【文档说明】河南省2020届高三普通高等学校招生模拟考试理科数学试题【精准解析】.doc，共(24)页，1.972 MB，由小赞的店铺上传

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河南省2020年普通髙等学校招生模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答

题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|2,0}xAyyx==，2{|log(2)}Bxyx

==−，则()RAB=ðA.[0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,)+【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：()1A=+，，()2B=+，∴(,

2RB=−ð,∴()(1,2RAB=ð,故选C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数z满足(13)1izi+=+，则复平面内与复数z对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分

析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由()131izi+=+，得()()()()()1131313113131344131313iiiiziiii+−++−++−====++++−，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（134+，134

−），在第四象限．故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数44()sincosfxxx=−，则下列说法正确的是A.()fx的最小正周期为2B.()fx的最大值为2C.()fx的图像关于y轴

对称D.()fx在区间[,]42上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最

小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[4，2]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[4，2]上单调递增．故

选C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段A

B＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝12AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点

．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（）（参考数据：52.236）A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可得：AC＝52.236，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得概率约为1.2

360.7642−＝0.236．【详解】由勾股定理可得：AC＝52.236，由图可知：BC＝CD＝1，AD＝AE＝51−≈1.236，BE≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得：使得BE≤AF≤A

E的概率约为＝1.2360.7642−=0.236，故选A．【点睛】本题考查了勾股定理、几何概型求概率的问题，属于基础题．5.已知等比数列{}na中，有31174aaa=，数列{}nb是等差数列，其前n项和为nS，且77ba=，则13

S=（）A.26B.52C.78D.104【答案】B【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，利用等比性质可得2774aa=，即77ba=，再结合13713Sb=，即可得到结果.【详解】设等比数列na的公比为q，∵31174aaa=，∴2774aa=≠

0，解得7a＝4，数列nb是等差数列，且77ba=．∴()1131377131313522bbSba+====故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知两条直线,ab和平面，若b，则//ab是//a的

（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】【分析】先判断////aba与////aab的真假，然后利用充要条件的定义，得到//ab与//a的关系．【详解】当b时，若//ab时，a与的关系可能是//a，也可能是a

，即//a不一定成立，故////aba为假命题；若//a时，a与b的关系可能是//ab，也可能是a与b异面，即//ab不一定成立，故////aab也为假命题；故//ab是//a的既不充

分又不必要条件故选：D【点睛】本题考查充要条件、直线与平面平行关系的判断，求解的关键是先判断////aba与////aab的真假.7.已知函数123,2,()log(1),2,xexfxxx−=−若()1fa，则a的取值范

围是A.[1,2)B.[1,)+C.[2,)+D.(,2][1,)−−+【答案】B【解析】【分析】依题意，对a分a2,与a2讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵()()123,2,log1,2

,xexfxxx−=−，()1fa∴121aae−或()232log11aa−即210aa−或2213aa−即1a2a2或∴a的取值范围是)1,+故选B【点睛】本题考查

分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若x，y满足约束条件22,2,20,xyyxx+−−则2yx+的取值范围为A.1[,1]2−B.1(,][1,)2−−+C.[0,1

]D.1[,1]2【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件22220xyyxx+−−的可行域如图：△ABC，2yx+表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组222xxy=

+=可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：21222−=−+，当直线经过点A时，M取最大值422=+1．则2yx+的取值范围：[12−，1]．故选A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域

；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.[2019·开封一模]已知数列{}na中，112a=，111nnaa+=−，利用下面程序框

图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A.2012nB.2015nC.2017nD.2018n【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A

的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A12=，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝11122−=

，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构

流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控

制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知ABC中，60A=，6AB=，4AC=，O为ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC==.设AOABAC=+，则+的值为（）A.2B

.1C.1118D.711【答案】C【解析】【分析】由由OAOBOC==，得：点O是ABC的外心，由向量的投影的概念可得：·18·8AOABAOAC==，再代入运算623342+=+=，即可【详解】解：由OAO

