【文档说明】四川省遂宁中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，958.193 KB，由小赞的店铺上传

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四川省遂宁市遂宁中学2024-2025高二上开学考数学试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设252i1iiz+=++，则z=（）A.12i

−B.12i+C.2i−D.2i+【答案】B【解析】【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i2i2i2i2i112i1ii11ii1z+++−=====−++−+−，则12iz=+.

故选：B.2.sin70sin40sin50cos110−=（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.详解】sin50sin(

9040)cos40=−=；cos110cos(18070)cos70=−=−；原式sin70sin40cos40cos70+=()3cos7040cos302=−==.故选

：C3.函数()1ln(2)fxxx=−−的定义域为（）【A()1,2B.)1,2C.(1,2D.1,2【答案】B【解析】【分析】根据函数()fx的解析式，列出关于x的不等式组，求出解集即可．【详解】解：因为()1ln(2)fxxx=−−，则1020xx−−，解得12x

，所以所求函数的定义域为)1,2．故选：B4.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若//m，mn⊥，则n⊥B.若//m，⊥，则//mC.若//m，n⊥，则mn⊥

D.若//m，m⊥，则𝛼//𝛽【答案】C【解析】【分析】AB可举出反例，C选项，由线面垂直的定义得到结论；D选项，先得到线面垂直，结合面面垂直判定定理得到D错误.【详解】若//m，不妨设m在内的投影为m，则//mm，对于选项A：若//m，mn⊥，则nm⊥，结合

线面垂直判定定理可知，n不一定垂直，n可能与平行，也可能斜交，故A错误；对于选项B：若//m，⊥，此时m与可能相交、平行或m在上，故B错误；对于选项C：因为n⊥，m，则nm⊥，又m//m，从而mn⊥，故C正确；对于选项D：因为//m，m⊥，则m⊥，又m，

结合面面垂直判定定理可知，⊥，故D错误．故选：C.5.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为em，众数为om，平均值为x，则（）.A.eommx==B.eommx=C.eommxD.oem

mx【答案】D【解析】【分析】根据直方图，结合中位数、众数、平均数的定义求出对应值，比较大小即可.【详解】由图，得分从小到大，中位数为第15和16名的平均值，则565.52em+==，而众数为5om=，平均数612503621

1618205.9730x+++++++=，所以oemmx.故选：D6.已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos〈a＋b，a－b〉＝（）A.117B.1717C.55D.255【答案】B【解析】【详解】分析：利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得|a＋

b|，|a－b|，（a＋b）·（a－b），从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解．详解：因为a＝（3，1），b＝（2，2），所以a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，（a＋b）·（a－b）＝5×1＋3×（－1）＝2，所以cos〈

a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B.7.如图所示，在平行四边形ABCD中，1144AEABCFCD==，，G为EF的中点，则DG=（）A.1122ADAB−B.1122ABAD−C.3142ADAB−D.3142ABAD−【答案】B【解析】【分析】利用向量加减法的几何意义将DG转化为AB、A

D即可.详解】1122DGDEDF=+113()224DAAEDC=++113()248ADABAB=−++1122ABAD=−.故选：B8.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海

拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65

）（）A.931.010mB.931.210mC.931.410mD.931.610m【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN=−=(m)，所以增加的水量即为棱台的

体积V．棱台上底面积262140.014010S==kmm，下底面积262180.018010S==kmm，【∴()()661211914010180101401801033VhSSSS=++=++()()679933320

6071096182.65101.437101.410(m)=++=．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是偶函数又在()0,+上单调递增的函数是（）A.yx=B.1yx=+C.23yx=D.1yx=−【答案】BC【解析】【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可

求解【详解】对于A：()fxx=的定义域为R，且()()fxxfx−=−=−，所以()fxx=奇函数，故A错误；对于B：()1fxx=+的定义域为R，且()()11fxxxfx−=−+=+=，所以()1f

xx=+为偶函数，当()0,x+时()1fxx=+，由一次函数的性质可知，()1fxx=+在()0,+上单调递增，即()1fxx=+在()0,+上单调递增，故B正确；对于C：()2323fxxx==的定义域为R，且()()(

)2323fxxxfx−=−==，所以()23fxx=为偶函数，由幂函数性质可知，()23fxx=在()0,+上单调递增，故C正确；为的对于D：()1fxx=−的定义域为()(),00,−+，且()()11fxfxxx−=−==−

