【文档说明】备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题10 直线和圆的方程 Word版含解析.docx，共(42)页，2.362 MB，由管理员店铺上传

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专题10直线和圆的方程易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）距离问题技巧总结①两点间的距离：已知111222(,),(,)PxyPxy则22122121()()PPxxyy=−+−②点到直线的距离:0022

AxByCdAB++=+③两平行线间的距离：两条平行直线11:0lAxByC++=与22:0lAxByC++=的距离公式1222CCdAB−=+．易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线yx,前的系数

统一，然后代入公式求算.例．已知直线1:4330lxy−+=，2:(2)(1)0lmxmym+−++=(R)m，则（）A．直线2l过定点(1,2)B．当2m=时，12ll//C．当1m=−时，12ll⊥D

．当12ll//时，12,ll之间的距离为15【详解】由2:2(1)20lmxxmyymmxyxy+−−+=−++−=，令1020xyxy−+=−=，可得12xy==，所以2l过定点(1,2)，A对2m=时，2:4320lxy−+=，而1:4330lxy

−+=，即12ll//，B对1m=−时，2:10−=lx，而1:4330lxy−+=，显然不垂直，C错12ll//，则3(2)4(1)mm−+=−+，可得2m=，由上知，12,ll之间的距离为22321

543−=+D对.故选：ABD变式1．曲线2ecos3xyx=在点()0,1处的切线与其平行直线l的距离为5，则直线l的方程可能为（）A．26yx=+B．24yx=−C．31yx=+D．34yx=−【

详解】()222ecos3e3sin3xxyxx=+−()2e2cos33sin3xxx=−，0|2xy==所以曲线2ecos3xyx=在点()0,1处的切线方程为12(0)yx−=−，即210xy−+=设直线:20lxyt−+=（1t），依题意得22|1|521t

−=+，解得6t=或4t=−所以直线l的方程为26yx=+或24yx=−故选：AB变式2．已知直线1l：1ykx=+，2l：2ymx=+，圆C：()()22126xy−+−=，下列说法正确的是（）A．若1l经过圆心C，则1k=B．直线2l与圆C相离C．若12ll∥，且它们之间的距离为55，则2k=

D．若1k=−，1l与圆C相交于M，N，则2MN=【详解】对于A，因为圆心()1,2C在直线1ykx=+上，所以21k=+，解得1k=，A正确,对于B，因为直线2:2=+lymx恒过点()0,2，且()()2201226−+−

即点()0,2在圆C内，所以2l与圆C相交，B错误,对于C，因为12ll∥，则mk=故10kxy−+=与20kxy−+=之间的距离21551dk==+，所以2k=，C正确对于D，1k=−时，直线1l：1yx=

−+，即10xy+−=因为圆心()1,2C到直线10xy+−=的距离22211d==+,所以()22624MN=−=，D错误,故选：AC变式3．已知直线12:4340,:(2)(1)250(R)lxylmxmymm−+=+−+++=，则（）A．直线2l过定点(2,1

)−−B．当1m=时，12ll⊥C．当2m=时，12ll//D．当12ll//时，两直线12,ll之间的距离为1【详解】依题意，直线2:(2)(25)0lxymxy−++−+=，由20250xyxy−+=−+=解得：31xy=−=−,

因此直线2l恒过定点(3,1)−−，A不正确当1m=时，直线2:3270lxy−+=，而直线1:4340lxy−+=，显然34(2)(3)0+−−，即直线12,ll不垂直，B不正确当2m=时，直线2:4390lxy−+=，而直线1:4340lxy−+=，显然434439−=−，即12l

l//，C正确当12ll//时，有2(1)25434mmm+−++=−，解得2m=，即直线2:4390lxy−+=,因此直线12,ll之间的距离22|94|14(3)d−==+−，D正确故选：CD1．若直线230xy−−=与420xya−+=之间的距离为5，则a的值为

（）A．4B．56−C．4或16−D．8或16−【答案】C【分析】将直线230xy−−=化为4260xy−−=，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.【详解】将直线230xy−−=化为4260xy−−=，则直线230xy−−=与直线420xya−+=之间的距离|

(6)||6|16425aad−−+==+，根据题意可得：|6|525a+=，即|6|10a+=，解得4a=或16a=−，所以a的值为4a=或16a=−.故选：C2．若两条直线1:2lyxm=+，2:2lyxn=+与圆2240

xyx+−=的四个交点能构成正方形，则mn−=（）A．45B．210C．22D．4【答案】B【分析】由直线方程知12ll//，由题意正方形的边长等于直线1l、2l的距离d，又2dr=，结合两线距离公式即可求mn−的值.【详解】由题设知：12ll//，要使A，B，C，D四点且构成正方

形ABCD，∴正方形的边长等于直线1l、2l的距离d，则||5mnd−=，若圆的半径为r，2240xyx+−=，即()2224xy−+=，则2r=，由正方形的性质知：222dr==，∴||225mn−

=，即有210mn−=.故选：B.3．两条平行直线230xy−+=和340axy−+=间的距离为d，则a，d分别为（）A．6a=，63d=B．6a=−，63d=C．6a=−，53d=D．6a=，53d=【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a，再利用平行线间距离公式可得d.【详解】由直线

230xy−+=与直线340axy−+=平行，得()()2310a−−−=，解得6a=，所以两直线分别为230xy−+=和6340xy−+=，即6390xy−+=和6340xy−+=，所以两直线间距离22945363d−==+，故选：D.4．两条平行

直线34120xy+−=与8110axy++=之间的距离（）A．235B．2310C．72D．7【答案】C【分析】首先根据两条直线平行求出参数a的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】由已知两条直线平行，得348a=，所以6a=，所以直线3