BOC==，得：点O是ABC的外心，又外心是中垂线的交点，则有：·18·8AOABAOAC==，即()?18()?8ABACABABACAC+=+=，又6AB=，4AC=，12ABA

C=，所以623342+=+=，解得：4916==，即41119618+=+=，故选：C．【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.11.已知P是双曲线

22221(0,0)xyabab−=上一点，且在x轴上方，1F，2F分别是双曲线的左、右焦点，12||12FF=，直线2PF的斜率为43−，12PFF的面积为243，则双曲线的离心率为A.3B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】利用三角

形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线2222xyab−=1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为243，可得P的纵坐标y为：112

2432y=，y＝43．直线PF2的斜率为﹣43，所以P的横坐标x满足：436yx=−−，解得x＝5，则P（5，43），|PF1|22(56)(430)=++−=13，|PF2|22(56)(430)=−+−=7，所以2a＝13﹣7，a＝3

，所以双曲线的离心率为：eca==2．故选B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得,ac的值，直接代入公式cea=求解；（2）列出关于,,abc的齐次方程(或不等式)，然后根据222bac=−，消去b后转化成关于e的方程(或不等式)求解．12.已

知A，B，C为球O的球面上的三个定点，60ABC=，2AC=，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为1V，三棱锥O一ABC的体积为2V，若12VV的最大值为3，则球O的表面积为()A.169B.649C.32D.6【答案】B【解析】【分析】设ABC的外接圆圆心为'O，其

半径为r，球O的半径为R，且'OOd=，根据体积比求得2Rd=，利用球的性质，得23Rr=，再由三角形的性质，求得23r=，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，设ABC的外接圆圆心为'O，其半径为r，球O的半径为R，且'OOd=依题意可知12max3VRdVd+==

，即2Rd=，显然222Rdr=+，故23Rr=，又由42sin3ACrABC==，故23r=，∴球O的表面积为221664439Rr==，故选B.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结

构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎

、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意,则选法有________种．【答案】50【解析】【分析】先分情况甲选牛共有112

1020CC=,甲选马有1131030CC=,得出结果若【详解】解:先分类,若甲同学选了牛,则乙同学有2种选法,丙同学有10种选法,共有1121020CC=种选法；若甲同学选了马,则乙同学有3种选法,丙同学有10种

选法,共有1131030CC=种选法．故三位同学的选法共有203050+=（种）【点睛】本题主要考查了排列组合,分情况选择是解题的关键,属于基础题.14.已知正数,xy满足221xy+=，则当x=________时，

11xy+取得最小值，最小值为________．【答案】(1).22(2).22【解析】【分析】先根据基本不等式得222xyxy+,结合221xy+=得12xy,再由基本不等式得111222xyxy+,最后检验22xy==时成立即可.【详解】解:由基本不等式可得222xyx

y+,当且仅当xy=时等号成立．正数,xy满足221xy+=,12xy,当且仅当22xy==时等号成立．111222xyxy+,当且仅当22xy==时等号成立,11xy+的最小值为22．故答案为:(1).22(2).2

2【点睛】本题考查基本不等式,要注意”一定二正三相等”.15.已知函数()fx是定义域为(,)−+的偶函数，且(1)fx−为奇函数，当[0,1]x时，3()1fxx=−，则29()2f=__．【答案】78−【解析】【

分析】先由题意，()fx是定义域为(),−+的偶函数，且()1fx−为奇函数，利用函数的奇偶性推出()fx的周期4T=，可得291()()22ff=−，然后带入求得结果.【详解】因为()1fx−为奇函数，所以(1)(1)(2)()fxfxfxfx−−=−−−−=−又因为()

fx是定义域为(),−+的偶函数，所以()()fxfx−=即(2)()(2)()fxfxfxfx−−=−−−=−所以()fx的周期4T=因为295551()(12)()(2)()22222fffff=+

==−−=−2117()1()228f=−=所以297()28f=−故答案为78−【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.已知点E在y轴上，点F是抛物线22(0)ypxp=的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段E

