【文档说明】《江苏中考真题数学》江苏省连云港市2021年中考数学真题（解析版）.docx，共(30)页，1.988 MB，由envi的店铺上传

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2021年江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.3−相反数是（）A.13

B.3−C.13−D.3【答案】D【解析】【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数称为相反数．【详解】解：3−的相反数是3．故选：D．【点睛】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是0．2.下列运

算正确的是（）A.325abab+=B.22523ab−=C.277aaa+=D.()22112xxx−+−=【答案】D【解析】【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．【详解】解：A，3

a与2b不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；B，25a与22b不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；C，合并同类项后2787aaaa+=，故选项错误，不符合题意；D，完全平方公式：()22211221xxxxx=−++−=−，故选项正确，符合题意；故选：D．【点

睛】本题考查了代数式的运算，同类项合并及完全平方差公式，解题的关键是：掌握相关的运算法则．3.2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据，其中连云港市的常住人口约为4600000人．把“46000

00”用科学记数法表示为（）A.70.4610B.74.610C.64.610D.54610【答案】C【解析】【分析】根据公式10na（110a，n为正整数）表示出来即可．【详解】解：46000

00=64.610故选：C．【点睛】本题主要考查了科学记数法，关键是根据公式10na（110a，n为正整数）将所给数据表示出来．4.正五边形的内角和是（）A.360B.540C.720D.900【答案】B【解析】【

分析】n边形的内角和是()2180n−，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【详解】（5﹣2）×180°=540°．故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用

多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．5.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点1D、1C的位置，1ED的延长线交BC于点G，若64EFG=，则EGB等于（）A.128B.130C.132D.136【答案】A【解析】【分析】

由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∵矩形纸片ABCD沿EF折叠，∴∠DEF=∠GEF，又∵AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∴∠

DEF=∠GEF=∠EFG=64︒，∵EGB是△EFG的外角，∴EGB=∠GEF+∠EFG=128︒故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三

角形外角的性质求解．6.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)−；乙：函数图像经过第四象限；丙：当0x时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能

是（）A.yx=−B.1yx=C.2yx=D.1yx=−【答案】D【解析】【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于yx=−，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点(1,1)−；函数图象经过二、四象限；当0x时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；B.对于1yx=，

当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点(1,1)−；函数图象分布在一、三象限；当0x时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；C.对于2yx=，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点(1,1)−

；函数图象分布在一、二象限；当0x时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；D.对于1yx=−，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点(1,1)−；函数图象经过二、四象限；当0x时，y随x的增大而增大．故选项D符合题

意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．7.如图，ABC中，BDAB⊥，BD、AC相交于点D，47ADAC=，2AB=，150ABC=，

则DBC△的面积是（）A.3314B.9314C.337D.637【答案】A【解析】【分析】过点C作CEAB⊥的延长线于点E，由等高三角形的面积性质得到:3:7DBCABCSS=，再证明ADBACEV:V，解得47ABAE=，分别求得AE、CE长，最后根据ACE的面积公式解题．【详解】解：过

点C作CEAB⊥的延长线于点E，DBC与ADB△是等高三角形，43:::4:377ADBDBCSSADDCACAC===:3:7DBCABCSS=BDAB⊥ADBACEV:V22416749ADBAC

EACSADSACAC===47ABAE=2AB=72AE=73222BE=−=150,ABC=Q18015030CBE=−=3tan302CEBE==设4,3ADBDBCSxSx==494ACESx=491

734222x=314x=33314x=，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8.如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积为2π，1MN=，则AMN周长的最小值是

（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）N为BD上一动点，A点关于线段BD的对称点为点C，连接CN，则=CNAN，过A点作CN的平行线AG，过C点作BD的平行线CG，两平行线相交于点G，AG与BD相交于点M．//

,//,CNMGNMCG四边形CNMG是平行四边形MGCN=MGAN=则=1AMNCANAMNMMGAM++=++（2）找一点'N，连接'CN，则'='CNAN，过G点作'CN的平行线MG，连接'AM则''=''''''''''1

AMNCANAMNMANAMCGANAMNMANAM++=++=++=++．此时1''1ANAMANAM++++''AMNAMNCC（1）中AMN周长取到最小值四边形CNMG是平行四边形CNMNMA=四边形ABCD是正方形COOA=，AC

BD⊥又CNMNMA=，NOCMOA=，COOA=()CNOAOMAASONOM=又ACBD^ANAM=ANM是等腰三角形22Sr==，则圆的半径2r=，1111222OMMN===()2222219+224AMrOM==+=32A

M=3=2+1=42AMNC故选：B．【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到AMN周长取最小值时MN、的位置．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在

