【文档说明】【精准解析】河南省2020届高三普通高等学校招生模拟考试理科数学试题.doc，共(24)页，1.972 MB，由小赞的店铺上传

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河南省2020年普通髙等学校招生模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号

．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|2,0}xAyy

x==，2{|log(2)}Bxyx==−，则()RAB=ðA.[0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,)+【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：()1A=+，，()2B=+，∴(,

2RB=−ð,∴()(1,2RAB=ð,故选C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数z满足(13)1izi+=+，则复平面内与复数z对应的点

在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由()131izi+=+，得()()()()()1131313113131344131313iiiiziiii+−++−++−=

===++++−，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（134+，134−），在第四象限．故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数44()sincosfxxx=−，则下列说法正确的是A.(

)fx的最小正周期为2B.()fx的最大值为2C.()fx的图像关于y轴对称D.()fx在区间[,]42上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣c

os2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[4，2]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[4，2]上单调递增．故选C．【点睛】本题考查余

弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线

上截取BC＝12AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（）（参考数据：52.236

）A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可得：AC＝52.236，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得概率约为1.2360.7642−＝0.236．【详解】由勾股定理可得：AC＝52.236，由图可知

：BC＝CD＝1，AD＝AE＝51−≈1.236，BE≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为＝1.2360.7642−=0.236，故选A．【点睛】本题考查了勾股定

理、几何概型求概率的问题，属于基础题．5.已知等比数列{}na中，有31174aaa=，数列{}nb是等差数列，其前n项和为nS，且77ba=，则13S=（）A.26B.52C.78D.104【答案】B【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，利用等比性质可得2774aa=，即77ba=

，再结合13713Sb=，即可得到结果.【详解】设等比数列na的公比为q，∵31174aaa=，∴2774aa=≠0，解得7a＝4，数列nb是等差数列，且77ba=．∴()1131377131313522bbSba+====故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等

差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知两条直线,ab和平面，若b，则//ab是//a的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】【分析】先判断/

///aba与////aab的真假，然后利用充要条件的定义，得到//ab与//a的关系．【详解】当b时，若//ab时，a与的关系可能是//a，也可能是a，即//a不一定成立，故////aba为假命题；若//a时，a与b的关系可能

是//ab，也可能是a与b异面，即//ab不一定成立，故////aab也为假命题；故//ab是//a的既不充分又不必要条件故选：D【点睛】本题考查充要条件、直线与平面平行关系的判断，求解的关键是先判断////aba

与////aab的真假.7.已知函数123,2,()log(1),2,xexfxxx−=−若()1fa，则a的取值范围是A.[1,2)B.[1,)+C.[2,)+D.(,2][1,)−−+【答案】B【解析】【分析】依

题意，对a分a2,与a2讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵()()123,2,log1,2,xexfxxx−=−，()1fa∴121aae−或()232log11aa−即21

0aa−或2213aa−即1a2a2或∴a的取值范围是)1,+故选B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若x，y满足约束条件22,2,20,xyyxx+−

−则2yx+的取值范围为A.1[,1]2−B.1(,][1,)2−−+C.[0,1]D.1[,1]2【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解

】作出x，y满足约束条件22220xyyxx+−−的可行域如图：△ABC，2yx+表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组222xxy=+=可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线

经过点B时，M取最小值：21222−=−+，当直线经过点A时，M取最大值422=+1．则2yx+的取值范围：[12−，1]．故选A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，

要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.[2019·开封一模]已知数列{}na中，112a=，111nnaa+=−，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可

能是（）A.2012nB.2015nC.2017nD.2018n【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后

输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A12=，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；

第3次循环，A＝11122−=，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构

流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试

题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知ABC中，60A=，6AB=，4AC=，O为ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC==.设AOABAC=+，则+的值为（）A.2B.1C.1118D.711【答案】C【解析】【分析】由由OAOBOC

==，得：点O是ABC的外心，由向量的投影的概念可得：·18·8AOABAOAC==，再代入运算623342+=+=，即可【详解】解：由OAOBOC==，得：点O是ABC的外心，又外心是中垂线的交点，则有：·18·8AOABAOAC==，即()?18()?

