【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题09 三角函数的图象与性质小题综合 Word版含解析.docx，共(58)页，2.804 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-e3ae76df01ad66ba5ae25cf13a5ecacd.html

以下为本文档部分文字说明：

专题09三角函数的图象与性质小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1任意角和弧度制及求扇形的弧长、面积计算（10年3考）2022·全国甲卷、2020·浙江卷、2015·山东卷1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化

，借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题，理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值，能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角

函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考2.能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质，能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质会求参数及函数解析式该内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图

象与性质的综合应用，需考点2任意角的三角函数（10年3考）2020·山东卷、2020·全国卷、2018·北京卷考点3同角三角函数的基本关系（含弦切互化）（10年8考）2024·全国甲卷、2023·全国乙卷、2021·全国甲卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·江苏

卷2018·全国卷、2018·全国卷、2016·全国卷2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·福建卷2015·四川卷考点4诱导公式及其化简求值（10年3考）2023·全国甲卷、2022·浙江卷2017·全国卷、

2017·北京卷考点5三角函数的图象与性质（基础）（10年6考）2024·全国甲卷、2024·天津卷、2024·上海卷2024·北京卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·天津卷、202

1·北京卷、2021·全国甲卷2021·全国乙卷、2019·北京卷、2018·全国卷2017·山东卷、2017·全国卷考点6三角函数的图象与性质（拔高）（10年10考）2024·天津卷、2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷2024·全国新Ⅱ卷、2023

·全国甲卷、2023·全国乙卷2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·全国甲卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷2020·山

东卷、2020·全国卷、2019·全国卷2019·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·全国卷2018·全国卷、2018·北京卷、2017·全国卷2017·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷2016·全国卷

、2016·全国卷、2016·山东卷2016·浙江卷、2016·上海、2015·四川卷、2015·安徽卷、2015·北京卷、2015·浙江卷2015·湖南卷加强复习备考3.理解并掌握三角函数的图象与性质，会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换，该内容

是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸缩平移变换，需加强复习备考考点7三角函数的图象与性质（压轴）（10年3考）2017·天津卷、2017·上海卷、2016·天津卷20

16·全国卷、2015·上海卷考点8三角函数的伸缩平移变换（10年9考）2023·全国甲卷、2022·天津卷、2022·浙江卷2022·全国甲卷、2021·全国乙卷、2020·天津卷2020·江苏卷、2019·天津卷、2018·天津卷2018·天津卷、2017·全国卷、2016·四川卷20

16·全国卷、2016·北京卷、2016·全国卷2016·四川卷、2016·全国卷、2016·全国卷2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖南卷考点01任意角和弧度制及求扇形的弧长、面积计算1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其

中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CDAB⊥．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：2CDsABOA=+．当2,60OAAOB==时，s=（）A．11332−B．114

32−C．9332−D．9432−【答案】B【分析】连接OC，分别求出,,ABOCCD，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OCAB⊥，又CDAB⊥，所以,

,OCD三点共线，即2ODOAOB===，又60AOB=，所以2ABOAOB===，则3OC=，故23CD=−，所以()22231143222CDsABOA−−=+=+=.故选：B.2．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个

圆锥的底面半径（单位：cm）是．【答案】1【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则21222rlrl==，解得1,2rl==.故答案为：1【点睛

】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.3．（2015·山东·高考真题）终边在y轴的正半轴上的角的集合是（）A．π2π,2xxkkZ=+B．ππ2xxk=+C．π2π,2xxkkZ=−+D．ππ,2x

xkkZ=−+【答案】A【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解【详解】终边在y轴正半轴上的角的集合是π2π,2xkkZ+故选：A考点02任意角的三角函数1．（2020·山东·高考真题）已知直线sincos:yxl

=+的图像如图所示，则角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin0、cos0，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin0

，cos0，则角是第四象限角，故选：D.2．（2020·全国·高考真题）若α为第四象限角，则（）A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0【答案】D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可

.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2kkkZ++，所以34244,kkkZ++此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin20故选：D.方法二：当6

=−时，cos2cos03=−，选项B错误；当3=−时，2cos2cos03=−，选项A错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0=，选项C错误，

选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，,,,ABCDEFGH是圆221xy+=上的四段弧（如图

），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若tancossin，则P所在的圆弧是A．ABB．CDC．EFD．GH【答案】C【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM为余弦线，有

向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线.A选项：当点P在AB上时，cos,sinxy==，cossin，故A选项错误；B选项：当点P在CD上时，cos,sinxy==，tanyx=，tansincos，故B选项错误；C选项：当点P在EF上时，cos,si

nxy==，tanyx=，sincostan，故C选项正确；D选项：点P在GH上且GH在第三象限，tan0,sin0,cos0，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函

数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin,cos,tan所对应的三角函数线进行比较.考点03同角三角函数的基本关系（含弦切互化）1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知cos3cossin=−

，则πtan4+=（）A．231+B．231−C．32D．13−【答案】B【分析】先将coscossin−弦化切求得tan，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos3cossin=−，所以131tan=−，3

tan13=−，所以tan1tan2311tan4+==−+−，故选：B.2．（2023·全国乙卷·高考真题）若π10,,tan22=，则sincos−=．【答案】55−【分析】根据同角三角关系求sin，进而可得结果.【详

解】因为π0,2，则sin0,cos0，又因为sin1tancos2==，则cos2sin=，且22222cossin4sinsin5sin1+=+==，解得

5sin5=或5sin5=−（舍去），所以5sincossin2sinsin5−=−=−=−.故答案为：55−.3．（2021·全国甲卷·高考真题）若cos0,,tan222sin=−，则tan=（）

A．1515B．55C．53D．153【答案】A【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin==−，再结合已知可求得1sin4=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详

解】costan22sin=−2sin22sincoscostan2cos212sin2sin===−−，0,2，cos0，22sin112sin2sin

=−−，解得1sin4=，215cos1sin4=−=，sin15tancos15==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin.4．（2021·全国新Ⅰ卷·

高考真题）若tan2=−，则()sin1sin2sincos+=+（）A．65−B．25−C．25D．65【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sinco

s=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2=−即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sinsincos2sincossin1sin2sinsincossincossincos+++==+++()2222sin

sincostantan422sincos1tan145++−====+++．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2=−，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正

负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．5．（2020·全国·高考真题）已知π()0,，且3cos28cos5−=，则sin=（）A．53B．23C．13D．59【答案】A【分析】用二倍角的余弦

公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos5−=，得26cos8cos80−−=，即23cos4cos40−−=，解得2cos3=−或cos2=（舍去），又25(0,

),sin1cos3=−=.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6．（2019·江苏·高考真题）已知tan2π3tan4=−+，则πsin24+的值是.【答案】

210.【分析】由题意首先求得tan的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan1tantantan2tan1tan13tan1tan4−

===−+++−，得23tan5tan20−−=，解得tan2=，或1tan3=−.sin2sin2coscos2sin444+=+()2222222sincoscossinsin2cos2=22sincos+−

=++2222tan1tan=2tan1+−+，当tan2=时，上式22222122==22110+−+；当1tan3=−时，上式=2211212233=210113−+−−−+.综

