【文档说明】湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，848.329 KB，由小赞的店铺上传

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武汉二中高一年级第一次月考（数学）第Ⅰ卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合43Axx=−Z，13Bxx=+N，则AB=（）A

.0,1B.0,1,2C.1,2D.1【答案】A【解析】【分析】化简集合，根据交集运算求解.【详解】根据题意，得=4,3,2,1,0,1,2,30,1AB−−−−=,，所以0,1AB=，故选：A.2.设

2712|0,0|2AxxxBxax=−+==−=，若ABB=，求实数a组成的集合的子集个数有（）A.2B.3C.4D.8【答案】D【解析】【分析】先解方程得集合A，再根据ABB=得BA，根据包含关系求实数a，根据子集的定义确定实数a的取值组成的集合的子集的个数.【详解】

271203,4|Axxx=−+==因为ABB=，所以BA，因此B=或3B=或4B=，当B=时，=0a，当3B=时，23a=，当4B=时，12a=，实数a的取值组成的集合为210,,32，其子集有，0，2

3，12，20,3，10,2，21,32，210,,32，共8个，故选：D．3.下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命

题；②命题“2,10xRx+”是全称量词命题；③命题“2,210xRxx++”的否定为“2,210xRxx++”；④命题“ab是22acbc的必要条件”是真命题；A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题、全

称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“2R10xx+，”是全称量词命题；故②正确；对于③：

命题2:R,210pxxx++，则2:R,210pxxx++，故③错误；对于④：22acbc可以推出ab，所以ab是22acbc的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C4.“0m”是“xR，2(1)2(1)3

0mxmx−+−+是假命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由命题“xR，2(1)2(1)30mxmx−+−+是假命题”，利用二次函数的性质，求得实数m的取值范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意

，命题“xR，2(1)2(1)30mxmx−+−+是假命题”可得命题“xR，2(1)2(1)30mxmx−+−+是真命题”当10m−=时，即1m=时，不等式30恒成立；当10m−时，即1m时，则满足()()210214

130mmm−−−−，解得14m，综上可得，实数14m，即命题“xR，2(1)2(1)30mxmx−+−+是假命题”时，实数m的取值范围是[1,4)，又由“0m”是“14m”的必要不充

分条件，所以“0m”是“xR，2(1)2(1)30mxmx−+−+是假命题”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】理解全称命题与存在性命题的含义时求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，把存在性命题为假命题转化为全称命题为真命题，结合二

次函数的性质求得参数的取值范围，再根据充分、必要条件的判定方法，进行判定.5.已知()13fxxx=++−，则函数(1)()1fxgxx+=−的定义域是（）A.[2,1)(1,2]−B.[0,1)(1,4]UC.[0,1)(1,2

]D.[1,1)(1,3]−【答案】A【解析】【分析】先求出()fx的定义域,结合分式函数分母不为零求出()gx的定义域.【详解】()13fxxx=++−,10330xxx+−，-1,()fx的

定义域为1,3x−.又(1)()1fxgxx+=−，1132210xxx−+−−，且1x.(1)()1fxgxx+=−的定义域是[2,1)(1,2]−.故选：A6.已知0a，0b，

且12111ab+=++，那么ab+的最小值为（）A.221−B.2C.221+D.4【答案】C【解析】【分析】由题意可得()1211211ababab+=++++−++，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为0a，0b，12111ab+=++，则()12112112

11abababab+=+++−=++++−++()2113211abba++=++−++()()2121111212211111aabbbaba++++=+++=+++++.当且仅当()2111112111abbaab++=+++=++即222ab=

=时取等.故选：C.7.若两个正实数x，y满足141xy+=，且不等式234yxmm+−有解，则实数m的取值范围是（）A.{14}mm−∣B.{0mm∣或3}mC{41}mm−∣D.{1mm−∣或4}m【答案】D

【解析】【分析】首先不等式转化为2min34ymmx−+，再利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】若不等式234yxmm+−有解，则2min34ymmx−+，因为141xy+=，0,0xy，所以1444

