【文档说明】浙江省海宁市高级中学2023-2024学年高一上学期12月阶段性测试数学试题 含解析 .docx，共(19)页，1.059 MB，由管理员店铺上传

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海宁市高级中学2023学年第一学期12月阶段性测试高一数学试题卷2023年12月一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.己知集合()N|30Pxxx=−

，2,4Q=，则()NPQ=ð（）A.1,4B.0,2,4C.0,1,2,4D.1,2,4【答案】D【解析】【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可【详解】

()303xxx−或0x所以N1,2P=ð，()N1,2,4PQ=ð故选：D2.已知函数()122xxfx=−，则()fx（）A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在)0,+

上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在)0,+上是减函数【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义判断，然后利用单调性的性质判断单调性即可求解.【详解】函数()122xxfx=−定义域为R．又11()22(

)22xxxxfxfx−−−=−=−=−，所以函数()122xxfx=−为奇函数，设2xt=，0t，函数2xt=单调递增，设1ytt=−，则1ytt=−在(0,)+上单调递减，故函数1()22xxfx=−在R上是减函数.故选：C.3.若函数()yfx=的定义域为0,2，则函数(2)

()1fxgxx=−的定义域是（）A.0,1B.[0,1)C.[0,1)(1,4]UD.(0,1)【答案】B【解析】【详解】根据已知可得函数(2)()1fxgxx=−的定义域需满足：0221xx

,解得01x，即函数定义域为)0,1，故选B.考点：求函数定义域4.函数()sinln||fxxx=的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A，C，根

据当01x时，()0fx即可排除B．得出答案.【详解】因为()sinln||(0)fxxxx=，所以()sin()ln||sinln||()fxxxxxfx−=−−=−=−，所以()fx为奇函数，故排除A，C．当01x时，sin0x，ln||0

x，则()0fx，故排除B，故选:D．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从

函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.近年来纯电动汽车越来越受消费者青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放

电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：的nCIt=，其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流20AI=时，放电时间20ht=；当放电电流50AI=时，放电时间5ht=.若计算时

取lg20.3，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（）A.1.25B.1.5C.1.67D.2【答案】B【解析】【分析】由已知可得出2020505nnCC==，可得出542n=，利用指数与对数的

互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得n的近似值.详解】由题意可得2020505nnCC==，所以2020505nn=，所以542n=，所以52lg42lg22lg220.3log41.551012lg2120.3lglg24n==

===−−.故选：B.6.已知π5sin35−=，则πsin26−=（）A.45B.45−C.35D.35-【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.【详解】πππ2π2ππsin2cos2cos2cos2cos2626333

−=−−=−=−=−22π5312sin12355=−−=−=，故选：C7.已知ππ,42，()sinc

osa=，()cossinb=，()coscosc=，则（）A.bcaB.cbaC.cabD.abc【答案】A【【解析】【分析】根据的取值范围，明确三角函数sin,cos的取值范围，利用指数函数和幂函数的单调性，可得答案.【详解】解：已知ππ,42

，则0cossin1，因为()cosxy=在()0,1上是减函数，故()()cossincoscosca==；因为幂函数cosyx=在()0,1上是增函数，故()()coscoscossi

ncb==，故bca．故选：A.8.设函数()fx是定义在R上奇函数，对任意xR，都有()()11fxfx−=+，且当0,1x时，()21xfx=−，若函数()()()log2agxfxx=−+（0a且1a）在()1,7−上恰有4个不同

的零点，则实数a的取值范围是（）A.()10,7,7+B.()10,9,7+C.()10,7,9+D.()10,9,9+【答案】C【解析】【分析】分析可知，函数(

)fx的周期为4，作出函数()fx的图像，依题意可得数()yfx=与log(2)ayx=+的图像在(1,7)−上有4个不同的交点，然后分1a及01a讨论即可．【详解】解：函数()fx是定义在R上的奇函数，当0,1x时，()21xfx=−，

当1,0x−时，0,1x−，所以()()21xfxfx−=−=−+−，即当1,0x−时1(2)xfx−−+=，又对任意xR，都有(1)(1)fxfx−=+，则()fx关于1x=对称，且()(

)()2fxfxfx−=+=−，()(4)fxfx=+，即函数()fx的周期为4，又由函数()()log(2)(0agxfxxa=−+且1)a在(1,7)−上恰有4个不同的零点，得函数()yfx=与log(2)ayx=+的图像

在(1,7)−上有4个不同的交点，又()()151ff==的()()()1371fff−===−，当1a时，由图可得log(52)1logaaa+=，解得7a；当01a时，由图可得1log(72)1logaaa−+−=，解得109a．综

上可得()10,7,9a+.故选：C．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）9.

