【文档说明】22.7-22.9 平面向量及其加减运算-2020-2021学年八年级数学第二学期同步课堂帮帮帮（沪教版）（原卷版）.docx，共(9)页，395.784 KB，由管理员店铺上传

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22.7-22.9平面向量及其加减运算知识梳理一、平面向量1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.2.平面

向量的定义及表示（1）向量:既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.（2）向量的表示方法:①小写英文字母表示法:如等.②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等.（3）向量的分

类：固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.3.特殊的向量零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.互为相反向量:长度相等且方向相反的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平

行向量又称为共线向量).规定:与任一向量共线.要点：,,,abcrrrL,ABCDuuuruuur0r2（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.二、平面向量的加法运算1.定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2.运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以

第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后

一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.（3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起

点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：要点：1.两个向量的和是一个向量，规定.2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量

的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.0rABBCAC+=uuuruuuruuurarr、barr、barr、bABADAC+=uuuruuuruuur00aaa+=+=rrrrrＡＢＣＡＢＣＤ34..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.

3.运算律：（1）交换律：；（2）结合律：三、向量的减法运算1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.2.运算法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为

终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.要点：（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题.（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定.（3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反

向量，即.一、单选题1．若向量ar与br均为单位向量，则下列结论中正确的是（）．A．ab=rrB．1a=rC．1b=rD．ab=rr2．下列说法不正确的是（）A．零向量是没有方向的向量B．零向量的方向是任意的C．零向量与任一向量平行

D．零向量只能与零向量相等||||||||||ababab−++rrrrrrabba+=+rrrr()()abcabc++=++rrrrrrABADABDADB−=+=uuuruuuruuuruuuruuur0aa−=rrrABuuurABuu

urABBA=−uuuruuur43．如图，在等腰梯形ABCD中，//ADBC，ABDC=，ABDC=，//DEAB交BC于点E．下列判断正确的是（）A．向量ABuuur和向量DCuuur是相等向量B．向量ADuuur和向量uur

CB相反向量C．向量ADuuur和向量CEuuur是平行向量D．向量ABuuur与向量DEuuur的和向量是零向量4．已知四边形ABCD是矩形，点O是对角线AC与BD的交点.下列四种说法：①向量AOuuur与向量OCuuur是相等的向量；②向量OAuuur与向量OCuuur是

互为相反的向量；③向量ABuuur与向量CDuuur是相等的向量；④向量BOuuur与向量BDuuur是平行向量．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．45．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（）．A．ABuuur与DCuuur

是相等向量；B．ACuuur与BDuuur是相等向量；C．ADuuur与uurCB是相反向量；D．ADuuur与uurCB是平行向量．6．如图，点C、D在线段AB上，ACBD=，那么下列结论中，正确的是（）A．ACuuur与BDuuur是相等向

量B．ADuuur与BDuuur是平行向量C．ADuuur与BDuuur是相反向量D．ADuuur与BCuuur是相等向量7．下列各式中错误的是()A．()0aarr+−=B．|ABBA|0+=uuuruuurC．()−=+−rrrrababD．()()++=++rrrrrrabcabc8．若非

零向量、满足｜-｜=｜｜，则()5A．｜2｜＞｜-2｜B．｜2｜＜｜-2｜C．｜2｜＞｜2-｜D．｜2｜＜｜2-｜9．在中，已知是边上一点，，则()A．B．C．D．10．下列命题中，真命题的个数为()①方向相同②方向相反③有相等的模④方向相同A．0B．1C．2D

．311．在四边形ABCD中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形12．下列判断中，不正确的是（）A．ABBA0+=uuuruuurB．如果ABCD=uuuruuur，则ABCD=uuuruuurC．abccba++=++rrrrrrD．()()a

bcabc++=++rrrrrr13．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=2DC，BCa→→=，ACb→→=，那么AD→等于（）1.2ab3→→−B．2ba3→→-C．1ba3→→-D．2ab3→→−14．已

知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（）6A．+++=B．-+-=C．+--=D．--+=15．规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量OPuuur可以用点P

的坐标表示为：OPuuur＝（m，n）．已知OAuuur＝（x1，y1），OBuuur＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么OAuuur与OBuuur互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（）A．OCuuur＝（3，20190），ODuuur＝（﹣3

﹣1，1）B．OEuuur＝（2﹣1，1），OFuuur＝（2+1，1）C．OGuuur＝（318,2），OHuuur＝（（﹣2）2，8）D．OMuuuur＝（5+2，2），ONuuur＝（5﹣2，22二、填空题16．化简：ABBDAC+−=uuuruuur

uuur___________．17．在菱形ABCD中，已知AB=uuura，AC=uuurb，那么AD=uuur__________（结果用向量ar，br的式子表示）．18．在□ABCD中，O是对角线的交点，那么12ABAC−=uuruuur____．19．如图1，AM是△ABC的中线，设向

量ABa=uuurr，BCb=uuurr，那么向量AM=uuuur____________（结果用ar、br表示）．20．化简(-)+(-)的结果是_____。21．已知正方形ABCD的边长为1，=,=,=,则｜++｜为______722．

如图，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形:①与向量相等的向量有_______________；②若||=3，则向量的模等于_______。23．下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同；②若，则ABCD是平行四边形；③若ABCD是平行四边形，则；④，则；其

中正确的序号是___________.24．化简：（ABCD−uuuruuur）-（ACBD−uuuruuur）=______．三、解答题25．已知向量a→、b→求作：2ab−rr．26．已知向量ar、br、cr，求作向量xr，使xabc=−+rrrr27．如图，

已知△ABC中，点D为边AC的中点，设ADa=uuurr，BDb=uuurr.(1)试用向量ar，br表示下列向量：BA=uuur,CB=uur．8(2)求作：BCBD+uuuruuur，BDAC−uuuru

uur.28．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设AOa=uuuvv，DOb=uuuvv．（1）试用向量ar，br表示下列向量：BCuuur＝；CDuuur＝；（2）求作：ACBC+uuuruuur．（保留作图痕迹，写出结果，不

要求写作法）．29．已知▱ABCD，点E是BC边的中点，请回答下列问题：(1)在图中求作与的和向量：+=___；(2)在图中求作与的差向量：-=___；(3)如果把图中线段都画成有向线段,那么在这些有向线段所表示的向量中,所有与互为相反向量的向量是___；30．如图，D、E

是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.9