上，2sin2.410+=【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.7．（2018·全国·高考真题）已知sincos1+=，cossin0+=，则()sin+．【答案】12−【分析】方法一：将两式平方

相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1++=，1in()s2+=−．［方法二］：利用方程思想直接解出sin1cos,cossin=−=−，两式两边平方相加得1cos2=，则1sin2=．又3cos23sin2=−=或

3cos23sin2==−，所以1in()s2+=−．［方法三］：诱导公式＋二倍角公式由cossin0+=，可得3sincossin2=−=+，则322k=++或32()2kk=+−+

Z．若32()2kk=++Z，代入得sincos2sin1+==，即2131sin,sin()sin22cos22sin1222k=+=++=−=−=−．若2()2kk=−−Z，代入得sincos0+=，与题设矛盾．综

上所述，1in()s2+=−．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cossin(1sin)(cos)22sin1+=−+−=−=，得1sin2=．又sin1costantantancossin22−===−=−−，()2kk=−Z

，即22k=−，则2()kk+=−Z．从而1sin()sin(2)sin2k+=−=−=−．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sincos)(cossin)(sin2sin2)cos()2

++=++−sin()cos()cos()0=+−+−=，则cos()0−=或sin()1+=−．若cos()0−=，则()2kk−=+Z，即()2kk=++Z．当k为偶数时，sincos=，由sincos1+=，得1sincos

2==，又23cossin0,cossinsin4+==−=−，所以131sin()sincoscossin442+=+=−=−．当k为奇数时，sincos=−，得sincos0+=，这与已

知矛盾．若sin()1+=−，则2()2kk+=−Z．则sinsin2cos2k=−−=−，得sincos0+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s2+=−．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该

题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角

度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．8．（2018·全国·高考真题）函数()2tan1tanxfxx=+的最小正周期为A．4B．2C．D．2【答案】C【详解】分析:将函数()2f1tanxtanxx=+进行化简即可详解：由已知得(

)221fsin2,1221()sinxtanxcosxsinxcosxxxkkZsinxtanxcxosx====+++()fx的最小正周期2Tπ2==故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题9

．（2016·全国·高考真题）若3tan4=，则2cos2sin2+=A．6425B．4825C．1D．1625【答案】A【详解】试题分析：由3tan4=，得34sin,cos55==或34sin,cos55=−=−，所以2

161264cos2sin24252525+=+=，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立

已知和所求之间的联系．10．（2016·全国·高考真题）若1tan3=，则cos2=A．45−B．15−C．15D．45【答案】D【详解】222222coscos2coscossinsinsin−=−=+.分子分母同时除以2co

s，即得：2211149cos211519tantan−−===++.故选D.11．（2015·重庆·高考真题）若tan2tan5=，则3cos()10sin()5−=−（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】3c

oscos1052−=+−cossin255=−+=+,所以原式sinsincoscossin555sincoscossinsin555

++==−−tantan3tan553tantantan55+===−，故选C.点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条

件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用.本题主要考查两角和与差的公式.12．（2015·福建·高考真题）若5sin13=−，且为第四

象限角，则tan的值等于A．125B．125−C．512D．512−【答案】D【详解】∵sina=513−,且a为第四象限角,∴212113cosasina=−=，则512sinatanacosa==−，故选D.13．（2015·四川·高考真题）已知sinα＋2cosα＝0，则2s

inαcosα－cos2α的值是.【答案】－1【详解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos2α＝22222sincoscos2tan1411sincostan141−−−−===−

+++考点：本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.考点04诱导公式及其化简求值1．（2023·全国甲卷·高考真题）若()()2π1sin2fxxaxx=−+++为偶函数，则=a．【答

案】2【分析】利用偶函数的性质得到ππ22ff−=，从而求得2a=，再检验即可得解.【详解】因为()()()22π1sin1cos2yfxxaxxxaxx==−+++=−++为偶函数，定义域为R，

所以ππ22ff−=，即22ππππππ222222s1co1cosaa−+=−+−−−+，则22πππ2π1212a−=+−=，故2a=，此时()()2212cos1cosf

xxxxxx=−++=++，所以()()()()221coss1cofxxxxxfx−=−++++−==，又定义域为R，故()fx为偶函数，所以2a=.故答案为：2.2．（2022·浙江·高考真题）若3sinsin10,2−=+=，则

sin=，cos2=．【答案】3101045【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2+=，∴sincos=，即3sincos10−=，即3101

010sincos101010−=，令10sin10=，310cos10=，则()10sin10−=，∴22kkZ−=+，，即22k=++，∴310sinsin2cos210k

=++==，则224cos22cos12sin15=−=−=.故答案为：31010；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2+=，∴sincos=，即3sincos10−=，又22sincos1+=，将cos3sin10

=−代入得210sin610sin90−+=，解得310sin10=，则224cos22cos12sin15=−=−=.故答案为：31010；45.3．（2017·全国·高考真题）函数f(x)=15sin(x+3)

+cos(x−6)的最大值为A．65B．1C．35D．15【答案】A【详解】由诱导公式可得ππππcoscossin6233xxx−=−+=+，则()1ππ6πsinsinsin53353fxxxx=+++=+

,函数()fx的最大值为65.所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()yAxB=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．4．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标

系xOy中,角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3=,则sin=.【答案】13【详解】试题分析：因为角与角的终边关于y轴对称，所以π2π,kk+=+Z，所以()1sinsin

π2πsin3k=+−==.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于y轴对称，则π2π,kk+=+Z，若与的终边关于x轴对称，则2,kkZ+=，若

与的终边关于原点对称，则π2π,kk−=+Z.5．（2016·四川·高考真题）sin750=.【答案】12【详解】试题分析：由三角函数的诱导公式得1sin750sin(72030)sin302=+==.【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接

利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．考点05三角函数的图象与性质（基础）1．（2024·全国甲卷·

高考真题）函数()sin3cosfxxx=−在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin3cos2sin3fxxxx=−=−，当0,πx时，ππ2π,333x−−

，当ππ32x−=时，即5π6x=时，()max2fx=.故答案为：22．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（）A．22e1xxyx−=+B．22cos1xxyx+=+C．e1xxyx−=+D．||sin4exxxy+=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解

】对A，设()22e1xxfxx−=+，函数定义域为R，但()112e1f−−−=，()112ef−=，则()()11ff−，故A错误；对B，设()22cos1xxgxx+=+，函数定义域为R，且()()()()()2222coscos11xxxxgxgxxx−+−

+−===+−+，则()gx为偶函数，故B正确；对C，设()e1xxhxx−=+，函数定义域为|1xx−，不关于原点对称，则()hx不是偶函数，故C错误；对D，设()||sin4exxxx+=，函数定义域

为R，因为()sin141e+=，()sin141e−−−=，则()()11−，则()x不是偶函数，故D错误.故选：B.3．（2024·上海·高考真题）下列函数()fx的最小正周期是2π的是（）A．sin

cosxx+B．sincosxxC．22sincosxx+D．22sincosxx−【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，πsincos2sin4x

xx+=+，周期2πT=，故A正确；对B，1sincossin22xxx=，周期2ππ2T==，故B错误；对于选项C，22sincos1xx+=，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，22sincoscos

