【文档说明】河南省鹤壁市高中2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(23)页，1.483 MB，由小赞的店铺上传

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鹤壁市高中2023—2024学年（下）期末考试高二数学试题卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交

回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2π4π6π2πsinsinsinsin,Z,02023202320232023kAxxk

k==++++|>，则集合A的元素个数为（）A.1011B.1012C.2022D.20232.已知实数2log3a=，2cos36b=，2c=，那么实数,,abc的大小关系是（）A.bcaB.b

acC.abcD.acb3.在四面体ABCD中，点E满足DEDC=，F为BE的中点，且111236AFABACAD=++，则实数λ=（）A.14B.13C.12D.234.在ABC中，π3B=，D是AB的中点，3CD=，则2ABBC+的取值范

围为（）A(3,23ùúûB.(23,26C.(23,43D.(0,435.已知tan()+，tan()−是函数2()64fxxx=−+零点，则23πcos224sin2+=−（）A.25−B.35-C.71

0−D.45−6.已知()()()()()()828901289321111xxaaxaxaxax++=+++++++++，则8a=（）A.8B.10C.82D.92.的7.已知正方体1111ABCDA

BCD−，过点B且以1DB为法向量平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.已知a，bR，若2ab，baab=，则b的可能值为（）A.2.5B.3.5C.4.5D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中

，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.已知正实数,ab满足221aabb−+=，则（）A.ab+的最大值为2B.ab的最小值为1C.

22ab+的最大值为2D.22ab+的最小值为110.随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即()~2,1XN，14,2YB，则（）A.()122PX=B.()()EXEY=C.()()DXDY=D.()112PY

==11.已知圆()221:31Cxy−+=，()2222:0Cxyaa+=，则下列结论正确的有（）A.若圆1C和圆2C相交，则24aB.若圆1C和圆2C外切，则2a=C.当52a=时，圆1C和圆

2C有且仅有一条公切线D.当3a=时，圆1C和圆2C相交弦长为353三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，若()14fx−，()124xfx−+都为偶函数，则()65

1kfk==______．13.在ABC中，若2225ACBCAB+=，则tantantantanCCAB+=__________．的14.直线l经过点()2,3P−，与圆22:22140Cxyxy+++−=相交截得弦长为27，则直线l的方程为________．四

、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300

万元，每生产x万件产品，每件产品需可变成本()px万元，当产量不足50万件时，()21160120pxx=+；当产量不小于50万件时，()264001460201pxxx=+−．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．（1）

求利润函数解析式；（2）求利润函数的最大值．16.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且coscos2cosaCcAbA+=.（1）求角A；（2）若7a=，2b=，求边c及ABC的面积；（3）在（2）的条件下，求()sin2BA−的值.17

.已知四棱锥PABCD−，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面,,1ABCDPAABPAAB⊥==，M为棱PD的中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求平面ACM与平面PAB夹角的正弦值．18.已知双曲线2222;1(0,0)xyCabab−=经过点63,2

，右焦点为(),0Fc，且222,,cab成等差数列.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的右支交于,PQ两点（P在Q的上方），PQ的中点为,MM在直线:2lx=上的射影为,NO为坐标原点，设POQ△的面积为S，直线,PNQN的斜率分别为12,kk，

试问12kkS−是否为的的定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.19.已知实数0q，定义数列na如下：如果2012222,0,1kkinxxxxx=++++，0,1,2,,ik=，则2012knkaxxqxqxq=++++．（1）

求7a和8a（用q表示）；（2）令12nnba−=，证明：211nniiba−==；（3）若12q，证明：对于任意正整数n，存在正整数m，使得1nmnaaa+．鹤壁市高中2023—2024学年（下）期末考试高二数学试题卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自

己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合

2π4π6π2πsinsinsinsin,Z,02023202320232023kAxxkk==++++|>，则集合A的元素个数为（）A.1011B.1012C.2022D.2023【答案】B【解析】【分析】依题意由表达式中角的特征

