【文档说明】江苏省南京市江宁区2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.360 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年第二学期期末试卷高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.2022i的值为（）A.1B.－1C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】由41i=且202245052ii+=即可得结果.【详

解】由41i=，而202245052iii1==−.故选：B2.数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A.6B.6.5C.7D.5.5【答案】D【解析】【分析】由百分位数的求法求60百分位数

.【详解】由题设，1060%6=，故60百分位数为565.52+=.故选：D3.设12,ee为平面内一个基底，已知向量12ABeke=−，1242CBee=−，1233CDee=−，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A.2B.1C.－2D.－

1【答案】D【解析】【分析】根据点共线可得向量共线，根据向量共线定理，即可求解.【详解】12DBCBCDee=−=+,因为,,ABD三点共线,所以//ABDB,即存在,使得ABDB=,故()1212+=-1ekeee

−=故选：D4.已知圆锥的表面积等于212cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A.1cmB.2cmC.3cmD.32cm【答案】B【解析】【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，侧面展开图是一个半圆，22lrlr==，圆锥的表面积为12，2

2312,2rrlrr+===，故圆锥的底面半径为()2cm，故选B.考点：圆锥的几何性质及侧面积公式.5.设函数()25xfxx=+−在区间(k，k+1)(Zk)内有零点，则k的值为（）A.-1B.0C.1D.

2【答案】C【解析】【分析】根据判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点的区间，即可得结果.【详解】由解析式知：()fx在定义域上递增，又(1)21520f=+−=−，(2)42510f=+−=，所以()fx在(1,2)

内存在零点，结合题设知：1k=.故选：C6.已知1sin412−=，则5cos26+=（）A.158B.158−C.78D.78−【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式可得51cos()412+=−，再由二倍角余弦公式求5cos26+.【详

解】由51sin()cos[()1212]cos()2412−=−+−=−+=，即51cos()412+=−，又255cos22c71os()1628+=+−=−.故选：D7.《九章算术》把底面

为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑绪"111ABCABC-，其中ACBC⊥，11AAAC==，当“阳马”（即四棱锥11BAACC−）体

积为13时，则“堑堵”即三棱柱111ABCABC-的外接球的体积为（）A.3B.32C.3D.332【答案】B【解析】【分析】根据当“阳马”（即四棱锥11BAACC−）体积为13，求得BC，再将将三棱柱111ABCABC-补成长方体求解.【详解】解：由已知得11111133BAACCVB

C−==，∴1BC=．将三棱柱111ABCABC-置于长方体中，如下图所示，此时“堑堵”即三棱柱111ABCABC-的外接球的直径为22211113AB=++=，∴三棱柱111ABCABC-的外接球的体积为343332

2V==，故选：B8.在ABC中，9ABAC=uuuruuur，()sincossinACAC+=，6ABCS=，P为线段AB上的动点，且CACBCPxyCACB=+，则21xy+的最小值为（）A.11663+B.116C.116123+D

.1112【答案】C【解析】【分析】设,ABcACb==，根据题意可得cos9cos1sin62bcAbcAbcA===，解方程组，然后结合,,APB三点共线，可得134xy+=，则212134xyxyxy+=++化简后利用基本不等式可求得结果【详解

】设,ABcACb==，根据题意可得cos9cos1sin62bcAbcAbcA===，解得35bc==，43sin,cos55AA==所以4CBa==，所以34CACBxyCPxyCACBCACB=+=+

，因,,APB三点共线，所以134xy+=，所以212134xyxyxy+=++111232xyyx=++1111621232123xyyx+=+，为当且仅当13432xyxyyx+==，即6(46)54(263)5xy−=−=时取等号

，所以21xy+的最小值为116123+，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是由已知条件求出,,abc后，再由,,APB三点共线，得134xy

+=，所以212134xyxyxy+=++化简后结合基本不等式可求出其最小值，考查运算能力，属于较难题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列有关复数的说法正确的是（）A.若复数zz=，则RzB.若0zz+=，则z是纯虚数C.若z是复数，则一定有22zz=D.若12,Czz，则1212zzzz=【答案】AD【解

析】【分析】A由共轭复数概念及复数相等判断；B、C应用特殊值法，令0zz==及1iz=+判断；D设1i(,R)zabab=+，2i(,R)zmnmn=+，利用共轭复数概念及复数乘法分别求出1212,zzzz判断.【详解】A：令i(,R)zabab=+，则izab=−，

