【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题3.5 幂函数-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(15)页，438.638 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.5幂函数-重难点题型精讲1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.2．常见幂函数的图象与性质温馨提示：幂函数在区间(0，

＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．3．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y=x的图象是一条直线.②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：(2)一般幂函数的性

质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.③α<0时，幂函数在区间(0,

+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个

公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.4．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)函数的定义域为；(3)函数的

值域为(-,-2]∪[2,+).(4)奇偶性：，函数为奇函数.(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【题型1幂函数的概念、解析式】【方法点拨】(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α

为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.(2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2022春•杨陵区校级期末）现

有下列函数：①y＝x3；②𝑦=(12)𝑥；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．【解答过程】解：∵形如

y＝xα（α为常数）的函数叫做幂函数，∴①y＝x3、⑥y＝x是幂函数，故①⑥满足条件；而②𝑦=(12)𝑥、⑦y＝ax（a＞1）是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是幂函

数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2，故选：B．【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象过点(3，√3)，则f（4）的值为（）A．﹣2B．1C．2D．4【解题

思路】设幂函数的解析式为f（x）＝xα，代入点可求α的值，从而可求f（4）的值．【解答过程】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，因为幂函数y＝f（x）的图象过点(3，√3)，所以3α=√3，解得α=12．所以f（x）=√𝑥，f（4）=

√4=2．故选：C．【变式1-2】（2022春•榆林期末）下列函数是幂函数的是（）A．y＝2xB．y＝x2﹣1C．y＝x3D．y＝2x【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．【解答过程】解：根据形如y＝xα（α为常数）的函数为幂函

数，由选项可知，C符合．故选：C．【变式1-3】（2022春•广陵区校级月考）若幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，√163)，则函数f（x）的解析式是（）A．𝑓(𝑥)=𝑥43B．𝑓(𝑥)=𝑥13C．𝑓(�

�)=𝑥−43D．𝑓(𝑥)=𝑥23【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，√163)，∴2a=√163=234，解得𝑎=43，∴𝑓(𝑥)=𝑥43，故选

：A．【题型2幂函数的定义域、值域】【方法点拨】根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域.【例2】（2021秋•房山区期末）下列函数中，值域是R的幂函数是（）A．𝑦=𝑥13B．𝑦=(13)𝑥C．�

�=𝑥23D．𝑦=(23)𝑥【解题思路】由题意，利用幂函数、指数函数的单调性和值域，得出结论．【解答过程】解：在R上，函数y=𝑥13=√𝑥3的值域为R，故A满足条件；由于函数y=(13)𝑥的值域为（0，+∞），故B不满足条件；由于函数y=𝑥23=√𝑥23的值域为[0，+∞），

故B不满足条件；由于函数y=(23)𝑥的值域为（0，+∞），故D不满足条件；故选：A．【变式2-1】（2021秋•吕梁期末）已知幂函数f（x）的图象过点(2，√2)，则f（x）的定义域为（）A．RB．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【解题思路】先利用待定系

数法求出函数f（x）的解析式，从而得到f（x）的定义域．【解答过程】解：设f（x）＝xα，因为f（x）的图象过点(2，√2)，所以2𝛼=√2，解得𝛼=12，则𝑓(𝑥)=√𝑥，所以f（x）的定义域为[0，+∞），故选：C．【变式2-2】（2021秋•广

南县校级期中）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点(2，12)，则函数f（x）的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解题思路】根据幂函数的图象过点（2，12），代入幂函数的解析式求得即可．【解答过程】解：∵2α=12=

2﹣1，解得α＝﹣1，∴f（x）=1𝑥，故函数的值域是：（﹣∞，0）∪（0，+∞），故选：C．【变式2-3】（2021秋•天山区校级期中）若幂函数𝑦=(𝑚2−2𝑚−2)𝑥−𝑚2+𝑚+3的定义域为{x∈R|x

≠0}，则m的取值是（）A．﹣1≤m≤3B．m＝﹣1或m＝3C．m＝﹣1D．m＝3【解题思路】根据函数y是幂函数得出m2﹣2m﹣2＝1，求出m的值再验证是否满足定义域为{x∈R|x≠0}即可．【解答过程