−，所以()1fxx=−为奇函数，故D错误；故选：BC10.我们知道，如果集合AS，那么S的子集A的补集为{|SAxxS=ð且}xA，类似地，对于集合A、B我们把集合{|xxA且}xB，叫做集合A和B的差集，记作AB−，例如：{1,2,3,4

,5}A=，{4,5,6,7,8}B=，则有{1,2,3}AB−=，{6,7,8}BA−=，下列解析正确的是（）A.已知{4,5,6,7,9}A=，{3,5,6,8,9}B=，则{3,7,8}BA−=B.如果AB−=，那么ABC.已知全集、集合A、集合B关系如

上图中所示，则UBAAB−=ðD.已知{|1Axx=−或3}x，{|24}Bxx=−，则{|2ABxx−=−或4}x【答案】BD【解析】【分析】根据集合新定义判断A、B，应用韦恩图确定BA−判断C，由UABAB−=

ð求集合判断D.【详解】A：由BA−={|xxB且}xA，故{3,8}BA−=，错误；B：由AB−={|xxA且}xB，则AB−=，故AB，正确；C：由韦恩图知：BA−如下图阴影部分，所以UBABA−=ð，错误；D：{|2UBxx=−ð或4}x，则{|2UA

BABxx−==−ð或4}x，正确.故选：BD11.如图，已知长方体1111ABCDABCD−中，四边形ABCD为正方形，2AB=，12AA=，E，F分别为AB，BC的中点.则（）A.1AEDF⊥B.点1A､E､F､1C四点共面

C.直线1CD与平面11BBCC所成角的正切值为2D.三棱锥1ECDF−的体积为22【答案】BCD【解析】【分析】利用反证法判断A；利用直线平行判断B；利用线面角的定义判断C；利用锥体体积公式判断D.【详解】对于A，假设1AED

F⊥，由题意知⊥BC平面11AABB，1AE平面11AABB，1AEBC⊥，又BCDFF=I，1AE⊥平面ABCD，由长方体性质知1AE与平面ABCD不垂直，故假设不成立，故A错误；对于B，连接EF，AC，11AC，由于E，F分别为AB，BC的中点，//EFAC，又因为

长方体1111ABCDABCD−，知11//ACAC，11//EFAC，所以点1A､E､F､1C四点共面，故B正确；对于C，由题意可知DC⊥平面11BBCC，1DCC为直线1CD与平面11BBCC所成角，在直角1DCC中，12CC=，2CD

=，则112tan22DCDCCCC===，故C正确；对于D，连接DE，1CE，2ABAD==，则DEFABCDADEBEFCDFSSSSS=−−−VWVVV1113222111122222=−−−=，利用等体积法知：111112223332ECDFCDE

FDEFVVSCC−−====V，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合|01Axx=，|03Bxx=，那么“mA”是“mB”的________条件（填“充分不

必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要"）.【答案】充分不必要【解析】【分析】根据集合的包含关系直接得到答案.【详解】|01Axx=，|03Bxx=，ABÜ，故“mA”是“mB”的充分不必要条件.故答案

为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的理解能力，转化为集合的包含关系是解题的关键.13.如果用半径为23R=的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________.【答案】3【解析】【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后

利用勾股定理求出圆锥的高.【详解】半径为23R=的半圆弧长为23，圆锥的底面圆的周长为23，圆锥的底面半径为：3，所以圆锥的高：()()222333−=，故答案为：3.14.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端

的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是______m.【答案】30【解析】【分析】作出图形，设柱CD的高度为h，结合三角函数得到ACh=，3BCh=，在ABCV中，由余弦定理得到方程，求出30h=，

得到答案.【详解】如图所示，设水柱CD的高度为h，在Rt△ACD中，∵45DAC=，∴ACh=，∵30BAE=，∴60CAB=，又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，30CBD=，∴3BCh=，在ABC

V中，由余弦定理可得2222cos60BCACABACAB=+−，∴()22213602602hhh=+−，即23018000hh+−=，解得30h=，∴水柱的高度是30m．故答案为：30四、解答题：本题共5小题，

共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）计算：132327log3log4lg2lg508−+++；（2）已知tan2=，求()3coscos2+−的值.【答案】（1）143（2）25−【解析】【分析】（1）根据指数

与对数的运算性质化简计算.（2）用诱导公式化简式子，再用22sincos1+=把式子转化成一个齐次式，在把分子分母同时除以2cos，就可得到关于tan的式子，代入tan2=即可得到答案.【详解】（1）11333232327log3log4lg2lg50=

log32loglg100=+2+23214+2+23=38−−+++.（2）()()2223sincostan2coscossincos25sincostan1−−+−=−===−++.16.文明城市是反映