4120xy+−=可化为68240xy+−=，则两平行线间的距离2224117268d−−==+.故选：C5．已知直线1:0lxmy−=和2:2(1)0(R)lxmymm−+−=与圆C都相切，则圆C的面积的最大值是（）A．2B．4C．

8D．16【答案】A【分析】易得12,ll互相平行，故圆C的直径为12,ll间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆C的直径最大值，进而得到面积最大值【详解】由题，12,ll互相平行，且()210m−，故圆C的直径为12,ll间的距离()()2222211211mmdmm−−==++

−，令1tm=−，则1mt=+，()222222222111111222tdtttt===++++++，故当1102t+=，即2,1tm=−=−时d取得最大值22d=，此时圆C的面积为222dS==故选：A6．若直

线1:60lxay++=与2:(2)320laxya−++=平行，则1l与2l间的距离为（）A．2B．823C．3D．833【答案】B【分析】由两直线平行的判定有3(2)0aa−−=且22180a−求

参数a，应用平行线距离公式求1l与2l间的距离.【详解】∵直线1:60lxay++=与2:(2)320laxya−++=平行，∴3(2)0aa−−=且22180a−，解得221,:3320,03alxyxy=−−+−=−+=．

∴直线1l与2l间的距离222682331(1)d−==+−．故选：B．7．已知直线1l：()()()324220xy++++−+=（R），2l：20xy+−=，若12//ll，则1l与2l间的距离为（）A．22B．2C

．2D．22【答案】B【分析】由直线平行的结论列方程求，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.【详解】由12//ll得32422112++−+=−，解得1=，所以直线1l：550xy+=，即0xy+=，所以1l与2l间的距离为222d−==，故选B．8．已知直线1:360lm

xy−+=，2:43120lxmy−+=，若12ll//，则12,ll之间的距离为（）A．121313B．81313C．91313D．13【答案】A【分析】由(3)(3)40mm−−−=，解得2m=，2m=时舍去，可

得2m=−，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【详解】由于两条直线平行，得(3)(3)40mm−−−=，解得2m=，当2m=时，两直线方程都是2360xy−+=故两直线重合，不符合题意.当2m=−时，1:23

60lxy+−=，2:2360lxy++=，故两平行直线的距离为22|6(6)|12121323−−=+.故选A.【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

．9．若两条平行直线()1:200lxymm−+=与2:260lxny+−=之间的距离是5，则m+n=A．0B．1C．-2D．-1【答案】C【分析】根据直线平行得到n=−4，根据两直线的距离公式得到2m=，得到答案.【详解】由12ll，得122n−=，

解得n=−4，即直线2:230lxy−−=，两直线之间的距离为()()223512md−−==+−，解得2m=(8m=−舍去)，所以2mn+=−故答案选C.【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意

在考查学生的计算能力.10．已知直线1:3450lxy++=，2:68150lxy+−=，则两条直线之间的距离为A．4B．2C．52D．5【答案】C【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.【详解】因为215:3402lxy+−=，则2215552234d+==+，故选C.【点睛】本题考查了两平

行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程的,xy系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求解，属于基础题.易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截

距式的考点）直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式()11yykxx-=-11(,)xy是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式ykxb=+k是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两

点式112121yyxxyyxx--=--11(,)xy，22(,)xy是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式1xyab+=a是直线在x轴上的非零截距，b是直不垂直于x轴和y轴，线在y轴上的非零截距且不过原点一般式2200AxByCAB++=+?（）A、B、C为

系数任何位置的直线给定一般式求截距相等时，具体方案如下：形如：第一种情况BABCACACxyBCyxCByAx=−=−−==−===++000令令第二种情况：000时，横纵截距皆为==++CCByAx截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型易错提醒：求截距相等时，往往会忽

略横纵截距为0的情况从而漏解例．已知直线l过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点(),Pab在直线l上，求33ab+的最小值．【详解】试题分析：（1）当截距为0时，得到20xy−

=；当截距不为0时设直线方程为1xytt+=，代入点坐标即可得方程．（2）由第一问可得xy30l+−=的方程为，ab3+=，由不等式得到结果.⑴①10l:y2x=截距为时，即20xy−=②截距不为0时，设直线方程为1xytt+=，代入()2,1P，计算得3t=，则直线方程为30xy+−

=，综上，直线方程为2030xyxy−=+−=或⑵由题意得abababxy30ab3,332332363l的方程为++−=+=+==ab33363ab2+==的最小值是，当时等号成立．变式1．已知直线l过

点()1,2且在xy，轴上的截距相等(1)求直线l的一般方程；(2)若直线l在xy，轴上的截距不为0，点(,)Pab在直线l上，求33ab+的最小值．【详解】（1）因为直线l过点()1,2且在xy，轴上的截距相等，当截距为0时，则:2lyx=当截距不为0时，可设:1xylaa+=，则1

21aa+=，即3a=，∴:30lxy+−=综上，l的一般方程：20xy−=或30xy+−=（2）由题意得:30lxy+−=，3ab+=332332363ababab++==，当且仅当32ab==时，等号成立33ab+的最小值为

63变式2．已知直线1l：240axy+−=，直线2l：210bxy−−=，其中a，b均不为0.(1)若12ll⊥，且1l过点()1,1，求a，b；(2)若12//ll，且1l在两坐标轴上的截距相等，求1l与2l之间的距离.【详解】（1）当1l过点()1,1时，240a+−=，所以2a=

，因为12ll⊥，所以122ab−=−，即4ab=，于是2b=（2）由1l：240axy+−=，令0x=，则2y=，令0y=，则4xa=因为1l在两坐标轴上的截距相等，所以42a=，故2a=，又12//ll，

所以22ab−=，所以2b=−则1l：2240xy+−=与2l：2210xy++=之间的距离()221452422d−−==+，所以1l与2l之间的距离为524.变式3．已知直线1:2240laxya−−+=，直线222:4480laxya+−−=(1)若直线1l在两坐标轴上的截距