8ABACABABACAC+=+=，又6AB=，4AC=，12ABAC=，所以623342+=+=，解得：4916==，即41119618+=+=，故选：C．【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念

，平面向量的数量积公式，属中档题.11.已知P是双曲线22221(0,0)xyabab−=上一点，且在x轴上方，1F，2F分别是双曲线的左、右焦点，12||12FF=，直线2PF的斜率为43−，12PFF

的面积为243，则双曲线的离心率为A.3B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线2222xyab−=1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上

方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为243，可得P的纵坐标y为：1122432y=，y＝43．直线PF2的斜率为﹣43，所以P的横坐标x满足：436y

x=−−，解得x＝5，则P（5，43），|PF1|22(56)(430)=++−=13，|PF2|22(56)(430)=−+−=7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：eca==2．故选B．【点睛】求离心率的常用

方法有以下两种：（1）求得,ac的值，直接代入公式cea=求解；（2）列出关于,,abc的齐次方程(或不等式)，然后根据222bac=−，消去b后转化成关于e的方程(或不等式)求解．12.已知A，B，C为球O的球

面上的三个定点，60ABC=，2AC=，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为1V，三棱锥O一ABC的体积为2V，若12VV的最大值为3，则球O的表面积为()A.169B.649C.32

D.6【答案】B【解析】【分析】设ABC的外接圆圆心为'O，其半径为r，球O的半径为R，且'OOd=，根据体积比求得2Rd=，利用球的性质，得23Rr=，再由三角形的性质，求得23r=，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，设ABC的外接圆圆心为'O，其半径为r，球O的半径为R，且'

OOd=依题意可知12max3VRdVd+==，即2Rd=，显然222Rdr=+，故23Rr=，又由42sin3ACrABC==，故23r=，∴球O的表面积为221664439Rr==，故选B.【点睛】本

题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动

物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意,则选

法有________种．【答案】50【解析】【分析】先分情况甲选牛共有1121020CC=,甲选马有1131030CC=,得出结果若【详解】解:先分类,若甲同学选了牛,则乙同学有2种选法,丙同学有10种选法,共有1121020CC=种选法；若甲

同学选了马,则乙同学有3种选法,丙同学有10种选法,共有1131030CC=种选法．故三位同学的选法共有203050+=（种）【点睛】本题主要考查了排列组合,分情况选择是解题的关键,属于基础题.14.已知正数,xy满足221xy+=，则当x=________时，11x

y+取得最小值，最小值为________．【答案】(1).22(2).22【解析】【分析】先根据基本不等式得222xyxy+,结合221xy+=得12xy,再由基本不等式得111222xyxy+,最后检验2

2xy==时成立即可.【详解】解:由基本不等式可得222xyxy+,当且仅当xy=时等号成立．正数,xy满足221xy+=,12xy,当且仅当22xy==时等号成立．111222xyxy+,当且仅当22xy==时等号成

立,11xy+的最小值为22．故答案为:(1).22(2).22【点睛】本题考查基本不等式,要注意”一定二正三相等”.15.已知函数()fx是定义域为(,)−+的偶函数，且(1)fx−为奇函数，当[0,1]x时，3()1fxx=−，则29()2f=__．【答案】78−【解析

】【分析】先由题意，()fx是定义域为(),−+的偶函数，且()1fx−为奇函数，利用函数的奇偶性推出()fx的周期4T=，可得291()()22ff=−，然后带入求得结果.【详解】因为()1fx−为奇函数，所以(1)(1)(2)()

fxfxfxfx−−=−−−−=−又因为()fx是定义域为(),−+的偶函数，所以()()fxfx−=即(2)()(2)()fxfxfxfx−−=−−−=−所以()fx的周期4T=因为295551()(12)()(2)()22222fffff=+==−−=−