2xxx−=−，周期2ππ2T==，故D错误，故选：A．4．（2024·北京·高考真题）设函数()()sin0fxx=.已知()11fx=−，()21fx=，且12xx−的最小值为π2，则=（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公

式运算求解.【详解】由题意可知：1x为()fx的最小值点，2x为()fx的最大值点，则12minπ22Txx−==，即πT=，且0，所以2π2T==.故选：B.5．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数()sin(2)(0π)fxx=+

的图像关于点2π,03中心对称，则（）A．()fx在区间5π0,12单调递减B．()fx在区间π11π,1212−有两个极值点C．直线7π6x=是曲线()yfx=的对称轴D．直线32yx=−是曲线()yfx=的切线【答案】AD【分

析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin033f=+=，所以4ππ3k+=，kZ，即4ππ,3kk=−+Z，又0π，所以2k=时，2π3

=，故2π()sin23fxx=+．对A，当5π0,12x时，2π2π3π2,332x+，由正弦函数sinyu=图象知()yfx=在5π0,12上是单

调递减；对B，当π11π,1212x−时，2ππ5π2,322x+，由正弦函数sinyu=图象知()yfx=只有1个极值点，由2π3π232x+=，解得5π12x=，即5π12x=为函数的唯一极值点；对C，当7π6x=

时，2π23π3x+=，7π()06f=，直线7π6x=不是对称轴；对D，由2π2cos213yx=+=−得：2π1cos232x+=−，解得2π2π22π33xk+=+或2π

4π22π,33xkk+=+Z,从而得：πxk=或ππ,3xkk=+Z,所以函数()yfx=在点30,2处的切线斜率为02π2cos13xky====−，切线方程为：3(0)2yx−=−−即32yx=−

．故选：AD．6．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数()()cos(0,0π)fxx=+的最小正周期为T，若3()2fT=，9x=为()fx的零点，则的最小值为．【答案】3【分析】首先表示出T，根据()32fT=求出，再根据π9x=为函数的零点，即

可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cosfxx=+，（0，0π）所以最小正周期2πT=，因为()()2π3coscos2πcos2fT=+=+==，又0π

，所以π6=，即()πcos6fxx=+，又π9x=为()fx的零点，所以ππππ,Z962kk+=+，解得39,Zkk=+，因为0，所以当0k=时min3=；故答案为：37．（2022·天津·高考真题）已知1()sin22fxx=，关于该函数有下列

四个说法：①()fx的最小正周期为2π；②()fx在ππ[,]44−上单调递增；③当ππ,63x−时，()fx的取值范围为33,44−；④()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向左

平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin22fxx=，所以()fx

的最小正周期为2ππ2T==，①不正确；令ππ2,22tx=−，而1sin2yt=在ππ,22−上递增，所以()fx在ππ[,]44−上单调递增，②正确；因为π2π2,33tx=−，3sin,12t−

，所以()31,42fx−，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin22428xxx=+=+，所以()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向右平

移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A．8．（2021·北京·高考真题）函数()coscos2fxxx=−是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为98D．偶函数，且最大值为98【答案】D【分析】由函数奇偶性

的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()coscos2coscos2fxxxxxfx−=−−−=−=，所以该函数为偶函数，又2219()coscos22coscos12cos48fxxxxxx=−=

−++=−−+，所以当1cos4x=时，()fx取最大值98.故选：D.9．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数()2cos()fxx=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043fxffxf−−−

的最小正整数x为．【答案】2【分析】先根据图象求出函数()fx的解析式，再求出7(),()43ff−的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T=−=，即2T==，所

以2=；由五点法可得232+=，即6=−；所以()2cos26fxx=−.因为7()2cos143f−=−=，()2cos032f==；所以由74(()())

(()())043fxffxf−−−可得()1fx或()0fx；因为()12cos22cos1626f=−−=，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0fx，即cos206x−，解得,36kxkk

++Z，令0k=，可得536x，可得x的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0fx，又(2)2cos406f=−，符合题意，可得x的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】

关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.10．（2021·全国乙卷·高考真题）函数()sincos33xxfx=+的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6

π和2D．6π和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简()fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()22sincos2sincos2sin33232334xxxxx

fx=+=+=+，所以()fx的最小正周期为2613Tpp==，最大值为2.故选：C．11．（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是．【答案】2.【分析】将所给的函数利用降幂公式

进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数()2sin2fxx==142cosx−,周期为2【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.12．（2018·全国·高考真题）函数()πcos36fxx=+

在0π，的零点个数为．【答案】3【分析】方法一：求出36x+的范围，再由函数值为零，得到36x+的取值即得零点个数．【详解】［方法一］：【最优解】0πx193666x+由题可知3336262xx+=+=，，或5362x+=解得4,99x=,或79

故有3个零点．故答案为：3．方法二：令()cos306fxx=+=，即3,62xkk+=+Z，解得，,39kxk=+Z，分别令0,1,2k=，得47,,999xxx===，所以函数()cos36fxx=+在[0,]的零点的个数为3．故答案为：3

．【整体点评】方法一：先求出36x+的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．13．（2017·山东·高考真题）函数y＝3sin2x＋cos2

x的最小正周期为（）A．2B．23C．πD．2π【答案】C【分析】利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.【详解】∵y＝231sin2cos222xx+＝2sin26x+，222T===，故选：C.【点睛】该

题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.14．（2017·全国·高考真题）函数π()sin(2)3fxx=+的最小正周期为A．4πB．2πC．πD．π2【答案】C【详解】由题意22T==，故选C．【名师点睛】函数()sin(0,0)yAxBA

=++的性质：(1)maxmin=+yBAyBA=−，.(2)最小正周期2.T=(3)由()ππ2xkkZ+=+求对称轴.(4)由()ππ2π2π22kxkkZ−+++求增区间;由()π3π2π2π22kxkkZ+++求减区

间.考点06三角函数的图象与性质（拔高）一、单选题1．（2024·天津·高考真题）已知函数()()πsin303fxx=+的最小正周期为π．则()fx在ππ,126−的最小值是（）A．32−B．32−C．

0D．32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出，得()sin2fxx=−，再整体求出,126−ππx时，2x的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin3πsin33fxxxx=

+=+=−，由2ππ3T==得23=，即()sin2fxx=−，当,126−ππx时，ππ2,63x−，画出()sin2fxx=−图象，如下图，由图可知，()sin2fxx=−在ππ,126−

上递减，所以，当π6x=时，()minπ3sin32fx=−=−故选：A2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）当[0,2]xÎ时，曲线sinyx=与2sin36yx=−的交点个数为（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【分析】画出两函数在

0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sinyx=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36yx=−的最小正周期为2π3T=，所以在0,2πx上函数π2sin36yx=−有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数

图象有6个交点.故选：C3．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）设函数2()(1)1fxax=+−，()cos2gxxax=+，当(1,1)x−时，曲线()yfx=与()ygx=恰有一个交点，则=a（）A．1−B．12C．1D．2【答案】D【分析】解法一：令()()21,cosFxaxaGxx=+

