【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.237 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2023级高一入学检测试卷数学时量：90分钟满分：100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知a是13的小数部分，则()6aa+的值为（）A.1

3B.4C.413−D.31316−【答案】B【解析】【分析】先确定13的范围，再表示出a，然后代入()6aa+中计算即可【详解】因为91316，即3134，所以133a=−，所以()()()()22613313361334aa+=−−+=−=，故选：B

2.如果不等式30xm−的正整数解是1，2，3，4，那么m的取值范围是（）A.1215mB.1215mC.15mD.12m【答案】A【解析】【分析】先解出不等式的解，然后利用正整数解列不等关系，求解即可.【详解】解不等式30xm−得3mx，当3m在大于

等于4小于5的范围之内时，不等式30xm−的正整数解是1，2，3，4，所以453m，解得1215m.故选：A3.如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍，那么这个多边形的边数为（）A.6B.8C.9D.10【答案】D【解析】【分析】利用多边形

内角和公式根据题意列方程求解即可【详解】设这个多边形的边数为n，因为多边形的内角和是它外角和的4倍，所以(2)1804360n−=，解得10n=，故选：D4.如图，在ABCDY中，DAB与CBA的平分线相

交于DC边上的一点E，若3AE=，2BE=，则ABCDY的面积为（）A.3B.6C.8D.12【答案】B【解析】【分析】由平行四边形性质和角平角线的性质可得AEBE⊥，则可求出ABE的面积，从而可求出ABCDY的面积【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥

BC，所以180DABABC+=，因为DAB与CBA的平分线相交于DC边上的一点E，所以11,22EABDABABEABC==，所以()1902EABABEDABABC+=+=，所以90AEB=，所以1132322A

BESAEBE===,所以ABCDY的面积为2236ABES==，故选：B5.若关于x的分式方程2222xmmxx+=−−无解，则m的值为（）A.1m=或12m=B.12m=C.1m=D.1m=−【答案】A【解析】【分析】根据解分式方

程的步骤，结合分式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：2x，()()2222221222xmmxmmxmxmxx+=−=−−=−−，当210m−=时，即12m=时，方程()212mxm−=无实根，符合

题意；当210m−时，即12m时，()221221mmxmxm−==−，要想方程无解，只需22121mmm==−，故选：A6.如图，一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有

一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（）A.15B.20C.25D.27【答案】C【解析】【分析】先将已知图形展开，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+=；再根据两点之间，线段最短可得蚂

蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长，然后运用勾股定理可完成解答．【详解】如图所示：三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+=，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行

到B点的最短路程为x，由勾股定理得：2222201525x=+=，解得：25x=，即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25．故选：C7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykxb=+的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为(1,2)−，则k的值为（）A.1B.2C.3D.4【

答案】C【解析】【分析】过点C作CHy⊥轴于点H，过点A作AGy⊥轴于点G，易证()AGOOHCAAS，根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】过点C作CHy⊥轴于点H，过点A作AGy⊥轴于点G，如图所示：则有90CHOOGA=

=，90HCOHOC+=，ABCO是正方形，OAOC=，90COA=，90COHAOG+=，AOGHCO=，()AGOOHCAAS，HCOG=，HOGA=，(1,2)A−，1GA=，2OG=，(2,1)C，将A，C点坐标代入yk

xb=+，得221kbkb+=−+=，解得3k=，故选：C8.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CDDB=，连接OC，CA，OD，过点B作EBAB⊥，交OD的延长线于点E.设OAC的面积为1S

，OBE的面积为2S，若1223SS=，则tanACO的值为（）A.2B.223C.75D.32【答案】A【解析】【分析】过点C作CHAO⊥于点H，根据CDBD=，可得CODBOECAO==，再由1223SS=得23CHAHBEOB==，设2AH=求出CH，再由tan=CHAAH可

得答案.【详解】如图，过点C作CHAO⊥于点H，CDBD=，CODBOE=，π2=−COACOD，而OCAOAC=，π2=−COACAO，==CODBOECAO，1223SS=，即12221332，==OA

CHCHBEOBBE，tantan，，===CHBEABOEABOEAHOB，即23CHAHBEOB==，设2AH=，则3,321====−=BOAOCOOH，229122tan22，=−====CHC

HAAH，tan2，，===OAOCAACOACO.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.设点(,)Pxy在第二象限内，且3x=，2y=，则点P关于原点对称点为________.【答案】(

)3,2−【解析】【分析】根据已知求出点P的坐标即得解.【详解】因为3x=，2y=，所以3,2xy==.又因为点(,)Pxy在第二象限内，所以3,2xy=−=.所以点(,)Pxy坐标为(3,2)P−.所以点P关于原点的对