若zz=，即有0b=，故Rz，正确；B：当0zz==时，0zz+=，而z不是纯虚数，错误；C：当1iz=+，则22z=，而22iz=，显然22zz=不成立，错误；D：令1i(,R)zabab=+，2i(,R)zmnmn=+，则12()izzmanbmbna=−++，故12()iz

zmanbmbna=−−+，又1izab=−，2izmn=−，则12()izzmanbmbna=−−+，所以1212zzzz=，正确.故选：AD10.已知,是不同的平面，,mn是不同的直线，则使得//mn成立的充分条件是

（）A.//,//mnB.//,,mmn=C.,mn⊥⊥D.//,,//mn【答案】BC【解析】【分析】利用线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定和性质判断即可【详解】解：对于A，当//,//mn时，,mn可能相交，可能平行，可能异面，所以A错误，

对于B，当//,,mmn=时，由线面平行的性质可得//mn，所以B正确，对于C，当,mn⊥⊥时，由线面垂直的性质可得//mn，所以C正确，对于D，当//,,//mn时，,mn可能平行，可能异面或相交，所以D错误，故选：BC11.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

c，已知45,2Ac==，下列说法正确的是（）A.若3,aABC=有两解B.若3,aABC=有两解C.若ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,22)D.若ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)【答案】AC【解析】【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有

几个解所要满足的条件，即sincAac，ABC有两解，ac或sinacA=，ABC有一解，sinacA，ABC有0解，根据直角三角形的情况，便可得出ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A

选项，∵sincAac，∴ABC有两解，故A正确；B选项，∵ac，∴ABC有一解，故B错误；C选项，∵ABC为锐角三角形，∴coscosccAbcA，即222b，故C正确；D选项，∵ABC为钝角三角形，∴0co

sbcA或coscbcA，即02b或22b，故D错误.故选：AC12.已知点O为ABC所在平面内一点，且2340OAOBOC++=则下列选项正确的有（）A.1439AOABAC=+B.直线AO过BC边的中点C.:2:1AOBBOCSS

=△△D.若||||||1OAOBOC===，则316OCAB=−【答案】ACD【解析】【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若2,3,4ODOAOEOBOFOC===得到O是△DEF的重心，根据EF与BC不平行、相关三角形面积关系判断B、C.【详

解】23()4()9340OAOAABOAACOAABAC++++=++=，则1439AOABAC=+，A正确；若2,3,4ODOAOEOBOFOC===，则0ODOEOF++=，所以O是△DEF的重

心，直线AO过EF中点，而EF与BC不平行，所以直线AO不过BC边的中点，B错误；又DOEEOFDOFSSS==，而6DOEAOBSS=，12EOFBOCSS=，所以:2:1AOBBOCSS=△△，C正确

；若||||||1OAOBOC===，且222216(23)4129OCOAOBOAOAOBOB=+=++，所以14OAOB=，而22113()()(24)463123OCABOAOAOBOAOOBAOBOB++=−==−−，D正确.故选：ACD【点睛】关键点

点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20分．13.tan15=___________

.【答案】23−##32−+【解析】【分析】利用正切的差角公式进行求解.【详解】()31tan45tan303312633tan15tan4530231tan45tan30633313−−−−=−=====−+++故答案为：2

3−14.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1中点，则直线PB与AD1所成的角为____【答案】6##30【解析】【分析】根据正方体性质有11//ADBC，则直线PB与AD1所成的角为1PBC，进而计算其正弦值得大小.【详解】由11//

ADBC，连接1PC，故直线PB与AD1所成的角为1[0,]2PBC，若正方体棱长为2，则1122,2,6BCPCPB===，的所以22211PCPBBC+=，故1PCPB⊥，则1111sin2PCPBCBC==，故16PBC=.故答案为：615.在平

面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为____【答案】17【解析】【分析】根据A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，得到()()1,1,2,3ABAC==−，然后利用向量的加法和减法运算法则求解

.【详解】解：因为A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，所以()()1,1,2,3ABAC==−，所以()()3,2,1,4ABACABAC+=−−=−，则()()22223213,1417ABACABAC+=+−=−=−+=，所以以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长

的对角线长为17，故答案为：1716.我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即2222221[()]42cabSca+−=−(其中S为