城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40

,50)[50,60),,[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；（2）已知落在)50,60的平均成绩是56，方差是7，落在)60,70的平均成绩为65，

方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差2s．【答案】（1）0.030a=，第80百分位数为86，平均数为74；（2）62z=，223s=.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解；（2）由)50,60和)60,70组的平均数和方差即

可求得总平均数z和总方差2s.【小问1详解】∵每组小矩形的面积之和为1，∴(0.0050.0100.0200.0250.010)101a+++++?解得：0.030a=成绩落在[40,80)内的频率为(0.0050.0100.02

00.030)100.65+++=．落在[40,90)内的频率为(0.0050.0100.0200.0300.025)100.9++++=．设第80百分位数为m由0.65(80)0.0250.80m+−=，得86m=，故第80百分位数为86.设平均数为x，由图中数据可知：10

(450.005550.010650.020750.030850.025950.010)x=+++++2.255.51322.521.259.574=+++++=.【小问2详解】由图可知，成绩在[50,60)的市民人数

为1000.110=，成绩在[60,70)的市民人数为1000.220=．故10566520621020z+==+,222110(5662)10720(6562)204231020s=−++−+=+.所以两组市民成绩的总平均

数是62，总方差是23．17.如图，在正三棱柱111ABCABC−中，12ABAA==，D为棱BC的中点．（1）证明：1AC∥平面1ABD；（2）求点1A到平面1ABD的距离．【答案】（1）证明见解析（2）255【解析】【分析

】（1）由线面平行的判定定理证明（2）由等体积法求解【小问1详解】证明：连接1AB交1AB于O，连接OD，正三棱柱111ABCABC−中，易得O为1AB中点，又D为BC的中点，所以OD∥1AC，因为1AC平面1

ABD，OD平面1ABD，所以1AC∥平面1ABD；【小问2详解】因为1AC∥平面1ABD，所以C与1A到平面1ABD的距离相等，由题意得122AB=，15DB=，3AD=，因为22211ADDBAB+=，所以AD⊥DB1，所以11153522ADBS==，131322A

DCS==△，设C到平面ADB1的距离为h，则11CADBBACDVV−−=，所以1151323232h=，所以255h=，即点A1到平面AB1D的距离为255．18.在ABCV中，角,,ABC所对的边分别,,abc，已知()()1cos,sin,3,mABnab=+=且mn∥.（

1）求角A的大小；（2）若D是BC的中点，1AD=，求ABCV面积的最大值.【答案】（1）π3A=（2）33【解析】【分析】（1）根据向量共线坐标满足公式列出方程，结合正弦定理化简，即可得到结果；（2）由()12ADABAC=+，结合向量的模长公式，根据基本不等式以及三角形的面

积公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由()()1cos,sin,3,mABnab=+=且mn∥得：()1cos3sinAbaB+=，由正弦定理得()1cossin3sinsinABAB+=，()π0,π,sin0,1cos3sin,2sin1,6BBAAA+=−=

Q又()ππ5πππ0,π,,,66666AAA−−−=Q，即π3A=；【小问2详解】由()12ADABAC=+，得到()222124ADABACABAC=++，则2242cosbcbcBAC=++，化简得22442,3bcbcbcbc+=−，当且仅

当bc=时，等号成立，ABC面积11433sin22323SbcA==，即ABCV面积的最大值为33；19.某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t（单位：分钟）满足520t，Nt，经测算.该路无人驾驶公交车载客量()pt与发车时间间隔t满足：()()26010

,51060,1020ttptt−−=，其中Nt.（1）求()5p，并说明()5p的实际意义：（2）若该路公交车每分钟的净收益()62410ptyt+=−（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每

分钟的最大净收益.【答案】（1）()535p=；发车时间间隔为5分钟时，载客量为35（2）发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．【解析】【分析】（1）将5t=代入函数()ypt=的解析式，可计算出()5p，结合题意说明()5p的实际意义；（

2）求出函数()612410pyt+=−的解析式，分别求出该函数在区间)5,10和10,20上的最大值，比较大小后可得出结论.【小问1详解】()()256051035p=−−=，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时

，载客量为35；【小问2详解】()62410ptyt+=−，当510t?时，()2360610242162161011061102638tyttttt−−+=−=−+−=，当且仅当2166tt=，即6t=时，等号成立，所以，当6t=时，

y取得最大值38；当1020t时，660243841010ytt+=−=−，该函数在区间10,20上单调递减，则当10t=时，y取得最大值28.4．综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．