答题卡相应位置上）9.一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是______．【答案】2【解析】【分析】先排序，再进行计算；【详解】解：从小到大排序为：1，1，2，2，3，4，∵数字有6个，∴中位数为：222

2+=，故答案是2．【点睛】本题主要考查了中位数求解，准确计算是解题的关键．10.计算()25−=__________．【答案】5【解析】【分析】直接运用二次根式的性质解答即可．【详解】解：()25−=5．故填5．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，掌握()()200aaaaa−

=＜成为解答本题的关键．11.分解因式：2961xx++=____．【答案】（3x＋1）2【解析】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝（3x＋1）2，故答案为：（3x＋1）2【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是

解本题的关键．12.已知方程230xxk−+=有两个相等的实数根，则k=____．【答案】94【解析】【分析】【详解】试题分析：∵230xxk−+=有两个相等的实数根，∴△=0，∴9-4k=0，∴k=94．故答案为94．考点：根的判别式．13.如图，OA、O

B是O的半径，点C在O上，30AOB=，40OBC=，则OAC=______．【答案】25【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接

OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-40°×2=100°，∴∠AOC=100°+30°=130°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解

题的关键．14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OEAD⊥，垂足为E，8AC=，6BD=，则OE的长为______．【答案】125【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出

答案．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，∴AD=5，在RtADO中，由等面积法得：1122AODOADOE=gg,∴341255AODOOEAD´===g故答案

为：125．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性质与定理是解题关键．15.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了

增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．【答案】1264【解析】【分析】根据题

意，总利润=A快餐的总利润＋B快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设A种快餐的总利润为1W，B种快餐的总利润为2W，两种快餐的总利润为W，设A快餐的份数为x份，则B种快餐

的份数为()120x−份．据题意：2140112122032222xxWxxxx−=−=−+=−+()()22801201=812072240022xWxxx−−+−=−+−∴()22121042400=521

264WWWxxx=+=−+−−−+∵10−∴当52x=的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．16.如图，BE是ABC的中线，点F在

BE上，延长AF交BC于点D．若3BFFE=，则BDDC=______．【答案】32【解析】【分析】连接ED，由BE是ABC的中线，得到BEBCESS=△A△，AEDEDCSS=，由3BFFE=，得到3,3AB

FBFDAFEFEDSSSS==，设=,AEFEFDSxSy=，由面积的等量关系解得53xy=，最后根据等高三角形的性质解得ABDADCSBDSDC=，据此解题即可．【详解】解：连接EDBE是ABC的中线，ABEBCESS=，AEDEDCSS=3BFFE=3,3ABFB

FDAFEFEDSSSS==设=,AEFEFDSxSy=，33ABFBFDSxSy==，4,4,4ABEBECBEDSxSxSy===44EDCBECBEDSSSxy=−=−ADEEDCSS=44x

yxy+=−53xy=ABD与ADC是等高三角形，53+33333833=516445325333ABDADCyySBDxyxyySDCxyxyxyyyy++=====++−−−，故答案为：32．【点睛】本题

考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：23862+−−．【答案】4．【解析】【分析】由38=2，-

6=6，计算出结果．【详解】解：原式2644=+−=故答案为：4．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，关键是开三次方与绝对值的计算．18.解不等式组：311442xxxx−++−．【答案】x2【解析】【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可．【详

解】解：解不等式3x﹣1x+1，得：x1，解不等式x+44x﹣2，得：x2，∴不等式组的解集为x2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“解一元一次不等式的方法和确定不等式组解集的方法”是解答本题的关键.19.解方程：214111xxx+−=−−．【答案】无解

【解析】【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．【详解】解：去分母得：()22141xx+-=-整理得22x=，解得1x=，经检验，1x=是分式方程的增根，故此方程无解．【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．20.端午节吃粽子是中华民族的传统习

俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是______；（

3）这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为______．【答案】（1）见解析；（2）108；（3）500【解析】【分析】（1）由A种粽子数量240除以占比40%可得粽子总数为600个，继而解得B种粽子的数量即可解题；（2

）将D种粽子数量除以总数再乘以360°即可解题；（3）用B种粽子的人数除以总数再乘以2500即可解题．【详解】解：（1）由条形图知，A种粽子有240个，由扇形图知A种粽子占总数的40%，可知粽子总数有：240=60040%（个）B种粽子有600

24060180120−−−=（个）；（2）180360=108600，故答案为：108；（3）1202500=500600（人），故答案为：500．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、求扇形的圆心角、用样本估计总体等

知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21.为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的

候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．【答案】（1）13；（2）23【解析】【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符