22244444yyxyxyxxxyyxyx+=++=+++=，当44xyyx=，即4yx=时，等号成立，4yx+的最小值为4，所以234mm−，解得：4m或1m−，所以实数m的取值范围是{1mm−或4}m.故选：D.8.已知函数222,2,()366,

2,xaxxfxxaxx−−=+−若()fx的最小值为(2)f，则实数a的取值范围为（）A.[2,5]B.[2,)+C.[2,6]D.(,5]−【答案】A【解析】【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关

于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.【详解】当2x时，3636626126xaxaaxx+−−=−，当且仅当6x=时，等号成立，即当2x时，函数()fx的最小值为126a−；当2x时，2()22fxxax=−−，要使得

函数()fx的最小值为(2)f，则满足2,(2)24126,afaa=−−解得25a．故选：A．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错

的得0分）9.下列函数在区间(2,)+上单调递增的是（）A.1yxx=+B.1yxx=−C.14yx=−D.243yxx=−+【答案】AB【解析】【分析】求函数的单调区间，首先要确定函数的定义域，若存在定义域之外的元素，则不符合条件；对其他

选项可根据特殊函数的单调性得出.【详解】由“对勾”函数的单调性可知，函数1yxx=+在(2,)+单调递增，A正确；由yx=在(2,)+单调递增，1yx=在(2,)+单调递减，知1yxx=−在(2,)+单调递增，B正确；函数

14yx=−在4x=处无定义，因此不可能在(2,)+单调递增，C错误；函数243yxx=−+的定义域为(,1][3,)−+，因此在(2,3)上没有定义，故不可能在(2,)+单调递增，D错误.故选:AB.10.已知函数()

221fxxx=++在区间,6aa+上的最小值为9，则a可能的取值为（）A.2B.1C.12D.10−【答案】AD【解析】【分析】根据二次函数的对称轴和开口方向进行分类讨论，即可求解.【详解】因为函数()221fxxx=++的对称轴为=1

x−，开口向上，又因为函数()221fxxx=++在区间,6aa+上的最小值为9，当16aa−+，即71a−−时，函数()221fxxx=++的最小值为min()(1)0fxf=−=与题干不符，所以此时不成立；当1a−时，函数()221fxxx=++在区间,6a

a+上单调递增，所以2min()()219fxfaaa==++=，解得：2a=或4a=−，因为1a−，所以2a=；当61a+−，也即7a−时，函数()221fxxx=++在区间,6aa+上单调递减，所以2min()(6)14499fxfaaa=+=++=，解

得：10a=−或4a=−，因为7a−，所以10a=−；综上：实数a可能的取值2或10−，故选：AD.11.若0,0ab，且4ab+=，则下列不等式恒成立的是（）A.228ab+B.114abC.22ab+D.111ab+【答案】C【解

析】【分析】利用重要不等式的合理变形可得()()2222abab++，即可知A错误；由基本不等式和不等式性质即可计算B错误；由()()22abab++即可求得C正确；根据不等式中“1”的妙用即可得出111ab+，即D

错误.【详解】对于A，由222abab+可得()()2222222abababab+++=+，又4ab+=，所以()()222216abab++=，即228ab+，当且仅当2ab==时等号成立，故A错误；对于B，由4ab+=可得42abab+=，即04ab，所以114a

b，当且仅当2ab==时等号成立，即B错误；对于C，由2abab+可得()()222abababab+++=+，所以可得()28ab+，即22ab+，当且仅当2ab==时等号成立，即C正确；对于D，易知()

111111111221444abababababbaba+=++=++++=，即111ab+；当且仅当2ab==时等号成立，可得D错误；故选：C12.公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何

学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段AB为直径作半圆ADB，CDAB⊥，垂足为C，以AB的中点O为圆心，OC为半径再作半圆，过O作OEOD⊥，交半圆于E，连接ED，设BCa=，,(0)ACbab=，则下

