【文档说明】四川省绵阳市三台中学校2023-2024学年高三上学期第二学月测试理科数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.373 MB，由小赞的店铺上传

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秘密★启用前【考试时间：2023年10月11日下午14:40-16:40】高中2021级高三第二学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己

的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题

卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知

集合|11Mxx=−，{|0}1xNxx=−，则MN=（）A.|01xxB.1|0xxC.|0xxD.|10xx−【答案】A【解析】【分析】解分式不等式化简集合N，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为

{|0}{01}1xNxxx==−，|11Mxx=−，所以{|01}MNxx=.故选：A．2.执行如图所示程序框图，则输出的n为（）的A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根据循环的功能，一一循环验

证，直至180S，终止循环，输出结果.【详解】解：因为0S=，1n=，第一次执行循环体，得10313S=+=，112n=+=；第二次执行循环体，得233212S=+=，213n=+=；第三次执行循环体，得3123345S=+=，314n=+=；第四次执行循环

体，得44534192180S=+=，415n=+=，则输出5n=．故选：B．3.已知正数,xy满足12xy+=，则12xy+的最小值为（）A.5B.92C.4D.72【答案】B【解析】【分析】首先12xy+乘以2xy+，然后根据基本不等式求解；【详解】

因为12xy+=，则2155922222xyxyxyyxyxxy+=++++=，当且仅当yxxy=，即23xy==时取等号,故选：B．4.若四边形ABCD是边长为2的菱形，60BAD=，,EF分别为,BCCD的

中点，则AEEF=（）A.12−B.12C.32−D.32【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算和数量积运算解答.【详解】因为四边形ABCD是边长为2的菱形，60BAD=，所以=22cos602ABAD=.所以11=()

22AEEFABADBD+11=()()22ABADADAB+−22111=()222ABADABAD−+111(244)222=−+12=−故选：A5.已知函数sin24()exxxfx+=的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法求解，

先判断函数的奇偶性，再取特殊值根据函数图象的变化趋势判断【详解】定义域为R，因为sin(2)(4)sin24()()eexxxxxxfxfx−−+−+−==−=−，所以()fx为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以排除CD，当1x=，sin24(1)(1,2)e

f+=，当x→+时，ex的增加幅度远大于sin24xx+的变化幅度，则x→+时，()0fx→，所以排除B，故选：A6.已知实数a，b满足22loglog0ab，则下列各项中一定成立的是（）A.abB.sin2sin2abC.logelogeabD.baab【答案

】D【解析】【分析】由22loglog0ab，可得01ab，根据不等式的性质即可判断A；根据正弦函数的单调性即可判断B；根据对数函数的单调性及换底公式即可判断C；根据指数函数及幂函数的单调性即可判断D.【详解

】因为22loglog0ab，所以01ab，则ab，故A错误；当π11,412ab==时，π1122π26ab==，所以sin2sin2ab，故B错误；因为01ab，所以lnln0ab，所以1

1lnlnab，即loge>logeab，故C错误；因为01ab，所以,bbbaabbb，即baab，故D正确.故选：D.7.某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000名初始用户，经过t天后，用户人数()ektptm，其中k和m

均为常数．已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过2万名至少经过的天数为（）（天数按整数算，取lg20.30=）.A.20B.21C.22D.23【答案】C【解析】【分析】根据题中条件求得参数，继而

列出不等式，结合对数的运算，即可求得答案.【详解】由题意知，当0=t时，()01000pm==，又因为小程序发布经过10天后有4000名用户，所以()1010101000e4000,e4,10ln4kkpk====，令()1000e20000,e20,ln20ktktptkt=

，所以()422ln20,10log205log2052log510ln4tt==+1lg25221.6lg2−=+，故用户超过2万名至少经过的天数为22，故选：C8.已知等比数

列na的前n项和为nS，若3616SS=，则93SS=（）A.12B.36C.31D.33【答案】C【解析】【分析】由等比数列的分段和性质列方程即可解得.【详解】因为等比数列na的前n项和为nS，且3616SS=，所以