合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，∴恰好选中乙的概率为13；故答案为：13；（2）分别用字母A，B表示女生，C

，D表示男生画树状如下：4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，∴P（1女1男）82123==．答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能

的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果ABAE=，求证：四边形ACE

D是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平

行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴

四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．23.为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消

毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【答案】（1）A

种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；（2）购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶，最少费用为676元【解析】【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费

用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．【详解】解：（1）设A种消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元．由题意得：23415253xyxy+=+=

，解之得，79xy==，答：A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元．（2）设购进A种消毒液a瓶，则购进B种()90a−瓶，购买费用为W元．则()79902810=+−=−+Waaa，∴W随着a的增大而减小，a最大时，W有最

小值．又1903−aa，∴67.5a．由于a是整数，a最大值为67，即当67a=时，最省钱，最少费用为810267676−=元．此时，906723−=．最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶．【点睛】本题考查了二元一次不等式组的求解及利

用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．24.如图，RtABC中，90ABC=，以点C为圆心，CB为半径作C，D为C上一点，连接AD、CD，ABAD=，AC平分BAD．（1）求证：AD是C的切线；（2）延长A

D、BC相交于点E，若2EDCABCSS=，求tanBAC的值．【答案】（1）见解析；（2）22【解析】【分析】（1）利用SAS证明≌BACDAC，可得90ADCABC==，即可得证；（2）由已知条件可得EDCEBA∽，可得出:1:2

=DCBA，进而得出:1:2=CBBA即可求得tanBAC；【详解】（1）∵AC平分BAD，∴BACDAC=．∵ABAD=，ACAC=，∴≌BACDAC．∴90ADCABC==．∴CDAD⊥，∴AD是C的切线．（2）由（1）可知，90EDCAB

C==，又EE=，∴EDCEBA∽．∵2=EDCABCSS，且≌BACDAC，∴:1:2=EDCEBASS，∴:1:2=DCBA．∵DCCB=，∴:1:2=CBBA．∵90ABC=∴2tan2==CBBACBA【点睛】

此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键．25.我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知4.8mAB=，鱼竿尾端A离

岸边0.4m，即0.4mAD=．海面与地面AD平行且相距1.2m，即1.2mDH=．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角37BCH=，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角22BAD=．求点O

到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD=，此时鱼线被拉直，鱼线5.46mBO=，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：3sin37cos535=，4

cos37sin535=，3tan374，3sin228≈，15cos2216≈，2tan225≈）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【解析】【分析】（1）过点B作BFCH⊥，垂足为F，延长AD交BF于点E，构建

RtABE△和RtBFC△，在RtABE△中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用BEEF+求出BF，在RtBFC△中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用CFAEADCH+-=;（2）过点B作⊥BNOH，垂足为N，延长AD交BN于

点M，构建RtABM和RtBNO，在RtABM中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在RtBNO中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【详解】（1）过点B作BFCH

⊥，垂足为F，延长AD交BF于点E，则AEBF⊥，垂足为E．由cosAEBAEAB=，∴cos224.8=AE，∴15164.8=AE，即4.5AE=，∴4.50.44.1=−=−=DEAEAD，

由sinBEBAEAB=，∴sin224.8=BE，∴384.8=BE，即1.8BE=，∴1.81.23=+=+=BFBEEF．又tan=BFBCFCF，∴3tan37=CF，∴334=CF，即4CF=，∴44.18.1=+=+=+=CHCFHFCFDE，即C到岸边的距

离为8.1m．（2）过点B作⊥BNOH，垂足为N，延长AD交BN于点M，则AMBN⊥，垂足为M．由cos=AMBAMAB，∴cos534.8=AM，∴354.8=AM，即2.88=AM，∴2.880.42.48=−=−=DM

AMAD．由sin=BMBAMAB，∴sin534.8=BM，∴454.8=BM，即3.84=BM，∴3.841.25.04=+=+=BNBMMN．∴22225.465.044.412.1=−=−==ONOBBN，∴4.58=+=+=OHONHNONDM，即点O到岸边的距离为4.58m

．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．26.如图，

抛物线()223(69)ymxmxm=++−+与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知(3,0)B．（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若PBCABCSS=△△，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一

点，若45ACQ=，求点Q的坐标．【答案】（1）1m=−，3yx=−；（2）()2,1P，317717,22+−+P，317717,22−−−P；（3）75,24−Q【解析】【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法

计算即可；（2）做点A关于BC的平行线1AP，联立直线1AP与抛物线的表达式可求出1P的坐标，设出直线1AP与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线23PP，联立方程组即可求出P；（3）取点Q，连接CQ，过点A作ADCQ⊥于点