相等，求实数a的值；(2)若1l2l，求直线2l的方程.【详解】（1）由题意可知，0a，直线1l在x轴上的截距为24aa−，在y轴上的截距为422a−，则24422aaa−−=，解得：2a=（2）若12

ll//，则242aa=−且()224844a−−−，解得：2a=−此时直线2l的方程为60xy+−=1．已知圆()2200:4,,OxyMxy+=为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（）A．220xy+−=B．202xy+

−=C．420xy+−=D．220xy−−=【答案】A【分析】利用过圆上点的切线的性质可得OMl⊥，利用点()00,Mxy表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解【详解】由题意，点M在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；点()00,Mxy在圆上，故OMl⊥，即1OM

lkk=−0000OMlyxkkxy==−故直线l的方程为：2200000000()4xyyxxxxyyxyy−=−−+=+=令040,;xyx==令040,;yxy==当l的横纵截距相等时，000044xyxy==又2

200004,0,0xyxy+=解得：002,2xy==即224xy+=，即220xy+−=故选：A2．“直线:21lykxk=+−在坐标轴上截距相等”是“1k=−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由直线:21lykxk

=+−在坐标轴上截距相等得12k=或1k=−，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】解：由题知：0k，由0x=得21=−yk；由0y=得，12kxk−=.因为在坐标轴上的截距相等，所以1221−−=kkk，解得12k=或1k=−.所以直线:21lykxk=+−在

坐标轴上截距相等”是“1k=−”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．x-y+1=0B．x+y-3＝0C．y＝2x或x+y-3＝0D．y＝2x或x-y

+1＝0【答案】D【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过原点时，其斜率为20210−=−，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设直线方程为1xyaa+=−，代入点（1，2）可得121aa

+=−，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，故选：D.【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零

.4．下列说法正确的是（）A．若直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直，则1a=−B．已知(1,1)P，(2,3)Q−−，点P，Q到直线l的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是2C．过()

11,xy，()22,xy两点的所有直线的方程为112121yyxxyyxx−−=−−D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=【答案】B【分析】对于A，利用直线与直线垂直的条件判断；对于B，利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断；对于C，利用

两点式方程判断；对于D，利用直线的截距式方程判断【详解】解：对于A，若直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直，则20aa+=，解得0a=或1a=−，所以A错误；对于B，因为(1,1)P，(2,3)Q−−，

所以22(12)(13)5PQ=+++=，分别以点P，Q为圆心，2，4为半径作圆，因为24542+−，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线l的条数是2，所以B正确；对于C，当12xx且12yy时，过()11,xy，()22,xy两点的直线方程为112121yyxxyy

xx−−=−−，所以C错误；对于D，当截距为零时，设直线方程为ykx=，则1k=，所以直线为yx=，当截距不为零时，设直线方程为1xyaa+=，则111aa+=，得2a=，所以直线方程为20xy+−=，综上，经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=或yx

=，所以D错误故选：B5．过点()3,4P，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是A．10xy−+=B．10xy−+=或430xy−=C．70xy+−=D．70xy+−=或430xy−=【答案】D【详解】当直线过原点时，直线方程为y=43x，即4x﹣3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=

a．则3+4=a，得a=7．∴直线方程为x+y﹣7=0．∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．故选：D6．下列命题中错误．．的是（）A．命题“200,11xx+R”的否定是“2,11xx+R”B．命题“若ab，则221ab−”的

否命题为“若ab，则221ab−”C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及pq的真假进行判断.【详

解】对于A，命题“200,11xx+R”的否定是“2,11xx+R”，故A正确；对于B，命题“若ab，则221ab−”的否命题为“若ab，则221ab−”，故B正确；对于C，若两直线斜率相等，则

两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；对于D，若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，故D正确.故选：C.7．与圆22(1)1yx+−=相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条【答案】A【分析】过原点

的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为0xym++=，根据圆心到直线的距离等于半径可得m有两解，综合可得结果.【详解】圆22(1)1yx+−=的圆心为()0,1，半径为1，由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；当直线不经

过原点且与圆相切时，依题意可设方程为0xym++=，圆心到直线的距离1111md+==+，解得21m=−，此时满足条件的直线有两条，综上可得：满足条件的直线有两条，故选：A.【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题.8

．已知直线l过点()2,3M−，且与x轴、y轴分别交于A，B点，则（）A．若直线l的斜率为1，则直线l的方程为5yx=+B．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为1xy+=C．若M为AB的中点，则l的方程为32120xy−+=D．直线l的方程可能为3y=【答

案】AC【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断C，由直线与坐标轴有交点判断D.【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为32yx-=+，即5yx=+，

故A正确；对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为32yx=−，故B错误；对于C，因为中点()2,3M−，且A，B在x轴、y轴上，所以()4,0A−，()0,6B，故AB的方程为146xy−+=，即32120xy−+=，故C正确；对于D，直线3y=与x轴无交点，与题意不符，故D错误．

故选：AC．9．已知直线1l：0xym−+=，2l：210xmy+−=，则下列结论正确的有（）A．若12//ll，则2m=−B．若12ll⊥，则2m=C．若1l，2l在x轴上的截距相等则1m=D．2l的倾斜角不可能是1l倾

斜角的2倍【答案】AB【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正确性.【详解】若12//ll，则2111mm−=−，得2m=−，选项A正确；若12ll⊥，则12

0m−=，得2m=，选项B正确；若1l，2l在x轴上的截距相等，则12m−=，解得12m=−，选项C错误；当0m=时，2l的倾斜角π2恰好是1l的倾斜角π4的2倍，选项D错误．故选：AB【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点

斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.10．直线l与圆22(2)2xy−+=相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程可能是A．0x

y+=B．2220xy+−+=C．0xy−=D．40xy+−=【答案】ACD【解析】由于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：0xya+−=或ykx=，利用圆心到直线的距离为半径，即得解【详解】由

于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：0xya+−=或ykx=由于直线l与圆22(2)2xy−+=相切，故圆心(2,0)到直线的距离等于半径2r=|2|20,42ada−===或2|2|211kdkk===+

故直线的方程为：0,40,0xyxyxy+=+−=−=故选：ACD易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）技巧总结第一类：求过圆上一点()00,yx的圆的切线方程的方法正规方法：第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为k1−第三步

：利用点斜式()00xxkyy−=−求出切线方程注意：若0=k则切线方程为0xx=，若k不存在时，切线方程为0yy=秒杀方法：①经过圆222ryx=+上一点()00,yxP的切线方程为200ryyxx=+②经过圆

()()222rbyax=−+−上一点()00,yxP的切线方程为()()()()200rbybyaxax=−−+−−③经过圆022=++++FEyDxyx上一点()00,yxP的切线方程为022000

0=++++++FyyExxDyyxx第二类：求过圆外一点()00,yx的圆的切线方程的方法方法一：几何法第一步：设切线方程为()00xxkyy−=−，即000=+−−ykxykx，第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出方法二:代数法第一步：

设切线方程为()00xxkyy−=−，即00ykxkxy+−=，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0=可求得k，切线方程即可求出注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的k只有一个时，则另

一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出.第三类：求斜率为k且与圆相切的切线方程的方法方法一：几何法第一步：设切线方程为mkxy+=，即0=+−mykx第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m，

切线方程即可求出.方法二:代数法第一步：设切线方程为mkxy+=，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0=可求得m，切线方程即可求出方法三：秒杀方法已知圆222ryx=+的切线的斜率为k，则圆的切线方程为1

2+=krkxy已知圆()()222rbyax=−+−的切线的斜率为k，则圆的切线方程为kabkrkxy−++=12工具：点与圆的位置关系判断圆的标准方程为)0()()(222=−+−rrbyax一般方程为)04

(02222−+=++++FEDFEyDxyx.①点在圆上：22020)()(rbyax=−+−0002020=++++FEyDxyx②点在圆外：22020)()(rbyax−+−0002020++++FEyDxyx③点在圆内：22020)()(rbyax−+−00020

20++++FEyDxyx易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理例、圆的方程为122=+yx，过点2321，的切线方程解：正规方法：第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k32123==k第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为k1−

331−=−=kk第三步：利用点斜式()00xxkyy−=−求出切线方程−−=−213323xy秒杀方法：经过圆122=+yx上一点23,21P的切线方程为12321=+yx变形1、圆的方程为042422=++−+yxyx，过点−123

23，的切线方程解：正规方法：第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k圆的一般式转化为标准形式为()()11222=++−yx32123−=−=k第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为k1−3331=−−=k第三步：利用点斜式()00xxkyy−=−求出切线方程−=

−−2333123xy秒杀方法：经过圆上042422=++−+yxyx一点−12323，P的切线方程为0421232223412323=+−+++−−+yxyx变形2、圆的方程为042

422=++−+yxyx，过点()11，的切线方程解：由题意的点在圆外方法一：几何法第一步：设切线方程为()11−=−xky，即01=+−−kykx，第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出()()11204242222=++−=++−+yxy

xyx圆心为()12−，则431212−=++=kkk故：04743=+−−yx，1=x方法二:代数法第一步：设切线方程为()11−=−xky，即1+−=kkxy，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0=可求得k，切线

方程即可求出()()04124122=++−+−+−+kkxxkkxx430−==k故：04743=+−−yx，1=x变形3、圆的方程为()()11222=++−yx，切线斜率为1方程为方法一：几何法第一步：设切线方程为mxy+=，即0=+−m

yx第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m，切线方程即可求出.23231−=+=mm故023=−−−yx023=+−−yx方法二:代数法第一步：设切线方程为mkxy+=，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0=可求得m，切线方程即可求

出()()11222=+++−mkxx=023−=m故023=−−−yx023=+−−yx方法三：秒杀方法已知圆()()222rbyax=−+−的切线的斜率为k，则圆的切线方程为kabkrkxy−++

=12故023=−−−yx023=+−−yx1．在平面直角坐标系中，过直线230xy−−=上一点P作圆22:21Cxxy++=的两条切线，切点分别为AB、，则sinAPB的最大值为（）A．265B．255C．65D．55【答案】A【分析】由题意圆22:21Cxxy++=的标准方程为(

)2:12Cxy++=，如图sinsin22sincosAPB==，又22sinACCPCP==，所以222cos1sin1CP=−=−，又由圆心到直线的距离可求出CP的最小值，进而求解.【详解】如下图所示：由题意圆C的标

准方程为()2:12Cxy++=，sinsin22sincosAPB==，又因为22sinACCPCP==，所以222cos1sin1CP=−=−，所以22sin2sincos2221CPBCPPA

−==，又圆心()1,0C−到直线230xy−−=的距离为()22203521d−−−==+−，所以5CPd=，所以不妨设211,05ttCP=，则()()2222sn221112124i2244tttftPAPBCPC−=−=−−+=

=，又因为()ft在10,5单调递增，所以当且仅当15t=即5CP=，即当且仅当直线CP垂直已知直线230xy−−=时，sinAPB有最大值()2max1111262455445sinfAPB==−−+=

.故选：A.2．已知点(1,3)M在圆22:Cxym+=上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．150【答案】D【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.【详解】圆心为()0,0，所以3CMk=,

