【文档说明】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题+含解析.docx，共(15)页，855.203 KB，由小赞的店铺上传

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2023年湖北省高三9月起点考试高三数学试卷命题学校：孝昌一中命题老师：柯海清杨胜辉审题学校：汉川一中考试时间：2023年9月5日下午15：00—17：00试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数z满足()12izi+=−，则z的虚部为（）A.12B.12−C.32

D.32−2.已知集合²54|0Axxx=−+，集合12BxZx=−，则集合()CRAB的元素个数为（）A.1B.2C.3D.43.设等差数列na的前n项的和为nS，满足3527aa−=，2712aS+=，则nS的最大值为（）A.14B.16C.18D.204.已知()()

422xayxy+−的所有项的系数和为3，则23xy的系数为（）A.80B.40C.80−D.40−5.已知圆O的直径4AB=，动点M满足2MAMB=，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（）A.823B.423C.223D.226.设函数()221,0ln,0xxxfx

xx++=，则函数()()11yffx=−−的零点个数为（）A.4B.5C.6D.77.已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（）A.40B.36C

.56D.488.已知sin5a=，2eb=，ln2c=，则a，b，c的大小关系为（）A.acbB.abcC.cabD.cba二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分

，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若直线()110axy−+−=与直线220xay+−=平行，则2a=或1−B.数据1、5、8、2、7、3的第60%分位数为5C.设随机变量X～112,2B，则()PXk=最大时，6k=

D.在ABC△中，若coscosaAbB=，则ABC△为等腰三角形10.已知函数()23sincos3cos2fxxxx=+−，则（）A.点03,为()yfx=的一个对称中心B.函数()yfx=在区间,24−−上单调递增C.函数()2yfx=

在区间0,4上的值域为1,2D.若函数()yfx=在区间0,a上只有一条对称轴和一个对称中心，则7312a11.在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M，N，P分别为AB，1AA，11AD的中点，则（）A.PN∥平面11ABC

B.点B到平面PMN的距离为63C.1DN、DA、CM相交于一点D.平面PMN与正方体的截面的周长为6212.已知双曲线2212yx−=的左右顶点为1A，2A，左右焦点为1F，2F，直线l与双曲线的左

右两支分别交于P，Q两点，则（）A.若123FPF=，则12PFF△的面积为23B.存在弦PQ的中点为()1,1，此时直线l的方程为210xy−−=C.若1PA的斜率的范围为8,4−−，则2PA的斜率的范围为11,24−−D.直线l与双曲线的两

条渐近线分别交于M，N两点，则PMNQ=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.若向量()1,ak=，()2,1b=−，且22abab+=−，则ab+与b的夹角为______.14.一家

物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费1y（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费2y（单位：万元）与x成正比.若在距离车站10km处建立仓库，则1y与2y分别为4万元和16

万元.则当两项费用之和最小时x=______（单位：km）.15.已知直线1ykx=−是曲线lnyxx=+与抛物线()²223yaxax=+−−的公切线，则a=______.16.在ABC△中，10ABAC==，2BC=，将ABC△绕着边BC逆时针旋转23后得到DBC△，则三棱

锥DABC−的外接球的表面积为______.四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列an的首项134a=，满足()121nnnaanNa++=+.（1）求证：数列11na−为等比数列；（2）记数列

1na的前n项的和为Tn，求满足条件100nT的最大正整数n.18.（12分）已知a，b，c为ABC△的三个内角A，B，C的对边，且满足：cos3sin0aBaBbc+−−=（1）求角A；（2）若ABC△的外接圆半径为233，求ABC△的周

长的最大值.19.（12分）如图所示，在三棱柱ADFBCE−中，侧面ABCD是边长为2的菱形，3ABC=；侧面ABEF为矩形，4AF=，且平面ABCD⊥平面ABEF.（1）求证：BDCF⊥；（2）设M是线段AF上的动点，试确定点M的位置，使二面角MBCD−−的余弦值为217.20.（12分）

为了研究吸烟是否与患肺癌有关，某研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示：吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者251035吸烟者155065合计4060100（1）依据小概率0.001=的独立性检验，分析吸烟是否会

增加患肺癌的风险；（2）从这100人中采用分层抽样，按照是否患肺癌抽取5人，再从这5人中随机抽2人，记这2人中不患肺癌的人数为X，求X的分布列和均值；（3）某药厂研制出一种新药，声称对治疗肺癌的有效率为90%.现随机选择了10名