2117()1()228f=−=所以297()28f=−故答案为78−【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.已知点E在y轴上，点F是抛物线22(0)ypxp=的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|12|N

F=，则p=__________．【答案】8【解析】【分析】设()0,Eb，又,02pF，由M为EF的中点，求得()0,2Ep，直线EF的方程代入22ypx=，得22450xpxp−+=，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义

，即可求解．【详解】设()0,Eb，又,02pF，因为M为EF的中点，所以点M的坐标为,4py，则22242ppyp==，即2,42pMp，又由0222bp+=，则2bp

=，即()0,2Ep，直线EF的方程为222yxp=−+，代入22ypx=，得22450xpxp−+=，设(),Nxy，则544pxp+=，解得xp=，由抛物线的定义得：122pNFp=+=，解得：8p=．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置

关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作

答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知ABC的面积为33，且内角、、ABC依次成等差数列.（1）若sin3sinCA=，求边AC的长；（2）设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值.【答案】（1）27（2）3.【解析】【分析

】（1）由题意可得60B=，结合面积公式得12ac=.利用正弦定理角化边，据此可得a,c的值，最后由余弦定理可得AC的长.（2）由题意可得()12BDBCBA=+，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得BD长的最小值.【详解】（1）ABC三内角ABC、、依次成等差数列，60B=设A

BC、、所对的边分别为,,abc,由1332SacsinB==可得12ac=.3sinCsinA=，由正弦定理知3,2,6caac===.ABC中，由余弦定理可得222228,27bacaccos

Bb=+−==.即AC的长为27（2）BD是AC边上的中线，()12BDBCBA=+()()()222222211122444BDBCBABCBAacaccosBacac=++=++=++()1294acac+=，当且仅当ac=时取“=”3BD,即BD长的

最小值为3.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.如图,在三棱锥ABCD−中,ABC是等边三角

形,90BADBCD==,点P是AC的中点,连接,BPDP．（1）证明:平面ACD⊥平面BDP;（2）若6BD=,且二面角ABDC−−为120,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22【解析】【分析】（1）由ABC是等

边三角形,90BADBCD==,得ADCD=．再证明PDAC⊥,PBAC⊥,从而和证明AC⊥平面PBD,故平面ACD⊥平面BDP得证．（2）作CEBD⊥,垂足为E连接AE．由RtRtABDCBD,证得,AEBD⊥,AECE=结合二面角ABDC−−为120,

可得2AB=,233AE=,63ED=.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D,3,0,13A−,向量36,,133AD=−,即平面BCD的一个法向量

(0,0,1)m=,运用公式cos,mADmADmAD=和sincos,mAD=,即可得出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC是等边三角形,90BADBCD

==,所以RtRtABDCBD,可得ADCD=．因为点P是AC的中点,则PDAC⊥,PBAC⊥,因为PDPBP=,PD平面PBD,PB平面PBD,所以AC⊥平面PBD,因为AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDP．（2）如图,作CEBD⊥,垂足为E连接AE．因为R

tRtABDCBD,所以,AEBD⊥,AECE=AEC为二面角A-BD-C的平面角．由已知二面角ABDC−−为120,知120AEC=．在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得3ACAE=．因为ABC是等边三角形,则ACAB=,所

以3ABAE=．在Rt△ABD中,有1122AEBDABAD=,得3BDAD=,因为6BD=,所以2AD=．又222BDABAD=+,所以2AB=．则233AE=,63ED=．以E为坐标原点,以向量,ECED的方向分别为x轴,y轴的正方向,以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标

系Exyz−,则60,,03D,3,0,13A−,向量36,,133AD=−,平面BCD的一个法向量为(0,0,1)m=,设直线AD与平面BCD所成的角为,则12cos,221mADmADmAD−===

−,2sin|cos,|2mAD==所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为22．【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.19.已知椭圆2222:1

(0)xyCabab+=的离心率为32，短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线:lykxm=+与椭圆C交于,MN两点，O为坐标原点，若54OMONkk=，求证：点(,)mk在定圆上.【答案】（1）椭圆C的标准方程为2214xy+=（2）证明见解析【解析】试题

