【文档说明】22.7-22.9 平面向量及其加减运算-2020-2021学年八年级数学第二学期同步课堂帮帮帮（沪教版）（解析版）.docx，共(24)页，716.322 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

22.7-22.9平面向量及其加减运算知识梳理一、平面向量1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.2.平面向量的定义及表示（

1）向量:既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.（2）向量的表示方法:①小写英文字母表示法:如等.②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等.（3）向量的分类：固定向量：有大小、方向、

作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.3.特殊的向量零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.互为相反向量:长度相等且方向相反

的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).规定:与任一向量共线.要点：,,,abcrrrL,ABCDuuuruuur0r2（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的

不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.二、平面向量的加法运算1.定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量

的加法.2.运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：（2）多边形法则：

一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.（3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量

分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：要点：1.两个向量的和是一个向量，规定.2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3.“向量平移”（自由向量）：

使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.0rABBCAC+=uuuruuuruuurarr、barr、barr、bABADAC+=uuuruuuruuur00aaa+=+=rrrrrＡＢＣＡＢＣＤ34..探讨该式中等

号成立的条件，可以解决许多相关的问题.3.运算律：（1）交换律：；（2）结合律：三、向量的减法运算1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.2.运算法则：在平面内任取一点，以这点为公共

起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.要点：（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题.（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定

.（3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即.一、单选题1．若向量ar与br均为单位向量，则下列结论中正确的是（）．A．ab=rrB．1a=rC．1b=rD．ab=rr【答案】D【解析】||||||||||ababab−++rrrrrrabba+=+rrrr()()abcabc

++=++rrrrrrABADABDADB−=+=uuuruuuruuuruuuruuur0aa−=rrrABuuurABuuurABBA=−uuuruuur4由向量ar与br均为单位向量，可得向量ar与br的模相等，但方向不确定

．解：∵向量ar与br均为单位向量，∴向量ar与br的模相等，∴ab=rr.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．2．下列说法不正确的是（）A．零向量是没有方向的向量B．零向

量的方向是任意的C．零向量与任一向量平行D．零向量只能与零向量相等【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A、零向量有方向，即可判断A；对于B、符合零向量的定义，即可判断B；对于C、符合零向量的性质

，即可判断C；对于D、符合零向量的定义，即可判断D；综合可得答案．根据题意，依次分析选项：对于A.零向量有方向，且其方向是任意的，故A符合题意；对于B.零向量的方向是任意的，符合零向量的定义，B不符合；对于

C.零向量与任一向量平行，C不符合；对于D.零向量是模为0的向量，故零向量只能与零向量相等，D不符合；故选：A.【点睛】5此题考查零向量，解题关键在于掌握其性质定义.3．如图，在等腰梯形ABCD中，//ADBC，ABDC=，ABDC=，//DEAB交BC于

点E．下列判断正确的是（）A．向量ABuuur和向量DCuuur是相等向量B．向量ADuuur和向量uurCB相反向量C．向量ADuuur和向量CEuuur是平行向量D．向量ABuuur与向量DEuuur的和向量是零向量【答案】C【解析】根据等腰

梯形的性质和共线平面向量的定义作答．解：A、由于向量ABuuur和向量DCuuur的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意．B、由于|ADuuur|≠|uurCB|，所以向量ADuuur和向量uurCB不是相反向量，故本选项不符合题意．C、因为AD∥BC即AD∥

EC，所以向量ADuuur和向量CEuuur是平行向量，故本选项符合题意．D、ABuuur+DEuuur＝2ABuuur≠0r，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小

．4．已知四边形ABCD是矩形，点O是对角线AC与BD的交点.下列四种说法：①向量AOuuur与向量OCuuur是相等的向量；②向量OAuuur与向量OCuuur是互为相反的向量；③向量ABuuur与

向量CDuuur是相等的向量；④向量BOuuur与向量6BDuuur是平行向量．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．解：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，O

B=OD，∴①向量AOuuur与向量OCuuur是相等的向量，正确．②向量OAuuur与向量OCuuur是互为相反的向量，正确．③向量ABuuur与向量CDuuur是相等的向量；错误．④向量BOuuur与向量BDuuur是平行向量．正确．故选：C．【点睛】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相