不妨设()3,0Smm=则66Sm=.由分段后性质可知：36396,,SSSSS−−构成等比数列.由()()263396SSSSS−=−，即()()2955mmSm=−，解得：931Sm=.所以9331SS=.故选：C9.“1a”是“函数()2

1lg2fxxax=−+在()1,+上单调递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据函数()21lg2fxxax=−+在()1,+上单调递增求出a的取值范围，再判断充分性与必要性即可.【详

解】因为函数()21lg2fxxax=−+在()1,+上单调递增，所以()1,x+时2102xax−+恒成立且212yxax=−+在()1,+上单调递增，所以13212102aaa

−+，则1a是“函数()21lg2fxxax=−+在()1,+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A10.若偶函数()fx在()0+，上单调递减，且()20f=，则不等式()()03fxfxx+−的解集为

（）A.()22−，B.()()202−+，，C.()()22−−+，，D.()()202−−，，【答案】B【解析】【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为()203fxx，由函数()fx在()0+，上单调递减，

且()20f=，求出()fx在()0−，上单调递增，且()20f−=，分0x与0x两种情况进行求解，得到答案.【详解】因为()fx为偶函数，所以()()fxfx−=，所以()()()2033fxfxfxxx+−=，且0x，因为()fx在(

)0+，上单调递减，且()20f=，所以()fx在()0−，上单调递增，且()()220ff−==，当0x时，则()()02fxf=，故2x，当0x时，则()()02fxf=−，故20x−，综上

：()()03fxfxx+−的解集为()()202−+，，.故选：B11.已知函数()fx在定义域R上导函数为()fx，若方程()0fx=无解，且()20172017xffx−=，当()sincosgxxxkx=−−在ππ,22

−上与()fx在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（）A.(,1]−−B.(,2]−C.1,2−D.[2,)+【答案】A【解析】【分析】等价转化为()cossin0gxxxk+=−在ππ,22−

上恒成立，再分离参数即可.【详解】因为方程()0fx=无解，所以函数()fx为单调函数，因此由()20172017xffx−=，得()2017xmfx−=(m为常数)，即()2017xfxm=+为单调增函数，的因此()cossin0gxxxk+=

−在ππ,22−上恒成立.即cossinkxx+在ππ,22−上恒成立.ππππ3ππ[,],,,cossin2sin()[1,2]224444xxxxx−+−+=+−，因此1k−，

故选：A.12.已知函数()()21eR2xfxaxa=−，若()fx有两个极值点1x、2x且212xx，则实数a的取值范围为（）A.10,ln22B.(0,ln2C.(0,2ln2D.(0,3

ln2【答案】A【解析】【分析】()fx有两个极值点，则方程exax−=有两个实根，设()exgxx−=，利用导数研究单调性，作出函数图像，可知10,ea，1201,1xx，21xx随a的减小而增大，当212xx=时解得ln2a=，可

求实数a的取值范围.【详解】()exfxax=−，()fx有两个极值点，则()fx有两个零点，即方程e0xax−=有两个实根，也即方程exax−=有两个实根，令()()exgxxx−=R，则()()1exgxx−=−，所以()0gx解得1x

，()0gx解得1x，从而()gx在(),1−上单调递增，在()1,+上单调递减，0x时()0gx；0x时()0gx，()11eg=，据此可作出函数()ygx=的图像如下：首先当且仅当10ea时，直线ya=与函数()ygx=的图

象有两个交点，其次，由图可知1201,1xx，且当10,ea时，21xx随a的减小而增大，不妨考虑212xx=的情形，此时212xx=，因为()()12gxgxa==，所以1212eexxaxax−−==，将212xx=代入得：11121e2exxaxax−−==，

两式相除得12e1x−=，故1ln2x=，即ln2ln2eln2a−==．所以当且仅当0ln2a时，()fx有两个极值点1x、2x且212xx．故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小

题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.设x，y满足条件12240yxyxy+−+，则2zxy=+的最大值为__________．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利

用目标函数的几何意义求解作答.【详解】不等式组12240yxyxy+−+表示的平面区域，如图中阴影ABC（含边界），其中(0,2),(1,1),(2,1)ABC−，目标函数2zxy=+，即122zyx=−+表示斜率为12−，纵截距为2z的平行直线系