可知当01011,Zkk<时，2πsin2023k的取值各不相同，当1012k时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为1012.【详解】根据题意可知，当01011,Zkk<时，()2π0,π2023k，此时()2πsin0,12

023k；又因为2023为奇数，2k为偶数，且2π2023k中的任意两组角都不关于π2对称，所以2πsin2023k的取值各不相同，因此当01011,Zkk<时集合A中x的取值会随着k的增大而增大

，所以当1011k=时，集合A中有1011个元素；当1012k=时，易知2π4π2022π2024πsinsinsinsin2023202320232023x=++++2π4π2022ππsinsinsinsinπ2023202320232023=+++++

2π4π2022ππsinsinsinsin2023202320232023=+++−又易知2022ππsinsin20232023=，所以可得2π4π2022π2024π2π4π2020πsinsi

nsinsinsinsinsin2023202320232023202320232023x=++++=+++，即1012k=时x的取值与1010k=时的取值相同，根据集合元素的互异性可知，1012

k=时并没有增加集合中的元素个数，当2022k=时，易知2π4π4042π4044πsinsinsinsin2023202320232023x=++++2π4π2022π2022π4π2πsinsinsinsinsinsin20

2320232023202320232023=++−−−−0=，可得当1012k时，集合A中的元素个数只增加了一个0，所以可得集合A的元素个数为1012个.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三

角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当1012k时，集合A中的元素个数的增加情况即可求得结果.2.已知实数2log3a=，2cos36b=，2c=，那么实数,,abc的大小关系是（）A.bcaB.bacC.abc

D.acb【答案】B【解析】【分析】利用余弦函数的单调性可得到bc，利用对数函数的单调性可得到ac，假设在ABC中，ABAC=，36A=，角B的平分线交边AC于点D，利用长度关系和正弦定理可

得到152cos362+=，然后利用作差法能得到ba，即可求解【详解】由于cos36cos45可得2cos362，即bc，的又由于2223log3log9log822==，所以ac，假设在ABC中，ABAC=，36A=，角B的平分线交边AC于点D，所以

18036722CABC−===，36CBDABD==，180367272BDC=−−=，所以BCDABC△△,所以BCABCDBC=即2BCCDAB=，所以2BCADACCDABAB=−=−，所以2BCBCBDADABAB===−，所以22BCABABBC=−即

21ABABBCBC=−，解得152ABBC+=，在ABC中，sin72sin36ABBC=即sin722sin36cos362cos36sin36sin36ABBC===，所以152cos36

2+=，由于5832即5ln38ln2，所以ln38ln25，所以28log35a=，因为8555165511015251010+−=+−−=，所以ba，所以bac故选：B【点睛】关键

点点睛：这道题的关键时计算出152cos362+=，需假设在ABC中，ABAC=，36A=，角B的平分线交边AC于点D，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到3.在四面体ABCD中，点E满足DEDC=，F为BE的中点，且111236AFA

BACAD=++，则实数λ=（）A.14B.13C.12D.23【答案】D【解析】【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.【详解】由F为BE的中点，得1122AFABAE=+，又111236AFABACAD=++，所以2133AE

ACAD=+，由DEDC=，得()AEADACAD−=−，即()1AEACAD=+−，所以2.3=故选：D4.在ABC中，π3B=，D是AB的中点，3CD=，则2ABBC+的取值范围为（）A.(3,23ùúûB.(23,26

C.(23,43D.(0,43【答案】C【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得2sin,2sinBDBCDBCBDC==，即可得到π243sin6ABBCBCD+=+，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.【详解】因为π3B=，3CD=，

在BCD△中，由正弦定理可得32sinsinsin32BDBCCDBCDBDCB====，则2sin,2sinBDBCDBCBDC==，且D是AB的中点，则2224sin4sinABBCBDBCBCDBDC+=

+=+，又π3B=，则2π3BCDBDC=−，则224sinπ4sin3ABBCBDCBDC+=−+314cossinsin22BCDBCDBCD=++334sincos22BCDBCD=+π43sin6BCD=+

