【文档说明】备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题10 直线和圆的方程 Word版无答案.docx，共(15)页，745.783 KB，由管理员店铺上传

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专题10直线和圆的方程易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）距离问题技巧总结①两点间的距离：已知111222(,),(,)PxyPxy则22122121()()PPxxyy=−+−

②点到直线的距离:0022AxByCdAB++=+③两平行线间的距离：两条平行直线11:0lAxByC++=与22:0lAxByC++=的距离公式1222CCdAB−=+．易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线yx,前的系数统一，然后代入公式求算.例．已知直线1:433

0lxy−+=，2:(2)(1)0lmxmym+−++=(R)m，则（）A．直线2l过定点(1,2)B．当2m=时，12ll//C．当1m=−时，12ll⊥D．当12ll//时，12,ll之间的距离为15变式1．曲线2ecos3xyx=在点()0,1处的切线与其平行直线l的距离为5，则

直线l的方程可能为（）A．26yx=+B．24yx=−C．31yx=+D．34yx=−变式2．已知直线1l：1ykx=+，2l：2ymx=+，圆C：()()22126xy−+−=，下列说法正确的是（）A．若1l经过圆心C，则1

k=B．直线2l与圆C相离C．若12ll∥，且它们之间的距离为55，则2k=D．若1k=−，1l与圆C相交于M，N，则2MN=变式3．已知直线12:4340,:(2)(1)250(R)lxylmxmymm−+=+−+++=，则（）A．直线2l过定点(2,1)−−B．当1m=时，12ll⊥C．当

2m=时，12ll//D．当12ll//时，两直线12,ll之间的距离为11．若直线230xy−−=与420xya−+=之间的距离为5，则a的值为（）A．4B．56−C．4或16−D．8或16−2．若两条直线1:2lyxm=+，2:2lyxn=+与圆2240x

yx+−=的四个交点能构成正方形，则mn−=（）A．45B．210C．22D．43．两条平行直线230xy−+=和340axy−+=间的距离为d，则a，d分别为（）A．6a=，63d=B．6a=−，63d=C．6a=−，53d=D．6a=，53d=4．两条平行直线34

120xy+−=与8110axy++=之间的距离（）A．235B．2310C．72D．75．已知直线1:0lxmy−=和2:2(1)0(R)lxmymm−+−=与圆C都相切，则圆C的面积的最大值是（）A．2B．4C．8D．166．若直线1:60lxay++=与2:(2)32

0laxya−++=平行，则1l与2l间的距离为（）A．2B．823C．3D．8337．已知直线1l：()()()324220xy++++−+=（R），2l：20xy+−=，若12//ll，则1l与2l间的距离为（）A．22B．2C．2D．228．已知直线1:36

0lmxy−+=，2:43120lxmy−+=，若12ll//，则12,ll之间的距离为（）A．121313B．81313C．91313D．139．若两条平行直线()1:200lxymm−+=与2:260lxny+−=之间的距离是5，则m+n=A．0B．1C．-2D．-11

0．已知直线1:3450lxy++=，2:68150lxy+−=，则两条直线之间的距离为A．4B．2C．52D．5易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜

式()11yykxx-=-11(,)xy是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式ykxb=+k是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式112121yyxxyyxx--=--11(,)xy，22(,)xy是直线上两定点不

垂直于x轴和y轴截距式1xyab+=a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式2200AxByCAB++=+?（）A、B、C为系数任何位置的直线给定一般式求截距相

等时，具体方案如下：形如：第一种情况BABCACACxyBCyxCByAx=−=−−==−===++000令令第二种情况：000时，横纵截距皆为==++CCByAx截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型易错提醒：求截距相等时

，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解例．已知直线l过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点(),Pab在直线l上，求33ab+的最小值．变式1．已知直线l过点()1,2且在xy，轴上的截距相等(1)

求直线l的一般方程；(2)若直线l在xy，轴上的截距不为0，点(,)Pab在直线l上，求33ab+的最小值．变式2．已知直线1l：240axy+−=，直线2l：210bxy−−=，其中a，b均不为0.(1)若12ll⊥，且1l过点()1,1，求a，b；(2)若12//ll，且1l在

两坐标轴上的截距相等，求1l与2l之间的距离.变式3．已知直线1:2240laxya−−+=，直线222:4480laxya+−−=(1)若直线1l在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；(2)若1l2

l，求直线2l的方程.1．已知圆()2200:4,,OxyMxy+=为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（）A．220xy+−=B．202xy+−=C．420xy+−=D．220xy−−=2．“直

线:21lykxk=+−在坐标轴上截距相等”是“1k=−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．x-y+1=0B．x+

y-3＝0C．y＝2x或x+y-3＝0D．y＝2x或x-y+1＝04．下列说法正确的是（）A．若直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直，则1a=−B．已知(1,1)P，(2,3)Q−−，点P，Q到直线l的距