所以过M的切线l的斜率为1333−=−，设倾斜角为，则3tan3=−，由于)0,π，故5π6=，故选：D3．已知圆22:46120Cxyxy+−−+=与直线:10lxy+−=，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则PQ的最小值是（）A．7B．22C．71

−D．221−【答案】A【分析】2221PQCQCPCQ=−=−，CQ的最小值为圆心()2,3C到直线的距离，可求PQ的最小值.【详解】圆22:46120Cxyxy+−−+=化为标准方程为()()22:231Cxy−+−=，则圆C的圆心为()2

,3C，半径1r=，则1CP=，直线PQ与圆C相切，有2221PQCQCPCQ=−=−，因为点Q在直线l上，所以231222CQ+−=，则7PQ．即PQ的最小值是7.故选：A4．已知直线:10(0)lm

xymm−++=与圆:C224240xyxy+−++=，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为,AB，若线段AB长度的最小值为3，则实数m的值是（）A．125−B．125C．75D．75−【答案】A【分析】设π02ACP=

，则||2sinAB=，可得min||2PC=，而CP的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.【详解】圆:C22(2)(1)1xy−++=，设π02ACP=，则2sin3AB=，则3sin2，

ππ[,)32，则12cosPC=，所以圆心C到直线l的距离是2，221121mmm+++=+，得25120mm+=，0m125m=−．故选：A．5．已知圆()22:24Cxy−+=，直线():lykxk

=R，则下列结论正确的是（）A．存在实数k，使得直线l与圆C相切B．若直线l与圆C交于A，B两点，则AB的最大值为4C．当1k=−时，圆C上存在4个点到直线l的距离为12D．当1k=时，对任意R，曲线()2

2:40Exyxy+−++=恒过直线l与圆C的交点【答案】BCD【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可.【详解】()22:24Cxy−+=，圆心()2,0C且半径为2r=，因为直线:lykx=过定点()0,

0O，且点O在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即0x=，故A不正确；当直线l经过圆心时，AB取最大值即圆的直径2224r==，故B正确；当1k=−时，直线:0lxy+=，因为圆心C到直

线l的距离222d==，所以1222rd−=−，所以圆C上有4个点到直线的距离为12，故C正确；当1k=时，直线:0lxy−=，曲线()22:40Exyxy+−++=，即()2240xyxxy+−−−=一定过直线:0lxy−=与圆22:40Cxyx+−=的交点，故D正确．故选

：BCD．6．过圆224xy+=上一点P作圆221xy+=的两条切线，切点分别为A，B，则（）.A．||||2APBP==B．60APB=C．||3AB=D．直线AB与圆2214xy+=相切【答案】BCD【分析】根据圆的切线的性质

，建立直角三角形，结合勾股定理以及锐角三角函数，可得答案.【详解】由题意，作图如下：设圆221xy+=与圆224xy+=的圆心为O，则1OA=，2OP=，因为PA与圆221xy+=相切，所以OAPA⊥，

在RtOAP△中，223APOAOP=+=，易知30APO=，所以60APB=o.又APBP=，所以3AB=，故A错误，B、C正确.故AB与OP交于点H，由,PAPB与圆221xy+=相切，则ABOP⊥，由PA

OA⊥，则30APO=，易知30OAB=o，在RtAOH△中，1sin2OHAOOAH==，又圆2214xy+=的半径为12，所以直线AB与圆2214xy+=相切，故D正确.故选：BCD.7．已知圆C的方程为22(2)1xy+−=，点(0,3)Q，

点P是x轴上的一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为,AB，则（）A．存在切点,AB使得AQB为直角B．直线AB过定点3(0,)2C．QAQB的取值范围是3[0,]2D．QAB面积的取值范围是3(0,3]4

【答案】BD【分析】通过分析知AQB不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线AB的方程()()002021xxy+−−=，令0x=，32y=，即可得直线AB恒过的定点可判断B；求出QAB面积的取值范围可判断D.【详解】对于A，圆的

上顶点为()0,3，即Q点，若AQB为直角，则AB为直径，显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以AQB不可能为直角，故A错误；同理C选项的数量积也取不到0，所以C错误；对于B,设()()()01122,0,,,,PxAxyBxy，因为()0,2C

，()11,Axy，112ACykx−=，则PA的方程为：()11112xyyxxy−−=−−，因为()221121xy+−=化简可得：()()11221xxyy+−−=，同理PB的方程为：()()22221xxyy+−−=，而()0,0Px在切线PA，PB上，所以()()0102021xx

y+−−=，()()0202021xxy+−−=，因为()()1122,,,AxyBxy在直线()()002021xxy+−−=故直线AB的方程为()00221xxy−−=，令0x=，32y=，即AB过定点30,2，故B正确；对于

D，圆心()0,2C到直线AB的距离平方为22014x+，线段AB一半的平方为：220220013144xxx+−=++，点Q到直线AB的距离的平方为：2094x+，所以QAB面积的平方为：()()()()()2222000

022222222200000093393399444313+123xxxxxxxxxx++++===++++++++()20201=91323xx++++①，因为2033x+，所以由对勾函数的性质可知当2033x+=时，①的分母取得最小值163

，所以QAB面积平方的最大值932791616163==，故QAB面积的最大值为334，故QAB面积的取值范围是3(0,3]4，故D正确.故选：BD.8．已知直线:10lxy−+=与圆22:(1)(2)1KCxkyk+−++=，下列

说法正确的是（）A．所有圆kC均不经过点(0,3)B．若圆KC关于直线l对称，则2k=−C．若直线l与圆KC相交于A、B，且2AB=，则1k=−D．不存在圆KC与x轴、y轴均相切【答案】ABD【分析】A假设存在圆kC经过点(0,3)，将(0,3)代入圆的方程

判断k是否有解；B由(1,2)kk−−在直线:10lxy−+=上，代入即可判断；C几何法先求KC到直线l的距离，结合点线距离列方程求k；D根据题设，假设存在圆KC与数轴相切，|1|2||1kk−==判断是否有解.【详解