−=，分析可知曲线()yFx=与()yGx=恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得2a=，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1hxfxgxx=−−，可知()hx为偶函数，根据偶函数的对称性可知()hx的零点只能为0，即

可得2a=，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()fxgx=，即2(1)1cos2axxax+−=+，可得21cosaxax−=+，令()()21,cosFxaxaGxx=+−=，原题意等价于当(1,1)x−时，曲线()yFx=与()yGx=恰有一个交点，注

意到()(),FxGx均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得()()00FG=，即11a−=，解得2a=，若2a=，令()()FxGx=，可得221cos0xx+−=因为()1,1x−，则220,1cos0xx

−，当且仅当0x=时，等号成立，可得221cos0xx+−，当且仅当0x=时，等号成立，则方程221cos0xx+−=有且仅有一个实根0，即曲线()yFx=与()yGx=恰有一个交点，所以2a=符合

题意；综上所述：2a=.解法二：令()()()2()1cos,1,1hxfxgxaxaxx=−=+−−−，原题意等价于()hx有且仅有一个零点，因为()()()()221cos1coshxaxaxaxaxhx−=−

+−−−=+−−=，则()hx为偶函数，根据偶函数的对称性可知()hx的零点只能为0，即()020ha=−=，解得2a=，若2a=，则()()221cos,1,1hxxxx=+−−，又因为220,1cos0xx−当且仅当0x=时，等号成立，可得()0hx，当且仅当0x=时，等号成立

，即()hx有且仅有一个零点0，所以2a=符合题意；故选：D.4．（2023·全国甲卷·高考真题）函数()yfx=的图象由函数πcos26yx=+的图象向左平移π6个单位长度得到，则()yfx=的图

象与直线1122yx=−的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin2fxx=−，再作出()fx与1122yx=−的部分大致图像，考虑特殊点处()fx与1122yx=−的

大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos26yx=+向左平移π6个单位所得函数为πππcos2cos2sin2662yxxx=++=+=−，所以()sin2fxx=−，而1122y

x=−显然过10,2−与()1,0两点，作出()fx与1122yx=−的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222xxx=−==，即3π3π7π,,444xxx=−==处()fx与1122yx=−的大小关系，当

3π4x=−时，3π3πsin142f−=−−=−，13π1π4284312y+=−−=−−；当3π4x=时，3π3πsin142f=−=，13π13π41242

8y−=−=；当7π4x=时，7π7πsin142f=−=，17π17π412428y−=−=；所以由图可知，()fx与1122yx=−的交点个数为3.故选：C.5．（2023·全国

乙卷·高考真题）已知函数()()()sin,0fxx=+在区间π2π,63单调递增，直线π6x=和2π3x=为函数()yfx=的图像的两条相邻对称轴，则5π12f−=（）A．32−B．12−C．

12D．32【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x=−即可得到答案.【详解】因为()sin()fxx=+在区间π2π,63单调递增，所以2πππ23

62T=−=，且0，则πT=，2π2T==，当π6x=时，()fx取得最小值，则ππ22π62k+=−，Zk，则5π2π6k=−，Zk，不妨取0k=，则()5πsin26fxx=−，则5π5π3sin123

2f−=−=，故选：D.6．（2023·天津·高考真题）已知函数()yfx=的图象关于直线2x=对称，且()fx的一个周期为4，则()fx的解析式可以是（）A．sin2xB．cos2x

C．sin4xD．cos4x【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x=处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中24

2T==，B选项中242T==，C选项中284T==，D选项中284T==，排除选项CD，对于A选项，当2x=时，函数值sin202=，故()2,0是函数的一个对称中心，排除选项A

，对于B选项，当2x=时，函数值cos212=−，故2x=是函数的一条对称轴，故选：B.7．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数π()sin3fxx=+在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A．513,36B．519,36

C．138,63D．1319,66【答案】C【分析】由x的取值范围得到3x+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0，因为()0

,x，所以,333x++，要使函数在区间()0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx=，,33x的图象如下所示：则5323+，解得13863，即138,63

．故选：C．8．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cossinfxxx=−，则（）A．()fx在,26−−上单调递减B．()fx在,412−上单调递增C．()fx在0,3上单调递减D．()fx在7,412

上单调递增【答案】C【分析】化简得出()cos2fxx=，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为()22cossincos2fxxxx=−=.对于A选项，当26x−−时，23x−−，则()fx在,26

−−上单调递增，A错；对于B选项，当412x−时，226x−，则()fx在,412−上不单调，B错；对于C选项，当03x时，2023x，则()fx在0,3上单调递减，C对；对于D选项，当741

2x时，7226x，则()fx在7,412上不单调，D错.故选：C.9．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记函数()sin(0)4fxxb=++的最小正周期为T．若23T

，且()yfx=的图象关于点3,22中心对称，则2f=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得223

，解得23，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ+=，且2b=，所以12,63kkZ=−+，所以52=，5()sin224fxx=++，所以5sin21244f=++=

.故选：A10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数()7sin6fxx=−单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3

,22【答案】A【分析】解不等式()22262kxkkZ−−+，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sinyx=的单调递增区间为()22,22kkkZ−+，对于函数()7sin6fxx=−，由()22262kx

kkZ−−+，解得()22233kxkkZ−+，取0k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为2,33−，则20,,233−，2,,233−

，A选项满足条件，B不满足条件；取1k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为58,33，32,,233−且358,,233，358,2,233

，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sinyAωxφ=+形式，再求()sinyAωxφ=+的单调区间，只需把x+看作一个整体代入sinyx=的相应单调区间内

即可，注意要先把化为正数．11．（2020·全国·高考真题）设函数()cosπ()6fxx=+在[π,π]−的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2【答案】C【分析】由图可得：函数图象过点4,0

9−，即可得到4cos096−+=，结合4,09−是函数()fx图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到4962−+=−，即可求得32=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过

点4,09−，将它代入函数()fx可得：4cos096−+=又4,09−是函数()fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962−+=−，解得：32=所以函数()fx的最小正周期为224

332T===故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.12．（2019·全国·高考真题）若x1=4，x2=34是函数f(x)=sinx(>0)两个相邻的极

值点，则=A．2B．32C．1D．12【答案】A【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知，()sinfxx=的周期232()44T==−=，得2=．故选A．【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利

用方程思想解题．13．（2019·全国·高考真题）设函数()fx=sin（5x+）(＞0)，已知()fx在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：①()fx在（0,2）有且仅有3个极大值点②()fx在（0,2）有且

仅有2个极小值点③()fx在（0,10）单调递增④的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④【答案】D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265

+，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]xÎ时，,2555x++，∵f（x）在[0,2]有且仅有5个零点，∴5265+，∴1229510，故④正确，由5265

+，知,2555x++时，令59,,5222x+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x时，(2),5510x

++，若f（x）在0,10单调递增，则(2)102+，即<3，∵1229510，故③正确．故选D．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题

主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．14．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A．f(x)=│cos2x│B．f(x)=│sin2x│C．f(x