肺癌患者，经过使用药物治疗后，治愈的人数不超过7人.请问你是否怀疑该药厂的宣传，请说明理由.参考公式和数据：（1）()()()()()22nadbcxabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++；且0.00110.828x=.（2）80.90.430；概率低于0.08的事件称为小概率

事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的.21.（12分）已知函数()2112ln22fxaxxx=−−−（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()0fx在其定义域内恒成立，求a的范围.22.（12分）已知椭圆()2222:10xyEabab+=的离心率22e=，且经过点()2

,1−.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线:lykxm=+与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形OAMB为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形OAMB的面积；若不是定值，请说明理由.2023年湖北省高三9月

起点考试高三数学答案题号123456789101112答案CBBDACDABCACACDACD填空题：13.414.515.2−16.29291.由于21313122iiizzi−−+===+，则z的虚部为32，故选C。2.由于集合4Axx=或1x，集合

131,0,1,2,3BxZx=−=−，从而()()1,41,0,1,2,32,3RCAB=−=，故元素个数为2，故选B。3.设na的首项为1a，公差为d，则()()1117224adad

a=+−+=，又()()111721127adada+++==，2d=−，则()72192014nannn=−−=−，从而数列得前4项为正，其余项为负，故nS的最大值为416S=，故选B。4.

由已知可得：()231aa+==，所以()()()()432223222322440xyxyxyxyxyxy+−=+−++=−+则23xy的系数为40−，故选D。5.明显，圆O的半径为2，其方程为：2

24xy+=①可设()2,0A−，()2,0B，动点(),Mxy由2MAMB=，从而有()()2222222xyxy++=++化简得：221240xyx+−+=②由−①②可得相交弦的方程为：23x=带入式①可求出423y=，故相交弦长为823，故选A。6.令()1tfx=−，

则亦有()1ft=，可求出2t=−或0或e从而有()11fxt=+=−或1或1e+，从而相应方程的根的个数分别为1或3或2，故函数()()11yffx=−−的零点个数为6，故选C。7.设这5个人分别为：ABCDE，则要求B与C和D与E的演讲顺序都不能相邻。第

一类：A在BC中间，此时再把D与E插空到这3人中间，此时的不同的演讲顺序有222424AA=第二类：A不在BC中间，此时先考虑B与C和D与E，他们的顺序应相间排列，最后考虑A，此时的不同的演讲顺序有2221222324AAAA=综上可得：总共有48种不同的演讲顺序，故选D。8

.对于a，由sin02xxx，则sin0.6355，故0.63a；对于b，2.561.60.8222eb===，故0.8b；对于c，由于223337.3982ee==，则23

2e，从而可得2ln20.673同理，3344420.08162ee==，则342e，从而可得3ln20.754=所以有0.67ln20.75c=综上有：acb故选A。9.对于A，由两直线平行可得：()122aa

a−==或1−又2a=时，两直线重合，舍去：经检验1a=−符合题意，故A错误。对于B，这6个数据按从小到大排序为：123578，由660%3.6=，则这组数据第60%分位数为第4个数，即为5，故B正确。对于C，由()11136.52np+=

=，从而6k=时()PXk=最大，故C正确。对于D，由coscosaAbB=，可得sincossincosAABB=，()()sin2sin2AB=，又02A、22B，则有22AB=或22AB+

=，AB=或2AB+=，故ABC△为等腰三角形或直角三角形，故D不正确。10.明显()()()133sin21cos2sin22223fxxxx=++−=+对于A明显成立，故A正

确对于B令23tx=+，由,24x−−则2,36t−−，明显：2,32t−−即5,212x−−时()yfx=递减，故B不正确对于C由23tx=+，及0,

4x则51,sin,1362tt，则()2yfx=在区间0,4上的值域为1,2，故C正确对于D由23tx=+，及0,xa，则,233ta+由题意可知：3232a+从而得：7312a

，故D不正确11.对于A明显有1PNBC∥又1BC平面11ABC，PNÚ生平面11ABC从而PN∥平面11ABC成立，故A正确对于B由等体积法：BPMNPBMNVV−−=，明显有：BMN△的面积为112S=