F的中点，且|12|NF=，则p=__________．【答案】8【解析】【分析】设()0,Eb，又,02pF，由M为EF的中点，求得()0,2Ep，直线EF的方程代入22ypx=，得22450xpxp−+=，求得点N的横

坐标，利用抛物线的定义，即可求解．【详解】设()0,Eb，又,02pF，因为M为EF的中点，所以点M的坐标为,4py，则22242ppyp==，即2,42pMp，又由0222bp+=，则2bp=，即()0,2Ep，直线

EF的方程为222yxp=−+，代入22ypx=，得22450xpxp−+=，设(),Nxy，则544pxp+=，解得xp=，由抛物线的定义得：122pNFp=+=，解得：8p=．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的

应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知ABC的面积为33，且内角、、ABC依次成等差数列.（1）若sin3sinCA=，求边AC的长；（2）设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值.【

答案】（1）27（2）3.【解析】【分析】（1）由题意可得60B=，结合面积公式得12ac=.利用正弦定理角化边，据此可得a,c的值，最后由余弦定理可得AC的长.（2）由题意可得()12BDBCBA=+，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得BD长的最小值.【详解】（1）ABC三内

角ABC、、依次成等差数列，60B=设ABC、、所对的边分别为,,abc,由1332SacsinB==可得12ac=.3sinCsinA=，由正弦定理知3,2,6caac===.ABC中，由余弦定理可得222228,27bacaccosBb=+

−==.即AC的长为27（2）BD是AC边上的中线，()12BDBCBA=+()()()222222211122444BDBCBABCBAacaccosBacac=++=++=++()1294acac+=，当且仅当ac=时取“=”3BD,即BD长的最小值为3.【点睛】

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.如图,在三棱锥ABCD−中,ABC是等边三角形,90B

ADBCD==,点P是AC的中点,连接,BPDP．（1）证明:平面ACD⊥平面BDP;（2）若6BD=,且二面角ABDC−−为120,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22

【解析】【分析】（1）由ABC是等边三角形,90BADBCD==,得ADCD=．再证明PDAC⊥,PBAC⊥,从而和证明AC⊥平面PBD,故平面ACD⊥平面BDP得证．（2）作CEBD⊥,垂足为E连接AE．由RtRtABDCBD,证得,A

EBD⊥,AECE=结合二面角ABDC−−为120,可得2AB=,233AE=,63ED=.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D,3,0,13A−,向量36,,133AD=−,即平面BCD的一个法向量(0,0,1)m=,

运用公式cos,mADmADmAD=和sincos,mAD=,即可得出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC是等边三角形,90BADBCD==,所以RtRtABDCBD,可得ADCD=．因为点P是AC的中点,则PDAC⊥,PBAC⊥,因为PDPB

P=,PD平面PBD,PB平面PBD,所以AC⊥平面PBD,因为AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDP．（2）如图,作CEBD⊥,垂足为E连接AE．因为RtRtABDCBD,所以,AEBD⊥

,AECE=AEC为二面角A-BD-C的平面角．由已知二面角ABDC−−为120,知120AEC=．在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得3ACAE=．因为ABC是等边三角形,则ACAB=,所以3A

BAE=．在Rt△ABD中,有1122AEBDABAD=,得3BDAD=,因为6BD=,所以2AD=．又222BDABAD=+,所以2AB=．则233AE=,63ED=．以E为坐标原点,以向量,ECED的方向分别为x轴,y轴的正方向,以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E

xyz−,则60,,03D,3,0,13A−,向量36,,133AD=−,平面BCD的一个法向量为(0,0,1)m=,设直线AD与平面BCD所成的角为,则12cos,221mA

DmADmAD−===−,2sin|cos,|2mAD==所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为22．【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.19.已知椭圆2222:1(0)xy

