【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题3.5 幂函数-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(9)页，427.107 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.5幂函数-重难点题型精讲1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.2．常见幂函数的图象与性质温馨提示

：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．3．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y=x的图象是一条直线.②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：(2

)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴

右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1

,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.4．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)函数的定义域为；(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).(4)奇偶性：，函数为奇函

数.(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【题型1幂函数的概念、解析式】【方法点拨】(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为

一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.(2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2022春•杨陵区校级期

末）现有下列函数：①y＝x3；②𝑦=(12)𝑥；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y

＝f（x）的图象过点(3，√3)，则f（4）的值为（）A．﹣2B．1C．2D．4【变式1-2】（2022春•榆林期末）下列函数是幂函数的是（）A．y＝2xB．y＝x2﹣1C．y＝x3D．y＝2x【变式1-3】（2022春•广

陵区校级月考）若幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，√163)，则函数f（x）的解析式是（）A．𝑓(𝑥)=𝑥43B．𝑓(𝑥)=𝑥13C．𝑓(𝑥)=𝑥−43D．𝑓(𝑥)=𝑥23【题型2幂函数的定义域、值域】【方法点拨】根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式

，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域.【例2】（2021秋•房山区期末）下列函数中，值域是R的幂函数是（）A．𝑦=𝑥13B．𝑦=(13)𝑥C．𝑦=𝑥23D．𝑦=(23)𝑥【变式

2-1】（2021秋•吕梁期末）已知幂函数f（x）的图象过点(2，√2)，则f（x）的定义域为（）A．RB．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【变式2-2】（2021秋•广南县校级期中）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点(2，12)，则函数f（x）的值域

为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【变式2-3】（2021秋•天山区校级期中）若幂函数𝑦=(𝑚2−2𝑚−2)𝑥−𝑚2+𝑚+3的定义域为{x∈R|x≠0}，则m的取值是（）A．﹣1≤m≤3B．m＝﹣1或m＝3C．m＝﹣1D．m＝3【题

型3幂函数的图象】【方法点拨】根据一般幂函数的图象特征，对所给的幂函数解析式或图象进行分析，即可得解；温馨提示：①若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.②无论为何实数，幂函数的图象最多只能出现在两个象限内，且一定经过第一象限，

一定不经过第四象限.【例3】（2021秋•成都校级期中）幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞dB．d＞b＞c＞aC．d＞c＞b＞aD．b＞c＞d＞a【变式3-1】（2021秋•凉山州期末）如图，①②③

④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y＝xD．𝑦=𝑥58【变式3-2】（2021秋•湖北期末）幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2021秋•徐汇区校级

期中）如图是幂函数y＝xα的部分图像，已知α分别取13、3、﹣3、−13这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为（）A．3，13，−13，﹣3B．﹣3，−13，13，3C．−13，3，﹣3，13D．3，

13，﹣3，−13【题型4比较幂值的大小】【方法点拨】(1)直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.(2)转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.(3)中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较

大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的.【例4】（2021秋•岳阳期中）设𝑎=(34)12，𝑏=(43)14，𝑐=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a

【变式4-1】（2021秋•武昌区校级期末）已知幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，则下列两函数的大小关系为：（x2﹣2x+4）a（）（﹣3）aA．≤B．≥C．＜D．＞【变式4-2】（2021•湖北开学）若�

�=(2)25，𝑏=325，𝑐=(12)25，𝑑=(13)25，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞dB．b＞a＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．a＞b＞d＞c【变式4-3】（2021秋•香坊区校级期中）三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之

间的大小关系是（）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a【题型5利用幂函数的性质求参数】【方法点拨】①根据所给函数解析式是幂函数，可列式求出参数的值；②结合幂函数的单调性或奇偶性，进行分析，得出满足条件的参数值.【例5】（2021

秋•张掖期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）•xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．﹣5B．5C．﹣1D．1【变式5-1】（2022春•延吉市校级期末）若函数𝑦=(𝑚2−3𝑚+3)𝑥𝑚2+

2𝑚−4为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为（）A．0B．1或2C．1D．2【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x⬚𝑚2+𝑚−2在（0，+∞

）上是减函数，则f（m）的值为（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【变式5-3】（2021秋•广陵区校级月考）幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A．﹣2B．0或2C．0D．2【题型6利用幂函数的性质解不

等式】【方法点拨】利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大

小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.【例6】（2021秋•安徽期中）已知幂函数f（x）的图象经过点（13，9），且f（a+1）＜f（2），则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【变式6-1】（2021秋•迎

江区校级期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【变式6-2】（2021秋•江苏月考）已知幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过

点(12，4)，且f（a+1）＜f（3），则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣4，2）【变式6-3】（2021秋•雁塔区校级期中）已知f（x）=(𝑚2−2𝑚−7)𝑥𝑚

−23是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）