离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是2C．过()11,xy，()22,xy两点的所有直线的方程为112121yyxxyyxx−−=−−D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=5．过点()3,4P，且在两坐标轴上的截距相等

的直线的方程是A．10xy−+=B．10xy−+=或430xy−=C．70xy+−=D．70xy+−=或430xy−=6．下列命题中错误．．的是（）A．命题“200,11xx+R”的否定是“2,11xx+

R”B．命题“若ab，则221ab−”的否命题为“若ab，则221ab−”C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题7．与圆22(1)1yx+−=相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（

）A．2条B．3条C．4条D．6条8．已知直线l过点()2,3M−，且与x轴、y轴分别交于A，B点，则（）A．若直线l的斜率为1，则直线l的方程为5yx=+B．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程

为1xy+=C．若M为AB的中点，则l的方程为32120xy−+=D．直线l的方程可能为3y=9．已知直线1l：0xym−+=，2l：210xmy+−=，则下列结论正确的有（）A．若12//ll，则2m=−B．若12ll⊥，则2m=C．若1l，2l在x轴上的截距相

等则1m=D．2l的倾斜角不可能是1l倾斜角的2倍10．直线l与圆22(2)2xy−+=相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程可能是A．0xy+=B．2220xy+−+=C．0xy−=D．40xy+−=易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关

圆的切线问题）技巧总结第一类：求过圆上一点()00,yx的圆的切线方程的方法正规方法：第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为k1−第三步：利用点斜式()00xxkyy−=−求出

切线方程注意：若0=k则切线方程为0xx=，若k不存在时，切线方程为0yy=秒杀方法：①经过圆222ryx=+上一点()00,yxP的切线方程为200ryyxx=+②经过圆()()222rbyax=−+−上一点()00,yxP的切线方程为()()()()200rbybyaxax=−

−+−−③经过圆022=++++FEyDxyx上一点()00,yxP的切线方程为0220000=++++++FyyExxDyyxx第二类：求过圆外一点()00,yx的圆的切线方程的方法方法一：几何法第一步：设切线方程为()00xxkyy−=−，即000=+−−ykxy

kx，第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出方法二:代数法第一步：设切线方程为()00xxkyy−=−，即00ykxkxy+−=，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0=可求得k，切线方程即可求出注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法

求得的k只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出.第三类：求斜率为k且与圆相切的切线方程的方法方法一：几何法第一步：设切线方程为mkxy+=，即0=+−mykx第二步：由圆心到直线的

距离等于半径长，可求得m，切线方程即可求出.方法二:代数法第一步：设切线方程为mkxy+=，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0=可求得m，切线方程即可求出方法三：秒杀方法已知圆222ryx=+的切线的斜率为k，则圆

的切线方程为12+=krkxy已知圆()()222rbyax=−+−的切线的斜率为k，则圆的切线方程为kabkrkxy−++=12工具：点与圆的位置关系判断圆的标准方程为)0()()(222=−+−rrbyax一般方程为)04(

02222−+=++++FEDFEyDxyx.①点在圆上：22020)()(rbyax=−+−0002020=++++FEyDxyx②点在圆外：22020)()(rbyax−+−0002020++++FEyDxyx

③点在圆内：22020)()(rbyax−+−0002020++++FEyDxyx易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理例、圆的方程为122=+yx，过点2321，的切线方程变形1、圆的方程为042422=+

+−+yxyx，过点−12323，的切线方程变形2、圆的方程为042422=++−+yxyx，过点()11，的切线方程变形3、圆的方程为()()11222=++−yx，切线斜率为1方程为1．在平面直角坐标系中，过直线230

xy−−=上一点P作圆22:21Cxxy++=的两条切线，切点分别为AB、，则sinAPB的最大值为（）A．265B．255C．65D．552．已知点(1,3)M在圆22:Cxym+=上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为（）A．30B．60C

．120D．1503．已知圆22:46120Cxyxy+−−+=与直线:10lxy+−=，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则PQ的最小值是（）A．7B．22C．71−D．221−4．已知直线:1

0(0)lmxymm−++=与圆:C224240xyxy+−++=，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为,AB，若线段AB长度的最小值为3，则实数m的值是（）A．125−B．125C．75D．75−5．已知圆()22:24Cxy

−+=，直线():lykxk=R，则下列结论正确的是（）A．存在实数k，使得直线l与圆C相切B．若直线l与圆C交于A，B两点，则AB的最大值为4C．当1k=−时，圆C上存在4个点到直线l的距离为12D．当1k=时，对任意R，曲线()22:40Exyxy+−++=恒过直线l与圆C的交点

6．过圆224xy+=上一点P作圆221xy+=的两条切线，切点分别为A，B，则（）.A．||||2APBP==B．60APB=C．||3AB=D．直线AB与圆2214xy+=相切7．已知圆C的方程为22(2)1xy+−=，点(0,3)Q，点P是x轴上的一个动点，过点P作圆C的两条切