Cabab+=的离心率为32，短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线:lykxm=+与椭圆C交于,MN两点，O为坐标原点，若54OMONkk=，求证：点(,)mk在定圆上.【答案】（1）椭圆C的标准方程为2214xy+=（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得32cea

==，221bb==，2a=椭圆C为2214xy+=；（2）由2214ykxmxy=++=()222418440kxkmxm+++−=2241mk+①，且12xx+21222844,4141kmmxxkk−=−=++()22121212yykxxkmxxm=+++，又12121

212554544OMONyykkyyxxxx===()221212124445kxxkmxxmxx+++=()()22451km−−−()22228410kmmk++=2254mk+=②，由①②得2261

50,5204mk点(),mk在定圆2254xy+=上.试题解析：（1）设焦距为2c，由已知32cea==，22b=，∴1b=，2a=，∴椭圆C的标准方程为2214xy+=.（2）设()()1122,,,MxyNxy，联立2214ykxmxy=++=

得()222418440kxkmxm+++−=，依题意，()()()2228441440kmkm=−+−，化简得2241mk+，①2121222844,4141kmmxxxxkk−+=−=++，()()()221212

1212yykxmkxmkxxkmxxm=++=+++，若54OMONkk=，则121254yyxx=，即121245yyxx=，∴()221212124445kxxkmxxmxx+++=，∴()()22222418454404141mkmkkmmkk−−+−+=

++，即()()()2222224518410kmkmmk−−−++=，化简得2254mk+=，②由①②得226150,5204mk.∴点(),mk在定圆2254xy+=上.（没有求k范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭

圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为2214xy+=；（2）设而不求

法求得2214ykxmxy=++=()222418440kxkmxm+++−=2241mk+①，再利用韦达定理转化得()22228410kmmk++=2254mk+=②，由①②得226150,5204mk点

(),mk在定圆2254xy+=上.20.已知函数()ln1xfxmex=−−.（1）当1m=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若(1,)m+，求证：()1fx.【答案】（1）(1)yex=−；（

2）见解析【解析】【分析】（1）代入1m=,可得()yfx=的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,由点斜式即可求得切线方程.（2）根据放缩法,由1m>得()ln1ln1xxfxmexex−−−=−.从而证明ln20xex−−

即可.构造函数()lnxgxex=−,通过求得导函数1()xgxex=−,再令1()xhxex=−,求得21()0xhxex=+.即可判断1()xhxex=−的单调性,进而求得1()xgxex=−的零点

所在区间,并判断出该零点为()lnxgxex=−的极小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成立.【详解】（1）当1m=时,()ln1xfxex=−−所以1()xfxex=−所以(1)1fe=−,又因为(1)1fe=−,即点坐标为(1,1)e−所以曲线(

)yfx=在点(1,1)e−处的切线方程为(1)(1)(1)yeex−−=−−即(1)yex=−（2）证明：当1m>时,()ln1ln1xxfxmexex−−−=−,要证明()1fx,只需证明ln20xex−−,设()lnxgxex=−,则1()xgxex=−,

设1()xhxex=−,则21()0xhxex=+,所以函数1()()xhxgxex==−在(0,)+上单调递增,因为121202ge=−,(1)10ge=−,所以函数1()xgxex=−在(0,)+上有唯一零点0x,且01,12x,因为()00gx

=,所以001xex=,即00lnxx=−,当()00,xx时,()0gx；当()0,xx+时,()0gx,所以当0xx=时,()gx取得最小值()0gx,故()000001()=eln220xgxgxxxx−−=+−,01,12x综上可知,若(1,

)m+,()1fx.【点睛】本题考查了利用导数求切线方程,由导数证明不等式成立.根据导数判断函数的单调性和极值,函数的最值及零点的综合应用,对思维能力要求较高,是高考的常考点和重难点,属于难题.21.2019

年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者

有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为()01pp，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为()0XXa

，假设每位密切接触者不再接触其他患者.（1）求一天内被感染人数为X的概率()PX与a、p的关系式和X的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播

的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为)2(nEn.（i）求数列nE的通项公式，并证明数列nE为等比数列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病

概率()ln123ppp=+−，当p取最大值时，计算此时p所对应的6E值和此时p对应的6E值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取10a=）（结果保留整数，参考数据：12ln51.6,ln31.

