【文档说明】四川省成都市2021届高三下学期5月第三次诊断性检测（成都三诊）数学（理）答案.pdf，共(6)页，197.517 KB，由小赞的店铺上传

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数学(理科)“三诊”考试题参考答案第１页(共６页)成都市２０１８级高中毕业班第三次诊断性检测数学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷(选择题,共６０分)一、选择题:(每小题５分,共６０分)１．C;２．D;３．A;４．D;５．C;６．B;７．B;８．A;９．

C;１０．B;１１．D;１２．C．第Ⅱ卷(非选择题,共９０分)二、填空题:(每小题５分,共２０分)１３．３２;１４．１２;１５．２３;１６．①②④．三、解答题:(共７０分)１７．解:(Ⅰ)由题意,知４＋

x＋２０＋３８＋３０＝１００．∴x＝８．􀆺􀆺２分在这１００份作业中,因大三学生的作业共３＋６＋１５＋y＋１２＝３６＋y(份),则大四学生的作业共６４－y(份)．∵选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为３∶２,∴３６＋y

６４－y＝３２．解得y＝２４．􀆺􀆺４分故这１００份作业中大三学生作业共６０份．设大三学生作业的平均成绩为􀭺x．则􀭺x＝３６０×５５＋６６０×６５＋１５６０×７５＋２４６０×８５＋１２６０×９５＝８１．∴估计这１００份作业中大三学生作业的平均成绩为８１分．�

�􀆺６分(Ⅱ)在这１００份作业的样本中,成绩在[５０,６０),[６０,７０),[７０,８０)的大四学生作业份数分别是１,２,５．故成绩在[５０,８０)的作业有８份,则X的所有可能取值为０,１,２．􀆺􀆺７

分∵P(X＝０)＝C０２C２６C２８＝１５２８,P(X＝１)＝C１２C１６C２８＝３７,P(X＝２)＝C２２C０６C２８＝１２８,􀆺􀆺１０分∴随机变量X的分布列为X０１２P１５２８３７１２８∴随机变

量X的数学期望EX＝０×１５２８＋１×３７＋２×１２８＝１２．􀆺􀆺１２分数学(理科)“三诊”考试题参考答案第２页(共６页)１８．解:(Ⅰ)∵an＋２＋３an＝４an＋１,n∈N∗,∴an＋２－an＋１＝３(an＋１－an)．􀆺􀆺１分∵bn＝an＋１

－an,∴bn＋１＝３bn．􀆺􀆺２分又b１＝a２－a１＝２,∴数列bn{}是以２为首项,３为公比的等比数列．􀆺􀆺４分∴bn＝２×３n－１．􀆺􀆺６分(Ⅱ)∵bn＝an＋１－an,∴an＋１＝(an＋１－an)＋(an－an－１)＋􀆺＋(a２－a１)＋a１􀆺􀆺７分＝bn＋bn－１＋

􀆺＋b１＋a１＝２(１－３n)１－３＋１＝３n．􀆺􀆺９分∴cn＝log３(an＋bn)＝log３３n＝n．􀆺􀆺１０分∴Sn＝１＋２＋􀆺＋n＝n(n＋１)２．􀆺􀆺１１分∴S２０＝２０×２１２＝２１０．􀆺�

�１２分１９．解:(Ⅰ)如图,设AC与BD的交点为O,连接EO．∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,且O为BD,AC的中点．􀆺􀆺１分∵EB＝ED,∴BD⊥EO．􀆺􀆺２分∵AC,EO⊂平面ACFE,AC

∩EO＝O,∴BD⊥平面ACFE．􀆺􀆺４分又BD⊂平面BDF,∴平面BDF⊥平面ACFE．􀆺􀆺５分(Ⅱ)∵四边形ABCD是边长为２的菱形,∠DAB＝π３,则BD＝２．∴OB＝OD＝１．又AC＝２AO＝３AB＝２３,EF＝１４AC,∴EF＝３２．􀆺􀆺６分∵EF

∥AC,∴四边形ACFE是梯形．∵O为AC的中点,EA＝EC,∴EO⊥AC．∴梯形ACFE的面积S＝１２×(３２＋２３)􀅰OE＝５３４􀅰OE．􀆺􀆺７分又由(Ⅰ)知BD⊥平面ACFE．∴VABCDEF＝VB－ACFE＋VD－ACFE＝２VB－ACFE＝２×１

３S􀅰OB＝２×１３×５３４􀅰OE×１＝５２．∴OE＝３．􀆺􀆺８分以O为坐标原点,向量OA→,OB→,OE→的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．则A(３,０,０),B(０,１