列不等式一定正确的是（）．A.22abbab++B.22abaab++C.2baab+D.2222abab++【答案】AD【解析】【分析】先结合图象，利用垂直关系和相似关系得到大圆半径2abR+=，小圆半径2bar−=，2ADbab=+，2BDaab=+，22222abODOC++

=，再通过线段大小判断选项正误即可.【详解】因为AB是圆O的直径，则90ADBDABDBA==+，因为CDAB⊥，则=90ACD，所以90DABADC+=，故DBAADC=，易有ADCDBC，故ACDCCDBC=，即2CDACBCab==，

大圆半径2abR+=，小圆半径22abbara+−=−=，90ACD=，222ACCDAD+=，故222ADACCDbab=+=+，同理222BDBCCDaab=+=+.选项A中，，显然当0ab时AOD是钝角，在AD上可截取DMDO=，故ODAD，即大圆半径RODAD=，故2

2abbab++，正确；选项B中，当60BOD=时，大圆半径RODOBBD===，有22abbab+=+，故错误；选项C中，RtBCD△中，2BDaab=+，而ACb=，因为,ACBD大小关系无法确定，故错误；选项D中，大圆半径2abROD+==，小圆半径2barOC−==，

则22222abODOC++=，而22ODOCOD+，故2222abab++，故正确.故选：AD.【点睛】本题解题关键在于将选项中出现的数式均与图中线段长度对应相等，才能通过线段的长短比较反馈到数式的大小关系，突破难点.第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若一个

集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合{}1,2A=-，22,0Bxaxa==，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集

合为_____.【答案】10,,22【解析】【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a值，即可求解【详解】当0a=时，B=，此时满足BA，当0a时，22,Baa=−，此时,AB集合只能是“蚕食”关系，所以当,AB集合有公共元素21a−=−时，解得

2a=，当,AB集合有公共元素22a=时，解得12a=，故a的取值集合为10,,22.故答案：10,,2214.一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费1y（单位：万元）与仓库到车站

的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费2y（单位：万元）与x成正比.若在距离车站10km处建立仓库，则1y与2y分别为4万元和16万元.则当两项费用之和最小时x=______（单位：km）.【答案】5【解

析】【分析】由已知可设：11kyx=，22ykx=，根据题意求出1k、2k的值，再利用基本不等式可求出12yy+的最小值及其对应的x值，即可得出结论.【详解】由已知可设：11kyx=，22ykx=，且这两个函数图象分别过

点()10,4、()10,16，得110440k==，2168105k==，从而140yx=，()2805xyx=，故1240840821655xxyyxx+=+=，当且仅当4085xx=时，即5x=时等号成立.

因此，当5x=时，两项费用之和最小.故答案为：5.15.函数()fx是定义在()0,+上的增函数，若对于任意正实数,xy，恒有()()()fxyfxfy=+，且()31f=，则不等式()()82fxfx+−的解集是_______.【答案】

()8,9【解析】为【分析】根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论．【详解】()()()fxyfxfy=+，(3)f1=，22(3)(3)(3)(33)(9)fffff==+==，则不等式()(8)2fxfx+−等价为(8)[](9)fxxf

−，函数()fx在定义域(0,)+上为增函数，不等式等价为080(8)9xxxx−−，即0819xxx−，解得89x，不等式的解集为(8,9)，故答案为：()8

,9.16.已知1:123xp−−，22:210qxxm−+−，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______.【答案】(),99,−−+【解析】【分析】先分别求出命题p和命题q为真命题

时表示的集合，即可求出p和q表示的集合，根据必要不充分条件所表示的集合间关系即可求出.【详解】对于命题p，由1123x−−可解出210x−，则p表示的集合为2xx−或10x，设为A，对于命题q，22210xxm−+−，则()()110xmxm轾轾---+?臌臌，设q表示

的集合为B，p是q的必要不充分条件，BA，当0m时，()()110xmxm轾轾---+?臌臌的解集为11xmxm−+，则1Bxxm=−或1xm+，12110mm−−+，解得

