【文档说明】7.1.2复数的几何意义(专项检测)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)(解析版).docx，共(9)页，791.534 KB，由管理员店铺上传

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7.1.2复数的几何意义-----专项检测卷(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，（1＋i）x＝2＋yi，其中x，y∈R，则｜

x＋yi｜＝A．22B．2C．4D．2【答案】A【分析】首先求得x,y的值，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：2xxiyi+=+，结合复数的充分必要条件可知：2xxy==，则2xy==，224422xyii+=+=+=.本题选择A选项.2.在复平面内,复数

1i+与13i+分别对应向量OA和OB,其中O为坐标原点,则AB=（）A．2B．10C．2D．4【答案】C【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数1i+与13i+分别对应向量OA和OB，所以向量(

1,1)OA=和(1,3)OB=，所以(0,2)ABOBOA=−=，则22022ABAB==+=，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．3.设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i

，t∈R，则以下结论中正确的是()．A．复数z对应的点在第一象限B．复数z一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数【答案】C【详解】∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定

是虚数，排除D.又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．选C.4.下列命题中，真命题是（）．A．虚数所对应的点在虚轴上B．“0a=”是“复数()i,zabab=+R是纯虚数”的充分非必要条件C．若(

)0zaa=，则za=D．“12=zz”是“12zz=”的必要非充分条件【答案】D【分析】根据复数的定义，复数的几何意义，复数相等的定义，充分必要条件的定义判断．【详解】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A错；i(,R)zaba

b=+表示纯虚数的条件是0a=且0b，因此B错；iza=时，也有za=，C错；12zz=时有12=zz，但12zz=−时也有12=zz，D正确．故选：D．5.已知()()()31izmmmR=++−在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（）A．)22,

4B．2,4C．()22,4D．()2,4【答案】A【分析】根据()()()31izmmmR=++−在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：因为()()()31izm

mmR=++−在复平面内对应的点在第四象限，所以3010mm+−，解得31m−，()()()2222312410218zmmmmm=++−=++=++，因为31m−，所以())210,2m+，

则())221822,4m++，所以复数z的模的取值范围是)22,4.故选：A.6.已知复数()0zabib=−，满足1z=，复数z的实部为22，则复数z的虚部是（）A．22B．22−C．12D．12−【答案】A【分析】由复数z的实部为22，结合1z=，由()22212zb=+−

=求解.【详解】因为复数z的实部为22，所以22a=，因为1z=，所以()22212zb=+−=，解得22b=−，22b=（舍去），所以复数z的虚部22．故选：A7.设复数()()2cossinzaai=+++

（i为虚数单位）.若对任意实数，2z≤，则实数a的取值范围为（）A．10,5B．1,1−C．55,55−D．11,55−【答案】C【分析】由1212zzzz++可知()()cossin2

cossin2iaaiiaai++++++，令max2z，即可求出a的范围.【详解】因为对任意，2z≤，则max2z,()()cossin2cossin215ziaaiiaaia=++++++=+，1

52a+，解得5555a−.故选：C.8.已知方程240xx++=的两个根在复平面上对应的点分别为A、B，则AOB的面积为（）A．152B．154C．2D．4【答案】B【分析】解方程240xx++

=求出两个复数根，从而可得A、B两点的坐标，再求出,,OAOBAOB，进而可得三角形的面积【详解】解：方程240xx++=的根为21144115i22x−−−==，即1115i22x=−+，2115i

22x=−−，所以115115,,,2222AB−−−，所以22115222OA=−+=，22115222OB=−+−=，11

5744cos228AOB−==−，所以22715sin1cos188AOBAOB=−=−−=，所以111515sin222284AOBSOAOBAOB===，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于复数的命题中正确的是（）A．若z是虚数，则z不是实数B．若a，bR且ab，则2iiab++C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．复数

()()()23122iztttt=−+++R对应的点在实轴上方【答案】AD【分析】由虚数的概念可判断ABC，由复数的几何意义可判断D.【详解】对于A，根据虚数的定义，A正确；对于B，虚数不能比较大小，B错误；对于C，一个复数为纯

虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误；对于D，对应点的坐标为()231,22ttt−++，因为()2222110ttt++=++，所以点在x轴上方，D正确．故选：AD．10.设复

数()()3i2izm=+−+，i为虚数单位，mR，则下列结论正确的为（）A．当213m时，则复数z在复平面上对应的点位于第四象限B．若复数z在复平面上对应的点位于直线210xy−+=上，则1m=C．若复数z是纯虚数，则23m=D．在复平面上，复数

1z−对应的点为Z，O为原点，若10OZ=，则2m=【答案】AC【分析】由()()3i2izm=+−+，得(32)(1)izmm=−+−，然后逐个分析判断即可【详解】由()()3i2izm=+−+，得

