【文档说明】西南名校联盟2021届高三3 3 3高考备考诊断性联考卷（一）理科数学答案.pdf，共(9)页，237.767 KB，由小赞的店铺上传

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理科数学参考答案·第1页（共9页）2021届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BCACDCDABBCA【解析】1．由题意得{|1}Axx，{|2}Bxx，故(21)AB

，，故选B．2．2212i2i21i2i2i555z，虚部为15，故选C．3．依题意得1.13.2ab，1.12.2a，解得2a，1b，故选A．4．取18130ty

，故8331log108log10t，即318log1018117.77lg3t，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为17，故选C．5．∵28xy，∴4p，(02)F，，设11()Pxy，，∴1||82pPFy，∴16y，∴(436)P，，设0

(2)Mx，，∵90PFM，(434)FP，，0(4)MFx，，∴0FPMF，∴0433x，∴4323M，或4323M，，故选D．6．设a与b的夹角为，a在b的投影为

1||cos2a，∴120，设ab与ab的夹角为，||3ab，||7ab，()()cos||||abababab22||||217||||ababab，故选C．7．222

2cosACABACABABC，即222525375ABAB，即24120ABAB，解得6AB，221sin1cos5AA，所以1121sin56225ABCSABACA△321，故选D．理科数学参考答案·第2页（共9页

）8．2223642333CCCA90A，32136313CCCA360，1143654322CCCA90A，∴共有9036090540，故选A．9．如图1，6SA，25AC，42SC，3620325co

s52625SAC∠，25sin5SAC∠，∴1sin122SACSSAACSAC△∠，∴12ABCS△244，∴42SABS△，∴82SBCS△，∴表面积为16122，故选B．1

0．由2()fxx，得()2fxx，则(1)2f，又(1)1f，所以函数2()fxx的图象在1x处的切线为12(1)yx，即21yx．设21yx与函数e()xgxa的图象相切于点00()xy，

，由e()xgxa，可得00000e()2e()21xxgxagxxa，，解得032x，321eee22a，23321ee24a，故选B．11．依题意可得双曲线的渐近线方程为12yx，设()Pxy，，11()Axy，，

22()Bxy，，因为2PAPB，所以有12122()2()xxxxyyyy，，即12122323xxxyyy，，又11221212yxyx

，，所以1212122yyxx，所以121223123xxxxxy，，因为点P在双曲线上，所以212234xx2121213xx，解得129=2xx，故选C．图1理科数学参考答案·第3页（共9页

）12．对命题P：设()20201xfx，则(3)(4)faf，(4)(5)fbf，∴434(4)(3)202020201(4)20201ffaf3445201920202019202020201

20202020，54455(5)(4)20202020201920201(5)2020120201ffbf，∵552020202020201，∴11ab，即ab，故P为真命题，命题Q为假命题，例如120A

，30B，可知命题Q为假命题，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案4543π①③④【解析】13．画出不等式组表示的可行域，如图2中阴影部分所示．由2zxy，可得221zyx．平移直线221zyx，结合图形可得

，当直线221zyx经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值．由题意得A点坐标为(40)，，∴min404z，即2zxy的最小值是4．14．用点到直线的距离公式可得双曲线22

221(00)xyabab，中焦点到渐近线的距离为b．15．三棱锥SABC各条棱都相切的球相当于棱长为23的正方体的内切球，则3R，所以体积为34π43π3VR．16．(2π)sin(2π)cos(2π)2sin

(2π)cos(2π)sincos2sincosfxxxxxxxxx()fx，①是真命题；()sin()cos()2sin()cos()sincosfxxxxxxx2si

ncosxx，()()0fxfx，②是假命题；333πsinπcosπ222fxxx332sinπcosπcossin2sincos()22xxx

xxxfx，③是真命题；令图2理科数学参考答案·第4页（共9页）sincostxx，则22(sincos)12sincostxxxx，故2222sincos22xxt，故函数可看做222(22)22yttt

≤≤，当22t时，max324y，④是真命题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由题意可得2124310439aa，32283188313aa，………………

…………………………………………（2分）由数列{}na的前三项可猜想数列{}na是以5为首项，4为公差的等差数列，即41nan．……………………………………………………………（3分）证明如下：当1n时，15a成立；假设nk时，41kak成立，那么1nk

时，12432(41)43454(1)1kkaakkkkk也成立，则对任意的*nN，都有41nan成立．……………………………………………………（6分）（2）由（1）可知，3(41)3

nnnan，2315393133(43)3(41)3nnnSnn…，①234135393133(43)3(41)3nnnSnn…，②…………………………

…………………………（8分）由①②得2312154(333)(41)3nnnSn…2111313154(41)3(41))3(313nnnnn，即1(41)3322nnnS．………………………

…………………………………（12分）理科数学参考答案·第5页（共9页）18．（本小题满分12分）解：（1）由题意得列联表如下：不太了解比较了解总计男性250400650女性150400550总计4008001200…………………………………

……………（2分）2K的观测值21200(250400150400)16.783400800650550k，…………………………………………………………（4分）因为16.7836.635，………………………………………………………（5分）所以有99%的把