)=cos│x│D．f(x)=sin│x│【答案】A【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin||yx=图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为coscosyxx==，周期为2，排除C，作出cos2yx=图象，由

图象知，其周期为2，在区间(,)42单调递增，A正确；作出sin2yx=的图象，由图象知，其周期为2，在区间(,)42单调递减，排除B，故选A．【点睛】利用二级结论：①函数()yfx=的周期是函数()yfx=周期的一半；②sinyx=不是周期

函数；15．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin|||sin|fxxx=+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2,）单调递增③f(x)在[,]−有4个零点④f(x)的

最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③【答案】C【分析】化简函数()sinsinfxxx=+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sinsinsinsin,fxxxxxfxfx−=−+−=

+=为偶函数，故①正确．当2x时，()2sinfxx=，它在区间,2单调递减，故②错误．当0x时，()2sinfxx=，它有两个零点：0；当0x−时，()()sinsin2sinfxxxx

=−−=−，它有一个零点：−，故()fx在,−有3个零点：0−，故③错误．当()2,2xkkkN+时，()2sinfxx=；当()2,22xkkkN++时，()sinsin0fxxx=−=，又()fx为偶函数，()fx\的最大值为2，故④

正确．综上所述，①④正确，故选C．【点睛】画出函数()sinsinfxxx=+的图象，由图象可得①④正确，故选C．16．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cossin2fxxx=−+，则A．()fx的最小正周期为，最大值为

3B．()fx的最小正周期为，最大值为4C．()fx的最小正周期为2π，最大值为3D．()fx的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35c

os222fxx=+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x35cos212cos2222fxxx−=+−+=+，所以函数()fx的最小正周期为22T==，且最大值为()max35422fx=

+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.17．（2018·全国·高考真题）若()cossinfxxx=−

在,aa−是减函数，则a的最大值是A．4B．2C．34D．【答案】A【详解】因为π()cossin2cos()4=−=+fxxxx，所以由π02ππ2π,(kZ)4+++kxk得π3π2π2π,(kZ)44−++kxk因此π3π

π3ππ[,][,],,044444aaaaaaa−−−−−，从而a的最大值为π4，故选：A.18．（2017·全国·高考真题）设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期

为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=83对称C．f(x+π)的一个零点为x=6D．f(x)在(2,π)单调递减【答案】D【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f8π3＝cos8ππ33+＝cos3π＝－1，为

f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cosππ3x++＝－cosπ3x+，∴fππ6+＝－cosππ63+＝－cos2＝0，故C正确；由于f2π3＝cos2ππ33+＝cosπ＝－1，

为f(x)的最小值，故f(x)在,2上不单调，故D错误．故选D.19．（2017·全国·高考真题）函数f(x)=15sin(x+3)+cos(x−6)的最大值为A．65B．1C．35D．15【答案】A【详解】由诱导公式可得ππππ

coscossin6233xxx−=−+=+，则()1ππ6πsinsinsin53353fxxxx=+++=+,函数()fx的最大值为65.所以选A.【名师点睛】三角恒等变换

的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()yAxB=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．20．（2016·全国·高考真题）函数sin()yAx=+的部分图象如图所示，则A．2sin(2)6y

x=−B．2sin(2)3yx=−C．2sin(+)6yx=D．2sin(+)3yx=【答案】A【详解】试题分析：由题图知，2A=，最小正周期2[()]36T=−−=，所以22==，所以2sin(2)yx=+.因为图象过点(,2)

3，所以22sin(2)3=+，所以2sin()13+=，所以22()32kkZ+=+，令0k=，得6=−，所以2sin(2)6yx=−，故选A.【考点】三角函数的图象与性质【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：

先根据函数=sin()yAxh++图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．21．（2016·全国·高考真题）函数π()cos26cos()2

fxxx=+−的最大值为A．4B．5C．6D．7【答案】B【详解】试题分析：因为22311()12sin6sin2(sin)22fxxxx=−+=−−+，而sin[1,1]x−，所以当sin1x=时，()fx取得最大值5

，选B.【考点】正弦函数的性质、二次函数的性质【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin2x=时，函数23112(sin)22yx=−−+取得最大值.22．（2016·山东·高考真题）函数()(3sinc

os)(3cossin)fxxxxx=+−的最小正周期是（）A．2B．πC．32D．2π【答案】B【分析】因为()(3sincos)(3cossin)fxxxxx=+−，根据辅助角公式可化简为()2sin2cos66fxxx=++

，根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.【详解】()(3sincos)(3cossin)fxxxxx=+−()2sin2cos2sin2663fxxxx=++=+,故最小正周期22T==,故选：B.【点睛】本题主要

考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能

力等.23．（2016·浙江·高考真题）设函数2()sinsinfxxbxc=++，则()fx的最小正周期A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【详解】试题分析：21cos2co

s21()sinsinsinsin222xxfxxbxcbxcbxc−=++=++=−+++，其中当0b=时，cos21()22xfxc=−++，此时周期是；当0b时，周期为2，而c不影响周期．

故选B．【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()fx，再判断b和c的取值是否影响函数()fx的最小正周期．24．（2015·四川·高考真题）下列函数中，

最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）A．cos22yx=+B．sin22yx=+C．sin2cos2yxx=+D．sincosyxx=+【答案】A【分析】求出函数的周期，函数的奇偶

性，判断求解即可．【详解】解：y＝cos（2x2+）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x2+）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2

x+cos2x2=sin（2x4+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosx2=sin（x4+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．考点：三角函数的性质.25．（2015·安徽·高考真题

）已知函数()()sinfxx=+（，，均为正的常数）的最小正周期为，当23x=时，函数()fx取得最小值，则下列结论正确的是（）A．()()()220fff−B．()()()022fff−C．()()()202fff−D．()()()202fff−【答案】A

【分析】依题意可求ω＝2，又当x23=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）＝Asin（2x6+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．【详解】解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0

，∴ω2==2．又∵当x23=时，函数f（x）取得最小值，∴223+φ＝2kπ32+，k∈Z，可解得：φ＝2kπ6+，k∈Z，∴f（x）＝Asin（2x+2kπ6+）＝Asin（2x6+）．∴f（﹣2）＝Asin（﹣4

6+）＝Asin（6−4+2π）＞0．f（2）＝Asin（46+）＜0，f（0）＝Asin6=Asin56＞0，又∵326−＞4+2π562＞＞，而f（x）＝Asinx在区间（2，32）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（

0）．故选A．考点：1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.26．（2015·北京·高考真题）下列函数中为偶函数的是A．2sinyxx=B．2cosyxx=C．lnyx=D．2xy−=【答案】B【

详解】根据偶函数的定义()()fxfx−=，A选项为奇函数;B选项为偶函数；C选项定义域为(0,)+不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.故选：B.二、多选题27．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）对于函数()sin2fxx=和π()sin

(2)4gxx=−，下列说法中正确的有（）A．()fx与()gx有相同的零点B．()fx与()gx有相同的最大值C．()fx与()gx有相同的最小正周期D．()fx与()gx的图象有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详