分析：（1）由已知可得32cea==，221bb==，2a=椭圆C为2214xy+=；（2）由2214ykxmxy=++=()222418440kxkmxm+++−=2241mk+①，且12xx+212

22844,4141kmmxxkk−=−=++()22121212yykxxkmxxm=+++，又12121212554544OMONyykkyyxxxx===()221212124445kxxkmxxmxx+++=

()()22451km−−−()22228410kmmk++=2254mk+=②，由①②得226150,5204mk点(),mk在定圆2254xy+=上.试题解析：（1）设焦距为2c，由已

知32cea==，22b=，∴1b=，2a=，∴椭圆C的标准方程为2214xy+=.（2）设()()1122,,,MxyNxy，联立2214ykxmxy=++=得()222418440kxkmxm+++−=，依题意，()()()2228441440kmkm=−+−，化简得2241m

k+，①2121222844,4141kmmxxxxkk−+=−=++，()()()2212121212yykxmkxmkxxkmxxm=++=+++，若54OMONkk=，则121254yyxx=，即121245yyxx=，∴()

221212124445kxxkmxxmxx+++=，∴()()22222418454404141mkmkkmmkk−−+−+=++，即()()()2222224518410kmkmmk−−−++=，化简得2254mk+=，②由①②得226150,520

4mk.∴点(),mk在定圆2254xy+=上.（没有求k范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻

辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为2214xy+=；（2）设而不求法求得2214ykxmxy=++=()222418440kxkmxm+++−=224

1mk+①，再利用韦达定理转化得()22228410kmmk++=2254mk+=②，由①②得226150,5204mk点(),mk在定圆2254xy+=上.20.已知函数()ln1xfxmex=−−.（1）当1m=时，求曲线()yfx=在点(

1,(1))f处的切线方程；（2）若(1,)m+，求证：()1fx.【答案】（1）(1)yex=−；（2）见解析【解析】【分析】（1）代入1m=,可得()yfx=的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,由点斜式即可求得切线方程.（2）根据放缩法,由1m>

得()ln1ln1xxfxmexex−−−=−.从而证明ln20xex−−即可.构造函数()lnxgxex=−,通过求得导函数1()xgxex=−,再令1()xhxex=−,求得21()0xhx

ex=+.即可判断1()xhxex=−的单调性,进而求得1()xgxex=−的零点所在区间,并判断出该零点为()lnxgxex=−的极小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成立.【详解】（1）当1m=时,()ln1xfxex=−−所以1(

)xfxex=−所以(1)1fe=−,又因为(1)1fe=−,即点坐标为(1,1)e−所以曲线()yfx=在点(1,1)e−处的切线方程为(1)(1)(1)yeex−−=−−即(1)yex=−（2

）证明：当1m>时,()ln1ln1xxfxmexex−−−=−,要证明()1fx,只需证明ln20xex−−,设()lnxgxex=−,则1()xgxex=−,设1()xhxex=−,则21()0xhxex=

+,所以函数1()()xhxgxex==−在(0,)+上单调递增,因为121202ge=−,(1)10ge=−,所以函数1()xgxex=−在(0,)+上有唯一零点0x,且01,

12x,因为()00gx=,所以001xex=,即00lnxx=−,当()00,xx时,()0gx；当()0,xx+时,()0gx,所以当0xx=时,()gx取得最小值()0gx,

故()000001()=eln220xgxgxxxx−−=+−,01,12x综上可知,若(1,)m+,()1fx.【点睛】本题考查了利用导数求切线方程,由导数证明不等式成立.根据导数判断函数的单调性和极值,函数的最值及零

点的综合应用,对思维能力要求较高,是高考的常考点和重难点,属于难题.21.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者

有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为()01pp，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为()0XXa，假设每位密切接触者不再接触其他患者.（

1）求一天内被感染人数为X的概率()PX与a、p的关系式和X的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患