称点为(3,2)−.故答案为：()3,2−10.关于,xy的二元一次方程组2329xyaxya+=−=的解是二元一次方程324xy+=的一个解，则=a________.【答案】4−【解析】【分析】先解方程组，得到用a

表示,xy的式子，再代入324xy+=解出a的值即可.【详解】2329xyaxya+=−=①②，2+①②得515xa=，解得3xa=，的再将3xa=代入①得3ya=−，将()3,3aa−代入324xy+=得()33

324aa+−=，解得4a=−，故答案为：4−11.二维码的图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为________.【答案】38##0.3

75【解析】【分析】利用列举法计算古典概型即可.【详解】把小正方形依次为标记A、B、C、D四个区域，则每个区域都有两种颜色可涂，共222216=种涂色方法，而涂黑色的区域有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种可能，即恰好涂成两黑两白的概率为63168=.故答案为

：3812.如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则CDF周长的最小值是________.【答案】333+##333+【解析】【分析】由已知条件可得CBE()SASCAFV，则得

30CAFCBE==，作点C关于AF的对称点C，连接DC，设CC交AF于点O，则当,,DFC三点共线时，FCFD+取得最小值，再结合已知条件可求出CDF周长的最小值【详解】点E为高BD上的动点.将CE绕点C顺时针旋转60得到CF，且ABC是边长为6的等边三角

形，,60,,CECFECFBCABCACBCEACF=====，CBE()SAS,30CAFCAFCBE==，点F在射线AF上运动，如图，作点C关于AF的对称点C，连接DC，设CC交AF于点O，则90AOC=，在RtAOC中，30CAO=∠，则132COAC==，

则当,,DFC三点共线时，FCFD+取得最小值，即FCFDFCFDCD++==，6,,CCACACOCCDCOCD====，ACO()SAS,90CCDCDCAOC==，在CDC中，'22226333CDCCCD=−=−=，CDF周长的最小值为333C

DFCFDCDCD++=+=+.故答案为：333+.三、解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，点C是BD的中点，过点C作AD的垂线，分别交AB与AD的延长线于点E和点F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若6AE

=，23CE=，求AC的长.【答案】（1）证明见解析（2）4π3【解析】【分析】（1）连接,OCBD，则OCBD⊥，BDAD⊥，再结合已知可得BDEF∥，从而得OCEF⊥，进而可得结论，（2）设OCr=，在OCE△中利用勾股定理可求出r，则可求出60EOC=，所以120

AOC=，然后利用弧长公式可求得结果.【小问1详解】连接,OCBD，点C是BD的中点，OCBD⊥.AB是O的直径，90,ADBBDAD=⊥，,,,EFADBDEFOCEFEF⊥⊥∥是O的切线.【小问2详解】设OCr=

，则6,,23OEAEOArOCEFEC=−=−⊥=，222(23)(6)rr+=−，解得2r=，在RtOCE中，21cos42OCEOCOE===，60,120EOCAOC==.AC的长120π24π180

3==.14.为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）.根据上述信息，解答下列各题：

（1）该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%

，试求该班级男生人数；（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.统计量平均数（次）中位数（次）众数（次）方差L该班级男生3342L根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比

较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动幅度大小.【答案】（1）女生人数是20，中位数是3（2）男生人数为25人（3）男生比女生的波动幅度大【解析】【分析】（1）根据题目数据及中位数的定义直接计算即可；（2）先求出女生对“两会”新闻的“

关注指数”，即可得男生对“两会”新闻的“关注指数”，列方程解答即可；（3）利用方差公式求解女生收看“两会”新闻次数的方差，即可比较大小.【小问1详解】该班级女生人数是2565220++++=，女生收看“两会”新闻次数的中位数是3.【小问2详解】由题意：该班女生对

“两会”新闻的“关注指数”为1365%20=，所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x人，则()13660%xx−++=，解得25x=.【小问3详解】该班级女生收看“两会”新闻次数

的平均数为1225364552320++++=，女生收看“两会”新闻次数的方差为222222(31)5(32)6(33)5(34)2(35)132010−+−+−+−+−=，因为男、女生收看“两会”新闻次数的平均数与中位数都相等，

而方差13210，所以男生比女生的波动幅度大.15.如图，矩形AOCD中，6AO=，3AD=，点H在线段OC上，将AOH△沿直线AH折叠得到APHV.（1）当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；（2）在（1）的条件下，已知二次函

数2yxbxc=−++的图象经过A，D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.【答案】（1）()32,632P−（2）42【解析】【分析】（1）过点P作PJCD∥，交x轴于点J，交AD的延长线于点T，则ATPPJH∽，四边形AT

