【文档说明】信息必刷卷01（乙卷理科）-2023年高考数学考前信息必刷卷（解析版）.docx，共(19)页，2.178 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷01全国乙卷地区专用理科数学新课标全国卷乙卷试题结构为12道单选题，4道填空题，6道解答题，其中一道解答题是“二选一”型。其中解答题是4道“基础型”，2道“压轴型”，随着新高考的推进，新课标全国乙卷地区也逐渐过渡到新高考试卷，所以这几年新课标全国卷

试题出题也逐渐有新高考的特色，其中一点就是反映在“基础大题”的考察难易变化上。基础大题主要考察数列，三角函数与解三角形，概率分布列，立体几何这几个方便。全国卷这几年的难易变化体现在这样几方面：1.两个压轴大题，不再是圆锥曲线和导数，也会把概率分布列作为压

轴大题，圆锥曲线或者导数其中一道有可能被“替换”为基础大题。2..原来的基础大题三角、数列、立体几何、概率等试题考察的位置和试题顺序不再固定，而是根据考试范围和难易来打乱调整。3.基础大题试题考察难度，考察内容，更加灵活多变，尽可能

打破“套路思维”，注重数学思维的考察。4.基础大题有些题由两问变为三问，分散难度，但是增加了数学思维的广度。如本卷第18题。2022年新课标全国卷乙卷试卷试题，把概率统计大题放到第19题位置，21年是概率统计在17题位置，和21年相比较，试题由两问变成3问，试题考察的数学知识覆盖面更

广，试题考察背景紧密结合社会生产生活，试题考察社会环保治理与发展的相互关系，虽然是基础大题，但是涉及到的数学建模数学应用。预测2023年新课标全国乙卷仍将继续这种“变新”，所以作为基础大题，每一种类型题，更要注重

数学思维和社会实践相结合的考察。同时也要注意基础试题在知识交汇处的考察，考察的数学知识运用处理能力综合度较强，如本试卷的第7和第8题。第7题考察框图，但是数学能力与知识的考察却在三角函数综合恒等变形与数列

裂项求和这方面，难度虽然不是压轴小题的难度，但数学知识点跨度大，数学思维思考面要求广，是复习备考和试卷模拟时要多注意多注重的考点之一。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合()20,3

,Rlog04xABx==，则集合()RAB=ð（）A．(,03,4−B．(),03,−+C．(,4−D．3,4【答案】D【分析】先化简B，再求出RAð，进而利用交集概念求出结果即可.【详

解】解：因为2Rlog0044xBxxx==，因为()0,3A=，所以()R,03,A=−+ð，所以()R3,4AB=ð.故选：D2．已知向量2=a，1=b，且37ab−=，则向量,ab的夹角是（）A．5π6B．π6C．2π3D

．π3【答案】D【分析】由237ab−=可求得ab，根据向量夹角公式可求得结果.【详解】2223691367abaabbab−=−+=−=，1ab=，1cos,2ababab==，又,0,πab，π,3ab

=.故选：D.3．已知πsinsin13++=，则πcos23+=（）A．33B．33−C．13D．13−【答案】C【分析】利用辅助角公式化简πsinsin13++=，再整体法利用

倍角公式即可.【详解】πsinsin3++3331sincos3(sincos)2222=+=+π3sin()16=+=，π3sin()63+=，则ππcos2cos236+=+

22π31=12sin)12633(−+=−=.故选：C.4．如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：下列结论中错误的是（）A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C．20

50年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢【答案】D【分析】利用折线图、条形图及扇形图的特点即可求解.【详解】对于A，从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；对于B，从扇形

图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；对于C，从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平，故C正确；对于D，由题中三幅统计图并不能得出从195

7年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选：D.5．若()()()()()42201223222nnxxxaaxaxax−+=+−+−++−，则564aaa+=（）A．15B．25C．35D．45【答

案】D【分析】将23xx+中含有x的项都写成2x-的形式，即可得解.【详解】()()()()()442223222107xxxxxx+−+=−−−+()()()654272102xxx=−+−+−，所以6541,7,10aaa===，所以56445aaa+=.故选：D.

6．已知a，()0,b+，则“ab”是“211log33baba−”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先化简211log33baba−，然后判断其充分性与必要性即可.【详解】先化简21

1log33baba−2211loglog33baba−−2211loglog33baba−−，构造函数()21logfxxx=−，所以有()()3fbfa，显然()fx在()0,+单调递增，所以3ba；又因为a，()0,b+，所以由“ab

”不能得出“3ba”，由“3ba”可得出“ab”，故“ab”是“211log33baba−”成立的必要不充分条件.故选：B7．执行如图示的程序框图，输出的S的值等于A．tan101101tan

