【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题 含解析.docx,共(17)页,1.237 MB,由管理员店铺上传
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长郡中学2023级高一入学检测试卷数学时量:90分钟满分:100分一、选择题:本题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知a是13的小数部分,则()6aa+的值为()A.13B.4C.413−D.31316−【
答案】B【解析】【分析】先确定13的范围,再表示出a,然后代入()6aa+中计算即可【详解】因为91316,即3134,所以133a=−,所以()()()()22613313361334aa+=−−+=−=,故选:B2.如果不等式30xm−的正整数解是1,2,3,4,那么m的取值范围
是()A.1215mB.1215mC.15mD.12m【答案】A【解析】【分析】先解出不等式的解,然后利用正整数解列不等关系,求解即可.【详解】解不等式30xm−得3mx,当3m在大于等于4小于5的范围之内时,不等式30xm−的正整数解是1
,2,3,4,所以453m,解得1215m.故选:A3.如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍,那么这个多边形的边数为()A.6B.8C.9D.10【答案】D【解析】【分析】利用多边形内角和公式根据题意列方程求解即可【详解】设这
个多边形的边数为n,因为多边形的内角和是它外角和的4倍,所以(2)1804360n−=,解得10n=,故选:D4.如图,在ABCDY中,DAB与CBA的平分线相交于DC边上的一点E,若3AE=,2BE=,则ABCDY的面积为()A.3B.6C.8D.12【答案】B【解析
】【分析】由平行四边形性质和角平角线的性质可得AEBE⊥,则可求出ABE的面积,从而可求出ABCDY的面积【详解】因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC,所以180DABABC+=,因为DAB与CBA的平分线相交于DC边上的一点E,所以11,22EABDABABEA
BC==,所以()1902EABABEDABABC+=+=,所以90AEB=,所以1132322ABESAEBE===,所以ABCDY的面积为2236ABES==,故选:B5.若关于x的分式方程2222xmmxx+=−−无
解,则m的值为()A.1m=或12m=B.12m=C.1m=D.1m=−【答案】A【解析】【分析】根据解分式方程的步骤,结合分式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知:2x,()()2222221222xmmxmmxmxmxx+=−=−
−=−−,当210m−=时,即12m=时,方程()212mxm−=无实根,符合题意;当210m−时,即12m时,()221221mmxmxm−==−,要想方程无解,只需22121mmm==−,故选:A6.如图,一个三级台阶,每一级的长、宽、高分别为20、3、2,A和B是这个台阶
两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是()A.15B.20C.25D.27【答案】C【解析】【分析】先将已知图形展开,三级台阶平面展开图为长方形,长为20,宽为(23)315
+=;再根据两点之间,线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长,然后运用勾股定理可完成解答.【详解】如图所示:三级台阶平面展开图为长方形,长为20,宽为(23)315+=,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬
行到B点的最短路程为x,由勾股定理得:2222201525x=+=,解得:25x=,即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25.故选:C7.如图,在平面直角坐标系中,一次函数ykxb=+的图象经过正方形OABC的顶
点A和C,已知点A的坐标为(1,2)−,则k的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】过点C作CHy⊥轴于点H,过点A作AGy⊥轴于点G,易证()AGOOHCAAS,根据全等三角形的性质,求出点C坐标,利用待定系数法求解即可.【详解】过点
C作CHy⊥轴于点H,过点A作AGy⊥轴于点G,如图所示:则有90CHOOGA==,90HCOHOC+=,ABCO是正方形,OAOC=,90COA=,90COHAOG+=,AOGHCO
=,()AGOOHCAAS,HCOG=,HOGA=,(1,2)A−,1GA=,2OG=,(2,1)C,将A,C点坐标代入ykxb=+,得221kbkb+=−+=,解得3k=,故选:C8.如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆上,CDDB=
,连接OC,CA,OD,过点B作EBAB⊥,交OD的延长线于点E.设OAC的面积为1S,OBE的面积为2S,若1223SS=,则tanACO的值为()A.2B.223C.75D.32【答案】A【解析】【分析】过点C作CHAO⊥于点H
,根据CDBD=,可得CODBOECAO==,再由1223SS=得23CHAHBEOB==,设2AH=求出CH,再由tan=CHAAH可得答案.【详解】如图,过点C作CHAO⊥于点H,CDBD=,CODBOE=,π2=−COACOD,而OCAOAC=,
π2=−COACAO,==CODBOECAO,1223SS=,即12221332,==OACHCHBEOBBE,tantan,,===CHBEABOEABOEAHOB,即23CHAHBEOB==,设2AH=,则3,321====−=BOAOCOOH,2
29122tan22,=−====CHCHAAH,tan2,,===OAOCAACOACO.故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题4分,共16分.9.设点(,)Pxy在第二象限内,且3x=,