】A：将(0,3)代入22(1)(2)1xkyk+−++=，则22(1)(23)1kk−++=，所以251090kk++=，此时100459800=−=−，所以不存在k值，使圆kC经过点(0,3)，对；B：若圆KC关于直线l对称，则(1,2)kk

−−在直线:10lxy−+=上，所以1210kk−++=，则2k=−，对；C：由题意，KC到直线l的距离22142ABd=−=，所以|121||2|2222kkk−+++==，则|2|1k+=，可得3k=−

或1−，错；D：若圆KC与x轴、y轴均相切，则|1|2||1kk−==，显然无解，即不存在这样的圆KC，对；故选：ABD9．已知22:(2)(1)4Exy−+−=，过点()5,5P作圆E的切线，切点分别为,MN，则下列命题中真命题是（）A．21PM=B．直线MN的方程为34

140xy+−=C．圆221xy+=与E共有4条公切线D．若过点P的直线与E交于,GH两点，则当EHG面积最大时，22GH=.【答案】ABD【分析】由圆的方程确定圆心坐标和半径，结合切线性质求PM，判断A，求过点,,,PMEN的圆的方程，再求其与圆E的公共弦可得直线MN的方

程，判断B，判断圆221xy+=与圆E的位置关系，判断C，结合三角形面积公式求EHG的面积的最大值，求GH，判断D，【详解】因为圆E的方程为22(2)(1)4xy−+−=，所以圆心E的坐标为()2,1，半径为2，所以2EMEN==，又()5,5P

，所以()()2252515PE=−+−=，由已知,PMMEPNNE⊥⊥，所以2221PMPEEM=−=，A正确，因为,PMMEPNNE⊥⊥，所以点,,,PMEN四点共圆，且圆心为PE的中点，线段PE的中点坐标为7,32F

，所以圆F的方程为()22725324xy−+−=，即2276150xxyy−+−+=，因为55522222EF−=+，所以圆E与圆F相交，又圆E的方程可化为224210xxyy−+−+=所以圆E与圆F的公共弦方程为34140xy+−=，故直线MN的方程为34140xy+−=，B正

确，圆221xy+=的圆心O的坐标为()0,0，半径为1，因为5OE=，2112OE−+，所以圆221xy+=与圆E相交，故两圆只有2条公切线，C错误；设HEG=，则()0,π，EHG的面积1sin2sin

2EHGSEHEG==，所以当π2=时，EHG的面积取最大值，最大值为2，此时4422GH=+=，D正确.故选：ABD.10．已知点M为直线:80lxy−+=与y轴交点，P为圆22:45Oxy+=上的一动点

，点()()1,0,3,0AB−，则（）A．PM取得最小值时，65ABPS=△B．MP与圆O相切时，19PM=C．当BPMP⊥时，0APBM=D．sinAPB的最大值为54【答案】ABD【分析】A：PM取

得最小值时P位于OM即y轴上，根据三角形面积公式可得.B：直接在直角三角形APM利用勾股定理可得.C：运用向量的坐标表示和对于坐标运算可得.D：根据正弦定理2sinABRAPB=，将求sinAPB的最大值转化为求外接圆

半径最小，此时，外接圆与圆O相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得.【详解】因:80lxy−+=，令0x=，得8y=，故M()0,8，22:45Oxy+=，圆心()0,0，半径4535r==选项A：如图，根据圆的性质当P位于y轴上时，PM取得最小值，此

时114356522ABPSABOP===△，故A正确；选项B：当MP与圆O相切时，22284519PMOMr=−=−=，故B正确；选项C：设()11,Pxy，则()113,BPxy=−，()11,

8MPxy=−，当BPMP⊥时，0BPMP=，故()()1111380xxyy−+−=，又221145xy+=，得113845xy+=，()111,APxy=+，()3,8BM=−，()111131

8383APBMxyxy=−++=−+−若0APBM=，则113830xy−+−=，又113845xy+=得，17x=，13y=，此时2222117345xy+=+，这与点P在圆上矛盾，故C错误；选项D：设PAB外接圆圆心为Q，半径为R由题意可得Q在AB中垂线上，可设其坐标为()1,x

，则24RQAx==+，21QOx=+，由正弦定理知2sinABRAPB=，所以sin2ABAPBR=，当R最小，即外接圆与圆O相内切时，sinAPB的最大值，此时圆心距等于两圆半径之差，则221454xx+=−+，两边同时平方可得2845Rx=+=，45sin

16245ABAPBR===，故D正确.故选：ABD.易错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）处理此类问题宗旨：截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值①截距式：求形如nymx+的最值转化为动直线斜率的最值问题②斜率式：求形如nxmy−−的最值转化为动直线

截距的最值问题③距离式：求形如222)()(rbyax=−+−的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题形如：若()yxP,是定圆()()222:rbyaxC=−+−上的一动点，则求nymx+和xy这两种形式的最值思路1：几何法①nymx+的最值，设tny

mx=+，圆心()baC,到直线tnymx=+的距离为,22nmtnbmad+−+=由rd=即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值②xy的最值：xy即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值思路2：代数法①nymx+的最值，设tnymx=+，与圆的方程联立，

化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值.②xy的最值：设xyt=，则txy=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值.易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化

为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在例、已知()Mmn，为圆C：22414450xyxy+−−+=上任意一点.(1)求2mn+的最大值；(2)求32nm−+的最大值和最小值；(3)求22mn+的最大值和最小值.解：(1)∵22414450xy

xy+−−+=的圆心(27)C，，半径22r=，设2mnt+=，将2mnt+=看成直线方程，∵该直线与圆C有公共点，∴圆心C到直线的距离2212272212td+−=+，解上式得：1621016210t−+，∴2mn+的最大值为