等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量．5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（）．A．ABuuur与DCuuur是相等向量；B．ACuuu

r与BDuuur是相等向量；C．ADuuur与uurCB是相反向量；D．ADuuur与uurCB是平行向量．【答案】D7【解析】根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可．解：A、AB=CD，但A

B不平行于CD，ABuuur≠DCuuur，故本选项错误；B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，ACuuur≠BDuuur，故本选项错误；C、AD//BC，ADuuur与uurCB不一定是相反向量，故本选项错误；D、AD//BC，ADuuur与uurCB是平

行向量，故本选项正确．故答案为：D．【点睛】本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解答本题的关键．6．如图，点C、D在线段AB上，ACBD=，那么下列结论中，正确的是（）A．ACuuur与BDuuur是相等向量B．ADuuur与B

Duuur是平行向量C．ADuuur与BDuuur是相反向量D．ADuuur与BCuuur是相等向量【答案】B【解析】由AC=BD，可得AD=BD，即可得ADuuur与BDuuur是平行向量，ADBC

ACBD=−=−uuuruuuruuuruuur，，继而证得结论．A、∵AC=BD，∴ACBD=−uuuruuur，该选项错误；B、∵点C、D是线段AB上的两个点，∴ADuuur与BDuuur是平行向量，该选项正确；8C、∵AC=BC，∴AD≠B

D，∴ADuuur与BDuuur不是相反向量，该选项错误；D、∵AC=BD，∴AD=BC，∴ADBC=−uuuruuur，，该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的

关键．7．下列各式中错误的是()A．()0aarr+−=B．|ABBA|0+=uuuruuurC．()−=+−rrrrababD．()()++=++rrrrrrabcabc【答案】A【解析】根据向量的运算法则和运算律判断即可.解

：A.()0aavvv+−=，故本选项错误，B，C，D，均正确，故选：A.【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.8．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则()A．｜2｜＞｜-2｜B．｜2｜＜｜-2｜C．｜2｜＞｜2-｜D．｜2｜＜｜2

-｜9【答案】A【解析】对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A、C满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C，进而解答本题.解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足

；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC；令，，则，∴且；又BA+BC>AC∴∴.故选A.【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.9．在中，已知是边上一点，，则()A

．B．C．D．【答案】A【解析】根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，10∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答

本题的关键.10．下列命题中，真命题的个数为()①方向相同②方向相反③有相等的模④方向相同A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.解：对于①，若，则方向相同，①正确；对于②，若，则方向相反，②正确；对于③，

若，则方向相反，但的模不一定，③错误；对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.11．在四边形ABCD中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．矩形C

．梯形D．菱形【答案】C11【解析】利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD∥BC，AD=2BC，据梯形的定义得到选项.解：∵，∴，∴AD∥BC，AD=2BC.∴四边形ABCD为梯形.【点

睛】本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.12．下列判断中，不正确的是（）A．ABBA0+=uuuruuurB．如果ABCD=uuuruuur，则ABCD=uuuruuurC．ab

ccba++=++rrrrrrD．()()abcabc++=++rrrrrr【答案】A【解析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、应为ABBA0+=uuuruuurr，故本选项错

误；B、ABCD=uuuruuur，则向量ABuuur与CDuuur的方向相同，大小相等，∴ABCD=uuuruuur，故本选项正确；根据向量的加法满足所有的加法运算定律，C、abccba++=++rrr

rrr是向量的加法交换律，故本选项正确；12D、()()abcabc++=++rrrrrr是向量的加法结合律，故本选项正确．故选A．13．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=2DC，BCa→→=，ACb→→=，那么

AD→等于（）2ab3→→−B．2ba3→→-C．1ba3→→-D．2ab3→→−【答案】C【解析】由BD=2DC，BCa→→=，可求得DC→，又由三角形法则，即可求得AD→．解：∵BCa→→=，BD=2DC，∴DC→=1

3BC→=13a→，∵ACb→→=，∴AD→=AC→﹣DC→=b→﹣13a→．故选C．14．已知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（）A．+++=B．-+-=C．+--=D．--+=【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以

及相反向量的概念即可找出正确选项．根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D错误；；13而；∴B正确.故选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.15．规定：在平

