【文档说明】重庆市江津中学、铜梁中学、长寿中学等七校联盟2021届高三下学期第三次模拟考试数学试题 含答案.doc，共(5)页，3.654 MB，由管理员店铺上传

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重庆市2020-2021学年下期高2021届七校三诊数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答

题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（改编）}16|{},62|{2==xZxBxxA，则=BA（）A．}3,2{B．}4,3,2{C．}2{D．}3{2．若,abR，则“4+b

a”是“4ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件件D．既不充分也不必要条件3．（改编）以下四个命题中：①回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模拟的拟合效果越好；②两

个随机变量的线性相关越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2；④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．44．

（改编）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（）A．14B．827C．

29D．165．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a､b､c，则三角形的面积S可由公式()()()Sppapbpc=−−−求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足3a=，

5bc+=，则此三角形面积的最大值为（）A．32B．3C．7D．116．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如：OZz=，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到坐标原点的距离．在复平面内，复数021

aizi+=+（i是虚数单位，aR）是纯虚数，其对应的点为0Z，Z为曲线1z=上的动点，则0Z与Z之间的最小距离为（）A．12B．1C．32D．27．（改编）已知函数()21xfxx=+−，()2log1gxxx=+−，()31

hxxx=+−的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为()A．cbaB．bcaC．cabD．acb8．(原创)已知抛物线：24yx=，过点(2,0)M作两条斜率为1k，2k的直线与抛物线的准线l分别相交于点1M，2M．分别过1M，2M作l的垂线交抛物

线于点P，Q，当1214kk=−时，则点(2,0)M到直线PQ的距离的最大值是()A．1B．821C．1623D．94二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的得2分，有选错的得0分。9．

（改编）已知函数()()sinfxx=+（w>0，�j<π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4，且()−12fxf恒成立，则下列结论正确的是（）A．函数()fx在0,4的取值范围是1,12−B．函数()fx在区间,612−ππ上

单调递增C．点5,024−π是函数()fx图象的一个对称中心D．将函数()fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6π个单位长度，可得到()sin2gx

x=的图象10．（改编）设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值可以是()A．1B．2C．3D．411．（改编）已知a，b

为正实数，且+26abab+=，则（）A．ab的最大值为2B．2ab+的最小值为4C．ab+的最小值为3D．1112ab+++的最小值为2212．如图，正方形ABCD的边长为1，MN、分别为BCCD、的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，

以下结论正确的是（）A.异面直线AC与MN所成的角为定值B.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直C.三棱锥NACM−与BACD−体积之比值为定值D.四面体ABCD的外接球体积为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式22nxx−的展开式中，仅有第

六项的二项式系数取得最大值,则展开式中含x项的系数是____．14．已知2sin63−=，则sin26+=________．15．已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边A

B、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得2DEEF=，则AFBC的值为_________.16．已知定义在R上的函数()13yfx=+−是奇函数，当()1,x+时，()131fxxx+−−，则不等式()()3ln10fxx−+的解集为_____

_____．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列na是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前n项和为nS，1581aa=，2S、3a、43aS−依次

成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）若______，求nnab的前n项和nP，并求nP的最小值．从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．①数列nb满足：

112b=，132nnnbbn+=+（*nN）；②数列nb的前n项和2nTn=（*nN）；③数列nb的前n项和nT满足：65nnTb−=（*nN）．注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知函数27()2cossin21()6fxxxxR

=+−−．（1）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间；（2在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知1()2fA=，若2bca+=，且6ABAC=，求a的值．19.（改编）（本

小题满分12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重

点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近%70．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28

(吨/天)的确定为“超标”社区：（1）在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值x(精确到1.0)；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量X大致服从正态分布()2,N，

其中，2分别近似为（1）中样本的平均值x，方差2s，经计算s约为5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标

”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中随机抽取5个进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．附：若随机变量

X服从正态分布()2,N，则()6827.0+−Xp,()9545.022+−Xp，()9974.033+−Xp20.（原创）（本小题满分12分）如图正三棱柱'''ABCABC−的所有棱长均为2，EFGH、、

、分别是棱'''AAABACBC、、、的中点.（1）求证：''//BCEFG面；（2）求三棱锥HEFG−的体积；（3）求二面角EFGH−−的余弦值．21.（改编）（本小题满分12分）椭圆C：22221(0)xyabab+=的右焦