已知命题p：关于x的不等式220xaxa−−的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（）A.112a−−B.203a−C10a−D.1a−【答案】CD【解析】【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即

可．【详解】命题p：关于x的不等式220xaxa−−的解集为R，则2440aa=+，解得10a−又()1,0−1,0−，()1,0−)1,−+，故选：CD．.10.已知0a，0b，且141ab+=，则下列结论正确的是（）A.1aB.ab的最小值为16C.ab+的最小值为8

D.191ab+−的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为41110abaa−=−=可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项利用“1”的代换可求ab+的最小值，D选项把两

个变量化为一个变量，再利用基本不等式求解即可.【详解】对于A，由已知得41110abaa−=−=，0b，410aba−=，又0a，1a，故A正确；对于B，由已知得14141124ababab=+=，当且仅当2a=，8b=时等号成立，所以114ab，得16a

b，故B正确；对于C，()14445529babaababababab+=++=+++=，当且仅当3a=，6b=时等号成立，故C错误；对于D，由已知得1441babb−=−=，0a，40bb−，又0b，4b.又4bab=−，

4104ab−=−19499912121444bbbabbbb−+=+=+−−=−，当且仅当6b=时等号成立，故D正确.故选：ABD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为

正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.给出下列结论

，其中正确的结论是（）A.函数2112xy−+=的最大值为12B.已知函数log(2)ayax=−（0a且1a）在()0,1上是减函数，则实数a的取值范围是(1,2C.若()fx的图

像是一条连续曲线，且(0)(1)0ff，则()fx在()0,1内没有零点D.关于x的不等式0axb−的解集是(,1)−，则关于x的不等式02axbx+−的解集是12xx−【答案】BD【解析】【分析】对于A，直接由指

数复合函数的值域即可判断；对于B，直接由对数复合函数单调性列出不等式组判断即可；对于C，由零点存在定理的相关知识点举出反例即可判断；对于B，首先得出,ab直接的关系与符号，再将分式不等式等价转换为相应的一元二次不等

式即可.【详解】对于A，由于211x−+，所以211212xy−+=，等号成立当且仅当0x=，故A错误；对于B，由于0a，所以()2txax=−关于x在()0,1上是减函数，若要使函数log(

2)ayax=−（0a且1a）在()0,1上是减函数，则由复合函数单调性单调性可知函数logayt=关于t在定义域内单调递增，所以当且仅当120aa−，解得12a，即实数a的取值范围是(1,2，故B正确；

对于C，不妨设1()2fxx=−，满足()fx的图象是一条连续曲线，且1(0)(1)04ff=，但()fx在()0,1内有一个零点即12x=，故C错误；对于D，由题意01baxbaxbxa−=，所以0ab=，从而()()()110

0012012222axaxbxxxxxxx++++−−−−−，即关于x的不等式02axbx+−的解集是12xx−，故D正确.故选：BD.12.已知函数()()()sin0fxx=+，且()fx在区间2π5π,36上单调递减，则下列

结论正确的有（）A.()fx的最小正周期是π3B.若2π5π036ff+=，则3π04f=C.若()π3fxfx+恒成立，则满足条件的有且仅有1个D.

若π6=−，则的取值范围是22[1,2]4,5【答案】BCD【解析】【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A，根据中心对称即可求值，知B正确，由周期的范围求出的范围，利用函

数平移求出周期，判断C，结合已知单调区间得出范围后判断D.【详解】对于A，因为函数()fx在区间2π5π,36上单调递减，所以5π2ππ2636T−=，所以()fx的最小正周期π3T，即()fx的最小正周期的最小值为π3，故A

错误；对于B，因为2π5π036ff+=，所以()fx的图像关于点3π,04对称，所以3π04f=，故B正确；对于C，若()π3fxfx+恒

成立，则π3为函数()fx的周期或周期的倍数，所以2ππ3k=，所以6k=，因为π3T，所以2π6T=，又0，所以06，所以6=，即满足条件的有且仅有1个，故C正确；对于D，由题意可知2π5π,36为()πsin6fxx=−单调递减

区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662kk−+−+，其中Zk，解得123125kk++，kZ，当0k=时，12，当1k=时，2245，故的取值范围是22[1,2]4,5，故D正确.故选：BCD三、填空题（本大

题共4小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共20分）13.已知幂函数()fx的图象经过点18,4，则()fx的增区间为__________．【答案】(),0−【解析】【分析】先根据幂函数过的点求出其函数

表达式，然后结合复合函数单调性单调性即可求解.【详解】由题意设幂函数为()fxx=，则()332182224−====，所以32=−，解得23=−，所以23321()fxxx−==，其定义域为()(),00,−+U，而2tx=关于x在()(),0,0,−+上分别单调递减、单

调递增，3ut=关于t在定义域内单调递增，1yu=在()(),0,0,−+均是单调递减，由复合函数单调性可知321()yfxx==在()(),0,0,−+上分别单调递增、单调递减.故答案为：(),0−.14.已知函数()()2tan