解】A选项，令()sin20fxx==，解得π,2kxk=Z，即为()fx零点，令π()sin(2)04gxx=−=，解得ππ,28kxk=+Z，即为()gx零点，显然(),()fxgx零点不同，A选项错误；B选项，显然maxmax()()1fxgx==，B选项

正确；C选项，根据周期公式，(),()fxgx的周期均为2ππ2=，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质()fx的对称轴满足πππ2π,224kxkxk=+=+Z，()gx的对称轴满足πππ3π2π,4228kxkxk−=+=+Z，显然(),()fxgx图像的

对称轴不同，D选项错误.故选：BC28．（2020·山东·高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A．πsin(3x+）B．πsin(2)3x−C．πcos(26x+）D．5πcos(2)6x−【答案】BC【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确

定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T=−=，则222T===，所以不选A,不妨令2=,当2536212x+==时，1y=−()5322122kkZ+=+，解得：()

223kk=+Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx=++=++=+=−.而5cos2cos(2)66xx+=−−故选：BC.【点睛】已知

f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的

“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.三、填空题29．（2

023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数()cos1(0)fxx=−在区间0,2π有且仅有3个零点，则的取值范围是．【答案】[2,3)【分析】令()0fx=，得cos1x=有3个根，从而结合余弦函数的图像

性质即可得解.【详解】因为02xπ≤≤，所以02xπ≤≤，令()cos10fxx=−=，则cos1x=有3个根，令tx=，则cos1t=有3个根，其中[0,2π]t，结合余弦函数cosyt=的图像性质可得4π2π6π，故2

3，故答案为：[2,3).30．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()()sinfxx=+，如图A，B是直线12y=与曲线()yfx=的两个交点，若π6AB=，则()πf=．【答案】3

2−【分析】设1211,,,22AxBx，依题可得，21π6xx−=，结合1sin2x=的解可得，()212π3xx−=，从而得到的值，再根据2π03f=以及()00f

，即可得2()sin4π3fxx=−，进而求得()πf．【详解】设1211,,,22AxBx，由π6AB=可得21π6xx−=，由1sin2x=可知，π2π6xk=+或5π2π6xk=+

，Zk，由图可知，()215π2ππ663xx+−+=−=，即()212π3xx−=，4=．因为28ππsin033f=+=，所以8ππ3k+=，即8ππ3k=−+，Zk．所以82()sin4ππsin4ππ33fxxkxk

=−+=−+，所以()2sin4π3fxx=−或()2sin4π3fxx=−−，又因为()00f，所以2()sin4π3fxx=−，()23πsin4ππ32f=−=−．故答案为：32−．【点睛】本题主要考查根

据图象求出以及函数()fx的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．31．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数()()2cosfxx=+的部分图像如图所示，则2f=

.【答案】3−【分析】首先确定函数的解析式，然后求解2f的值即可.【详解】由题意可得：31332,,241234TTT=−====，当1312x=时，()131322,2126xkkkZ

+=+==−，令1k=可得：6=−，据此有：()52cos2,2cos22cos362266fxxf=−=−==−.故答案为：3−.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象

求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用

一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.32．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=1sinsinxx+有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴

对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是．【答案】②③【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的

正误；取0x−可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f=+=，152622f−=−−=−，则66ff−，所以，函数()fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，

函数()fx的定义域为,xxkkZ，定义域关于原点对称，()()()()111sinsinsinsinsinsinfxxxxfxxxx−=−+=−−=−+=−−，所以，函数()fx的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11s

incos22cossin2fxxxxx−=−+=+−，11sincos22cossin2fxxxxx+=++=++，则22

fxfx−=+，所以，函数()fx的图象关于直线2x=对称，命题③正确；对于命题④，当0x−时，sin0x，则()1sin02sinfxxx=+，命题④错误.故答案为：②③.

【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.33．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos2fxxx=+−的最小值为．【答案】4−.【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于

cosx的二次函数，从而得解.【详解】23()sin(2)3coscos23cos2cos3cos12fxxxxxxx=+−=−−=−−+23172(cos)48x=−++，1cos1x−，当cos1x=时，m

in()4fx=−，故函数()fx的最小值为4−．【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos1x−的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．34．（2018·江苏·高考真题）已知函数sin(2)()22yx=+−的图象关于直线3x=对称，则的值是．【答案】6

−.【详解】分析：由对称轴得ππ()6kkZ=−+，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得2sinπ13+=，所以2πππππ()326kkkZ+=+=−+，，因为ππ22−，所以π0,.6k==−点睛：函数s

in()yAxB=++（A>0,ω>0）的性质：(1)maxmin,yAByAB=+=−+；(2)最小正周期2πT=；(3)由ππ()2xkk+=+Z求对称轴；(4)由ππ2π2π()22kxkk−+++Z求增区间;由π

3π2π2π()22kxkk+++Z求减区间.35．（2018·北京·高考真题）设函数()()cos06fxx=−，若()4fxf对任意的实数x都成立，则的最小值为．【答案】23【分析】根据题意()fx取最大值4f，根据余

弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.【详解】因为()4fxf对任意的实数x都成立，所以()fx取最大值4f，所以22π()8()463kkZkkZ−==+，

，因为0，所以当0k=时，取最小值为23.【点睛】函数cos()(0,0)yAxBA=++的性质（1）maxmin=+yAByAB=−，.（2）周期2π.T=（3）由π()xkkZ+=求对称轴，最大值对应自变量

满足2π()xkk+=Z，最小值对应自变量满足+2()xkk+=Z，（4）由22()22kxkk−+++Z求增区间；由322()22kxkk+++Z求减

区间.36．（2017·全国·高考真题）函数()23s34fxinxcosx=+−（0,2x）的最大值是．【答案】1【详解】化简三角函数的解析式，可得()22311cos3coscos3cos44fxxxxx=−+−=−++=23(cos)12x−−+，由[0,]

2x，可得cos[0,1]x，当3cos2x=时，函数()fx取得最大值1．37．（2017·全国·高考真题）函数()2cossinfxxx=+的最大值为.【答案】5【分析】利用辅助角公式化简函数的解

析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【详解】解：函数f（x）＝2cosx+sinx5=（255cosx55+sinx）5=sin（x+θ），其中tanθ＝2，可知函数的最大值为：5．故答案为5．【点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()yAxB=+

+的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用22|sincos|axbxab++求最值．38．（2016·上海·高考真题）方程3sin1cos2xx=+在区间上的解为．【答案】566

或【详解】试题分析：化简3sin1cos2xx=+得：2322sinsinxx=−，所以22sin320xsinx+−=，解得12sinx=或2sinx=−（舍去），又0,2πx，所以566x=或.【考点】二

倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.39．（2015·浙江·高考真题）函数()2sinsincos1

fxxxx=++的最小正周期是，单调递增区间是.【答案】3,88kk−+，()kZ【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．【详解】解：函数f（x）＝sin2x+sinxcosx

+1，则：()122231222242cosxsinxfxsinx−=++=−+，则函数的最小正周期T22==，令：222242kxk−+−+（k∈Z），解得：388kxk−++（k∈Z），单点递增区