9m；当0m=时，1Bxx=，不满足题意；当0m时，()()110xmxm轾轾---+?臌臌的解集为11xmxm+−，则1Bxxm=+或1xm−，12110mm+−−，解得9m−，综上，m的取值范围是(

),99,−−+.故答案为：(),99,−−+.【点睛】本题考查命题间关系的集合表示，以及根据集合关系求参数范围，属于中档题.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤）17.已知集合{0Axx=或2},32xBxaxa=−.（1）若AB=R，求实数a的取值范围；（2）若BARð，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,0−（2）12a【解析】【分析】（1）根据集合并集运算即可列不等式求解，（2

）根据包含关系列不等式求解.【小问1详解】因为{0Axx=或2},32,,xBxaxaAB=−=R所以320322aaaa−−，解得0a，所以实数a的取值范围是(,0−.【小问2详解】{0

Axx=或2},02xAxx=Rð，的由BARð得当B=时，32−aa，解得1a；当B时，32aa−，即1a，要使BA，则0322aa−，得112a≤≤.综上，12a.18

.已知关于x的不等式2320axx−+的解集为1xx或xb（1b）.（1）求a，b的值；（2）当0x，0y，且满足1abxy+=时，有222xykk+++恒成立，求k取值范围.【答案】（1）1a=，2b=

（2）[]3,2-【解析】【分析】（1）方法一：根据不等式2320axx−+的解集为1xx或xb，由1和b是方程2320axx−+=的两个实数根且0a，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式232

0axx−+的解集为1xx或xb，由1和b是方程2320axx−+的两个实数根且0a，将1代入2320axx−+=求解.（2）易得121xy+=，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【小问1详解】解：方法一：因为不等式2320axx−+

的解集为1xx或xb，所以1和b是方程2320axx−+=的两个实数根且0a，所以3121baba+==，解得12ab==方法二：因为不等式2320axx−+的解集为1xx或xb，所以1和b是方程2320axx−+的两个实数根且0a，的

由1是2320axx−+=的根，有3201aa−+==，将1a=代入2320axx−+，得23201xxx−+→或2x，∴2b=；【小问2详解】由（1）知12ab==，于是有121xy+=，故()1242244248yxxyxyxyxy

+=++=+++=，当且仅当24xy==时，等号成立，依题意有()2min22xykk+++，即282kk++，得26032kkk+−→−，所以k的取值范围为[]3,2-.19.已知函数()212fxxx=+．（1）试判断函数()fx在区间(

0,1上的单调性，并用函数单调性定义证明；（2）若(0,1x，使()2fxm+成立，求实数m的范围．【答案】（1）单调递减；证明见解析（2）()1,+【解析】【分析】（1）运用定义法结合函

数单调性即可；（2）将能成立问题转化为最值问题，结合单调性求解最值.【小问1详解】()212fxxx=+在区间(0,1上单调递减,证明如下：设1201xx，则()()()()2212121212222212121122xxfx

fxxxxxxxxx−−=−+−=−−()()12121222221212121122xxxxxxxxxxxx+=−−=−−+∵1201xx，∴120xx−

，21211xx，21211xx，∴2212121120xxxx−+，∴()()120fxfx−所以，()212fxxx=+在区间(0,1上单调递减．【小问2详解】由（1）可知()fx在(0,1上单调递减，所以

，当1x=时，()fx取得最小值，即()min()13fxf==，又(0,1x，使()2fxm+成立，∴只需min()2fxm+成立，即32m+，解得1m．故实数m的范围为()1,+．20.已知函数()21axbfxx+=+是定义在()1,1

−上的函数，()()fxfx−=−恒成立，且12.25f=（1）确定函数()fx的解析式并判断()fx在()1,1−上的单调性（不必证明）;（2）解不等式()()10fxfx−+.【答案】（1）()21xfxx=+，在(1,1)−上单调递增（

