若()12f=，则a=（）A.2B.2−C.3D.3−【答案】A【

解析】【分析】利用导数的定义可求a的值.【详解】∵()()()()()00111111limlimxxfxfaxafaxx→→+−++−+===，且()12f=，∴2a=．故选：A．2.已知数列{}na的前n项和21nSn

=+，则数列{}na的通项公式为（）A.1nan=+B.21nan=−C.𝑎𝑛=2𝑛+1D.2,1,21,2nnann==−【答案】D【解析】【分析】当1n=时，求得1a；当2n时，根据1nnnaSS−=−化简得na，再检

验得出通项公式即可.【详解】当1n=时，11112aS==+=；当2n时，121nnnaSSn−=−=−，经验证，12a=不符合上式，所以2,121,2.nnann==−，故选：D.3.已知函数𝑓(𝑥)=�

�2，则0()()limxfx+xfxx→−等于（）A.1B.2C.2xD.2x【答案】D【解析】【分析】利用导数的概念计算即可.【详解】由题意可知()0()()lim2xfx+xfxfxxx→−==.故选：D4.已知数列{}na是等比数列，若1

23232aaa==，，则4a的值为（）A.4−B.2−C.4D.16【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质运算即可.【详解】因为{}na是等比数列，所以1423aaaa=，所以432162a==.故选：D.5.已知函

数()fx在定义域D内导数存在，且0xD，则“()00fx=”是“0x是()fx的极值点”的（）A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先验证充分性，不妨设3()fxx=，在0x=处有(0

)0f=，但()fx为单调递增函数，0x=不是极值点；再验证必要性，即可得结果．【详解】充分性：不妨设3()fxx=，则2()3fxx=，在0x=处有(0)0f=，但是()0fx，()fx为.单调递增函数，在

0x=处不是极值，故充分性不成立．必要性：根据极值点性质可知，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点，因为函数()fx在定义域内可导，所以不存在不可导的点，因此导数为零的点就是极值点，故必要性成立．故选：B6.若数列满足112,0;2{121,1.2nnnnna

aaaa+=−，167a=，则20a的值为A.67B.57C.37D.17【答案】B【解析】【详解】∵167a=，∴215217aa=−=，323217aa=−=，43627aa==，∴545217aa=−=

，653217aa=−=，76627aa==，…，故该数列周期为3，∴20257aa==，故选B7.已知数列na满足1211nnaan+−=−，且110a=，则na的最小值是（）A.15−B.14−C.11−D.0【答案】A【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a，再利用累加法，即可得出

答案.【详解】因为1211nnaan+−=−，所以当5n时，10nnaa+−，当5n时，10nnaa+−，所以12345678aaaaaaaa，显然na的最小值是6a，又1211nnaan+−=−，110a=，则612132435465()()()()()109

753115aaaaaaaaaaaa=+−+−+−+−+−=−−−−−=−，所以na的最小值是15−；故选：A8.如图是函数()32fxxbxcxd=+++的大致图象，则2212xx+等于（）的A.23B.43C.83D.163【答案】C【解析】【分析】函数𝑓(𝑥)表达式中有三个

未知数，将图像与x轴的三个交点代入表达式，可求出函数的表达式，12,xx是函数的两个极值点，通过求导，根据韦达定理得到12,xx的关系式，从而求出2212xx+【详解】由图可得：()()()0120fff===，代入函数表达式得：0

108420dbcdbcd=+++=+++=，解得：320bcd=−==，所以：()3232fxxxx=−+，()'2362fxxx=−+，由图可得，12,xx是函数的两个极值点，令()'0fx=，则𝑥=𝑥1或2xx=

，根据韦达定理得：121222,3xxxx+==，所以()221221221484233xxxxxx=+−+=−=故选：C9.“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为112358，，，，，，，即从该数列的第三项数字开始