，又20π3BCD，，则ππ5π666BCD+，，所以π1sin162BCD+，，则(π43sin23,436BCD+，即2ABBC+的取值范围为(23,

43.故选：C5.已知tan()+，tan()−是函数2()64fxxx=−+的零点，则23πcos224sin2+=−（）A.25−B.35-C.710−D.45−【答案】B【解析】【

分析】利用韦达定理求出tan()tan()++−，tan()tan()+−，再由诱导公式变形()()()()23πcos2sinsin2124sin22cos22cos+

++−==−−−+−−，最后由和（差）角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切.【详解】因为tan()+，tan()−是函数2()64fxxx=−+的零点，所以tan()tan()6++−=，tan()tan()4+−=，所以()()()()23πcos

2sinsin2124sin22cos22cos+++−==−−−+−−()()()()()()()()sincoscossin12coscossinsin+−++−=−

+−++−()()()()tantan116321tantan2145++−=−==−=−++−+.故选：B6.已知()()()()()()828901289321111xxaaxaxaxax++=+++++++++，则8a=（）

A.8B.10C.82D.92【答案】B【解析】【分析】由()()()()88321211xxxx++=++++，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211xxxx++=++++，其中()811x+

+展开式的通项为()()88188C11C1rrrrrrTxx−−+=+=+，Nr且8r，当0r=时，()()88018C11Txx=+=+，此时只需乘以第一个因式()12x++中的2，可

得()821x+；当1r=时，()()77128C181Txx=+=+，此时只需乘以第一个因式()12x++中的()1x+，可得()881x+.所以82810a=+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把

()()832xx++表示成()()81211xx++++，利用即可二项式定理求解.7.已知正方体1111ABCDABCD−，过点B且以1DB为法向量的平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】A【解析】【分析】作

出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到1BD⊥平面11ACB，故平面即为平面11ACB，得到截面的形状.【详解】连接111111,,,ACBABCBD，因为1BB⊥平面1111DCBA，11AC平面1111DCBA，所以111BBAC⊥，又四边形1111

DCBA为正方形，所以1111BDAC⊥，又1111BBBDB=，111,BBBD平面11BBDD，所以11AC⊥平面11BBDD，因为1DB平面11BBDD，所以111ACDB⊥，同理可证明11BCDB⊥，因为1

111BCACC=，111,BCAC平面11ACB，故1BD⊥平面11ACB，故平面即为平面11ACB，则截该正方体所得截面的形状为三角形.故选：A.8.已知a，bR，若2ab，baab=，则b的可能值为（）A.2.5B.3.5C.4.5D.6【答案】B【解析】【分析】构造函

数()lnxfxx=，求导确定其单调性，结合(2)(4)ff=可得答案.【详解】由baab=得lnlnabab=，设()lnxfxx=，则()()fafb=，又21ln()xfxx−=，当0ex时，()0fx，()fx单调递增，当ex时，()

0fx，()fx单调递减．因为ln22ln2ln4(2)(4)244ff====，所以2e4ab．结合选项可知B正确，ACD错误.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.已知正实数,ab满足221aabb−+=，则（）A.ab+的最大值为2B.ab的最小值为1C.22a

b+的最大值为2D.22ab+的最小值为1【答案】AC【解析】分析】由题可得223()124bba−+=，可令cos2ba−=，3sin2b=，即3cossin3a=+，23sin3b=，代入选项依次化简即可结果.【详解】由221aabb−+=，可得223()124

bba−+=，令cos2ba−=，3sin2b=，所以3cossin3a=+，23sin3b=，2π0,3【对于A，则πcos3sin2sin()6ab=+++=，当π3=时，ab+取最大

值为2，故A正确对于B，22332323112π1sincossinsincossinsin2cos2sin(2)3333333363ab=+=+=−+=−+当π3=时，ab的最大值为1，故B错误；对于C、D，由B可得0