,０),E(０,０,３),数学(理科)“三诊”考试题参考答案第３页(共６页)D(０,－１,０),F(－３２,０,３)．AB→＝(－３,１,０),AE→＝(－３,０,３),BD→＝(０,－２,０),BF→＝(－３２,－１,３)．􀆺􀆺９分设平面ABE,平面

BDF的法向量分别为m＝(x１,y１,z１),n＝(x２,y２,z２)．由AB→􀅰m＝０AE→􀅰m＝０{,得－３x１＋y１＝０－３x１＋３z１＝０{．令x１＝１,得m＝(１,３,１)．􀆺􀆺１０分由BD→􀅰n＝

０BF→􀅰n＝０{,得－２y２＝０－３２x２－y２＋３z２＝０ìîíïïïï．令x２＝２,得n＝(２,０,１)．􀆺􀆺１１分∵cos＜m,n＞＝m􀅰n|m||n|＝２＋１５×５＝３５,∴平面ABE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为３５．􀆺􀆺１２分２０．解:(Ⅰ)∵椭圆C的

四个顶点围成的四边形的面积为２５,∴１２􀅰２a􀅰２b＝２５,即ab＝５．􀆺􀆺１分∵点F２(c,０)(c＞０)到直线x－y＋２＝０的距离为|c＋２|２＝２２,∴c＝２．􀆺􀆺２分又a２＝b２＋c２,∴a２＝５a２＋４,即a４－４a２－５＝０．解得a２＝５或a２＝－

１(舍去)．􀆺􀆺３分∴b２＝１．∴椭圆C的方程为x２５＋y２＝１．􀆺􀆺４分(Ⅱ)由题意,直线l的斜率存在且不为０．设直线l的方程为x＝my－３．由x＝my－３x２５＋y２＝１ìîíïïïï,消去x,得(m２＋５)y２－６my＋４＝０．􀆺􀆺５分由Δ＝２０(

m２－４)＞０,得m＜－２或m＞２．􀆺􀆺６分设A(x１,y１),B(x２,y２),N(xN,yN)．则y１＋y２＝６mm２＋５,y１y２＝４m２＋５．􀆺􀆺７分数学(理科)“三诊”考试题参考答案第４页(共６页)设过点F２与直线l垂直的直线的方程为x＝－１my＋２．

由x＝my－３,x＝－１my＋２ìîíïïïï,解得yN＝５mm２＋１．􀆺􀆺８分∵△AF２M与△BF２N面积相等,∴１２|MA|􀅰|F２N|＝１２|BN|􀅰|F２N|,∴|MA|＝|BN|,即MA,BN在y轴上的投影

相等．则|y１－０|＝|yN－y２|．􀆺􀆺１０分∵点A,B在点M,N之间,∴y１＋y２＝yN,即６mm２＋５＝５mm２＋１．解得m＝±１９,满足m＜－２或m＞２．􀆺􀆺１１分∴直线l的方程为x＋１９y＋３＝０或x－１９y＋３＝０．􀆺􀆺１２分２１．解:(Ⅰ)当a＝－１２时,f

(x)＝cosx＋１２x２,则f′(x)＝－sinx＋x．􀆺􀆺１分设g(x)＝f′(x),则g′(x)＝－cosx＋１,x∈[－π２,π２]．显然g′(x)≥０．∴g(x)在[－π２,π２]上单调递增．􀆺􀆺２分又g(０)＝０,∴当x∈[－π２,

０)时,f′(x)＜０;当x∈(０,π２]时,f′(x)＞０．∴f(x)在[－π２,０)上单调递减,在(０,π２]上单调递增．􀆺􀆺３分∵f(０)＝１,f(π２)＝f(－π２)＝π２８,∴函数f(x)的值域为

[１,π２８]．􀆺􀆺４分(Ⅱ)∵f(－x)＝cos(－x)－a(－x)２＝cosx－ax２＝f(x),∴f(x)是[－π２,π２]上的偶函数．∴“函数f(x)在[－π２,π２]上恰有两个极小值点”等价于“函数f(x)在(０,π２)上恰有一个极小值点

”．因f′(x)＝－sinx－２ax,设h(x)＝f′(x),则h′(x)＝－cosx－２a．􀆺􀆺５分①当a≥０时,h′(x)≤０,则h(x)在(０,π２)上单调递减．∴h(x)≤h(０)＝０．则f′(x)≤０,此时f

(x)在(０,π２)上单调递减,无极小值．􀆺􀆺６分②当a≤－１２时,h′(x)≥０,则h(x)在(０,π２)上单调递增．∴h(x)≥h(０)＝０．则f′(x)≥０,此时f(x)在(０,π２)上单调递增,无极小值．􀆺􀆺