，画直线01:2lyx=−，平移直线0l到直线1l，当直线1l过点A时，直线1l的纵截距最大，z最大，max0224z=+=，所以2zxy=+的最大值为4.故答案为：414.若向量()(),2,1,2a

xb==−，且()2//abb+，则a=__________．【答案】5【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，列式求出x即可得解.【详解】依题意，2(2,6)abx+=−，由(2)//abb+，得2(2)6x−=−，解得=1x−，所以2

2||25ax=+=.故答案为：515.已知π4tan43−=−，则πtan4+=___．【答案】34##0.75【解析】【分析】根据角的变换，利用诱导公式求解.【详解】πππsin

[()]cos()πππ13244tantan[()]ππππ4244cos[()]sin()tan()2444+−−+=+−===−=+−−−−，故答案为：3416.已知函数()()

()6cos0,0πfxx=+，对xR都有()π6fxf，且π6x=−是()fx的一个零点.若()6yfx=−在ππ,156上有且只有一个零点，则的最大值为__________.【答案】692【解析】【分析】根据余弦

型函数的基本性质可得出关于、的方程组，解出、的表达式，再结合函数与方程的关系，将问题转化为存在唯一的0ππ,156x，使得函数()fx取到最大值，且()01fx=，结合三角函数的基本

性质，求出的范围，由大到小进项检验，即可求得的最大值.【详解】因为函数()()()6cos0,0πfxx=+，对xR都有()π6fxf，且π6x=−是()fx的一个零点，则

()1122ππ6,πππ62kkkk+=−+=+Z，解得()()121212ππ42,332kkkkkk+=+=−+−Z,因为函数()6yfx=−在ππ,156上有且只有一个零点，则方

程()cos10x+−=在ππ,156上有且只有一个根，因为()1cos1x−+，所以，存在唯一的0ππ,156x，使得函数()fx取到最大值，且()01fx=，则πππ4π2

61510T−==，解得040，令1212kkkkkk=+=−，则()21π4,632kkkk+=−=Z，且22kkk=−，所以，k、k的奇偶性相同，由40可得63402k−，解得836k，即13k

，当13k=时，752=，k为奇数，则3π4=，所以，()753π2cos24fxx=+，由ππ,156x可得753π13π,7π244x+，此时，当753π4π24x+=或6π时，函数()fx取最大值，不合乎题意；当12k

=时，692=，k为偶数，π4=，即()69π6cos24fxx=+，由ππ,156x可得69π51π,6π2420x+，此时，当69π4π24x+=时，函数()fx取最大值，合乎题意.综上所述，的最大值为692.故答案为：692.【点睛】

思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为()()sin+0yAxB=+或()()cos+0yAxB=+的形式；（2）将x+看成一个整体；（3）借助正弦函数sinyx=或余弦函数cosyx=的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性

等）解决相关问题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列na满足

111112,2nnaaa+=−=.等比数列nb的公比为3，且1310bb+=.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）记22nnnacbn=++，求数列nc前n项和nT.【答案】（1）2nan=，13nnb−=（2）113212nn−++

【解析】的【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项；（2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出【小问1详解】数列na满足111112,2nnaaa+=−=，1{}na是以12为首项，12为公差的等差数列，()nnna=+−=1111222，2na

n=，等比数列nb的公比为3，且1310bb+=，bb+=11910，,nnbb−==1113【小问2详解】1111133(1)221nnnnnacbnnnnn−−==+=−+++++，()()nnTnn−=−+−++−++++++2111

111113332231nn−=−++−1131113nn=−++11321218.已知函数2()2cos23sincosfxxxxa=++（0，Ra）.已知()fx的最大值为1，且()fx的相邻两条对称轴之间的距

离为π2（1）求函数()fx的解析式及()fx在0,π的单调递增区间；（2）若将函数()fx图象上点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12单位，得到函数()gx的图象，若()gx在区间[0,]m上的最小值为(0)g，求m的最大值.【答案】（1）π()2sin216f

xx=+−；π[0,]6，2π[,π]3（2）π3【解析】【分析】（1）根据题干中所给条件求出()fx解析式，然后求其单调区间即可.的（2）根据()fx的平移变换求出()gx表达式，然后根据区间[0,]m