D，过点D作DFx⊥轴于点F，过点C作CEDF⊥于点E，得直线CD对应的表达式为132yx=−，即可求出结果；【详解】（1）将()3,0B代入()()22369=++−+ymxmxm，化简得20mm+=，则0m=（

舍）或1m=−，∴1m=−，得：243yxx=−+−，则()0,3C−．设直线BC对应的函数表达式为ykxb=+，将()3,0B、()0,3C−代入可得033kbb=+−=，解得1k=，则直线BC对应的函数表达

式为3yx=−．（2）如图，过点A作1AP∥BC，设直线1AP与y轴的交点为G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线23PP，由（1）得直线BC的解析式为3yx=−，()1,0A，∴直线AG的表达式

为1yx=−，联立2143yxyxx=−=−+−，解得：10xy==（舍），或21xy==，∴()12,1P，由直线AG的表达式可得()1,0G−，∴2GC=，2CH=，∴直线23PP的表达式为5yx=−，联立2543yxyxx=

−=−+−，解得：113172717xy+=−+=，223172717xy−=−−=，∴3317717,22P+−+，2317717,22P−−−，∴()2,1P，317717,

22+−+P，317717,22−−−P．（3）如图，取点Q，连接CQ，过点A作ADCQ⊥于点D，过点D作DFx⊥轴于点F，过点C作CEDF⊥于点E，∵45ACQ=，∴AD=CD，又∵90ADC=，∴90ADFCDE+=，∵90CDEDCE+=，

∴DCEADF=，又∵90EAFD==，∴CDEDAF≌，则AFDE=，CEDF=．设==DEAFa，∵1OA=，OFCE=，∴1CEDFa==+．由3OC=，则3=−DFa，即13+=−aa，解之得，1a=．所以()2,2D−，又()0,3C−，可得直线CD对应的表达式为132y

x=−，设1,32Qmm−，代入243yxx=−+−，得213432−=−+−mmm，2142=−+mmm，2702−=mm，又0m，则72m=．所以75,24−Q．【点睛】本题主要考

查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．27.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且1AE=，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；（2）A

BC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求

点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、

H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3）332；（4）34；324【解析】【分析】（1）由ABC、BEF是等边三角形，BABC=，BEBF=，ABECBF=

，可证ABECBF≌即可；（2）连接CF，ABC、BEF是等边三角形，可证ABECBF≌，可得BCFABC=，又点E在C处时，CFAC=，点E在A处时，点F与C重合．可得点F运动的路径的长3==AC；（3）取

BC中点H，连接HN，由ABC、BMN是等边三角形，可证≌DBMHBN，可得NHBC⊥．又点M在C处时，332==HNCD，点M在D处时，点N与H重合．可求点N所经过的路径的长332==CD；（4）连接CG,AC，OB，由

∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的BC上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理222COBOBC+=即，可求322x=，点G所经过的路径长为BC长=324，点H所经过的路径长为»BN的长34=．【详解】解:（1）∵ABC、BEF是等边三

角形，∴BABC=，BEBF=，60==ABCEBF．∴+=+ABECBECBFCBE，∴ABECBF=，∴ABECBF≌，∴1CFAE==；（2）连接CF，∵ABC、BEF是等边三角形，∴BABC

=，BEBF=，60==ABCEBF．∴+=+ABECBECBFCBE，∴ABECBF=，∴ABECBF≌，∴CFAE=，60==BCFBAE，∵60ABC=，∴BCFABC=，∴//CFAB，又点E在C处时，CFAC=，点E在A处时，点F与C重合．∴点F

运动的路径的长3==AC；（3）取BC中点H，连接HN，∴12BHBC=，∴12=BHAB，∵CDAB⊥，∴12BDAB=，∴BHBD=，∵ABC、BMN是等边三角形，∴BMBN=，60==ABCMBN，∴+=

+DBMMBHHBNMBH，∴=DBMHBN，∴≌DBMHBN，∴=HNDM，90==BHNBDM，∴NHBC⊥，又点M在C处时，332==HNCD，点M在D处时，点N与H重合，∴点N所经过的路径的长332==CD；

（4）连接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的BC上运动，∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，∴∠COB=90°，设OC=x，由勾股定理222COBOBC+=即2223xx+=，∴

322x=，点G所经过的路径长为BC长=132322424=，点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧»BN上运动，点H所经过的路径长为»BN的长度，∵点G运动圆周的四分之一，∴点H也运动

圆周的四分一，点H所经过的路径长为»BN的长=1332424=，故答案为34；324．【点睛本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等

边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com