2y=,则点P关于原点对称点为________.【答案】()3,2−【解析】【分析】根据已知求出点P的坐标即得解.【详解】因为3x=,2y=,所以3,2xy==.又因为点(,)Pxy在第二象限内,所以3,2x
y=−=.所以点(,)Pxy坐标为(3,2)P−.所以点P关于原点的对称点为(3,2)−.故答案为:()3,2−10.关于,xy的二元一次方程组2329xyaxya+=−=的解是二元一次方程324xy+=的一个解,
则=a________.【答案】4−【解析】【分析】先解方程组,得到用a表示,xy的式子,再代入324xy+=解出a的值即可.【详解】2329xyaxya+=−=①②,2+①②得515xa=,解得3xa=,的再将3xa=代入①得3y
a=−,将()3,3aa−代入324xy+=得()33324aa+−=,解得4a=−,故答案为:4−11.二维码的图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由4个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成
黑色或白色,则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为________.【答案】38##0.375【解析】【分析】利用列举法计算古典概型即可.【详解】把小正方形依次为标记A、B、C、D四个区域,则每个区域都有两种颜色可涂,共222216=种涂色方法,而涂黑色
的区域有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种可能,即恰好涂成两黑两白的概率为63168=.故答案为:3812.如图,ABC是边长为6的等边三角形,点E为高BD上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF,EF,DF,则CDF周长的最小值是_______
_.【答案】333+##333+【解析】【分析】由已知条件可得CBE()SASCAFV,则得30CAFCBE==,作点C关于AF的对称点C,连接DC,设CC交AF于点O,则当,,DFC三点共线时,FCFD+取得最小值,再结合已知条件可求出CDF周长的最小值【详解】点E为高BD
上的动点.将CE绕点C顺时针旋转60得到CF,且ABC是边长为6的等边三角形,,60,,CECFECFBCABCACBCEACF=====,CBE()SAS,30CAFCAFCBE==,点F在射线AF上运动,如图,作点C关于AF的对称点C,连接DC,
设CC交AF于点O,则90AOC=,在RtAOC中,30CAO=∠,则132COAC==,则当,,DFC三点共线时,FCFD+取得最小值,即FCFDFCFDCD++==,6,,CCACACOCCDCOCD====,ACO
()SAS,90CCDCDCAOC==,在CDC中,'22226333CDCCCD=−=−=,CDF周长的最小值为333CDFCFDCDCD++=+=+.故答案为:333+.三、解答题:本题共4小题,共52分.应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.13.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,点C是BD的中点,过点C作AD的垂线,分别交AB与AD的延长线于点E和点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若6AE=,23CE=,求AC的长.【答案】(1)证明见解析(2)4π
3【解析】【分析】(1)连接,OCBD,则OCBD⊥,BDAD⊥,再结合已知可得BDEF∥,从而得OCEF⊥,进而可得结论,(2)设OCr=,在OCE△中利用勾股定理可求出r,则可求出60EOC=,
所以120AOC=,然后利用弧长公式可求得结果.【小问1详解】连接,OCBD,点C是BD的中点,OCBD⊥.AB是O的直径,90,ADBBDAD=⊥,,,,EFADBDEFOCEFEF⊥⊥∥是O的切线.【小问2详解】设OCr=,则6,,23OEAEOArOCEFEC=−=−
⊥=,222(23)(6)rr+=−,解得2r=,在RtOCE中,21cos42OCEOCOE===,60,120EOCAOC==.AC的长120π24π1803==.14.为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调
查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出).根据上述信息,解答下列各题:(1)该班级女生人数是________,女生收看“两会”新闻次数的中位数是________;(2)对于某个群体,我们把一周内
收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生人数;(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如表).统计
量平均数(次)中位数(次)众数(次)方差L该班级男生3342L根据你所学过的统计知识,适当计算女生的有关统计量,进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动幅度大小.【答案】(1)女生人数是20,中位数是3(2)男生人数为25人(3)男生比女
生的波动幅度大【解析】【分析】(1)根据题目数据及中位数的定义直接计算即可;(2)先求出女生对“两会”新闻的“关注指数”,即可得男生对“两会”新闻的“关注指数”,列方程解答即可;(3)利用方差公式求解女生收看“两会”新闻次数的方差,即可比较大小.【小问1详解】该班级女生人
数是2565220++++=,女生收看“两会”新闻次数的中位数是3.【小问2详解】由题意:该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为1365%20=,所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x人,则()13660%xx−++=,解得25x=.【小问3详解】该班级女生收看“两