1−B．tan102102tan1−C．tan10199tan1+D．tan10099tan1+【答案】A【分析】模拟程序框图的执行过程得出程序运行后输出S＝tan1tan2+tan2tan3+…tan100tan101的值；利用tan（2﹣1）21121tantantantan−=+求出ta

n1tan221tantan=−2，同理求得S的值．【详解】解：模拟程序框图的执行过程知，该程序执行后输出S＝tan1tan2+tan2tan3+…tan100tan101的值；tan（2﹣1）21121tantantantan−=+，∴tan1tan221tantan=−2，

同理tan2tan33211tantantantan=−−1，…；∴S＝（21tantan−2）+（3211tantantantan−−1）+…+（10110011tantantantan−−1）＝（232101100111

11tantantantantantantantantantan+−++−）+（﹣2﹣1﹣…﹣1）1011tantan=−101．故选：A．8．如图甲，在等腰直角三角形ABC中，90A=，6BC=，,EF分别为ABC两直角边上的点，且EFBC∥，AEF△沿直线EF折叠，得

到四棱锥ABCEF−，如图乙，则四棱锥ABCEF−体积的最大值为（）A．3B．23C．33D．332【答案】B【分析】由体积公式得平面AEF与平面BCEF垂直时，四棱锥体积最大，设AMx=，用x表示出体积，然后由导数求得最大值．【详解】如图1，,MN分别是,EFBC中点，则,,AM

N共线且AMEF⊥，如图2，在折叠的过程中，当平面AEF与平面BCEF垂直时，由面面垂直的性质定理得AM⊥平面BCEF，当平面AEF与平面BCEF不垂直时，AM是A点到平面BCEF的一个斜线段，因此A到平面BCEF的距离小于AM，所以四棱锥ABCEF−体积最大

时，平面AEF与平面BCEF垂直时，由面面垂直的性质定理得AM⊥平面BCEF，设AM长为x，则3MNx=−,2EFx=，6BC=，3AN=，则四棱锥ABCEF−体积为()()()()311112633033323VxShxxxxxx==+−=−+，由()(

)2330VxxV=−+=，易得03x时，()0Vx，33x时，()0Vx，所以()Vx在()0,3上单调递增，在()3,3上单调递减，即在3x=处取到最大值，()323V=，故选：B.【点睛

】结论点睛：由点到平面的距离的定义知平面外任一点A到平面的距离是A到平面上任一点距离的最小值．在把AEF△折起时，由于A到直线EF的距离为定值，因此当平面AEF与平面BCEF垂直时，A到平面BCEF的距离最大，从而相应棱锥体积最大．9．将函数s

inyx=的图象向右平移π6个单位长度，再将横坐标缩短为原来的1(0)得到函数()yfx=的图象.若()yfx=在π0,3上的最大值为5，则的取值个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得()fx的解析式，再由x的范围求得π6x

−的范围，结合()yfx=在π0,3上的最大值为5，分类求解得答案．【详解】将函数sinyx=的图象向右平移π6个单位长度，可得πsin6yx=−的图象．再将横坐标缩短为原来的1(0)得到函数π()sin6yfxx==−的

图象，由π0,3x上，得ππππ,6636x−−−，当πππ362−，即2时，则15=，求得5=，当πππ362−，即02时，由题意可得ππsin365−=

，作出函数ππsin36yx=−与5xy=的图象如图：由图可知，此时函数ππsin36yx=−与5xy=的图象在()0,2x上有唯一交点，则ππsin365−=

有唯一解，综上，的取值个数为2．故选：B．【点睛】本题考查sin()yAx=+型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力。10．已知,,xyR,若2e(1)exyxy−−−,则

222cos2sinxyxy+−−的最小值等于()A．322−B．222−C．222+D．322+【答案】B【分析】先变形为2e(2)10xyxy−−−−−−=，证明20xy−−=，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值.【详解】由题设2e20()1xyx

y−−−−−−，设()e1xfxx=−−,则()e1xfx=−，当(,0),()0,()xfxfx−单调递减，当(0,),()0,()xfxfx+单调递增，所以()(0)0fxf=，即2e20()1xyxy−−−−−−，综上，2e(2)10xyxy−−−−−−=，即(2

)0fxy−−=，所以20xy−−=，设P是直线20xy−−=上的点，(cos,sin)Q是圆221xy+=上的点，而目标式为222222cos2sin(cos)(sin)1||1xyxyxyPQ+−−=−+−−=−，由min|002|||1212PQ−−=−=−，故(

)22min||1(21)1222PQ−=−−=−.故选：B.11．如图，椭圆()2222:10xyCabab+=的左焦点为1F，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足PQy⊥轴，四边形1FAPQ是等腰梯形，直线1FP与y轴交于点30,4Nb

，则椭圆的离心率为（）．A．14B．32C．22D．12【答案】D【分析】做PMx⊥轴于点M，得到点P的纵坐标，从而得到PM，然后根据11FNOFPM，列出方程，即可得到结果.【详解】由题意，做PMx⊥轴于点M，因为四边形1FAPQ是等腰梯形，则1FOAMc==，OMac=−则点P的横坐标为