点为(1,0)F，过F的直线l与椭圆交于A、B两点，当F是AB的中点时，AB=3．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C在点A、B处的切线交于点N，O为坐标原点，求证：直线ON平分线段AB．附：椭圆22

221(0)xyabab+=上一点00(,)Pxy处的切线方程为00221xxyyab+=．22.（本小题满分12分）已知函数()lnfxxxaxb=++在()()1,1f处的切线方程为2210xy−−=.（1）求()fx的单调区间与最小值；（2）求证：sin1l

ncosxxexxx−++．2020-2021学年下期高2021届七校三诊数学试卷答案垃圾量X)5.155.12，)5.185.15，)5.215.18，)5.245.21，)5.275.24，)5.305.27，)5.335.30，频数56912864一、选择题：本题共8小

题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A2．D3．C4．D5．B6．B7．B8．C8.解析：设11(,)Pxy，22(,)Qxy，直线:PQxmya=+，24yxxmya==+2440ymya−−=，124yya=−．1212133

4yykk==−−−4194a−=−916a=，所以直线PQ过定点9,016N，则M到直线PQ的距离23||16dMN=，当PQMN⊥即112k=−，212k=或112k=，212k=−取等号．二、选择题：本题共4小题，每

小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的得2分，有选错的得0分。9．AC10．BC11.ABD12.ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．215−14．9115．1816．

()()1,01,−+四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）设数列na的公比为q，则由0na，1581aa=，所以2381a=，因为0na，所以39a=，．．

．．．．．1分因为2S，3a，43aS−成等差数列，所以32432aSaS=+−，即343aa=，所以433aqa==，．．．．．．．2分所以11a=，．．．．．．．．．．．．．3分所以13nna−=．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）选择①：因为112b=，132nnnb

bn+=+（），所以1132nnbnbn+=•+（nN），．．．5分所以211133bb=；321234bb=；431335bb=；……；11131nnbnbn−−=+；()3211211231nnnbbbbbbnn−−=+．．．．．．．

．．．．．．．．．6分所以()11131nnbnn−=+，当1n=时也成立．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以()11111===−++nnncabnnnn，．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以11111111223111=−+−++−=−=+++

nnPnnnn，．．．．．．．．．．．．．．．．9分因为nP是递增的，所以nP的最小值为112P=，．．．．．．．．．．．．．．．．10分选择②：由2nTn=可知：当1n=时，111bT==，．．．．．．．．．．．．．．．．5分当2n时，()221121−=−=−−=−nnn

bTTnnn，．．．．．．．．．．．．．．．．6分验证当1n=时亦满足此关系，所以21nbn=−．．．．．．．．7分所以()1213nnnnncab−=−=所以()21113353213−=++++−nnPn()23313335321

3=++++−nnPn，．．．．．．．．．．．．．．．．8分两式相减得：-2Pn=1´1+2´3+3´32+2´33+×××+2´3n-1-2n-1()´3n()623121313nnn−=+−−−所以Pn=n-

1()×3n+1，．．．．．．．．．．．．．．．．9分因为nP是递增的，所以nP的最小值11P=，．．．．．．．．．．．．．．．．10分选择③：当n=1时，1165Tb−=，即b1=1．．．．．．．．．．．．．．．．5分当2n…时，因为()65nnTbnN−=，所以1

165nnTb−−−=，两式相减得()()1160nnnnTTbb−−−−−=，即150nnbb−+=（2n），由于10b，故0nb所以115nnbb−=−（n³2）．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以数列nb是以1为首项，-15为公比的

等比数列，所以()115nnb−=−，．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以()135nnnncab−==−，所以Pn=1--35æèçöø÷n1+35=581--35æèçöø÷néëêêùûúú

，．．．．．．．．．．．．．．．．8分当n为奇数时，由于()305n−，故Pn>58；当n为偶数时，由于()305n−，故Pn<58，由Pn=581--35æèçöø÷néëêêùûúú在n为偶数时单调递

增，所以当2n=时，nP的最小值为58´1625=25．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18．【解析】（1）7()sin(2)cos26fxxx=−+．．．．．．．．．．．．．．．．．1分1313cos2sin2cos2cos2sin2