16210+.(2)记点()23Q−，，∵32nm−+表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：3(2)ykx−=+，即230kxyk−++=，由直线MQ与圆C有公共点，∴22723221kkk−+++，可得2323k−+，∴32nm−+的最大值为23+，最小值为23−

；(3)∵设22(0)(0)mn=−+−，等价于圆C的圆心(27)C，到原点的距离的平方，则2222max((20)(70))(5322)614106r=−+−+=+=+，2222min((20)(70))(5

322)614106r=−+−−=−=−；变形1、如果实数x，y满足()()22336xy−+−=，求：（1）yx的最大值与最小值；（2）xy+的最大值与最小值；（3）22xy+的最大值和最小值．解：（1）实数x，y满

足()()22336xy−+−=，则设ykx=整理得ykx=，所以圆心()3,3到直线的距离23361kdk−=+，整理得2610kk−+，即32232222k−+，所以yx的最大值为3222+，最小值为3222−．（

2）设xyt+=，所以整理直线为0xyt+−=，圆心()3,3到直线0xyt+−=的距离2233611td+−=+，整理得623t−，解得623623t−+，所以xy+的最大值为623+，最小值为623−．（3）由于22xy+的表示的是，原点()0,0到圆

上的任意点的距离的平方所以利用最大距离为圆心()3,3到原点的距离与半径的和，即22336326++=+的平方，故最大值为24123+．最小距离为22336326+−=−的平方，故最小值为24123−．变形2、已知实数x，y

满足方程22(2)3xy−+=.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求yx−的最大值和最小值；（3）求22xy+的最大值和最小值.解：（1）方程表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆，设ykx=，即0ykx−=，当直线ykx

=与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时2|20|31kk−=+，解得3k=.故yx的最大值为3，最小值为3−.（2）设yxb−=，即0xyb−+=，当yxb=+与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时22|20|31(1)b−

+=+−，即26b=−.故yx−的最大值为26−+，最小值为26−−.（3）22xy+表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故()222max(23)

743xy+=+=+，()222min(23)743xy+=−=−.变形3、已知实数xy、满足222410xyxy++−+=．（1）求4yx−的最大值和最小值；（2）求2221xyx+−+的最大值和最小值．解：将方程222410

xyxy++−+=化为标准方程为()()22124xy++−=，此方程表示以()12−，为圆心，2为半径的圆．（1）4yx−表示圆上的点()xy，与定点()40，连线的斜率，所以令4ykx=−，即()4ykx=−．当直线()4ykx=−与已知圆相切时（如图）

，4yx−取得最值，所以22421kkk−−−=+，解得0k=或20.21k=−．因此4yx−的最小值是2021−，最大值为0．（2）()()22222110xyxxy+−+=−+−，它表示圆上的点()xy，与定点()10，的距离．因为定点()10，到已知圆的圆心距离为()2211222

d=−−+=，所以2221xyx+−+的最大值为222dr+=+，最小值为222dr−=−．1．()()22xayb−+−可以转化为平面上(),Mxy点与点(),Nab之间的距离．结合上述观点，可得()22820420fxxxxx++++=+的最小值为（）A．29B．210

C．31D．213+【答案】B【分析】函数变形，设(),0Px，()4,2B−−，()2,4C−−，则()fx表示的几何意义为PBPC+的长，作出辅助线，由几何关系得到最小值，得到答案.【详解】()()()()()22222282042040

2204fxxxxxxx+++++=++++=+++，设(),0Px，()4,2B−−，()2,4C−−，故()fx表示的几何意义为PBPC+的长，如图所示，取点()4,2B−−关于x轴的对称点()4,2D−，连接CD，则CD的长即为PBPC+的最小值，即最小值为()()2224

42210−++−−=.故选：B2．已知实数,xy满足曲线C的方程22220xyx+−−=，则下列选项错误的是（）A．22xy+的最大值是423+B．11yx++的最大值是26+C．3xy−+的最小值是223−D．过点()0,2作曲线C的切线，则切线方程为220xy−+=【答案】C【分析

】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的2倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解【详解】C的方程22220xyx+−−=可

化为()2213xy−+=，它表示圆心()1,0，半径为3的圆.对选项A：22xy+表示圆C上的点到定点()0,0O的距离的平方，故它的最大值为()()2222100331423−++=+=+，A正确；对选项B：11yx++表示圆上的点与点()1,1P−−的连线的斜率k，由圆心

()1,0到直线1(1)ykx+=+的距离2|21|31kdk+=+，可得2626k−+，B正确；对选项C：3xy−+表示圆上任意一点到直线30xy−+=的距离的2倍，圆心到直线的距离4222d==，所以其最小值为()222346−=−，故C错误；对选项

D：设过点()0,2作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为2ymx=+，由2|2|31mm+=+，解得22m=，故切线方程为220xy−+=，故D正确.故选：C.3．点()0,1到直线0kxyk++=的最大距离为（）A．2B．3

C．2D．1【答案】C【分析】由题意可得直线恒过定点(1,0)−，题意所求最大距离即为点(0,1)到定点(1,0)−的距离，结合两点求距离公式计算即可求解.【详解】由题意知，直线0kxyk++=即(1)0x

ky++=，所以该直线恒过定点(1,0)−，则点(0,1)到直线0kxyk++=的最大距离即为点(0,1)到定点(1,0)−的距离，即2d=.故选：C.4．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实

上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：22()()xayb−+−可以转化为平面上点(,)Mxy与点(,)Nab的距离．结合上述观点，可得224848yxxxx=+++−+的最小值为（）A．42B．22C．210+D．35+【答案】A【分析】利用