1ab，由221abab+=+，则2221ab+，故C正确，D错误.故选：AC10.随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即()~2,1XN，14,2YB，则（）A()122PX=B.()()EXEY=C.()()DXDY=D.()11

2PY==【答案】ABC【解析】【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解.【详解】A选项，根据正态分布的定义得()1

2PX=，故A正确；B选项，()2EX==，()1422EY==，故()()EXEY=，故B正确；C选项，()21DX==，()114122DY==，故()()DXDY=，故C正确；D选项，()3141111C?1224PY==−

=，故D错误.故选：ABC．11.已知圆()221:31Cxy−+=，()2222:0Cxyaa+=，则下列结论正确的有（）A.若圆1C和圆2C相交，则24aB.若圆1C和圆2C外切，则2a=C.当52a=

时，圆1C和圆2C有且仅有一条公切线D.当3a=时，圆1C和圆2C相交弦长为353【答案】ABD【解析】.【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方

程，结合垂径定理求弦长.【详解】由题意可知：圆()221:31Cxy−+=的圆心()13,0C，半径11r=；圆()2222:0Cxyaa+=的圆心()20,0C，半径2ra=；则123CC=，对于选项A：若圆1C和圆2C相交，则121212rrCCrr−+

，即131aa−+，解得24a，故A正确；对于选项B：若1C和2C外切，则1212CCrr=+，即31a=+，解得2a=，故B正确；对于选项C：当52a=时，由选项A可知：圆1C和圆2C相交，所以圆1C和圆2C有且仅有2条公切线，故C错误；对于

选项D：当3a=时，由选项A可知：圆1C和圆2C相交，且圆221:680Cxyx+−+=，222:9Cxy+=，两圆方程作差得176x=，即公共弦所在直线的方程为176x=，圆心()20,0C到直线176x=的距离176d=，所以公共弦长为2223523rd−=，

故D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，若()14fx−，()124xfx−+都为偶函数，则()651kfk==______．【答案】520【解析】【分析】利用函数的奇偶性，推出函数(

)fx的图象关于点(1,0)对称以及关于点1(2,)4对称，即可依次求得(1),(2),ff的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.【详解】因为(14)fx−为偶函数，则(14)(14)fxfx+=−，即(1)(1)fxfx+=−，则(1

)(1)fxfx+=−−，即(1)(1)0fxfx++−=，故()fx的图象关于点(1,0)对称，且()01f=；又1(2)4xfx−+为偶函数，则11(2)(2)44xfxxfx−−−+=−+，则11(2)(2)44fxfx−+−+=−+，即1(2)(2)2fxf

x−+++=，故()fx的图象关于点1(2,)4对称，且1(2)4f=，又将1x=代入(1)(1)0fxfx++−=得(2)(0)0ff+=，则1(0)4f=−；令1x=，由1(2)(2)

2fxfx−+++=可得1(3)(1)2ff+=，则1(3)2f=；同理可得1(4)(0)2ff+=，则3(4)4f=；因为1(5)(1)2ff+−=，(3)(1)0ff+−=，所以1(

5)(3)2ff−=，则(5)1f=；L，由此可得(),Nfnn组成了以0为首项，14为公差的等差数列，故16511365641()01665052042424kfk==+++++=+=，故答案为：520【点

睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.13.在ABC中，若2225ACBCAB+=，

则tantantantanCCAB+=__________．【答案】12##0.5【解析】【分析】先将目标式切变弦变形整理，然后利用余弦定理计算将条件代入，结合目标式可得答案.【详解】2tantancosc

ossinsincoscossinsintantantansinsincossinsinsinsincosCCABCABABCCABABCABABC++=+==．由余弦定理得22224cos22ACBCABABCACBCACBC+−==．

由正弦定理得22sincossinsinCCAB=，从而2sinsincos2sinABCC=．所以tantan1tantan2CCAB+=．故答案为：12.14.直线l经过点()2,3P−，与圆22:22140Cxyxy+++−=相交截得的弦