面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量OPuuur可以用点P的坐标表示为：OPuuur＝（m，n）．已知OAuuur＝（x1，y1），OBuuur＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么OAuu

ur与OBuuur互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（）A．OCuuur＝（3，20190），ODuuur＝（﹣3﹣1，1）B．OEuuur＝（2﹣1，1），OFuuur＝（2+1，1）C．OGuuur＝（318,2），OHuuur

＝（（﹣2）2，8）D．OMuuuur＝（5+2，2），ONuuur＝（5﹣2，22）【答案】A【解析】根据向量互相垂直的定义作答．A、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OCuuur与OD

uuur互相垂直，故本选项符合题意．B、由于（2﹣1）（2+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OEuuur与OFuuur不垂直，故本选项不符合题意．C、由于38×（﹣2）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OGuuur与OHuuur不垂直，故本选项不符合题意．14D、由于（

5+2）（5﹣2）+2×22＝5﹣4+1＝2≠0，则OMuuuur与ONuuur不垂直，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.二、填空题16．化简：ABBDAC+−=uuuruuuruuur______

_____．【答案】CDuuur【解析】根据向量的加减运算即可得．原式ADAC=−uuuruuurCD=uuur故答案为：CDuuur．【点睛】本题考查了向量的加减运算，熟记运算法则是解题关键．17．

在菱形ABCD中，已知AB=uuura，AC=uuurb，那么AD=uuur__________（结果用向量ar，br的式子表示）．【答案】ba−rr【解析】根据菱形的性质可知，ADBC=uuuruuur

，然后利用BCBAAC=+uuuruuuruuur即可得出答案．∵四边形是菱形，∴ADBC=uuuruuur，15∵ABa=uuurr，ACb=uuurr，∴BCBAACabba=+=−+=−uuuruuuruuurrrrr∴ADba=−uuu

rrr故答案为：ba−rr．【点睛】本题主要考查菱形的性质及向量的运算，掌握菱形的性质及向量的运算法则是解题的关键．18．在□ABCD中，O是对角线的交点，那么12ABAC−=uuruuur____．【答案】OBuuur【解析】由向量的平行四边形法则及相等向量的概念可得答案．解

：因为：□ABCD，所以，12OAAC=，所以：−=−=uuruuuruuruuruur12ABACABAOOB．故答案为：OBuuur．【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，掌握向量的平行四边形法则是解题的关键．19．

如图1，AM是△ABC的中线，设向量ABa=uuurr，BCb=uuurr，那么向量AM=uuuur____________（结果用ar、br表示）．16【答案】ar+12br．【解析】首先由AM是△ABC的中线，即可求得B

Muuuur的长，又由AMuuuur=ABuuur+BMuuuur，即可求得答案．解：∵AM是△ABC的中线，BCb=uuurr，∴BMuuuur=12BCuuur=12br∵ABa=uuurr，∴AMuuuur=ABuuur+BMuuuur=ar+12br．故答案为ar+12

br．20．化简(-)+(-)的结果是_____。【答案】【解析】根据向量的加法和减法运算法则，对原式进行化简即可．根据向量的线性运算法则，(-)+(-)===.故答案为：.【点睛】17此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于

掌握运算法则.21．已知正方形ABCD的边长为1，=,=,=,则｜++｜为______【答案】【解析】观察本题，得++=++，进一步化为；通过ABCD为正方形化简原式为，再由边长为1，即可得出答案.|++|=|++|==2||=【点睛】此题考查向量

的加法，解题关键在于需结合向量加法运算及其几何意义进行求解.22．如图，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形:①与向量相等的向量有_______________；②若||=3，则向量的模等于_______。【答案】6【解析】（1）方

向大小都一致的向量为相等向量，据此，结合四边形ABCD和ABDE都是平行四边形进行分析即可得到答案；（2）题目给出=3，要求向量的模，于是寻找两向量之间的关系，根据平行四边形的性质进行分析即可解答；（1）方向大小都相等

的向量为相等向量，故与向量相等的向量为.（2）根据平行四边形的性质可知，18故=6.【点睛】此题考查向量的定义，解题关键在于掌握其定义.23．下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同；②若，则ABCD是平行四边形；③若ABCD是平行四边形，则；④，则；其中正确的序号是___