两点间距离公式可将问题转化为x轴上一点(),0Px到点()2,2A−−与点()2,2B的距离之和的最小值，当,,APB三点共线时()minPAPBAB+=，进而即得.【详解】()()()()222222

48()20224280yxxxxxfxx=+++−+==++++−+−，则()fx可看作x轴上一点(),0Px到点()2,2A−−与点()2,2B的距离之和，即PAPB+，则可知当,,APB三点共线时，PAPB+取得最小值，即()()()22min222242PAPBAB+==−

−+−−=.故选：A.5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22xayb−+−可以转化为点(),xy到点(),ab的距离，则221

48xxx++−+的最小值为（）．A．3B．221+C．23D．13【答案】D【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.【详解】()()()()222222148001202xxxxx++−+=−+−+−+−,可以看作点(),0Px到点()()0,1,2,2AB

的距离之和，作点A关于x轴的对称点()0,1A−，显然当,,BPA三点共线时，取到最小值，最小值为,BA间的距离222313+=.故选：D.6．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列

如，与22()()xayb−+−相关的代数问题，可以转化为点(),xy与点(),ab之间的距离的几何问题.已知点()11,Mxy在直线1:2lyx=+，点()22,Nxy在直线2:lyx=上，且1MNl⊥，结合上述观点，()()2212221245x

yxy+−+−+的最小值为（）A．722B．1122C．412−D．5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点()11,Mxy到点()0,4A的距离与点()22,Nxy到点()5,0B的距离和，过点A作1ACl⊥，垂足

为C，证明AMCN=，由CNNBCB+求目标函数最小值.【详解】由已知()22114xy+−表示点()11,Mxy到点()0,4A的距离，()22225xy−+表示点()22,Nxy到点()5,0B的距离，所以()()

2222112245xyxyMANB+−+−+=+，过点A作1ACl⊥，垂足为C，因为直线1l的方程为20xy−+=，()0,4A，所以042211AC−+==+，又直线1:2lyx=+与直线2:lyx=平行，1MNl

⊥，所以20211MN−==+，所以//,MNACMNAC=，所以四边形AMNC为平行四边形，所以AMCN=，所以()()2222112245xyxyCNNB+−+−+=+，又CNNBCB+，当且仅当,,CNB三点共线时等号成立，所以当点N为线段CB

与直线2l的交点时，()()2212221245xyxy+−+−+取最小值，最小值为CB，因为过点()0,4A与直线1l垂直的直线的方程为4yx=−+，联立42yxyx=−+=+，可得13xy==，所以点C的坐标为()1,3，

所以()()225103CB=−+−，所以()()2212221245xyxy+−+−+的最小值为5，故选：D.【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.7．已知(),Pxy为抛物线2:4

Cyx=的准线上一点，则224(4)25yy++−+的最小值为（）A．43B．345+C．65D．412+【答案】C【分析】作出图形，根据几何意义即可求解.【详解】作出图形，如图所示，根据题意可知:点(

1,)Py−，(1,0)F，2224(1)(11)yy+=−+−−表示点(1,)Py−到点(1,0)F的距离，222(4)25(4)(16)yy−+=−+−+表示点(1,)Py−到点(6,4)A−的距离，则224(4)25yyPAPF++−+=+，如图PAPFAF+（当点

,,APF三点共线时取等号）因为22(61)(40)65AF=−−+−=，所以224(4)25yy++−+的最小值为65，故选：C.8．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的

三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则222222(,)(23)(13)(13)(2)Fxyxyxyxy=−+++−+−+++−的最小值为（）A．4B．223+C．323+D．423+【答案】B【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC为等腰

直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值.【详解】由题意得：(,)Fxy的几何意义为点E到点()()()23,0,31,13,0,2ABC−−的距离之和的最小值，因为()()22313122AB=++−=，()()22313122CB=−+−−=，4124AC=+=，所以222ABC

BAC+=，故三角形ABC为等腰直角三角形，，取AC的中点D，连接BD，与AO交于点E，连接CE，故122BDAC==，AECE=，因为23323COAO==，所以30CAO=，故120AEC=，则120B

ECAEB==，故点E到三角形三个顶点距离之和最小，即(,)Fxy取得最小值，因为122ADCDAC===，所以43cos303ADAE==，同理得：433CE=，233DE=，2323BEBDDE=−=−，故(,)Fxy的最小值为4343232223333AECEBE++=++

−=+.故选：B9．已知实数,xy满足3420xy+=−，那么224613xyxy+−++的最小值为（）A．16B．4C．2D．2【答案】A【分析】将224613xyxy+−++配方得22(2)(3)xy−++，由几何意义可知，22(2)(3)xy−++表示直

线3420xy+=−上的动点(,)xy与(2,3)−的距离的平方，根据点到直线的距离公式计算点(2,3)−到直线3420xy+=−的距离，即可求解出最小值.【详解】由224613xyxy+−++可得22(2)(3)xy−++，可以看作直线3420xy+=−上的动点

(,)xy与(2,3)−的距离的平方，又因为点(,)xy与(2,3)−的最小距离为(2,3)−到直线3420xy+=−的距离，为22|324(3)2|43(4)−−+=+−，故224613xyxy+−++的最小值为16.故选：A.10．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时

难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22xayb−+−可以转化为平面上点(),Mxy与点(),Nab的距离.结合上述观点，可得()221026613fxxxxx=+++++的最小值为（）A．5B．29C．13D．213+【答案】C【分析】记点(),0Px、()5

,1A−、()3,2B−−，可得出()fxPAPB=+，数形结合可求得()fx的最小值.【详解】因为()()()()()()()2222225134501302fxxxxx=+++++=++−++++，记点(),0Px、()5,1A−、()3,2B

−−，则()()()22531213fxPAPBAB=+=−+++=，当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时，等号成立，即()fx的最小值为13.故选：C.