，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{}na为“斐波那契数列”，nS为数列{}na的前n项和，若2022Sm=，则2024a=（）A.mB.𝑚+1C.𝑚−1D.21m+【答案】B【解析】【分析】利用斐波那契数列的定义，递推公式计算即可.【详

解】由题意可知：21nnnaaa++=+，所以112332343nnnaaaaaaaaaaaa+++++=++++=+++54652321nnnnnnnaaaaaaaaaaa−−−−=+++=+++==++++112nnnnnnaaaaaa−+

+=++=+=，所以2022202411Sam+==+.故选：B10.已知函数()(ln)fxxxax=−有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A.1,2−B.1,2+C.()01,D.10,2【答案】D【解析】【分析】由题可得()ln12

fxxax=+−．令()ln12gxxax=+−，由函数()(ln)fxxxax=−有两个极值点()0gx=在区间(0,)+上有两个实数根，然后利用导数研究函数的性质进而即得.【详解】因为2()ln(0)fxxxaxx=−，()ln12fxxax=

+−，令()ln12gxxax=+−，函数()(ln)fxxxax=−有两个极值点，则()0gx=区间(0,)+上有两个实数根，又12()axgxx−=，当0a时，()0gx，则函数()gx在区间(0,)+单调递增，因此()0gx=在区间(0,)+上不可能有两

个实数根，舍去，当0a时，令()0gx=，解得12xa=，令()0gx，解得102xa，此时函数()gx单调递增，令()0gx，解得12xa，此时函数()gx单调递减，当12xa=时，函数()gx取得极大值，当x趋近于0与x趋近于+时，()gx→−

，要使()0gx=在区间(0,)+上有两个实数根，则11()ln022gaa=，解得102a，在实数a的取值范围是1(0,)2．故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.9

−和1的等差中项是__________．【答案】4−【解析】【分析】运用等差中项概念性质求解即可.【详解】运用等差中项概念性质知道，9−和1的等差中项是9142−+=−.故答案为：4−．12.已知一个物体在运动过程中，其位移y（单位：m）与时间t（

单位：s）之间的函数关系为2(21)yt=+，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为__________m/s；物体在1s时的瞬时速度为__________m/s．【答案】①.8②.12【解析】【分析】利用平均变化率及瞬时变化率计算即可.【详解】设()2(21)f

tyt==+，由题意可知()()()()221021120181010ffv−+−+===−−，()()221284fttt=+=+，显然1t=时，()112f=.故答案为：8；1213.设nS为等差数列{}na的前n项和，公差为d，若12024190,0,0aSS

=，则d的一个整数值可以为__________．【答案】18−(答案不唯一，满足3802023d−−)【解析】【分析】利用等差数列前项和的基本量计算可求得.【详解】由题意知等差数列前n和公式()112nnnSnad−=+，且20240,0SS，202019

2019002Sd=+，2424232419002Sd=+，解之可得，3802023d−−.故答案为：18−(答案不唯一，满足3802023d−−)14.对于数列{}na，定义数列1{}nnaa+−为数列{}na的“差数列”．若12a=

，数列{}na的“差数列”是首项为2，公比为2的等比数列，则3a=__________；数列{}na的前n项和nS=__________．【答案】①.8②.122n+−【解析】【分析】由题意可得12nnnaa+−=，即可求出3a，再利用累加法求出数列{}na的通项，再根据等比数列的前n项

和公式即可得解.【详解】由题意12nnnaa+−=，则213224,48aaaa=+==+=，当2n时，()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+()11221222222212nnnn

−−−−=++++=+=−，当1n=时，上式也成立，所以2nna=，所以()12122212nnnS+−==−−.故答案为：8；122n+−.15.设函数33,(){2,xxxafxxxa−=−.①若0a=，则()fx的最大值为____________________；②若()

fx无最大值，则实数a的取值范围是_________________.【答案】2(,1)−−【解析】【分析】试题分析：如图，作出函数3()3gxxx=−与直线2yx=−的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A