】解：函数𝑦=(𝑚2−2𝑚−2)𝑥−𝑚2+𝑚+3是幂函数，则m2﹣2m﹣2＝1，即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或m＝﹣1；当m＝3时，﹣m2+m+3＝﹣3，幂函数y＝x﹣3的定义域为{x∈R|x≠0}，满足题意；当m＝﹣1时，﹣m2+m+3＝1，幂函数y＝x的定义域为R，不满足题意；

所以m的值是3．故选：D．【题型3幂函数的图象】【方法点拨】根据一般幂函数的图象特征，对所给的幂函数解析式或图象进行分析，即可得解；温馨提示：①若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.②无论为何实数，幂函数的图象最多只能出现在两个象限内，且一定经过第一象限，一定不经过第四象限

.【例3】（2021秋•成都校级期中）幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞dB．d＞b＞c＞aC．d＞c＞b＞aD．b

＞c＞d＞a【解题思路】根据幂函数的性质结合函数的图象判断即可．【解答过程】解：由图象得：b＞c＞d＞a，故选：D．【变式3-1】（2021秋•凉山州期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A．y＝x3B．y＝x2

C．y＝xD．𝑦=𝑥58【解题思路】由题意，根据①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），从而得出结论．【解答过程】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），故选：D．【变式3-2】（2021秋•湖北期末）幂函数y＝f

（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解题思路】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．【解答过程】解：设幂函数的解析式为y＝xa，∵幂函数y＝f（x）

的图象过点（4，2），∴2＝4a，解得a=12，∴𝑦=√𝑥，其定义域为[0，+∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方．对照选项．故选：C．【变式3-3】（2021秋•徐汇区校级期中）如图是幂函数y＝xα的部分图像，已知α分别取13、3、﹣3、−13这四个值，则与曲

线C1、C2、C3、C4相应的α依次为（）A．3，13，−13，﹣3B．﹣3，−13，13，3C．−13，3，﹣3，13D．3，13，﹣3，−13【解题思路】根据幂函数的图象与性质：图象越靠近x轴的指数越小，即可判断出．【解答过程】解：根据幂函数的图象与性质，当x＞1时，图象越

靠近x轴的指数越小，因此相应于曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为3，13，−13，﹣3．故选：A．【题型4比较幂值的大小】【方法点拨】(1)直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.(2)转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再

运用单调性比较大小.(3)中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的.【例4】（2021秋•岳阳期中）设𝑎=(34)12，𝑏=(43)14，𝑐=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a

＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a【解题思路】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．【解答过程】解：a=(34)12=(916)14＜1，b=(43)14＞1，c=(23)34=(827)14＜1；且0＜827＜916＜1，函

数y=𝑥14在（0，+∞）上是单调增函数，所以(827)14＜(916)14，所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．【变式4-1】（2021秋•武昌区校级期末）已知幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，则下列两函数的大小关系为：（

x2﹣2x+4）a（）（﹣3）aA．≤B．≥C．＜D．＞【解题思路】幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，解得a＝﹣2，从而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2−19≤0．由此能求出结果．【解答过程】解：幂函数y＝xa的图象过点(

3，19)，∴3a=19，解得a＝﹣2，∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2−19≤0．∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a．故选：A．【变式4-2】（2021•湖北开学）若𝑎=(2)25，𝑏=325，𝑐=(12)25，𝑑=(13)25，

则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞dB．b＞a＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．a＞b＞d＞c【解题思路】由题意根据幂函数的单调性，得出结论．【解答过程】解：∵𝑎=(2)25，𝑏=325，𝑐=(12)25，𝑑=(13)25，函数

y=𝑥25是（0，+∞）上的增函数，3＞2＞12＞13，∴b＞a＞c＞d，故选：C．【变式4-3】（2021秋•香坊区校级期中）三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a【解题思路】利用幂函数

和指数函数的单调性即可求解．【解答过程】解：∵幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上为增函数，∴20.3＞1.90.3＞1.90，即c＞b＞1，∵a＝0.32＜0.30＝1，∴c＞b＞a，故选：B．【题型5利用幂函数的性质求参数】【方法点拨】①根据所给函数解析式是幂函数，可列式求出参数的

值；②结合幂函数的单调性或奇偶性，进行分析，得出满足条件的参数值.【例5】（2021秋•张掖期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）•xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．﹣5B．5C．﹣1D．1【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．【解答过程】解