长为27，则直线l的方程为________．【答案】512460xy−−=或2x=【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.【详解】圆22:22140Cxyxy+++−=，即

()()221116xy+++=，圆心为()1,1C−−，半径4r=，因为直线与圆相交截得的弦长为27，所以圆心到直线的距离()22473d=−=，若直线的斜率不存在，此时直线方程为2x=，满足圆心()1,1C−−到直线2x=的距离为3，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为

k，则直线方程为()32ykx+=−，即230kxyk−−−=，则()2212331kkdk−+−−==+−，解得512k=，所以直线方程为()53212yx+=−，即512460xy−−=，综上可得直线方程为512460xy−−=或2x

=.故答案为：512460xy−−=或2x=四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行

转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产x万件产品，每件产品需可变成本()px万元，当产量不足50万件时，()21160120pxx=+；当产量不小于50万件时，()264001460201pxxx=+−．每件产品的售价为200元，通

过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．（1）求利润函数的解析式；（2）求利润函数的最大值．【答案】（1）()3140300,050,12064001160,50xxxfxxxx−+−=−−+．（2）1000万元．【解析】【分析】（1

）根据题意，分段表示销售利润，即得利润函数；（2）对利润函数分段讨论，利用求导、基本不等式等方法求函数的最大值即得.【小问1详解】由题意得，销售收入为200x万元．当产量不足50万件时，()21160120pxx=+，利润为：()()2311200300200(160)3004030012012

0fxxxpxxxxxx=−−=−+−=−+−；当产量不小于50万件时，()264001460201pxxx=+−，利润为：()()2640014606400200300200(201)3001160fxxxpxxxxxxx=−

−=−+−−=−−+.所以利润函数为()3140300,050,12064001160,50xxxfxxxx−+−=−−+．【小问2详解】当050x时，()()()1404040fxxx+=−−，所以当040x时，()

()0,fxfx在()0,40上单调递增；当4050x时，()()0,fxfx在()40,50单调递减，所以当40x=时，()fx取得最大值()2300403f=；当50x时，()640064001160211601000fxxxxx=−++−+=当且仅当

6400xx=，即80x=时，等号成立又230010003，故当80x=时，所获利润最大，最大值为1000万元．16.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且coscos2cosaCcAb

A+=.（1）求角A；（2）若7a=，2b=，求边c及ABC的面积；（3）在（2）的条件下，求()sin2BA−的值.【答案】（1）π3（2）3c=，332ABCS=△（3）3314【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和正弦公式及诱导

公式求出cosA，即可得角A；（2）根据余弦定理求得边长c，再利用面积公式求解即可.（3）利用正弦定理求出21sin7B=，再求出27cos7B=，再利用二倍角公式求出sin2,cos2BB，最后再利用两角和与差的正弦公式即可.【小问1详解】因为coscos2c

osaCcAbA+=，由正弦定理可得sincossincos2sincosACCABA+=，即()sin2sincosACBA+=，即sin2sincosBBA=，又()0,πB，所以sin0B，则1cos2A=，又()0,πA

，所以π3A=.【小问2详解】由余弦定理得2222471cos242bcacAbcc+−+−===，整理得2230cc−−=，解得3c=或1c=−（舍），所以ABC的面积11333sin232222ABCSbcA===△.【小问3详解】的由

正弦定理得sinsinabAB=，即72πsinsin3B=，解得21sin7B=，因为cab，故角B为锐角，故227cos1sin7BB=−=，所以212743sin22sincos2777BBB===，22211cos212sin1277BB=−=−=，所以s

in(2)sin2coscos2sinBABABA−=−4311333727214=−=.17.已知四棱锥PABCD−，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面,,1ABCDPAABPAAB⊥==，M为棱PD的中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求平面ACM与平面PAB

夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）63【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】因为平面PAB⊥平面ABCD，PAAB⊥，且平面PAB平面,ABC