握认为居民对数字人民币的了解程度与性别有关．……………………………………………………………（6分）（2）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人，……………………………………………………………（7分）随机

变量的所有可能取值为0，1，2，3，其中0364310CC(0)CnnP，1264310CC(1)CnnP，2164310CC(2)CnnP，36310C(3)CnnP，

………………………………………（9分）所以随机变量的分布列为0123P0364310CCCnn1264310CCCnn2164310CCCnn36310CCnn03122136666333310101014

440CCCCCCC()01232CCCCnnnnnnnnE≥，……………………………………………………………（10分）1221336464610CC1CC2C32Cnnnn≥，理科数学参考答案·第

6页（共9页）可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23nnnnnnnnn≥，23(6)(1772)2(10)(9)(8)nnnnnn≥，3(6)2(10)nn

≥，解得2n≥，∴n的最小值为2．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图3，连接1BC，在11CCB△中，P，F分别是11BC，1CC的中点，所以PF是11CCB△的中位线，则1PFBC∥．在正方体111

1ABCDABCD中，11DCAB∥，G，E分别是11AB，DC的中点，则1ECGB∥，1ECGB，所以四边形1GBCE是平行四边形，则1BCGE∥，所以PFGE∥，所以PF平面GEF．…………

……………………（6分）（2）解：以1D为原点，建立如图4所示空间直角坐标系，(012)E，，，(021)F，，，(210)G，，，(202)GE，，，(011)EF，，，因为(01)AQAB≤≤，所以(222)Q，，，(2120)QE

，，．………………………………………………………（7分）设平面EFG的一个法向量为111()mxyz，，，则00mGEmEF，，即11112200xzyz，，令11x，则11z，1y，所以(111)

m，，．……………………………………………………（8分）设平面QEG的一个法向量为222()nxyz，，，则00nGEnQE，，即22222202(12)0xzxy，，图3图4理科数学参考答案·第7页（共9页）

令212x，则212z，22y，所以(12212)n，，．………………………………………………（9分）因为二面角QEGF的余弦值为33，所以2|||44|3|cos|3||||342(12)mnmnmn

<，>，解得12或52(舍去)，………………………………………………（11分）所以，当二面角QEGF的余弦值为33时，12．……………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意可

得32e，221ba，∴2a，1b，C：2214xy．……………………………………………………………（4分）（2）设11()Axy，，22()Bxy，，0(0)Qx，，设直线l：1xmy，将其代入22440x

y，得22(4)+230mymy，∴12224myym，12234yym，∴121228()24xxmyym，22121212244()14mxxmyymyym，

…………………………………（8分）QAQBt，则210120212012012()()()txxyxxyxxxxxxyy，，22002224483444mxxmmm

，…………………………………（10分）200217844xxm，理科数学参考答案·第8页（共9页）这是一个与m无关的常数，∴0178x，t为常数，此时存在定点1708Q，，使QAQB为定值．……………………………………………………………（12分）21．（本

小题满分12分）解：（1）因为()lnfxxx，故11()1xfxxx，…………………………………………………………（1分）令()0fx，得1x，令()0fx，得01x，故()fx在(01)

，上单调递减，在(1)，上单调递增，…………………（3分）故函数()fx的最小值为(1)1f．…………………………………………（4分）（2）由题意知2lneln0xxxaa≥，即2elnlnxaxax≥，两边同时加上x，得2e2lnlnxaxaxx≥，即2

2eln(e)lnxxaaxx≥，…………………………………………………（7分）设()ln(0)hxxxx，则1()10hxx，故()hx在(0)，上单调递增，22eln(e)lnxxaaxx≥恒成立，即2(e)()xhahx≥恒成立，……………

………………………………………………（9分）即2exax≥在(0)，上恒成立，即2exxa≥在(0)，上恒成立，设2()(0)exxxx，则212()exxx，则当102x时，()0x，故()x在102，上单调递增

；当12x时，()0x，故()x在12，上单调递减，故max11()22ex，…………………………………………………（11分）故12ea≥，故所求实数a的取值范围为12e，．……

………………（12分）理科数学参考答案·第9页（共9页）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】（1）解：由2222(2cos23sin)(2sin23cos)16xy，得曲线C为2216xy．………………………………

…………………（5分）（2）证明：直线l的极坐标方程展开为cos3sin8，故l的直角坐标方程为38xy．显然M的坐标为(80)，，不妨设过点M的直线方程为8cossinxtyt，，(t为参数)，代入C得216cos480tt

，设P，Q对应的参数为1t，2t，所以12||48tt为定值．…………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）证明：当5m时，2()|5||3||(5)(3)|8efxx

xxx≥，则2ln()ln8lne2fx≥成立．……………………………………………（5分）（2）解：关于x的不等式3()()2gxfxm≥可化为23|227||3|2xmxm≥，令2

222222437()|227||3|3210327242xmxhxxmxxmxmxmxm，，，，，≥，≤则22min71()22hxhmm，即21322mm≥，则有231022mm≤，解得112m≤≤．…

…………………………………………………（10分）