2）1(0,)2【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，以及代入条件，即可求解，并判断函数的单调性；（3）根据函数是奇函数，以及函数的单调性，即可求解不等式.【小问1详解】由题意可得()001225ff==，解得01b

a==所以()21xfxx=+，经检验满足()()fxfx−=−，设1211xx−，()()()()()()121212122222121211111xxxxxxfxfxxxxx−−−=−=++++，因为1211xx−，所以120xx−，1210xx−，221210,

10xx++，所以()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在区间()1,1−单调递增；【小问2详解】(1)()0fxfx−+，(1)()()fxfxfx−−=−，()fx是定义在(1,1)−上

的增函数，111111xxxx−−−−−，得102x，所以不等式的解集为1(0,)2.21.2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新

团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产x千件该产品，需另投入成本()Fx万元，且()210100,060810090121980,60xxxFxxxx+=+−，假设该产品对外销售单

价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完．（1）求出全年的利润()Gx万元关于年产量x千件的函数关系式；（2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()2108006200,060810015780,60xxxGxxxx

−+−=−++；（2）该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元【解析】【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润()Gx万元关于年产量x千件的函数关系式；（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件

时，所获利润最大为15600万元.【小问1详解】当060x时，()()22900101006200108006200Gxxxxxx=−+−=−+−，当60x时，()8100810090090121980620015780Gxxxxx

x=−+−−=−++，所以()2108006200,060810015780,60xxxGxxxx−+−=−++．【小问2详解】若060x，则()()210409800Gxx=−

−+，当40x=时，()max9800Gx=；若60x，()810081001578021578015600Gxxxxx=−++−+=，当且仅当8100xx=，即90x=时，等号成立，此时()max15600Gx=．因为156009800，所以该企业全年产量为90

千件时，所获利润最大为15600万元．22.在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题.①()()()fxyfxfy+=+，()24f=.当0x时，()0fx;②()()()2fxyfxfy+=+−，(

)15f=.当0x时，()2fx;③()()()fxyfxfy+=，()22f=.且xR，()0fx;当0x时，()1fx.问题;对任意,xyR，()fx均满足___________.（填序号）（1）判断并证明()fx的单调性;（2）求不等式()

148fa+的解集.注;如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）增函数（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据单调性的定义法，证明单调性即可；（2）根据单调性，列出相应的不等式，解不等式方程可得答案.【小问1详解】若选①：设12,(,)xx−+，且1

2xx，则210xx−，所以21()0fxx−.由()()()fxyfxfy+=+得()()()fxyfxfy+−=，.所以，2121()()()0fxfxfxx−=−，所以，21()()fxfx，所以()fx在(,)−+上是增函数;若选②：设12,(,)xx−+，且12xx

.则210xx−，所以21()2fxx−.由()()()2+=+−fxyfxfy得()()()2fxyfxfy+−=−，所以2121()()()20fxfxfxx−=−−，所以21()()fxfx，所以f（x）在(,)−+上是增函数;若选③：设12,(,)xx−+，且12xx，

则210xx−，所以21()1fxx−.由()()()fxyfxfy+=得()()()fxyfyfx+=，2211()()1()fxfxxfx=−，又1()0fx，所以2()fx>1()fx，所以函数()fx为R上的增函数;【小问2详解】若选①：由(2)4f=得(4)(2)(2)8ff

f=+=，所以，(14)8fa+可化为(14)(4)faf+，根据()fx的单调性，得144a+，解得34a，所以不等式(14)8fa+的解集为3,4−.若选②：令1xy==，则(2)2(1)28ff=−=，所以(14)8fa+可化为(14)(2)faf+

，根据()fx的单调性，得142a+，解得14a，所以不等式(14)8fa+的解集为1,4−.若选③：由(2)2f=得(4)(2)(2)4fff==，(6)(4)(2)8fff==，所以(14)8fa+可化为(14)(6)faf+，根据(

)fx的单调性，得146a+，解得54a，所以不等式(14)8fa+的解集为5,4−.