06fxaxa=+的最小正周期是3.则=a___________()fx的对称中心为____________.【答案】①.13②.31022kkZ−，，【解析】【分析】根据正切的周期求出a，利用整体法求出对称中心即可.【详解】解：函数()

()2tan06fxaxa=+的最小正周期是3，则3a=，得13a=，所以函数1()2tan36fxx=+，由11,362xkkZ+=，得3122xk=−，Zk，故对称中心为31022kkZ−，，.故答案为：1

3；31022kkZ−，，.【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题.15.已知π4sin65+=，π12cos613−=，，6π0,，则cos()

+=__________．【答案】5665【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.【详解】，6π0,，πππππ,,,066366+−

−，由π4sin65+=，π12cos613−=，得π3π5cos,sin65613+=−=−，所以ππcos()cos66

+=++−ππππcoscossinsin6666=+−−+−312455651351365=−−=.故答案为：5665

16.已知函数211,0,22()13,,12xxfxxx+=，若存在12xx，使得()()12fxfx=，则()12xfx的取值范围为_____________.【答案】31,162【解析】【分析】根据条件作出函数图象求解出1

x的范围，利用()()12fxfx=和换元法将()12xfx变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.【详解】由解析式得()fx大致图象如下图所示：由图可知：当12xx时且()()12fxfx=，则令211322x+=，解得：14x=，111,42x，又()(

)12fxfx=，221221333,124xxx+=，()2222121332xfxxx=−，令2233,14xt=，则()()2211113,

124164xfxgttttt==−=−−，()31,162gt，即()2131,162xfx.故答案为：31,162【点睛】思路点睛：根据分段函数的函

数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知集合Axxa=或2xa

+，139xBx−=.（1）当2a=时，求AB；（2）若“xA”是“xB”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】（1）2xx或3x；（2）1a.【解析】【分析】（1）化简B，根据并集的概念可求出结果；（2）转化为B是A的真子

集，再根据真子集关系列式可求出结果.【小问1详解】当2a=时，2Axx=或4x，由139x−，得3x，所以3Bxx=，所以2ABxx=或3x.【小问2详解】若“xA”是“xB”成立的必要不充分

条件，则B是A的真子集，故23a+，解得1a.18.已知()()()25π3πsincostanπ22πcossinπ2f−−+−=−+（1）化简()f；（2）若()2f=，求2s

in3sincos−的值．【答案】（1）()tanf=（2）25−【解析】【分析】（1）直接通过诱导公式化简即可；（2）通过二次齐次式的化简即可得结果.【小问1详解】()()()()()22cossintancossintantanπsinsincossinπ2f

−−===−−+【小问2详解】由（1）易得tan2=，所以22222sin3sincostan3tan462sincostan1415−−−===−+++19.杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选

手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为130km/hv=的匀

速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Qtv=（1t表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为223010vt=−的减速运动（2t表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体

力22222,1tvQt=+已知该运动员初始体力为010000,QkJ=不考虑其他因素，所用时间为t（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q关于时间t的函数()Qt；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案

】（1）()100003600,0148004001200,14ttQtttt−=++（2）2t=时有最小值，最小值为5200kJ.【解析】【分析】（1）先写出速度v关于时间t的函数，进而求出剩余体力Q关于时间t的函数；（2）分01t和14t两种情况，结

合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v关于时间t的函数()()30,0130101,14tvttt=−−，代入1ΔQ与2ΔQ公式可得()()()1000060230,0160123010164

00,1411ttQttttt−=−−−−−+解得()100003600,0148004001200,14ttQtttt−=++；【小问2详解】①稳定阶段中()Qt单调递减，此过程中()Qt最小值()()mi

n16400kJQtQ==；②疲劳阶段()48004001200(14)Qtttt=++，则有()480040012004002120048005200kJQttt=+++=，当且仅当48001200tt=，即2t=时，“=”成立，所以疲劳阶段

中体力最低值为5200kJ，由于52006400，因此，在2ht=时，运动员体力有最小值5200kJ.20.已知函数2π()2sincos26fxxx=−+．（1）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；（2）当π02x时，求()fx的

最大值和最小值以及取到最大、最小值时x的值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为2πππ,π,Z36kkk−−（2）当0x=时，()fx取得最大值为32；当π3x=时，()fx取得最

小值为0【解析】【分析】（1）化简()fx的解析式，然后求得函数()fx的最小正周期和单调递增区间；（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】2π()2sincos26fxxx=−+π1cos2cos23xx=−−

+315πsin2cos21sin21226xxx=−++=++.所以()fx的最小正周期2ππ2T==，由π5ππ2π22π,262kxkk−++Z，解得2ππππ,36kxkk−−Z，所以()fx的单调递增区间是2