三角形面积，a，b，c为三角形的三边)．在非直角ABC中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若3a=且()cos3cosacBC=+，则ABC面积的最大值是________，此时ABC外接圆的半径为____【答案】①.934②.3【

解析】【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质计算可得面积最大值，从而求出c，再由余弦定理求出A，最后由正弦定理求出外接圆的半径．【详解】解：因为(cos3cos)=+acBC，由正弦定理得sin

sin(cos3cos)sin()ACBCBC=+=+，所以sincos3sincossincossincosCBCCBCCB+=+，即3sincossincosCCBC=，因为cos0C，所以3sinsinCB=，由正弦定理得3bc=，由题意可得42222222

22221131[()]947281424294cabccScaccc+−+−=−=−=−+−()221492434c=−−+，当29c=即3c=时三角形ABC的面积最大，最大值为max934S=，所以33b=，又3a=，所以2222799

3cos222333bcaAbc+−+−===，又()0,A，所以6A=，设ABC外接圆的半径为R，则3261sin2aRA===，所以3R=；故答案为：934；3．四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数113iz=−，2iza=+，aR，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知12zz为“理想复数”．（1）求实数a；（2）定义复数的一种运算“”：121221212121,,zzzzzz

zzzzzz+=+，求12zz．【答案】（1）2（2）47i55−【解析】【分析】（1）根据1213i,izza=−=+，由12zz是“理想复数求解；（2）由（1）知1210,5zz==，再由12122121

2121,,zzzzzzzzzzzz+=+求解.【小问1详解】解：由题得1213i,izza=−=+，()()()1213ii313izzaaa=−+=++−，12zz是“理想复数”，()()3130aa++−=，2a=；【小问2

详解】由（1）知1213i,2izz=−=+，所以1210,5zz==，由12105zz==，得21112221+==+zzzzzzz，()()13i2i13i711i2i5545−−−=+=+=−+.18.社会的进步与发展，关

键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在40,100内，将笔试成绩按照)40,50、)50,60、L、90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．（

1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．【答案】（1）0.020a=（2）众数为75，平

均数为74.5（3）65【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得a的值；（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得

应聘者笔试成绩的平均数；（3）计算出25%百分位数，可得结果.【小问1详解】解：由题意有()0.0050.0100.0300.015101aa+++++=，解得0.020a=.【小问2详解】解：应聘者笔试成绩的众数为7080752+=，应聘者笔试成绩的平均数为450.05550.16

50.2750.3850.2950.1574.5+++++=．【小问3详解】解：1500.75200=，所以，面试成绩的最低分为25%百分位数，前两个矩形面积之和为0.050.10.15+=，前三个矩形的面积之和为0.150.20.35+=，设2

5%百分位数为m，则()0.15600.020.25m+−=，解得65m=.因此，若计划面试150人，估计参加面试的最低分数线为65.19.已知,为锐角，10tan2,sin()10=−=．（1）求cos2的值；（2）求的值．【答案】（1）35-（2）4=【解析】【分析】（1）

根据tan2=，由22cos2cossin=−，再利用商数关系的齐次运算求解；（2）由tantan()tantan[()]1tantan()−−=−−=+−求解.【小问1详解】解：因为tan2=，所以22cos2cossin

=−，2222cossincossin−=+，221tan31tan5−==−+．【小问2详解】因,为锐角，则22−−，而10sin()10−=，则2310cos()1sin()10−=−

−=，所以1tan()3−=，所以12tantan()3tantan[()]111tantan()123−−−=−−===+−+，∴4=.20.在ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，()()2,cos,,cosmbcCnaA=+=−，且

m∥n，23a=.（1）求A角大小.（2）D为BC边上一点，1AD=，且__________，求ABC面积.（从①AD为BAC平分线，②D为BC的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果

都选，以选①计分.）【答案】（1）23A=（2）3【解析】【分析】（1）根据向量的平行关系得到等式，再运用正弦定理及正弦的两角和公式化简即可求解；（2）若选①，运用面积公式及余弦定理可求解；选②，根据向量关系及余

弦定理即可求解.【小问1详解】()//,2coscosmnbcAaC+=−由正弦定理得：()2sinsincossincosBCAAC+=−2sincossincossincos0BACAAC++=()2sincossin0BAAC++=2sincossin0BAB+

=()sin2cos10BA+=sin0B，1cos2A=−()20,,3AA=【小问2详解】选①：由AD平分BAC得：ABCABDACDSSS=+111sin1201sin601sin60222bccb=+，所以bcbc=+，（1