线，切点分别为,AB，则（）A．存在切点,AB使得AQB为直角B．直线AB过定点3(0,)2C．QAQB的取值范围是3[0,]2D．QAB面积的取值范围是3(0,3]48．已知直线:10lxy−+=与圆22:(1)(2)1KCxkyk+

−++=，下列说法正确的是（）A．所有圆kC均不经过点(0,3)B．若圆KC关于直线l对称，则2k=−C．若直线l与圆KC相交于A、B，且2AB=，则1k=−D．不存在圆KC与x轴、y轴均相切9．已知22:(2)(1)4Exy−+−=，过点()5,5P作

圆E的切线，切点分别为,MN，则下列命题中真命题是（）A．21PM=B．直线MN的方程为34140xy+−=C．圆221xy+=与E共有4条公切线D．若过点P的直线与E交于,GH两点，则当EHG面积最大时，22GH=.10．已知点M为

直线:80lxy−+=与y轴交点，P为圆22:45Oxy+=上的一动点，点()()1,0,3,0AB−，则（）A．PM取得最小值时，65ABPS=△B．MP与圆O相切时，19PM=C．当BPMP⊥时，0APBM=D．sinAPB的最大值为54易

错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）处理此类问题宗旨：截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值①截距式：求形如nymx+的最值转化为动直线斜率的最值问题②斜率式：求形如nxmy−

−的最值转化为动直线截距的最值问题③距离式：求形如222)()(rbyax=−+−的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题形如：若()yxP,是定圆()()222:rbyaxC=−+−上的一动点，则求nymx+和xy

这两种形式的最值思路1：几何法①nymx+的最值，设tnymx=+，圆心()baC,到直线tnymx=+的距离为,22nmtnbmad+−+=由rd=即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值②xy的最值：xy即点P与原点连线的斜率，数形结合可

求得斜率的最大值和最小值思路2：代数法①nymx+的最值，设tnymx=+，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值.②xy的最值：设xyt=，则txy=，与圆的方程联立

，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值.易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在例、已知()Mmn，为圆C：22414450x

yxy+−−+=上任意一点.(1)求2mn+的最大值；(2)求32nm−+的最大值和最小值；(3)求22mn+的最大值和最小值.变形1、如果实数x，y满足()()22336xy−+−=，求：（1）yx的最大值与最小值；（2）xy+的最大值与最小值；（3）2

2xy+的最大值和最小值．变形2、已知实数x，y满足方程22(2)3xy−+=.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求yx−的最大值和最小值；（3）求22xy+的最大值和最小值.变形3、已知实数xy、满足222410xyxy++−+=．（1）求4yx−的最大值和最小值；（2）求2

221xyx+−+的最大值和最小值．1．()()22xayb−+−可以转化为平面上(),Mxy点与点(),Nab之间的距离．结合上述观点，可得()22820420fxxxxx++++=+的最小值为（）A．29B．210

C．31D．213+2．已知实数,xy满足曲线C的方程22220xyx+−−=，则下列选项错误的是（）A．22xy+的最大值是423+B．11yx++的最大值是26+C．3xy−+的最小值是223−D．过点()0,2作曲线C的切线，则切线方程为220xy−+=3

．点()0,1到直线0kxyk++=的最大距离为（）A．2B．3C．2D．14．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：22()()xayb−+−可以转化为平面上点(,)Mxy与点

(,)Nab的距离．结合上述观点，可得224848yxxxx=+++−+的最小值为（）A．42B．22C．210+D．35+5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22xayb−+−可以转化为点(),xy到点(

),ab的距离，则22148xxx++−+的最小值为（）．A．3B．221+C．23D．136．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决

，列如，与22()()xayb−+−相关的代数问题，可以转化为点(),xy与点(),ab之间的距离的几何问题.已知点()11,Mxy在直线1:2lyx=+，点()22,Nxy在直线2:lyx=上，且1MNl⊥，结合上述观点，()()22

12221245xyxy+−+−+的最小值为（）A．722B．1122C．412−D．57．已知(),Pxy为抛物线2:4Cyx=的准线上一点，则224(4)25yy++−+的最小值为（）A．43B．345+C．65D．412+8．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和

最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则222222(,)(23)(13)(13)(2)Fxyxyxyxy=−+++−+−+++−的最小值为（）A．4B．223+C．323+

D．423+9．已知实数,xy满足3420xy+=−，那么224613xyxy+−++的最小值为（）A．16B．4C．2D．210．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几

何问题加以解决，如：()()22xayb−+−可以转化为平面上点(),Mxy与点(),Nab的距离.结合上述观点，可得()221026613fxxxxx=+++++的最小值为（）A．5B．29C．13D．2

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