，点P到BMN△的距离为11d=，又在PMN△中，2PNMN==，6PM=，可求出PMN△的面积为232S=，从而可得：2231113123233dd==，故B不正确对于C由于1MNCD∥，则1

DN，CM相交于一点G，从而有GCM平面ABCD，1GDN平面11AADD则可得G平面ABCD平面11AADDAD=，即GAD所以有1DN，DA，CM相交于一点G，故C正确对于D平面PMN与正方体的截面为边长为2正六边形PNMEFH，（点E，F，H分别为BC，1C

C，11CD的中点）则其周长为62，故D正确12.在双曲线2212xy−=中，1a=，2b=，3c=且()11,0A−，()21,0A，()13,0F−，()23,0F对于A设1PFm=，2PFn=，由双曲线定义得：2mn−=，两边平方可得：2224mnmn+−=①在12PF

F△中，由余弦定理可得：()2222cos233mnmn+−=2212mnmn+−=②联立①②可得：8mn=故12PFP△的面积为113sin8232322mn==，故A正确对于B由中点弦公式：202021211bykax===，此时直线l的方程为21yx=−带入双曲线的方

程消去y可得：22430xx−+=，此时80=−△，此时直线与双曲线无公共点，说明此时直线不存在，故B不正确对于C设(),Pmn，则()22221211nmnm−==−又直线1PA与2PA的斜率的乘积()221222212

1111mnnnkkmmmm−====+−−−由于184k−−，从而可得：211,24k−−，故C正确对于D设直线:lykxm=+带入()222yx−=※（说明：1=时（※）式表示双曲线;0=时（※）式表示双曲线的两条渐近线）

得()2222220kxkmxm−+++=，应满足：()220k−，且0△且明显有：12222kmxxk+=−（与无关）这说明线段PQ的中点与线段MN的中点重合，故有PMNQ=成立，故D正确。13.由于22ababab+=−⊥，从而022abkk==−=，则()

3,1ab+=，又()2,1b=−，则ab+与b的夹角的余弦值为52cos2105==，则ab+与b的夹角为4。14.由已知可设：11kyx=，22ykx=，且这两个函数分别过()10,4，()10,16

，得110440k==，2168105k==，从而140yx=，()2805xyx=，故1240840821655xxyyxx+=+=，4085xx=即5x=时等号成立。15.先考虑1ykx=−与lnyxx=+相切，设切点的横坐标为0x，由lnyxx=+，则11yx

=+，由相切的性质可得：①0001lnkxxx−=+及②011kx=+由②知：001kxx=+带入①可求出：0ln0x=，从而有012xk==再考虑21yx=−与()2223yaxax=+−−相切联立方程，消去y，可得：22202axaxa−−==−（0a=舍去）。16.如图所示，

取BC的中点E，连接AE，DE，则明显有23AED=，由于ABC△与BCD△的外心G与F分别在AE与DE上，则三棱锥DABC−的外接球的球心O在过点G且与平面ABC垂直的直线上。由对称性可知：3OEG=，易求出3AE=，设AGCGx==，则3GEx=−在RtCEG△中，

有()225133xxx=+−=，则53AG=，43EG=，又在RtOEG△中，4333OEGOG==，从而在RtOAG△中，22248257399ROGAG+=+==，所以三棱锥DABC−的外接球的表面积229249SR==.17.解：（1）由于211nn

naaa+=+，111221nnaa=++，即()1112111nnanaN+−=−+…（3分）又11113a−=，所以数列11na−是首项为13，公比为的12等比数列…（5分）②由（1）可知：11111111113

232nnnnaa−−−==+…（6分）则21132nnTn=+−，且nT关于n是递增的…（8分）又99100T，100100T，所以满足条件的最大正整数99n=…（10分）18.解：（1）由已知可得

：sinco3sinsinsinsinAsBABBC+=+()sinsinsinsincossincosBABBABBA++=+…（2分）由于sin0B，则有113sincos2sinsin662AAAA=−=−−=…（4分）又0A，则有5666

A−−，所以有663AA−==…（6分）（2）由正弦定理可知：432sin3aRA==，则由23Aa==…（7分）又有余弦定理可知：222222cos4abcbcAbcbc=+−=+−…（8分）由于222bcbc+，则有2242bcbc

bcbcbc=+−−=，即4bc…（9分）又()22243bcbcbcbc=+−=+−，即()24343416bcbc+=++=从而4bc+（当2bc==等号成立）…（11分）则6abc++，故ABC△的周长