2222xxxxx=−++=+．．．．．．．．．．．．．．2分sin(2)6x=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分函数()fx的最小正周期22T==.．．．．．．．．．．．．．．4分由222262kxk

−++剟（kÎZ），可解得36kxk−+剟（kÎZ）．．．．．．．．．．．5分()fx的单调递增区间为,36kk−+（kÎZ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由1()sin(2)62fAA=+=，可得2266Ak

+=+或52266Ak+=+（kÎZ）．．．．．．．7分(0,)A，3A=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分1cos62ABACbcAbc===12bc=．．．．．．．．．．．．．9分

又2abc=+，222221()4cos11122248bcaaaaAbc+−−==−=−=−，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分23a=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．【解析】解：（1）由频数分布表得145176209231226829632422.7622.850x++++++==所以这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值为22.8吨．．．．．．．．．．．．．．．．

．．4分（2）由（1）知22.8=，因为s约为5.2，所以取5.2=．所以()()10.6827280.158652pxpx−=+==．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又3200.1586550.76851=，所以估计这320个社区一天中“超标”社区

的个数为51．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以Y的可能取值为1，2，3，4，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分()1444581114CCpYC===,()234458327CC

pYC===,()324458317CCpYC===，()4144581414CCpYC===．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以Y的分布列为Y1234P1143737114所以()52EY=．．．．．．．．

．．12分20.【解析】证明：（1）BCCBCBAABC//'''''−是三棱柱又FGBCGCAGFBAF//,==EFGCBEFGFGFGCB面面'',,//''EFGCB面//''………………………………3分（2）由（1）''EFBGEFGBEFGHV

VV−−−==…………………5分hSVEFBEFBG=−''31，的距离到平面是点''AABBGh，23=h…………………6分43231121212231'=−−=−EFBGV…………………7分（1）设二面角的HFGEBFGHAFG

E−−−−−−、、的平面角分别为、、则−−=，coscossinsin)cos()cos(cos−=+−=−−=…………………8分过点A作ERRFGAR连接于,⊥易证=ARE，可得73cos,72sin==类似的方法可得

194sin,193cos==………………10分133133513357319319472cos==−=………………11分所以二面角HFGE−−的余弦值为1331335………………12分21.【解析】（1）解：当F是AB的中点时，AB⊥x轴，2

23bABa==，又221cab==−，解得2a=（舍负），3b=，．．．．．．．．．3分所以椭圆的方程为22143xy+=．．．．．．．．．．4分（2）证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，AB的中点为00(,)Mxy

，由题知，AB的斜率不为0，故可设AB：1xmy=+，则椭圆C在点A处的切线为11143xxyy+=，在点B处的切线为22143xxyy+=，故2121122112214()4()4(1)(1)Nyyyyxxyxymy

ymyy−−===−+−+，．．．．．．．．8分将4Nx=代入两切线方程得1113yyx+=，2213yyx+=，两式相减得1212()03yyyxx−−+=，即12123()3xxymyy−=−=−−，故(4,3)Nm−，所以34ONmk=−，

．．．．．．．．．10分由点A，B在椭圆上可得2211143xy+=，2222143xy+=，两式相减得22221212043xxyy−−+=，整理得34OMmk=−，所以OMONkk=，即ON经过线段AB的中点M，

所以直线ON平分线段AB．．．．．．．．12分22．【解析】（1）()1lnfxxa=++，故()111fa=+=，得0a=，又()22110f−−=，所以()112fab=+=，得12b=.则()1ln2fxxx=+，()1lnfxx=+，当10,xe

时，()()0,fxfx单调递减；当1,xe+时，()()0,fxfx单调递增，所以min1112fee=−...........................................

................................4分（2）令()sin,0gxxxx=−，()1cos0gxx=−，()gx递增，所以()()00gxg=，所以当0x时，sinxx，令()1,0xhxexx=−−，()10xhxe=−，()h

x递增，()()00hxh=，所以当0x时，1xex+，要证sin1lncosxxexxx−++，由1cos1,sinxxx−，及1xex+得，sin11ln1ln,cos11xxex

xxxxx−+++++−，故原不等式成立，只需证11ln2xxx++−，即证21ln0xxxx−++.由（1）可得1lnxxe−，且2314xx−+，所以2311ln04xxxxe−++−，则原不等

式成立................................12分