1,ln20.7,0.3,0.733）【答案】（1）()(1)XXaXaPXCpp−=−；EXap=.（2）（i）2(1)nnEapap−=+，证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.【解析】【分析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：~

(,)XBap，则可求出概率及数学期望；（2）（i）根据第n天被感染人数为1(1)nap−+，及第1n−天被感染人数为2(1)nap−+，作差可得可得，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap−−−=+−+=+，可证，（ii）利用导数计算此时

p所对应的6E值和此时p对应的6E值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.【详解】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)XBap，则()(1)XXaXaPXCpp−=−,(0)Xa，X的数学期望EXap=.（2）（i）第n天被感染人数为

1(1)nap−+，第1n−天被感染人数为2(1)nap−+，由题目中均值的定义可知，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap−−−=+−+=+则11nnEapE−=+，且2Eap=.{}nE∴是以ap为首

项，1ap+为公比的等比数列.（ii）令2()ln(1)3fppp=+−，则1221()133(1)pfppp−+=−=++.()fp∴在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2上单调递减.max1311()()lnln3ln21.10.70.30.12233fpf==−=−−−

−=.则当10a=，210(110)nnEpp−=+.46100.1(1100.1)=16E=+.46100.5(1100.5)=6480E=+.66EE戴口罩很有必要.【点睛】本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力

，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在极坐标系中,直线l的极坐标方程为3=()R．以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为2sin1cos2xy==−,（为参数）．（

1）请写出直线l的参数方程;（2）求直线l与曲线C交点P的直角坐标．【答案】（1）直线l的参数方程为1232xtyt==（t为参数）；（2）()0,0.【解析】【分析】（1）将直线l的极坐标方程直接转化为直角坐标防尘,再根据直角坐标方程得出参数方程.（2）将曲线C的参数方程化为直角坐

标方程,与直线联立求出交点坐标,再根据的取值范围选取符合条件的P点坐标。【详解】解:（1）因为直线l的极坐标方程为3=()R,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,则直线l的直角坐标方程为3yx=①所以3sin2=,1cos2=,则直线l的参数方

程为1232xtyt==（t为参数）.（2）又因为曲线C的参数方程为2sin1cos2xy==−,（为参数）.所以22sin2sinxy==,则曲线C的直角坐标方程为()21,2

,22yxx=−②,联立①②解方程组得00xy==或236xy==,根据x的取值范围,舍去236xy==.故点P的直角坐标为()0,0.【点睛】本题主要考查参数的方程的计算,以及直角坐标与极坐标的转化运算。23.

回答下面问题（1）已知,xyR,且1||6xy+,1||4xy−,求证：|5|1xy+．（2）已知实数,,,,abcde满足8abcde++++=,2222216abcde++++=,试确定e的最大值．【答案】（1）见解析（2）最大值165

．【解析】【分析】（1）利用|5||3()2()|xyxyxy+=+−−,再利用绝对值不等式的性质即可得出结论.（2）根据柯西不等式,构造出()()2222222221111()abcdabcd+++++++++,结合已知条件建立关于e的二次不

等式,解之即可得到实数e的最大值【详解】解:（1）证明:因为|5||3()2()|xyxyxy+=+−−,所以|5||3()2()||3()||2()|xyxyxyxyxy+=+−−++−113||2||32164xyxy=++−+=,

即|5|1xy+．（2）由已知得22222816abcdeabcde+++=−+++=−,由柯西不等式知()()2222222221111()abcdabcd+++++++++,故()22416(8

)ee−−,解得1605e,当且仅当65abcd====时,e取得最大值165．【点睛】考查绝对值不等式的性质和利用柯西不等式求最值,另外要注意柯西不等式的应用条件.