上的最小值为(0)g，求m的最大值.【小问1详解】()22cos23sincosfxxxxa=++πcos23sin212sin216xxaxa=+++=+++，31a+=，解得2a=−；π22T=，即2

ππ2T==，解得1=；π()2sin216fxx=+−；令πππ2π22π262kxk−+++，得ππππ36kxk−++，Zk所以函数()fx的单调递增区间为ππ[π,π]36kk−++（Zk）；所以()

fx在0,π的单调递增区间为π[0,]6，2π[,π]3【小问2详解】将函数()fx图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到π2sin(4)16yx=+−的图象，再向右平移π12单位，得到函数πππ

2sin[4()]12sin(4)11266yxx=−+−=−−的图象，即()π2sin416gxx=−−；因为0,xm，所以πππ4,4666xm−−−，因为()gx在区间0,m上的最小值为()0g，所以π7π4660mm−，解得

π03m.所以m的最大值为π3.19.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2coscoscos0aAbCcB++=．（1）求角A的大小；（2）若23a=，求BC边上中线AD长的最小值．【答案】（1）23A=（2）1【解析】【

分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解即可；（2）由余弦定理可得2212bcbc=++，再根据()12ADABAC=+两边平方化简可得()22214ADcbbc=+−uuur，联立可得2

132ADbc=−，再根据基本不等式求最值即可【小问1详解】因为2coscoscos0aAbCcB++=，所以2sincossincossincos0AABCCB++=，所以()2sincossin2sincossin0AABCAAA++=+=．因为sin0A，所以1c

os2A=−．因为0A，所以23A=．【小问2详解】在ABC中，由余弦定理得2222cos120abcbc=+−，所以2212bcbc=++，①因为AD为BC边上的中线，所以()12ADABAC=+，所以()()222221144ADADABACc

bbc==+=+−，②由①得2212bcbc+=−，③代入②得2132ADbc=−，④由③得22122bcbcbc−=+，所以4bc，当且仅当2212,,bcbcbc++==即2bc==时取等号，代入④得21312ADbc=−

，所以1AD，AD长的最小值为1．20.已知函数()()32Rfxxbxcx=++的图象过点()1,2P−，且在点P处的切线恰好与直线330xy−+=垂直.（1）求函数()fx的解析式；（2）若函数()yfx=的图象与抛物线213412yxxm

=−+−恰有三个不同交点，求m的取值范围.【答案】（1）()323fxxx=+（2）675(,)272【解析】【分析】（1）根据图象过点及导数的几何意义列方程求解即可；（2）构造差函数，从而只需函数有三个零点即可，求导，求极值即可求解.【

小问1详解】因为()()32Rfxxbxcx=++的图象经过点()1,2P−，所以12bc−++=，又2()32fxxbx=+，则()132fb−=−，由条件()1311f=−−，即323b−=−，解得

3b=，代入12bc−++=解得0c=，故()323fxxx=+；【小问2详解】由（1）知：()323fxxx=+，令232137()()4-14122gxfxxxmxxxm=−−+=−+−+，则原题意等价于()gx图象与x轴有三

个交点.因为()()24374313gxxxxx=−+=−−，x()-,1141,3434+3（，）()fx−0+0()fx极大极小所以()gx在1x=时取得极大值5(1)2=−gm，()gx在43x=时取得极小值467()327

=−gm，依题意得50267027mm−−，解得675272m，故m的取值范围为675(,)272.21.已知函数()()2ln(3)Rfxxaxxa=+−．（1）若()fx在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若()fx有两个不同的极值点12,xx，且1

223xx则存在t，使得()()()111ln2231xtxax−−−成立．求t的取值范围．【答案】（1）809a（2）323ln4t+【解析】【分析】（1）转化为()0fx恒成立，再利用导数求出最小值代入可求出结果；（2）先推出12334x，11(32)