OB−−，由2'()33gxx=−，知1x=是函数()gx的极小值点，①当0a=时，33,0(){2,0xxxfxxx−=−，由图象可知()fx的最大值是(1)2f−=；②由图象知当1a−时，()fx有最大值(1)

2f−=；只有当1a−时，332aaa−−，()fx无最大值，所以所求a的取值范围是(,1)−−．【考点】分段函数求最值,数形结合【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自

变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨

论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．【详解】三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.设函数()

32398fxxxx=−−+．（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求()fx在区间2,3−上的最大值和最小值．【答案】（1）1290xy+−=（2）最大值为13，最小值为19−.【

解析】【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；(2)利用导数确定函数()fx在区间2,3−上的单调性，进而可得最值.【小问1详解】由题意知，(1)3f=−，即切点为(1,3)−，由已知()2369fxxx=−−，则()112f=−

，所以曲线()fx在点()()1,1f处的切线方程为()3121yx+=−−，即1290xy+−=.故()fx在点()()1,1f处的切线方程为：1290xy+−=【小问2详解】令()0fx，即23690xx−−得1x−或3x，令()0fx，则得13x−

，所以()fx在),,(1)(3,−−+上单调递增，在()1,3−上单调递减，所以()fx的极大值点为1x=−，()113f−=，因为()28121886f−=−−++=,()319f=−,故()fx在区间2,3−上的最大值为13，最小值为19−.17.设nS为等差数列na的

前n项和，39S=，238aa+=．（1）求数列na的通项公式；（2）求nS；（3）若3S，14a，mS成等比数列，求m的值．【答案】（1）21nan=−（2）2nSn=（3）9m＝【解析】【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；

（2）结合等差数列的求和公式即可求解；（3）结合等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解.【小问1详解】∵nS为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，39S=，238aa+=．∴31231339238Sadaaad

=+=+=+=，解得112ad==，∴数列{𝑎𝑛}的通项公式为()11221nann=+−=−．【小问2详解】由（1）知，()()1212122nnnaannSn++−===．【小问3详解】∵3S，14a，mS成等

比数列，∴2314mSSa=，即22927m＝，即281m＝，又因为*mN，解得9m＝.18.已知数列{}na是首项为2的等差数列，数列{𝑏𝑛}是公比为2的等比数列，且数列{}nnab×的前n项和为12nnSn+=．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解

答下列问题：（1）求数列{}na和{𝑏𝑛}的通项公式；（2）求数列{}nc前n项和nT．条件①：nnnacb=；条件②：21lognnncab=；条件③：nnncab=+．注：如果选择多个符合要求的

条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）1nan=+，𝑏𝑛=2𝑛（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式，结合特殊项计算即可求各自通项；（2）若选①，利用错位相减法计算即可，若选②，利用裂项

相消法计算即可，若选③，利用分组求和法计算即可.【小问1详解】由题意，设等差数列{}na的公差为d，则112(1)2nnnandbb−=+−=，，当1n=时，211112124Sabb====，解得12b=，所以1222nnnb−==，的当2n=时，322216S=

=，即11224(2)416ababd+=++=，解得𝑑=1，所以1nan=+；【小问2详解】若选择条件①由（1）可得，12nnnnancb+==，则12312323412222nnnnTcccc+=++++=++++，2341123412

2222nnnT++=++++，两式相减，可得1234112111112222222nnnnT++=+++++−1111(1)14211212nnn−+−+=+−−13322nn++=−所以332nnnT+=−．若选择条件②由（1）可得，2111

1log(1)1nnncabnnnn===−++，则12311111111223341nnTccccnn=++++=−+−+−++−+1111nnn=−=++所以1nnTn=+．若选择条件③由（1

）可得，12nnnncabn=+=++，则12312322324212nnnTccccn=++++=+++++++++123(2341)(2222)nn=++++++++++(21)2(12)212nnn++−=+−2132222nnn+=++