的最大值为6…（12分）19.（1）证明：连接AC，在矩形ABEF中，明显有：AFAB⊥又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB=从而可得：AF⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，从而可得：AFBD⊥…（3分）又在菱形ABCD中ACBD⊥且ACAFA

=则BD⊥平面ACF又CF平面ACF则BDCF⊥…（5分）（2）如图，建立空间直角坐标系，设()()0,0,04Mtt，且()2,0,0B，()1,0,3C，则()2,0,3BC=−，()2,0,BMt=−…（7分）设(),,mxyz=是平面MBC的一个法向量，由023mBCx

z==−+及02mBMxtz==−+故可取()3,,23mtt=…（9分）又明显，平面BCD的一个法向量为()0,0,1n=…（10分）由已知有22123cos,27124mntt===+…（11分）所

以点M为AF的中点，使二面角MBCD−−的余弦值为217…（12分）20.解：（1）零假设为0H：吸烟与患肺癌之间无关.…（1分）根据列联表中的数据，计算可得：()221002550151040603565x−=605022.16110.828273=…（3分）依据

小概率0.001=的独立性检验，认为0H不成立，即吸烟会增加患肺癌的风险…（4分）（2）由已知可得：抽取的5人中，不患肺癌的有2人，患肺癌的有3人。明显：X的所有可能取值为：0，1，2，…（5分）且()23253010CPX

C===，()112325315CCPXC===，()22251210CPXC===故X的分布列为：X012P31035110…（7分）X的均值为()3314012105105EX=++=…（8分）（3）随机选取1

0个病人，治愈人数不超过于7人的概率为：8829910101010.90.10.90.10.9PCC=−−−1450.4300.01100.4300.90.10.4300.81=−−−0.07120.08=从而该事件称

为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的，所以可以怀疑该药厂是虚假宣传…（12分）21.（1）()()21022axxxfxaxxx−−=−=−…（1分）当0a时，()0fx恒成立，此时()fx的递

减区间是()0,+，无递增区间…（2分）当0a时，考虑220axx−−=，明显180a=+，且122xxa=−，则220axx−−=有一正一负两个根，取正跟01182axa++=且当11802axa++时，()0fx当1182axa++时，()0fx此

时()fx的递减区间是1180,2aa++，递增区间为118,2aa+++…（4分）综上可得：当0a时，()fx的递减区间是()0+,，无递增区间；当0a时，()fx的递减区间是1180,2aa++，递增区间为118,2aa++

+…（5分）（2）当0a时，()fx在()0+,递减，且()3102af−=不符合题意…（6分）当0a时，由（1）可知：只需()()20000min112ln022fxfxxxx==−−−…（7分）又由于

220000202axxaxx−−==+…（8分）则只需()00000min2112ln2ln0222xxfxxxx+−=−−−=−…（9分）考虑()12ln2xgxx−=−，明显：()gx在()0,+递减且()10g=，从而可得：001x…（10分）考虑(

)22hxaxx=−−，由0a及（1）可知：()220hxaxx=−−=有一正一负两个根又()020h=−，要使001x成立，则必有()1303haa=−综上所述：使函数()0fx在其定义域内恒成立

的a的范围为)3,+…（12分）（其他解法可酌情给分）22.（1）由已知可得：22ca=，22211ab+=，222abc=+可得：2a=，2bc==，椭圆E的方程为22142xy+=…（4分）（2）四边形OAMB的面积为定值6，理

由如下：将ykxm=+带入22142xy+=可得：()222214240kxkmxm+++−=设()11,Axy，()22,Bxy则122421kmxxk+=−+，21222421mxxk−=−+且()121222221myykxxmk+=++

=+…（6分）由于四边形OAMB为平行四边形，则OMOAOB=+，则点2242,2121kmmMkk−++，带入椭圆E的方程，化简可得：22221mk=+…（8分）此时()()()()222244212412210kmkmk=−+−=+恒成立由于点O到直线A

B的距离为21mdk=+而()2222212122242414142121kmmABkxxxxkkk−=++−=+−−++又由22221mk=+可得2223121ABkk=++…（10分）从而223221OAMBAO

BmSSABdk===+△又()2222212126212OAMBmmSkm===+获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com