1axx−=，再将不等式化为111ln21xxtx−−12334x恒成立，根据右边构造函数()ln23134xxgxxx=−，利用导数求出最大值即可得解.【小问1详解】()fx的定义域为(

)0,+，()()2123123axaxfxaxxx−+=+−=，()fx在定义域内单调递增()22310axaxfxx−+当0x时，22310axax−+恒成立，若0,10a=恒成立，若0a，设()2231(0)gxaxaxx=−

+，()3434(0)4gxaxaaxx=−=−，当304x时，()0gx，当34x时，()0gx，()gx在3(0,)4上为减函数，在3(,)4+上为增函数，故min398()100489gxgaa==−

．综上809a.【小问2详解】()()2123123axaxfxaxxx−+=+−=，因为()fx存在两个极值点12,xx且12xx，则12,xx为方程()0fx=的两个根，即12,xx为223

10axax−+=(0)a的两根，因为1223xx，且121231,22xxxxa+==．所以12334x且()12111232xxxxa==−，11(32)1axx−=，因为1230x−，则()()()()()111111111111lnlnln2322321

123134xxxxxtxtxaxaxxxx−−−=−−−−，设()ln23134xxgxxx=−，则()22(1ln)(1)lnln1(1)(1)xxxxxxgxxx+−−−+−==−−；令()ln1hxxx=−+−，则()111xhxxx−=

−+=，当01x时，()0hx，()hx为减函数，所以当01x时，()(1)0hxh=，∴当23[,)34x时，()0hx，即()2ln10(1)xxgxx−+−−=；∴()gx23,34

单调递增，则()33ln33443ln1444gxg==−−，∴3323ln23ln44tt−−+.在【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已

知函数(),,yfxxab=，（1）若,xab，总有()fxk成立，故()maxfxk；（2）若,xab，总有()fxk成立，故()minfxk；（3）若,xab，使得()fxk成立，故()minfxk；（4）若

,xab，使得()fxk，故()maxfxk.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径

均为1的两个半圆弧12,CC所在圆的圆心分别为1π1,2O，23π1,2O，M是半圆弧1C上的一个动点，N是半圆弧2C上的一个动点.（1）若2π3OON=，求点N的极坐标；（2）若点K是射线()π03=与圆O的交点，求MOK面积的取值

范围.【答案】（1）11π1,6（2）30,2【解析】【分析】（1）根据图形关系可确定1=，极角11π6=，由此可得点N的极坐标；（2）利用表示出OM和MOK，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到1πsin226MOKS=

−+，结合正弦型函数值域可求得结果.【小问1详解】由2π3OON=知：21OOON==，6πAON=，点N的极角为π11π2π66−=，点N的极坐标为11π1,6.【小问2详解】由题意知：2OK=，π2sinπ2OM=，

π3MOK=−，1πsin2sinsin23MOKSOKOMMOK==−2131132sinsincossin3sincoscos2sin222222=−=−=−−1πsin226=−+

，π,π2，π7π13π2,666+，π1sin21,62+−，30,2MOKS.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()212fx|x||x|=−++．（

1）求()9fx的解集；（2）若函数()fx的最小值为M，且abcM++=，求2224abc++的最小值.【答案】（1）[3,3]−（2）4【解析】【分析】（1）利用分区间讨论的方法，去掉绝对值符号，化简函数()fx的表达式，进而将()9fx转化为3个

不等式组求解，即得答案；（2）结合（1）中()fx的表达式，确定M的值，利用河西不等式即可求得答案.【小问1详解】32()21242131xxfxxxxxxx−−=−++=−+−，，，，故()9fx等价于239xx−−或2

149xx−−+或139xx，解得33x−，不等式的解集为[3,3]−；【小问2详解】当<2x−时，()36fxx=−；当21x−时，()4[3,6]fxx=−+；当1x时，()33fxx=，故函数()fx的的最小值为3M=，即3abc

++=利用柯西不等式可得222214)11))4abcabc(++(++(++，即22244abc++，当且仅当21112abc==时等号成立，结合3abc++=，即当1433abc===，时，2224abc++取得最小值4.获得更多资源请

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