JO是矩形，可得,ATPPJH是等腰直角三角形，再由折叠的性质可得答案，（2）设AP与抛物线2yxbxc=−++的交点为点M，连接MM，则AMAM=，由已知可得()()0,6,3,6AD，代入二次函数解析式中可求出,bc，过点M作MRy

⊥轴于点R，则得ARMR=，设点()2,36Maaa−++，然后列方程可求得结果.【小问1详解】过点P作PJCD∥，交x轴于点J，交AD的延长线于点T，如图所示：矩形AOCD中，6,3,90AOCDADOCOADADCOCD=======，则90APHATPHJP===

，∴90,90APTHPJAPTPAT+=+=，∴HPJPAT=，ATPPJH∽，四边形ATJO是矩形，,6ATOJAOTJ===，AP经过CD的中点N，3,45ADDNDAN===，,ATPPJH是等腰直角三角形，,ATPTPJHJ==，由

折叠的性质可得16,22.52AOAPOAHPAHOAP=====，232,6322ATPTAPPJHJ=====−，()32,32,632ATOJP==−.【小问2详解】设AP与抛物线2yxbxc=−++的交点为点M，连接MM，根据折叠性质可知点M与点M关于AH对称，如图所示

：AMAM=，由6,3AOAD==可得点()()0,6,3,6AD，在代入二次函数2yxbxc=−++得9366bcc−++==，解得36bc==，236yxx=−++.由（1）可知45MAM=，过点M作MRy⊥轴于点R，ARM是等腰直角三角形，A

RMR=，设点()2,36Maaa−++，则2,36ARMRaORaa===−++，223,3ARAOORaaaaa=−=−−=，解得124,0aa==（不符合题意，舍去），4ARMR==，242AMAMAR===

【点睛】关键点睛：此题考查抛物线的性质的应用，考查三角形相似，考查图形折叠问题，解题的关键是弄清折叠前后边角的关系.16.函数2121yxxaa=−+−（a为常数，0a）.（1）求出此函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当4a=时，此函数图象交

x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，点P为x轴下方图象上一点，过点P作//PQy轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值；（3）点(21,3)Maa−−−，(0,3)Na−−，连接MN，当此函数图象与线段

MN恰有两个公共点时，求出a的取值范围.【答案】（1）(),1a−（2）94（3）21a−−【解析】【分析】（1）根据抛物线方程直接求解即可，.的（2）由二次函数解析求出,,ABC三点的坐标，则可求出直线BC

的方程，设21,234Pmmm−+，则1,32Qmm−+，然后表示出PQ，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值，（3）由题意可得MNx∥轴，然后分0a和0a两种情况分析讨论即可【小问1详解】221121()1(yxxaxaaaa=−+−=−−为常数，0)a，函数图

象的顶点坐标为(),1a−.【小问2详解】当4a=时，21234yxx=−+，当0x=时，3y=，即()0,3C，当0y=时，212304xx−+=，即()()260xx−−=，解得2x=或6x=，点A在点B的左侧，()()2,0,6,0AB，设直线B

C表达式为ykxb=+，则063kbb=+=，解得1,23.kb=−=132yx=−+，点P为x轴下方图象上一点，过点P作PQy∥轴交线段BC于点Q，设21,234Pmmm−+，则1,32Qmm−+，其中26m

，222111319323(3),(26)244244PQmmmmmmm=−+−−+=−+=−−+，104−，二次函数图象开口向下，当3m=时，函数有最大值为94，PQ的最大

值为94.【小问3详解】点()()21,3,0,3MaaNa−−−−−纵坐标相等，连接MN后，MNx∥轴，根据题意，分两种情况：①当0a时，抛物线开口向上，∴()213212(21)131210aaaaaaaa−

−−−−+−−−−−，解得12a，函数图象与线段MN恰有两个公共点∴21213yxxaaya=−+−=−−有两个不相等的实数根，即222220xaxaa−++=有两个不相等的实数根，()()222Δ(2)412248420aaaaaaa=−−+=−−=−+

，0a，则20a+，即2a−，此种情况不存在.②当a<0时，抛物线开口向下，∴()213212(21)131210aaaaaaaa−−−−−+−−−−−，解得1a−，函数图象与线段MN

恰有两个公共点，∴21213yxxaaya=−+−=−−有两个不相等的实数根，即222220xaxaa−++=有两个不相等的实数根，()()222Δ(2)412248420aaaaaaa=−−+=−−=−+，0a，

则20a+，即2,21aa−−−，综上所述，当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时，a的取值范围是21a−−.【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线综合问题，考查二次函数最值的求法，第（3）问解题的关键是表示出线段MN的方程与抛物线方程联立，化简后再利用判

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