会”新闻次数的平均数为1225364552320++++=,女生收看“两会”新闻次数的方差为222222(31)5(32)6(33)5(34)2(35)132010−+−+−+−+−=,因为男、女生收看“两会”新闻次数的平
均数与中位数都相等,而方差13210,所以男生比女生的波动幅度大.15.如图,矩形AOCD中,6AO=,3AD=,点H在线段OC上,将AOH△沿直线AH折叠得到APHV.(1)当AP经过CD的中点N时,求点P的坐标;(2)在(1)的条件下,已知二次函数2yxbxc=
−++的图象经过A,D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折,交y轴于点M,请求出AM的长度.【答案】(1)()32,632P−(2)42【解析】【分析】(1)过点P作PJCD∥,交x轴于点J,交AD的延长线于点T,则ATPPJH∽,四边形ATJO是矩形,可得,ATPPJH是等腰直角
三角形,再由折叠的性质可得答案,(2)设AP与抛物线2yxbxc=−++的交点为点M,连接MM,则AMAM=,由已知可得()()0,6,3,6AD,代入二次函数解析式中可求出,bc,过点M作MRy⊥轴于点R,则得ARMR=
,设点()2,36Maaa−++,然后列方程可求得结果.【小问1详解】过点P作PJCD∥,交x轴于点J,交AD的延长线于点T,如图所示:矩形AOCD中,6,3,90AOCDADOCOADADCOCD=======,则90APHATPHJP===,∴90,90APTHPJ
APTPAT+=+=,∴HPJPAT=,ATPPJH∽,四边形ATJO是矩形,,6ATOJAOTJ===,AP经过CD的中点N,3,45ADDNDAN===,,ATPPJH是等腰直角三角形,,ATP
TPJHJ==,由折叠的性质可得16,22.52AOAPOAHPAHOAP=====,232,6322ATPTAPPJHJ=====−,()32,32,632ATOJP==−.【小问2详解】设AP
与抛物线2yxbxc=−++的交点为点M,连接MM,根据折叠性质可知点M与点M关于AH对称,如图所示:AMAM=,由6,3AOAD==可得点()()0,6,3,6AD,在代入二次函数2yxbxc=−++得9366bcc−++==,解得36bc==,236yxx
=−++.由(1)可知45MAM=,过点M作MRy⊥轴于点R,ARM是等腰直角三角形,ARMR=,设点()2,36Maaa−++,则2,36ARMRaORaa===−++,223,3ARAOORaaaaa=−=−−=,解得124,0aa==(不符合题意,舍去),4
ARMR==,242AMAMAR===【点睛】关键点睛:此题考查抛物线的性质的应用,考查三角形相似,考查图形折叠问题,解题的关键是弄清折叠前后边角的关系.16.函数2121yxxaa=−+−(a为常数,0a).(1
)求出此函数图象的顶点坐标(用含a的式子表示);(2)当4a=时,此函数图象交x轴于点A,B(点A在点B左侧),交y轴于点C,点P为x轴下方图象上一点,过点P作//PQy轴交线段BC于点Q,求线段PQ的最大值;(3)点(21
,3)Maa−−−,(0,3)Na−−,连接MN,当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时,求出a的取值范围.【答案】(1)(),1a−(2)94(3)21a−−【解析】【分析】(1)根据抛物线方程直接求解即可,.的(2)由
二次函数解析求出,,ABC三点的坐标,则可求出直线BC的方程,设21,234Pmmm−+,则1,32Qmm−+,然后表示出PQ,化简后利用二次函数的性质可求出其最大值,(3)由
题意可得MNx∥轴,然后分0a和0a两种情况分析讨论即可【小问1详解】221121()1(yxxaxaaaa=−+−=−−为常数,0)a,函数图象的顶点坐标为(),1a−.【小问2详解】当4a=时,21234yxx=−+,当0x=
时,3y=,即()0,3C,当0y=时,212304xx−+=,即()()260xx−−=,解得2x=或6x=,点A在点B的左侧,()()2,0,6,0AB,设直线BC表达式为ykxb=+,则063kbb=+=,解得1,23.kb=
−=132yx=−+,点P为x轴下方图象上一点,过点P作PQy∥轴交线段BC于点Q,设21,234Pmmm−+,则1,32Qmm−+,其中26m,222111319323(3),(26)244244PQmmmmmmm=−+−−+
=−+=−−+,104−,二次函数图象开口向下,当3m=时,函数有最大值为94,PQ的最大值为94.【小问3详解】点()()21,3,0,3MaaNa−−−−−纵坐标相等,连接MN后,MNx∥轴,根据题意,分两种情况:①当0a时,抛物线开口向上,∴()21321
2(21)131210aaaaaaaa−−−−−+−−−−−,解得12a,函数图象与线段MN恰有两个公共点∴21213yxxaaya=−+−=−−有两个不相等的实数根,即222220xaxaa−++=有两个不相等的实数
根,()()222Δ(2)412248420aaaaaaa=−−+=−−=−+,0a,则20a+,即2a−,此种情况不存在.②当a<0时,抛物线开口向下,∴()213212(21)13
1210aaaaaaaa−−−−−+−−−−−,解得1a−,函数图象与线段MN恰有两个公共点,∴21213yxxaaya=−+−=−−有两个不相等的实数根,即22222
0xaxaa−++=有两个不相等的实数根,()()222Δ(2)412248420aaaaaaa=−−+=−−=−+,0a,则20a+,即2,21aa−−−,综上所述,当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时,a的取值范围是21a−−.【点睛
】关键点点睛:此题考查抛物线综合问题,考查二次函数最值的求法,第(3)问解题的关键是表示出线段MN的方程与抛物线方程联立,化简后再利用判别式大于零可求得结果,考查计算能力,属于较难题.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com