(32)(1)izmm=−+−，对于A，当213m时，0321m−，1103m−−，所以复数z在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，对于B，若复数z在复平面上对应的点位于直线210xy−+=上，则322(1)10mm−−−+=，解得1m=−，所以B

错误，对于C，若复数z是纯虚数，则320m−=且10m−，解得23m=，所以C正确，对于D，由(32)(1)izmm=−+−，得1(33)(1)izmm−=−+−，则(33,1)Zmm−−，由10OZ=，得22(33)(1)10mm−+−=，2(1)1m−=，得2m

=或0m=，所以D错误，故选：AC11.已知复数()cossini3z=+()R（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当π3=−时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当π2=时，z为纯虚数C．z最大值为3D．z的共轭复数为()cossini3z=

−+()R【答案】BC【分析】利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.【详解】对于A，当π3=−时，ππ33313cossinii22z−−=−=+，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当π

2=时，ππcossini3i223z=+=，为纯虚数，故B正确；对于C，222cos3sin12sinz=+=+，最大值为3，故C正确；对于D，z的共轭复数为()cossini3z=−，故D错误.故选：BC.12.设z为复数，在复平面内z、

z对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，,,POQ三点共线B．当1zi=+时，POQ△为等腰直角三角形C．对任意复数z，OPOQD．当z为实数时，OPOQ=【答案】ABD【分析】设(,)zabi

abR=+，则zabi=−，对A、C、D按要求写出复数对应的坐标，即可判断正误；对B写出P，Q坐标并求出POQ△各边的长度即可判断C的正误.【详解】设(,)zabiabR=+，则zabi=−，对A：当z为纯虚数时，()0zbib=，zbi=−对应的点分

别为(0,)Pb、(0,)Qb−，,,OPQ均在y轴上，所以,,POQ三点共线，故A正确；对B:当1zi=+时，1zi=−，所以(1,1)P，(1,1)Q−，所以||||2OPOQ==，而||2PQ=，所以222||||||OPOQPQ+=，所以POQ△为

等腰直角三角形，故B正确；对C：(,)OPab=,(,)OQab=−,当0b=时，OPOQ=，故C错误；对D：当z为实数时，zza==，此时(,0)OPOQa==，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

计20分.13.已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝______.高中数学人教版选修1-2（文科）第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念（包括【答案】i【详解】解法一：设z＝x＋yi（x，y∈R），由题意，得x＋yi－＝－1＋i，即（x

－）＋yi＝－1＋i.根据复数相等的条件，得解得∴z＝i.14.若复数(2)(1)()zaaiaR=−++对应的点位于第二象限，则z的取值范围是_______.【答案】32,32根据复数的几何意义，可知复数(2)(1)()zaai

aR=−++对应的点的坐标为21aa−+（,），再根据该点位于第二象限，得2010aa−+即1a2−，而22||(2)(1)zaa=−++2225aa=−+219222a=−+，再用二次函

数法求其取值范围.【详解】因为复数(2)(1)()zaaiaR=−++对应的点的坐标为()21aa−+,，又因为该点位于第二象限，所以20,10,aa−+解得1a2−.所以22||(2)(1)zaa=−++22

25aa=−+219222a=−+，因为1a2−，所以32||,32z.故答案为：32,3215.若复数1212,3zizi=+=−(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为1OZ和2OZ，则12OZZ的面积为__________.【答案】72【分

析】由已知可得()11,2OZ=，()23,1OZ=−，()12212,3ZZOZOZ=−=−，再求出复数的模，利用余弦定理及三角形面积公式从而可得12OZZ的面积.【详解】因为()11,2OZ=，()23,1OZ=−，()12212,3ZZOZOZ=−=−，所以2211

25OZ=+=，()2221310OZ=−+=，()22122313ZZ=+−=.由余弦定理可得12510132cos102510ZOZ+−==,所以1272sin10ZOZ=，所以12OZZ的面积121211727sin51022102SO

ZOZZOZ===.故答案为：7216.在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos(2t﹣3)+isin(2t﹣3)(i为虚数单位)，则当t由12连续变到4时，向量AP所扫过的图形区域的面积是___________.【答案】6

【分析】当12t=时，求得点P的坐标为131,22P−，当4t=时，点P的坐标为231,22P，向量AP所扫过的图形区域的面积是12APP的面积与弓形的面积之和，即向量AP所扫过

的图形区域的面积是扇形12POP的面积，从而求得向量AP所扫过的图形区域的面积.【详解】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当12t=时，点P的坐标为131,22P−，当4t=时，点P的坐标为231,22P，向量AP所扫过的图