者的数学期望记为)2(nEn.（i）求数列nE的通项公式，并证明数列nE为等比数列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率()ln123ppp=+−，当p取最大值时，计算此时p所对应的6E值和此时p对应的6E值，根据计算结果说明戴口

罩的必要性.（取10a=）（结果保留整数，参考数据：12ln51.6,ln31.1,ln20.7,0.3,0.733）【答案】（1）()(1)XXaXaPXCpp−=−；EXap=.（2）（i）2(1)nnEapap−=+，证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.【解

析】【分析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)XBap，则可求出概率及数学期望；（2）（i）根据第n天被感染人数为1(1)nap−+，及第1n−天被感染人数为2(1)nap−+，作差可得可得，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap−−−=+−+=+，

可证，（ii）利用导数计算此时p所对应的6E值和此时p对应的6E值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.【详解】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)XBap，则()(1)XXaXaPXCpp−=−,(0)Xa，X的数学期望EXap=.（2）（i

）第n天被感染人数为1(1)nap−+，第1n−天被感染人数为2(1)nap−+，由题目中均值的定义可知，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap−−−=+−+=+则11nnEapE−=+，且2Eap=.{}nE∴是以a

p为首项，1ap+为公比的等比数列.（ii）令2()ln(1)3fppp=+−，则1221()133(1)pfppp−+=−=++.()fp∴在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2上单调递减.max

1311()()lnln3ln21.10.70.30.12233fpf==−=−−−−=.则当10a=，210(110)nnEpp−=+.46100.1(1100.1)=16E=+.46100.5(1100.5)=6480E=+.66EE戴口罩很有必要.【点睛】本

题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在极坐标

系中,直线l的极坐标方程为3=()R．以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为2sin1cos2xy==−,（为参数）．（1）请写出直线l的参数方程;（2）求直线l与曲线C交点P的直角坐

标．【答案】（1）直线l的参数方程为1232xtyt==（t为参数）；（2）()0,0.【解析】【分析】（1）将直线l的极坐标方程直接转化为直角坐标防尘,再根据直角坐标方程得出参数方程.（2）将曲线C的参数方程化为直角坐标方程,与直线联立求出交点坐标,再根据的取值范

围选取符合条件的P点坐标。【详解】解:（1）因为直线l的极坐标方程为3=()R,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,则直线l的直角坐标方程为3yx=①所以3sin2=,1cos2=,则直线l的参数方程为1232xtyt

==（t为参数）.（2）又因为曲线C的参数方程为2sin1cos2xy==−,（为参数）.所以22sin2sinxy==,则曲线C的直角坐标方程为()21,2,22yxx=−②,联立①②

解方程组得00xy==或236xy==,根据x的取值范围,舍去236xy==.故点P的直角坐标为()0,0.【点睛】本题主要考查参数的方程的计算,以及直角坐标与极坐标的转化运算。23.回答下面问题（1）已知,

xyR,且1||6xy+,1||4xy−,求证：|5|1xy+．（2）已知实数,,,,abcde满足8abcde++++=,2222216abcde++++=,试确定e的最大值．【答案】（1）见解析（2）最大值165．【解析】【分析

】（1）利用|5||3()2()|xyxyxy+=+−−,再利用绝对值不等式的性质即可得出结论.（2）根据柯西不等式,构造出()()2222222221111()abcdabcd+++++++++,结合已知条件建立关于e的二次不等式,解之即可得到实

数e的最大值【详解】解:（1）证明:因为|5||3()2()|xyxyxy+=+−−,所以|5||3()2()||3()||2()|xyxyxyxyxy+=+−−++−113||2||32164xyxy=++−+=,即|5|1xy+．（2）由已知得22222816abcd

eabcde+++=−+++=−,由柯西不等式知()()2222222221111()abcdabcd+++++++++,故()22416(8)ee−−,解得1605e,当且仅当65abcd====时,e取得最大值165

．【点睛】考查绝对值不等式的性质和利用柯西不等式求最值,另外要注意柯西不等式的应用条件.