）在ABC中，由余弦定理得：2222cos120,23abcbca=+−=所以2212bcbc++=，（2）的的（1）（2）联立得2212bcbcbcbc=+++=解得2()120bcbc−−=，解得

4bc=，所以113sin12043222ABCSbc===，选②：()12ADABAC=+，()222211()244ADABACABABACAC=+=++()22112cos1204cbcb=++，得224bcbc+−=（1）ABC中，由

余弦定理得2222cos120,23abcbca=+−=所以2212bcbc++=，（2）（2）-（1）即可得4bc=，113sin12043222ABCSbc===.21.如图，三棱锥ABCD−中，ABC为等边三角形，且面ABC⊥

面BCD，CDBC⊥．（1）求证：CDAB⊥；（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角CADB−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】(1)根据给定条件证得CD⊥平面ABC即可推理作答

.(2)由AD与平面BCD所成角确定正ABC边长与CD长的关系，再作出二面角CADB−−的平面角，借助余弦定理计算作答.【小问1详解】在三棱锥ABCD−中，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC平面BCDBC=，而CDBC⊥，CD平面BCD，因此

有CD⊥平面ABC，又有AB平面ABC，所以CDAB⊥.【小问2详解】取BC中点F，连接AF，DF，如图，因ABC为等边三角形，则AFBC⊥，而平面ABC⊥平面BCD，平面ABC平面BCDBC=，AF平面ABC，于是得AF⊥平面BCD，ADF是AD与平面BCD所成角，即

45ADF=，令2BC=，则3DFAF==，因CDBC⊥，即有2DC=，由(1)知，DCAC⊥，则有6ADBD==，过C作COAD⊥交AD于O，在平面ABD内过O作OEAD⊥交BD于E，连CE，从而得COE是二面角CADB−−的平面角，RtACD△中，23ACCDCOA

D==，222226(2)()33ODCDCO=−=−=，ABD△中，由余弦定理得222222(6)(6)22cos23266ADBDABEDOADBD+−+−===，6cos2ODDEEDO==，22306OEDEOD=−=，显然E是RtBCD斜边中点，则1

622CEBD==，COE中，由余弦定理得2222222306()()()623cos2230263COEOCECOECOEO+−+−==1010=，所以二面角CADB−−的余弦值1010.22.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b

，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，CPBP=BQABQCAC=＝2，∠CAQ＝3．（1）求AQ的长；（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设AMxAB=，ANyAC=

（xy≠0），求x+y的最小值．【答案】（1）477；（2）3226+.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得BQQC＝sinsinABBAQACCAQ，结合已知有sin∠BAQ＝sin∠CAQ，进而求得∠BAQ＝3，在△ABC、△AB

Q和△ACQ中应用余弦定理求AQ长；（2）设NE＝ME−，λ≠0，根据向量加减的几何意义可得AP＝2133ABAC+、AP＝2211xyAB+++AC，进而可得11136xy+=，应用基本不等式“1”的代换求x+y的最小值．【小问1详解】在△ABQ与AQC中，s

inBQBAQ＝sinABAQB和sinCQCAQ＝sinACAQC，两式相除得：BQQC＝sinsinABBAQACCAQ，又CPBP＝BQQC＝ABAC＝2，所以sin∠BAQ＝sin∠CAQ，的因为∠CAQ＝3，∠BAQ∈(0,23)，所以∠BA

Q＝3或23（舍），由CP＝2BP，AB＝2AC，a＝6，在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC，可得b2＝367，在△ABQ和△ACQ中,2222222.cos{2.cosACAQQCAQQCAQCABAQQBAQQBAQB=+−=+−，可得AQ2＝2b

2－8＝2×367－8＝167，所以AQ＝477.【小问2详解】因为CPBP＝2，所以CP＝2BP，则CP＝－2BP，故AP－AC＝－2(APAB−)，则AP＝2133ABAC+，同理：设NE＝ME−，

λ≠0，得AE＝1AM++11AN+，因为E为AP中点，所以AP＝21AM++21AN+＝2211xyAB+++AC，所以22132113xy=+=+，可得：1131116xy

=+=+，则11136xy+=，113636361112()()22223yxyxxyxyxyxyxy+++=+=++=+，当且仅当：36yxyx=时取等号，即2212,66xy++==，所以xy+的最小值3

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