７分③当－１２＜a＜０时,存在x０∈(０,π２),使h′(x０)＝－cosx０－２a＝０．数学(理科)“三诊”考试题参考答案第５页(共６页)当x∈(０,x０)时,h′(x)＜０;当x∈(x０,π２)时,h′(x)＞０．∴h(x)在(０,x０)上单调递减,在(x０,π２)上单调递增．

∵h(０)＝０,∴h(x０)＜０．又h(π２)＝－１－aπ,(ⅰ)当－１－aπ≤０,即－１π≤a＜０时,h(π２)≤０．∴f′(x)≤０,此时f(x)在(０,π２)上单调递减,无极小值．􀆺􀆺８分(ⅱ)当－１－aπ＞０,即－１２＜a＜－１π时,h(π２)＞０

．则存在t∈(x０,π２),使得h(t)＝－sint－２at＝０．􀆺(∗)当x∈(０,t)时,f′(x)＜０;当x∈(t,π２)时,f′(x)＞０．∴f(x)在(０,t)上单调递减,在(t,π２)上

单调递增．􀆺􀆺９分∴函数f(x)在(０,π２)上恰有一个极小值点x２＝t．此时,x＝０是函数f(x)的极大值点．∴当函数f(x)在[－π２,π２]上恰有两个极小值点时,a的取值范围为(－１２,－１π)．􀆺􀆺１０分∵x１＋x２＝０,若f(x２－x

１)＝１＋１９(x２－x１)２,则cos２x２－４ax２２＝１＋４９x２２．由(∗)式,知sinx２＝－２ax２．∴１－８a２x２２－４ax２２＝１＋４９x２２．􀆺􀆺１１分整理得x２２(３a＋１)(６a＋１)＝０．∵x２≠０,a∈(－１２,－１π),∴a＝－１３．∴存在

a＝－１３,使得f(x２－x１)＝１＋１９(x２－x１)２成立．􀆺􀆺１２分２２．解:(Ⅰ)消去曲线C的参数方程中的参数k,得y２＝２x．􀆺􀆺２分∴曲线C的普通方程为y２＝２x．􀆺􀆺３分整理ρcos(θ－π４)＝１,可得ρcosθ＋ρsinθ＝２．􀆺􀆺４分∵ρcosθ＝x

,ρsinθ＝y,∴直线l的普通方程为x＋y－２＝０．􀆺􀆺５分(Ⅱ)将直线l的普通方程化为参数方程为x＝２－２２t,y＝２２tìîíïïïïïï(t为参数)．􀆺􀆺６分数学(理科)“三诊”考试题参考答案第６页(共６页)代入y２＝２x,整理

可得t２＋２２t－４２＝０．􀆺(∗)而Δ＝(２２)２－４×１×(－４２)＝８＋１６２＞０．􀆺􀆺７分设t１,t２是方程(∗)的两个实数根．则t１＋t２＝－２２,t１t２＝－４２．􀆺􀆺８分∴|PM|

２＋|QM|２＝t１２＋t２２＝(t１＋t２)２－２t１t２＝８＋８２．􀆺􀆺１０分２３．解:(Ⅰ)①当x≤－２时,f(x)＝x２－x－１０．函数f(x)在－(∞,－２]上单调递减,此时函数f(x)的值域为[－４,＋∞);􀆺􀆺１分②当－２＜x＜

２时,f(x)＝－x２＋x＋２．函数f(x)在(－２,１２)上单调递增,在(１２,２)上单调递减,此时函数f(x)的值域为(－４,９４];􀆺􀆺２分③当x≥２时,f(x)＝x２＋x－６．函数f(x)在[２,＋∞)上单调递增

．此时函数f(x)的值域为[０,＋∞);􀆺􀆺３分由题意,及函数f(x)的图象知m＝－４．􀆺􀆺５分(Ⅱ)１a＋３＋１b＋５与１４的大小关系为:１a＋３＋１b＋５≥１４．证明如下:由a＋b＋２m＝０及m＝－４,知a＋b＝８．􀆺􀆺６分∵a＞０,b

＞０,∴１a＋３＋１b＋５＝１１６[(a＋３)＋(b＋５)](１a＋３＋１b＋５)􀆺􀆺８分＝１１６(２＋b＋５a＋３＋a＋３b＋５)≥１１６(２＋２b＋５a＋３􀅰a＋３b＋５)＝１４．当且仅当b＋５a＋３＝a＋３b＋５,即a＝５,b＝３时等号成立．􀆺􀆺９分∴１a＋３＋１b＋

５≥１４．􀆺􀆺１０分