DABPA=平面PAB，所以PA⊥平面ABCD．【小问2详解】由题意和（1）知，,,ABADAP两两垂直，以A为原点，,,ABADAP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,1

,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0PABDC．可得11110,,,(1,1,0),0,,2222MACAM==．易知平面PAB的一个法向量为(0,1,0)AD=．设平面ACM的法向量为(,,)nxyz=，则·011·022nAC

xynAMyz=+==+=，令1y=−，则1,1xz==，可得(1,1,1)n=−．设平面ACM与平面PAB的夹角为π0,2，则13coscos,33·nADnADnAD====，可得26sin1cos3=−=所以平面ACM与平面PAB的夹角的正弦值为63．18

.已知双曲线2222;1(0,0)xyCabab−=经过点63,2，右焦点为(),0Fc，且222,,cab成等差数列.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的右支交于,PQ两点（P在Q的上方），PQ的中点为,MM在直线

:2lx=上的射影为,NO为坐标原点，设POQ△的面积为S，直线,PNQN的斜率分别为12,kk，试问12kkS−是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【答案】（1）22163xy−=（2）是定值，定值为23【解析】【分析】（1）根据题意和222cab=+可得222a

b=，然后根据点63,2在双曲线上即可求解；（2）依题意可设PQ：3xmy=+，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到()222630mymy−++=，利用韦达定理和已知条件求出12kk−的表达式，然后求出12kkS−的表达式，化简即可求证.【小问1详解】因为2

c，2a，2b成等差数列，所以2222acb=+，又222cab=+，所以222ab=.将点63,2的坐标代入C的方程得2269412bb−=，解得23b=，所以26a=，所以C的方程为22163xy−=.

【小问2详解】依题意可设PQ：3xmy=+，由223163xmyxy=+−=，得()222630mymy−++=,设()11,Pxy，()22,Qxy，12yy，则1221226232myymyym−+=

−=−.1212,22xxyyM++，122,2yyN+，则1221122112121222222211PNQNyyyyyyyykkkkxxmymy−−−−−=−=−=−−−++()()()1212212

12221yymyymyymyy−++=+++，而()()12121322SOFyyyy=−=−，所以()()121221212231myykkSmyymyy++−=+++222222226244226633

63122mmmmmmmm−+−−−===−−−++−−，所以12kkS−是定值，定值为23.【点睛】关键点点睛：（1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组；（2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简.19.已知实数0q，定义数列na

如下：如果2012222,0,1kkinxxxxx=++++，0,1,2,,ik=，则2012knkaxxqxqxq=++++．（1）求7a和8a（用q表示）；（2）令12nnba−=，证明：211nniiba−==；（3）若12q，证明：对于任意正整数n，存在正整数

m，使得1nmnaaa+．【答案】（1）23781,aqqaq=++=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；（2）112nnnbaq−−==，分别计

算1niib=和21na−可证明结论；（3）先根据112nnaq−−=无上界说明存在正整数m，使得nmaa，分1m−是偶数和1m−是奇数分别说明.【小问1详解】因为27122=++，所以271aqq=++；因为382=，所

以38aq=；【小问2详解】由数列na定义得：112nnnbaq−−==；所以2111nniibqqq−==++++．而21211222nn−−=++++，所以121211nnniiaqqqb−−==++++=；【小问3详解】当12q

，由（2）可知，112nnaq−−=无上界，故对任意na，存在ma，使得mnaa．设m是满足mnaa的最小正整数．下面证明1mnaa+．①若1m−是偶数，设2121222,0,1,1,2,,kkimxxxxik−=+++=，则212122

2kkmxxx=++++，于是212111kmkmaxqxqxqa−=++++=+．因为1nmaa−，所以111mmnaaa−=++．②若1m−是奇数，设2221122222llklkmxx++−=+++++++，则()()()()12221111111llllmmaaqqq

qqqqqqqq+−−=−++++=−++++−+++++．所以111mmnaaa−++．综上所述，对于任意正整数n，存正整数m，使得1nmnaaa+．在