间为：[388kk，−++]（k∈Z），故答案为π；[388kk，−++]（k∈Z），【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．40．（2015·湖南·高考

真题）已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则=.【答案】2=【详解】由题根据三角函数图像与性质可得距离最短的交点坐标可以为π5π,2,,244−

,()()2222152322442=−+−−=，.考点：三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者

的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点”一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.考点07三角函数的图象与性质（压轴）1．（2017·天津·高考真题）设函数()2sin()fxx=+，xR，其中0，||.若5()28f=，()08f

=，且()fx的最小正周期大于2，则A．23=，12=B．23=，12=−C．13=，24=−D．13=，724=【答案】A【详解】由题意125282118kk+=++=

，其中12,kkZ，所以2142(2)33kk=−−，又22T=，所以01，所以23=，11212k=+，由得12=，故选A．【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()yAx=+问题，一

种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A，再根据周期或12周期或14周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，

根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.2．（2017·上海·高考真题）设1a、2aR，且121122sin2sin(2)+=++，则12|10|−−的最小值等于【答案】4【详解】由三角函

数的性质可知111[,1]2sin3+，211[,1]2sin(2)3+，所以121112sin2sin(2)==++，即12sinsin(2)1==−，所以122,,24kkkZ=−+=−+，所以12

min|10|4−−=.3．（2016·天津·高考真题）已知函数211()sinsin(0)222xfxx=+−，xR.若()fx在区间(,2)内没有零点，则的取值范围是A．10,8B．150,,148C．50,8

D．1150,,848【答案】D【分析】先把()fx化成2()sin24fxx=−，求出()fx的零点的一般形式为+4,kxkZ=，根据()fx在区间(,2)内没有零点可得关于k的不等式组，

结合k为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.【详解】由题设有1cos112()sinsin22224fxxxx−=+−=−，令()0fx=，则有,4xkkZ−=即+4,kxkZ=.因为()fx

在区间(,2)内没有零点，故存在整数k，使得5++442kk，即14528kk++，因为0，所以1k−且15428kk++，故1k=−或0k=，所以108或1548，故选：D.【点

睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.4．（2016·全国·高考真题）已知函数()sin()(0),24fxx+x==−，为()fx的零点，4x=为()yfx=图象的对称轴，且()fx在π5π()1836，单调，则

的最大值为A．11B．9C．7D．5【答案】B【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x4=−为f（x）的零点，x4=为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（18，536）上单调，可得ω的

最大值．【详解】∵x4=−为f（x）的零点，x4=为y＝f（x）图象的对称轴，∴2142nT+=，即21242n+=，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（18，536

）上单调，则53618122T−=，即T26=，解得：ω≤12，当ω＝11时，114−+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|2，∴φ4=−，此时f（x）在（18，536）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94−+φ＝

kπ，k∈Z，∵|φ|2，∴φ4=，此时f（x）在（18，536）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin0,0fxAxA=+

的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin0,0fxAxA=+的图像关于直线0xx=对称,则()0fxA=或()0fxA=−.5．（2015·上海·高考真题）已知函数()sinfx

x=，若存在12,,,mxxx满足1206mxxx，且()()()()1223fxfxfxfx−+−+()()112mmfxfx−+−=（2m，*Nm），则m的最小值为．【答案】8【详解】因为()sinfxx=，所以

()()maxmin()()2mnfxfxfxfx−−=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112nnfxfxfxfxfxfx−−+−++−=的m最小，须取123456783579

110,,,,,,,6,222222xxxxxxxx========即8.m=考点：三角函数性质考点08三角函数的伸缩平移变换1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数()yfx=的图象由函数πcos26yx=+的图象向左平移π6个单位长度得到，则()yfx=的图象与

直线1122yx=−的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin2fxx=−，再作出()fx与1122yx=−的部分大致图像，考虑特殊点处()fx与1122yx=−的大

小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos26yx=+向左平移π6个单位所得函数为πππcos2cos2sin2662yxxx=++=+=−，所以()sin2fxx=

−，而1122yx=−显然过10,2−与()1,0两点，作出()fx与1122yx=−的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222xxx=−==，即3π3π7π,,444xxx=−==处()fx与1122yx=−的大小关系，当3π4x

=−时，3π3πsin142f−=−−=−，13π1π4284312y+=−−=−−；当3π4x=时，3π3πsin142f=−=，13π13π412428y−=−=；当7π4x=时，7π7πsin142f=−=，

17π17π412428y−=−=；所以由图可知，()fx与1122yx=−的交点个数为3.故选：C.2．（2022·天津·高考真题）已知1()sin22fxx=，关于该函数有下列四个说法：①()fx

的最小正周期为2π；②()fx在ππ[,]44−上单调递增；③当ππ,63x−时，()fx的取值范围为33,44−；④()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A

【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin22fxx=，所以()fx的最小正周期为2ππ2T==，①不正确；令ππ2,22tx=−，而1sin2yt=在ππ,22−上递增，所以()fx在ππ

[,]44−上单调递增，②正确；因为π2π2,33tx=−，3sin,12t−，所以()31,42fx−，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin22428xxx=+=+

，所以()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A．3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3yx=的图象，只要把函数π2sin35yx=+图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位

长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度【答案】D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin32sin3155yxx==−+，所以把函数π2sin35yx=+图象上

的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin3yx=的图象．故选：D.4．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数π()sin(0)3fxx=+的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A．16B．14C．13D

．12【答案】C【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得,232kk+=+Z，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为sinsin()2323yxx=++=++，又C关于y轴对称，则,232kk

+=+Z，解得12,3kk=+Z，又0，故当0k=时，的最小值为13.故选：C.5．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数()yfx=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx=−

的图像，则()fx=（）A．7sin212x−B．sin212x+C．7sin212x−D．sin212x+【答案】B【分析】解法一：从函数()yfx=的图象出发，按照已知的

变换顺序，逐次变换，得到23yfx=−，即得2sin34fxx−=−，再利用换元思想求得()yfx=的解析表达式；解法二：从函数sin4yx=−出发，逆向实施各步变换，

利用平移伸缩变换法则得到()yfx=的解析表达式.【详解】解法一：函数()yfx=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx=的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx=−

的图象，根据已知得到了函数sin4yx=−的图象，所以2sin34fxx−=−，令23tx=−,则,234212ttxx=+−=+,所以()sin212tft

=+,所以()sin212xfx=+；解法二：由已知的函数sin4yx=−逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx=+−=+的图象，第二步

：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin212xy=+的图象，即为()yfx=的图象，所以()sin212xfx=+.故选：B.6．（2020·天津·高考真题）已知函数()

sin3fxx=+．给出下列结论：①()fx的最小正周期为2；②2f是()fx的最大值；③把函数sinyx=的图象上所有点向左平移3个单位长度，可得到函数()yfx=的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③【答

案】B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin()3fxx=+，所以周期22T==，故①正确；51()sin()sin122362f=+==，故②不正确；将函数sinyx=的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin()3yx=+的图

象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.7．（2020·江苏·高考真题）将函数y=π3sin24x+的图象向右平移π