πππ,π,36kkk−−Z.【小问2详解】当π02x时，5π5π11π02π,2666xx+，所以当5π5π2,066xx+==时，()fx取得最大值为13122+=，当5

π3ππ2,623xx+==时，()fx取得最小值为110−+=.21.已知函数()1(0,1)xfxaaa=+的图像恒过定点A，且点A又在函数22()log()gxxa=+的图象上．（1）若()()32fxfx−−=，求x的值；（2）若关于x的不等式()()

1fgxkx+在3,4x上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）1x=（2）25,3−【解析】【分析】（1）首先求出()fx过定点坐标，再代入()gx中求出a，即可得到3222xx−−

=，再换元解得；（2）首先求出()2(2)1fgxx=++，依题意可得()2440xkx+−+在区间3,4上恒成立，令()()244hxxkx=+−+，3,4x，则min()0hx，再分10k、1012k

、12k三种情况讨论，分别求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】函数()1(0,1)xfxaaa=+，当0x=时，()2fx=，则函数()yfx=图像恒过定点()0,2A，又()0,2A在

函数()ygx=图象上，即22log2a=，解得2a=（负值舍去），则()21xfx=+，由()()32fxfx−−=，则3222xx−−=，令20xt=，则132tt−=，即22320tt−−=，即()()2

120tt+−=，0t，2t=，即22x=，解得1x=；【小问2详解】因为()()()222log22121,34xfgxxx+=+=++，则2(2)11xkx+++区间3,4上恒成立，即()2440xkx+−+在区间3,4上恒成立，令()()24

4hxxkx=+−+，3,4x，则min()0hx，函数()yhx=的对称轴为22kx=−，①232k−，即10k，()yhx=在区间3,4上单调递增，()min()32530hxhk==−，则253k，又10k，253k；②3242k−，即1012

k，函数()yhx=在3,22k−上单调递减，在区间2,42k−上单调递增，则()()22min22424202224kkkkhxhkk=−=−+−−+=−+

，则08k，又1012k，所以k无解；③242k−，即12k，()yhx=在区间3,4上单调递减，()min()43640hxhk==−，即9k，又12k，无解；综上所述，实数k的取值范围为25,3−．22.

已知()xxabfxab+=−(0a且)1a是R上的奇函数，且()325f=（1）求()fx的解析式；（2）若不等式()()2220fmxxfmx−++对xR恒成立，求m的取值范围；（3）把区间()0,2

等分成2n份，记等分点的横坐标依次为ix，1,2,3,,21in=−，设()132221xgx−=−+，记()()()()()()12321NnFngxgxgxgxn−=++++，是否存在正整数n，在使

不等式()()()2fxFnfx有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）()2121xxfx−=+；（2）642642m−+；（3）存在，正整数1n=或2.【解析】【分析】（1）根据()00f=，(

)325f=，即可求出,ab的值，从而可求函数的解析式；（2）根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到()2220mxmx+−+恒成立，然后通过分类讨论，根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案；（3）设等分

点的横坐标为iixn=，1,2,3,,21in=−.首先根据()()112gxfx=−+，可得到函数()gx的图象关于点11,2对称，从而可得到()()21iigxgx+−=，1,2,3

,21in=−；进而可求出()Fn212n−=；再根据()()221222xxfxfx−=++，从而只需求()2122nFn−=即可.【小问1详解】∵()fx是R上的奇函数，∴()00f=，由2210135bbabab+=−+=−，可得1b=-，24a=，∵

0a，∴1b=-，2a=，所以()2121xxfx−=+.又()()11212121212112xxxxxxfxfx−−−−−−===−=−+++，所以()2121xxfx−=+为奇函数.所以()2121xxf

x−=+.【小问2详解】因为()21212121xxxfx−==−++，所以()fx在R上单调递增，又()fx为R上的奇函数，所以由()()2220fmxxfmx−++，得()()()2222fmxxfmxfmx−−+=−−，所以222mxxmx−−−，即()2220mxmx

+−+恒成立，当0m=时，不等式为220x−+不能恒成立，故0m=不满足题意；当0m时，要满足题意，需20Δ(2)80mmm=−−，解得642642m−+，所以实数m的取值范围为642642m−+.【小问3详解】把区间()0,2等分成2n份，则等分点的横坐标为ii

xn=，1,2,3,,21in=−，又()()1132211112212122xxgxfx−−=−=−+=−+++，()fx为奇函数，所以()gx的图象关于点11,2对称，所以()()21iigxgx+−=，1,2,3,21in=−，所以()

122221nnFnggggnnnn−−=++++12122211nnnnngggggggnnnnnnn−−−+=+++++++

112111122nn−−=++++=项，因为()()()()2222212122211221222121xxxxxxxxfxfx−−++===+−+++，所以(

)2122nFn−=，即52n.故存在正整数1n=或2，使不等式()()()2fxFnfx有解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com