：∵幂函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）•xm在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣4m﹣4＝1，且m＜0，求得m＝﹣1，故选：C．【变式5-1】（2022春•延吉市校级期末）若函数𝑦=(𝑚2−3𝑚+3)𝑥𝑚2+2𝑚−4为幂函数，且在

（0，+∞）单调递减，则实数m的值为（）A．0B．1或2C．1D．2【解题思路】利用幂函数的定义和性质列方程组，能求出m．【解答过程】解：∵函数𝑦=(𝑚2−3𝑚+3)𝑥𝑚2+2𝑚−4为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，∴{𝑚2−3𝑚+3=1𝑚2+2𝑚−4＜0，解得m＝1．故

选：C．【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x⬚𝑚2+𝑚−2在（0，+∞）上是减函数，则f（m）的值为（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质可得m2﹣2m﹣2＝1，

且m2+m﹣2＜0，由此求得m的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（m）的值．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x⬚𝑚2+𝑚−2在（0，+∞）上是减函数，则m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，求得m＝﹣1，故f（

x）＝x﹣2=1𝑥2，故f（m）＝f（﹣1）=1(−1)2=1，故选：C．【变式5-3】（2021秋•广陵区校级月考）幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A．﹣2B．0或2C．0D．2【解题思路】根据幂函数的定义

和性质求解．【解答过程】解：由题意可知m2﹣2m+1＝1，解得m＝0或2，又∵幂函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴2m﹣1＞0，∴m＝2，故选：D．【题型6利用幂函数的性质解不等式】【方法点拨】利用幂

函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨

论思想的应用.【例6】（2021秋•安徽期中）已知幂函数f（x）的图象经过点（13，9），且f（a+1）＜f（2），则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3

）∪（1，+∞）【解题思路】由条件先求出f（x）的解析式，显然f（x）为偶函数，所以有f（a+1）＝f（|a+1|），从而不等式转化为f（|a+1|）＜f（2），借助f（x）在（0，+∞）的单调性可得a的取值范围．【解答过程】解：设f（x）＝xα，

因为图象过（13，9），所以（13）α＝9，所以α＝﹣2，故f（x）=1𝑥2，因为f（x）为偶函数，所以f（a+1）＝f（|a+1|），所以由f（a+1）＜f（2），得f（|a+1|）＜f（2），当x≥0时，f（x）为减函数，所以|a+1|＞2，解

得a＜﹣3或a＞1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），故选：D．【变式6-1】（2021秋•迎江区校级期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（0

，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解题思路】先由幂函数的定义和性质求出m的值，得到函数f（x）的解析式，再解不等式即可．【解答过程】解：由幂函数的定义可知m2﹣2m﹣7＝1，解得m＝﹣2或4，又∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m﹣2

＞0，∴m＝4，∴f（x）＝x2，由f（a﹣1）＞1可得（a﹣1）2＞1，∴a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，∴a＜0或a＞2，即实数a的范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞），故选：D．【变式6-2】（2021秋•江苏月考）已知幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，且f（a+1

）＜f（3），则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣4，2）【解题思路】根据已知条件可求出α的值，得到函数f（x）的解析式，再利用函数f（x）的奇偶性和单调性求解．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝

xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，∴4=(12)𝛼，∴α＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2=1𝑥2，∴函数f（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，∵f（a+1）＜f（3），∴|a+1|＞3，解得：a＜﹣4

或a＞2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．故选：C．【变式6-3】（2021秋•雁塔区校级期中）已知f（x）=(𝑚2−2𝑚−7)𝑥𝑚−23是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（）A．（﹣∞，0）B．

（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解题思路】由幂函数的定义先求出m的值，得到函数f（x）的解析式，进而得到函数f（x）的单调性和奇偶性，根据函数的单调性和奇偶性求出满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围即可．【解答过程】解：∵f（x）=(𝑚2−

2𝑚−7)𝑥𝑚−23是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴{𝑚2−2𝑚−7=1𝑚−23＞0，解得m＝4，∴f（x）=𝑥23=√𝑥23，定义域为R，且是偶函数，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又∵f

（﹣1）＝f（1）＝1，f（0）＝0，∴由f（a﹣1）＞1可得：a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，解得a＜0或a＞2，∴实数a的范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞），故选：D．