−所以2132222nnnTn+=++−．19已知函数()1e−=xxfx.（1）求函数()fx的极值；（2）若函数()()4gxfx=−，求证：当2x时，𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥).【答案】（1）极大值()2

12ef=，无极小值．（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；（2）()()()43e1exxxxFxfxgx−−−=−=−令，求出其导函数利用导函数的值来判断其在(2,)+上的单调性，进而证得结论．

【小问1详解】解：e1()xxfx−=，e2()xxfx−=．令()0fx=，解得2x=．x(,2)−2(2,)+()fx+0−()fx单调递增极大值单调递减∴𝑓(𝑥)在(,2)−内是增函数，在(2,)+内是减函数．当2x=时，

()fx取得极大值()212ef=，无极小值．【小问2详解】证明：43e()(4)xxgxfx−−=−=，()()()43e1exxxxFxfxgx−−−=−=−令，.424422(e2)()eee)(exxxxxxxFx−+−−−−=−

=．当2x时，20x−，24x，从而42ee0x−，()0Fx，()Fx在(2,)+是增函数．()()221120eeFxF=−=，即当2x时，𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)．20.某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置

了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%（1）设第n年该生产线的维护费用

为na,求na的表达式;（2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?【答案】（1）；（2）9【解析】【详解】（1）当时，数列是首项为4，公差为2的等差数列，，当时，数列是首项为，公比为的等

比数列，又，的表达式为设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，由，该生产线前年每年平均的维护费用当时，为递增数列，当时，，也为递增数列，又，，.则第9年初需要更新该生产线.21.已知函数()ln(1)sinfxxxx=−+−．（1

）求函数()fx在区间[0,]上的最大值；（2）求函数()fx零点的个数．【答案】（1）ln(1)−+（2）有2个零点【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断函数在[0,]上的单调性，即可求得答案；（2）分区间讨论，结合函数的导数，判断函数的单调性，结合零点存在定理以

及函数值的正负情况，即可判断出答案.【小问1详解】∵()ln(1)sinfxxxx=−+−，∴1()1cos1fxxx=−−+，令1()1cos1xxx=−−+，则21()sin(1)xxx=++，∵[0,π]x，∴21()sin0(1

)xxx=++，∴()fx在[0,]上单调递增，又(0)11cos010f=−−=−，11()1cos2011f=−−=−++，故存在唯一0(0,π)x，使得()00fx=，则00xx时，()0fx，()fx在0(0,)x上单调递减，0πxx

时，()0fx，()fx在0(,)x上单调递增，故()0fx为()fx在[0,]上的极小值，又(0)0f=，2()ln(1)lne20f=−+−=−，则()00fx，故函数()fx在区间[0,]上的最大值为ln(1)−+.【小问2详解】函数(

)fx的定义域是(−1,+∞)，1()1cos1fxxx=−−+，①当(1,0]x−时，∵111x+，cos𝑥>0，∴()1cos01xfxxx=−−+，∴()fx在(1,0]−上单调递减，又(0)0f=，∴()0fx，故此时()fx的零点为0x=；②当[0,π]x时

，由（1）知，(0)0f=，()00fx，()0f，且()fx在0(0,)x上单调递减，()fx在0(,)x上单调递增，故函数()fx在区间0(,)x有唯一零点，也即在(0,π]上有唯一零点；③当(,)x+时，

令()ln(1)gxxx=−+，(,)x+，则1()1011xgxxx=−=++，∴()gx在(,)+上单调递增，∴2()()ln(1)lne21gxg=−+−=−，又sin1

x，故对任意(,)x+，都有𝑓(𝑥)>0，∴函数()fx在区间(,)+上没有零点，综上，函数()fx有且仅有2个零点．【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及函数的单调性、极值以及零点问题，解答的难点在于零点个数的判断，解答时要能结合导数判断函数的单调

性以及函数值情况进行判断.