形区域的面积是12APP的面积与弓形的面积之和.由于1P，2P关于实轴对称，所以12APP的面积等于12OPP的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量AP所扫过的图形区域的面积是扇形12POP的面积.因为∠12POP=2×6=3，所

以扇形12POP的面积为等于211236=.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知复数()()22lg2232zmmmmi=−−+++，根据以下条件分别求实数m的值或范

围.（1）z是纯虚数；（2）z对应的点在复平面的第二象限.【答案】(1)m=3.(2)133m+或-1<<1-3m.【详解】试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即()22220{320lgmmmm−−=++．（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真

数大于0，虚部大于0，即220221{320mmmm−−++．试题解析：（1）由()()22lg2232zmmmmi=−−+++是纯虚数得()22220{320lgmmmm−−=++即22221{320mmmm−−=++所以m=3.（2）根据题意得()2

2220{320lgmmmm−−++，由此得220221{320mmmm−−++，即133m+或-1<<1-3m.18.（12分）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是12i+，2i−+，0，求第四个顶点对应的复数．【答案】13i−+【分析】如图，由OCOA

OB→→→=+即得解.【详解】解：如图，OCOAOB→→→=+，OC→对应的复数为：12i2i13i+−+=−+，点C对应的复数为13i−+．19.（12分）复数()()222522izmmmm=−++−−，当m取何实数时：(1)z为实数；(2)z为纯虚数；(3)z对应的点在复平面上实轴的

上半部分．【答案】(1)2m=或1m=−(2)12m=(3)1m−或2m【分析】（1）由虚部为0可得；（2）由实部为0，虚部不为0可得；（3）由虚部大于0可得．(1)因为z为实数，所以220mm−−=，解得2m=或1m=−(2)由z为纯虚数

，则222520,20,mmmm−+=−−解得12m=(3)由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则220mm−−，解得1m−或2m20.（12分）设复数()()222log33ilog3zxxx=−−+−，当

x取何实数时：(1)复数z为纯虚数；(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；(3)表示z的点在直线210xy−+=上．【答案】(1)复数z不可能为纯虚数(2)321,42x+(3)15x=【分析】（1）由实部等于0，虚部不等于0可

得；（2）由实部小于0，虚部小于0可得；（3）x用实部代入，y用虚部代入求解可得．(1)由z为纯虚数，则()222log330,log(3)0,xxx−−=−该组条件无解，所以复数z不可能为纯虚数；(2)

由表示z的点位于第三象限，则()()222log330,log30,xxx−−−解得321,42x+；(3)由表示z的点在直线210xy−+=上，则()()222log332log310xxx−−−−+=，解得15x=．21.（12分）ABCD

为复平面内的平行四边形，向量OA→对应的复数为5，AB→对应的复数为23i−−，BC→对应的复数为64i−+．（1）求点D对应的复数；（2）判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．【答案】（1）14

zi=−+；（2）A、B、C、D四点共圆；证明见解析．【分析】（1）将复数对应的向量化为坐标形式，根据向量运算法则求得OBOAAB→→→=+，OCOBBC→→→=+，再由ADBC→→=求得D点坐标，写成复数形式即可；（2）由0ABBC→→=，得ABBC⊥，故

四边形ABCD为矩形，从而有A、B、C、D四点共圆．【详解】解：（1）由题意知，()5,0OA→=，()2,3AB→=−−，()6,4BC→=−，所以()()()5,02,33,3OBOAAB→→→=+=+−−=−，同理()()()3,36,43,1OCOBBC→→→

=+=−+−=−，由ADBC→→=，得()1,4D−，则点D对应的复数14zi=−+．（2）由0ABBC→→=，得ABBC→→⊥，即ABBC⊥．四边形ABCD为矩形A、B、C、D四点共圆．22.（12分）对任意的复数()izxyxy=+R、，定义运算()(

)()2cosisinPzxyy=+．则直线l：90xy−−=上是否存在整点(),xy（x、y均为整数的点），使得复数()izxyxy=+R、经运算P后，()Pz对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说

明理由．【答案】存在满足条件的整点()3,6−、()3,12−−．【分析】写出()Pz对应点坐标为2(cos()xy，2sin())xy，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．【详解】解：()Pz对应点坐标为2(cos()xy，2sin())xy

由题意229sincos9,yxxyxyxyZ=−=−，得22sin(9)cos(9)9xxxx−=−−22sincos9xxxx=+，xZ，①当2xk=，kZ时，得290x+=不成立；②当21xk=+，kZ时，得290x-=，3x=成

立，此时36xy==−或312xy=−=−，故存在满足条件的整点()3,6−、()3,12−−．