________.【答案】③④【解析】根据向量的知识点进行解题.①向量相等与起点、终点无关，故①不正确；②若在同一条直线上，是不能构成平行四边形的，故②不正确；③正确，因为且方向相同；④正确，向量相等具有传递性；从而正确命题的序号为③④.【点睛】此题考

查向量的定义性质.解题关键在于掌握其定义.24．化简：（ABCD−uuuruuur）-（ACBD−uuuruuur）=______．【答案】0r．【解析】由去括号的法则可得：AB-CD-AC-BDuuuruuuruuuruuur（）（）=AB-CD-AC+BDuuuruuuruuuruuur

，然后由加法的交换律与结合律可得：AB+BD-CD+ACuuuruuuruuuruuur（）（），继而求得答案．解：AB-CD-AC-BDuuuruuuruuuruuur（）（）=AB-CD-AC+BDuuuruuuruuu

ruuur=AB+BD-CD+ACuuuruuuruuuruuur（）（）=AD-ADuuuruuur=0r．故答案为0r．三、解答题1925．已知向量a→、b→求作：2ab−rr．【答案】见解析【解析】在平面内任取一点O，分别作出OCa=uuurr，2OBb=uuurr，利用向量运算的平行四边形

法则即可得到答案．解：在平面内任取一点O，作OAABb==uuuruuurr，作OCa=uuurr，则2BCab=−uuurrr即为所求．如下图．【点睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量．2

6．已知向量ar、br、cr，求作向量xr，使xabc=−+rrrr【答案】详见解析【解析】20根据向量的性质求解即可．如图所示，xr即为所求．【点睛】本题考查了向量的问题，掌握向量的性质是解题的关键．27．如图，已知△ABC中，点D为边AC的中点，设ADa=uuurr，BDb=u

uurr.(1)试用向量ar，br表示下列向量：BA=uuur,CB=uur．(2)求作：BCBD+uuuruuur，BDAC−uuuruuur.【答案】(1)br－ar,ab−−rr;(2)见解析【解析】（1）

根据三角形法则，由BABDAD=−uuuruuuruuur即可求得其值，由点D为边AC的中点，由BCBDDC=+uuuruuuruuur即可求得其的值；（2）如图1，首先过点C作CE∥BD，且使CE=BD，连接BE，向量BEBBDC=+uuuruuu

ruuur，同理作CF∥BD，且CF=BD，则FABDAC=−uuuruuuruuur.（1）∵ADa=uuurr，BDb=uuurr，21∴BABDAD=−uuuruuuruuur＝br－ar；BCBDDC=+uuuruuuruu

ur＝ab−−rr；（2）如图所示：【点睛】考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力．解题的关键是三角形法则的应用．28．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设AOa=uuuvv，DOb=uuuvv．（1）试用向量ar，br表示

下列向量：BCuuur＝；CDuuur＝；（2）求作：ACBC+uuuruuur．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）．【答案】（1）ar﹣br，﹣ar﹣br；（2）见解析【解析】（1）利用平行四边形的性质以

及三角形法则求解即可．22（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则AEuuuv即为所求．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD，OA＝OC，∴BCuuur＝ADuuur＝ODAO+uuuruuur＝ar﹣br，CDuu

ur＝ODCO+uuuruuur＝﹣ar﹣br．故答案为：ar﹣br，﹣ar﹣br．（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则AEuuur即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面

向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．已知▱ABCD，点E是BC边的中点，请回答下列问题：(1)在图中求作与的和向量：+=___；(2)在图中求作与的差向量：-=___；(3)如果把图中线段都画成有向线段,那么在这些有向线段所表示的向量中,所有与互为相

反向量的向量是___；【答案】（1）+=，图见解析；（2）-=，图见解析；（3）.23【解析】（1）根据向量的加法法则求作即可；（2）根据向量的减法法则求作即可；（3）根据相反向量的定义，方向相反，大小相等即可解答；(1)+=；(2)-=；(3)与互为相反向量的向量是：.【点睛】此题考查平面向量

，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.30．如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.【答案】；；24【解析】由D、E是△ABC中AB、AC边的中点，所以，故可表达

；和在△ABC中，由向量的共线和三角形法则表达即可.解：由三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC故又如图，由三角形法则可得：【点睛】本题考查平面向量的基本定理、向量的表示，其中三角形的中位线定理和用三角形法则

求向量的和是解答本题的关键.