6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.【答案】524x=−/524−【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)641

2yxx=−+=−72()()122242kxkkZxkZ−=+=+当1k=−时524x=−故答案为：524x=−【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.8．（2019·天津·高考真题）已知函数()sin()(0,0,||)fxA

xA=+是奇函数，将()yfx=的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()gx.若()gx的最小正周期为2π，且24g=，则38f=

A．2−B．2−C．2D．2【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出,,A值即可．【详解】因为()fx为奇函数，∴(0)sin0=,0,fAkk===，0=；又12()sin,2,12

2gxAxT===2=，2A=，又()24g=∴()2sin2fxx=，3()2.8f=故选C．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()gx．9．（2018·天津·高考真题）将函数sin(2)5

yx=+的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间35[,]44上单调递增B．在区间3[,]4上单调递减C．在区间53[,]42上单调递增D．在区间3[,2]2上单调递减【

答案】A【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin25yx=+的图象向右平移10个单位长度之后的解析式为：sin2sin2105yxx

=−+=.则函数的单调递增区间满足：()22222kxkkZ−+，即()44kxkkZ−+，令1k=可得一个单调递增区间为：35,44.函数的单调递减区间满足：()322222kx

kkZ++，即()344kxkkZ++，令1k=可得一个单调递减区间为：57,44，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．（2018·天津·高

考真题）将函数sin25yx=+的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间,44−上单调递增B．在区间,04−上单调递减C．在区间,42上单调递增D．在区间,2上单

调递减【答案】A【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数25ysinx=+的图象平移变换的性质可知：将sin25yx=+的图象向右平移10个

单位长度之后的解析式为：sin2sin2105yxx=−+=.则函数的单调递增区间满足：()22222kxkkZ−+，即()44kxkkZ−+，令0k=可得函数的一个单调递增区间为,44−，选项A正确，B错误；函数的单调递

减区间满足：()322222kxkkZ++，即()344kxkkZ++，令0k=可得函数的一个单调递减区间为3,44，选项C，D错误；本题选择A选项.点睛：本题

主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．（2017·全国·高考真题）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再

把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单

位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左

平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos（2x+π6）=sin（2x+2π3）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌

握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.函数sin()()yAxxR=+是奇函数π()kkZ=；函数sin()()yAxxR=+是偶函数ππ+()2kkZ=；函数cos()()yAxxR=+

是奇函数ππ+()2kkZ=；函数cos()()yAxxR=+是偶函数π()kkZ=.12．（2016·四川·高考真题）为了得到函数y=sin3x+（）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点A．向左平行移动3个单位长度B．向右平行移动3个单位长度

C．向上平行移动3个单位长度D．向下平行移动3个单位长度【答案】A【详解】试题分析：为得到函数πsin()3yx=+的图象，只需把函数sinyx=的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，故选A.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛

】本题考查三角函数图象的平移，函数()yfx=的图象向右平移a个单位长度得()yfxa=−的图象，而函数()yfx=的图象向上平移a个单位长度得()yfxa=+的图象．左、右平移涉及的是x的变化，上、下平移涉及的是函数值(

)fx的变化．13．（2016·全国·高考真题）若将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图像的对称轴为A．x=26k−（k∈Z）B．x=26k+（k∈Z）C．x=212k−（k∈Z）D．x=212k+（k∈Z）【

答案】B【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin2yx=的图象向左平移12个单位长度，得到2sin(2)6yx=+，由2,62xkkZ+=+，得,26kxkZ=+，即平移后的函数的对称轴方程为,26kxkZ=

+，故选B．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()fxAwx=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin2yx=的图象向左平移12个单位

长度，得到函数的解析式2sin(2)6yx=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．14．（2016·北京·高考真题）将函数sin(2)3yx=−图象上的点(,)4Pt向左平

移s（0s）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin2yx=的图象上，则（）A．12t=，s的最小值为6B．32t=，s的最小值为6C．12t=，s的最小值为3D．32t=，s的最小值为3【答案】A【详解】由题意

得，1sin(2)432t=−=，可得，因为P'位于函数sin2yx=的图象上所以，可得，s的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系

数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.15．（2016·全国·高考真题）函数sin3cosyxx=−的图象可由函数sin3cosyxx=+的图象至

少向右平移个单位长度得到．【答案】23【详解】试题分析：sin3cos2sin(),sin3cos2sin()33yxxxyxxx=−=−=+=+,故应至少向右平移23个单位.考点：1、三角恒等变换；2、图象的平移.16．（2016·四川·高考真题）为了得到

函数πsin(2)3yx=−的图象，只需把函数sin2yx=的图象上所有的点A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向左平行移动π6个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度【答案】D【详解】试题

分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36yxx=−=−的图象，只需把函数sin2yx=的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，故选D.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数()sin(

)fxAx=+的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种sinyx=的图象向左平移个单位得sin()yx=+的图象，再把横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变，得sin()yx=+的图象，另一种是把sinyx=的图象横坐标变为原来的1倍，纵坐标

不变，得sinyx=的图象，再向左平移个单位得sin()yx=+的图象．17．（2016·全国·高考真题）若将函数cos2yx=的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．()26

kxkZ=−B．()26kxkZx=+C．()212kxkZ=−D．()212kxkZ=+【答案】C【详解】试题分析：由题意得，将函数cos2yx=的图象向左平移12个单位长度，得到cos2cos2126yxx=+=+

，由2,6xkkZ+=，得,212kxkZ=−，即平移后的函数的对称轴方程为()212kxkZ=−，故选C．18．（2016·全国·高考真题）将函数2sin(2)6yx=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．

π2sin(2)4yx=+B．2sin(2)3yx=+C．2sin(2)4yx=−D．2sin(2)3yx=−【答案】D【详解】函数2sin(2)6yx=+的周期为，将函数2sin(2)6yx=+的图象向右平移14个周期即4个单位，所得图象对应的

函数为2sin[2())]2sin(2)463yxx=−+=−，故选D.19．（2015·山东·高考真题）要得到函数4ysinx=−（3）的图象，只需要将函数4ysinx=的图象A．向左平移12个单位B．向右平移12个单位C．向左平移3个单位D．向右平移3个

单位【答案】B【详解】因为函数sin4sin[4()]312yxx=−=−，要得到函数43ysinx=−的图象，只需要将函数4ysinx=的图象向右平移12个单位．本题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的

系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．20．（2015·山东·高考真题）要得到函数4ysinx=−（3）的图象，只需要将函数4ysinx=的图象A．向左平移12个单位B．向右平移12个单位C．向左平移

3个单位D．向右平移3个单位【答案】B【详解】因为函数sin4sin[4()]312yxx=−=−，要得到函数43ysinx=−的图象，只需要将函数4ysinx=的图象向右平移12个单位．本题选择B选项.点睛：三角函数图象进

行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．21．（2015·湖南·高考真题）将函数()sin2fxx=的图像向右平移(0)2个单位后得到函数()gx的图像，若对满足12()

()2fxgx−=的，，有，则=A．512B．3C．4D．6【答案】D【详解】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查

其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.