Pxac=−，代入椭圆方程()2222:10xyCabab+=，可得22pbyacca=−，即22bPMacca=−，因为30,4Nb，则34ONb=，由11FNOFPM，则121342bFOONcbFMPMa

acca==−，化简可得，434332160aacc−+=，同时除4a可得，43163230ee−+=即()()3221812630eeee−−−−=，对于()3281263feeee=−−−当1e=时，(

)1130f=−，当2e=时，()210f=，在()1,2e时，方程()()3221812630eeee−−−−=有根，且()0,1e，故应舍，所以12e=.故选:D【点睛】解答本题的关键在于得到点P的纵坐标，然后根据三角形相似列出方程，得到,,abc

的关系式.12．已知函数()fx和()gx的定义域为()5R,22fxfx++=，且()12yfx=+为偶函数，()()220gxgx+−−=，且()11ygx=+−为奇函数，对于0,2x，均有()()33xfxgxx+=+，则()()20

222022fg=（）A．1B．66C．72D．2022【答案】C【分析】根据()522fxfx++=，求出()fx的周期15T=，由()12yfx=+为偶函数求出()()20ff=；根据()()220gxgx+

−−=，求出()gx的周期24T=，由()11ygx=+−求出()()022gg=−+；再根据0,2x，均有()()33xfxgxx+=+，令0,2xx==即可列出关于()()2,2fg的方程组，求出()()28,29fg==，最后根据函数的周期性可得()()()()2022202

2228972fgfg===.【详解】依题意，因为()522fxfx++=，所以()5522fxfx+++=，所以()()5fxfx+=，所以()fx的周期15T=，所以()()()2022404522fff=+=，又因为()12

yfx=+为偶函数，所以()()1212fxfx+=−，所以()yfx=的图象关于直线1x=对称，所以()()20ff=；因为()()220gxgx+−−=，即()()22gxgx+=−，所以()()4gxgx+=，

所以()gx的周期24T=，所以()()()2022505422ggg=+=，因为()11ygx=+−为奇函数，所以()()1111gxgx−+−=−++，所以()ygx=的图象关于点()1,1对称，所以()()022gg=−+；因为对于0,2x，均有()()33xfxgxx+=

+，所以()()23221732fg=+=+，()()0313000fg+==+，所以()()()()002221fgfg−=++=，由()()()()22172221fgfg+=−+=，解得：()()28,29fg==，所以()()()()

20222022228972fgfg===，故选：C.【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性以及对称性，利用题设给定的公式转化化简是关键，转化时要注意奇偶性的运用，可以利用函数的周期将问题转化到题中给定函数的区间内，最后进行对x赋值即可

得到相应的方程组，求解方程组即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设复数1z，2z满足12122,33izzzz==+=+，则12zz−=___________.【答案】2【分析】设1izab

=+，2izcd=+，(),,,Rabcd，根据复数模的计算公式计算可得．【详解】设1izab=+，2izcd=+，(),,,Rabcd，由已知得：22224abcd+=+=，3ac+=，3bd+=，则()()12izzacbd−=−+−，22222122

2()()22zdacbdzabcdacb=−+−=−+−−++()()()()222222222229342acbdabcdabcd+++=++=+−−+−+=−，则122zz−=故答案为：2．14．已知nN，将数列21n−与数列

21n−的公共项从小到大排列得到新数列na，则1210111aaa+++=__________.【答案】1021【分析】分析可知21n−是正奇数列，根据题意求得241=−nan，然后利用裂项相消法可求得1210111aa

a+++的值.【详解】因为数列21n−是正奇数列，对于数列21n−，当n为奇数时，设()21nkk=−N，则()()22121141nkkk−=−−=−为偶数；当n为偶数时，设()2nkk=N，则22141nk−=−为奇数，所以，241=−nan

，则()()211111141212122121nannnnn===−−−+−+，因此，12101111111111110112335192122121aaa+++=−+−++−=−=.故答案为：1021.15．已知等

腰梯形ABCD是半径为2的圆的内接四边形，且ABCD，π0,3ABC，则等腰梯形ABCD的四条边长的乘积的最大值为__________．【答案】36【分析】如图所示，连接AC，设0,3πABC=，BACx=，则0x，根

据正弦定理得到乘积为()222256sinsinsinxx−，设2sinxt=，得()2256sin=−ptt，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：连接AC，设0,3πABC=，BACx=，则0x．在ADC△中，()4sinsinCDADxx=

=−，()4sinCDx=−，4sinADx=，在ABC，()4sinπABx=−−，()4sinABx=+，故梯形ABCD的四条边乘积2256sinsin()sin()pABBCCDDAxxx==+−2256sin(sin

coscossin)(sincoscossin)xxxxx=+−()22222256sinsincoscossinxxx=−()22222256sinsin1sincossinxxx=−−()222256sinsinsinxx=−，

设2sinxt=，得()2256sin=−ptt，π03x，20sint，()()2224sin256sin25664sin2ttptt+−=−=，（当且仅当21sin2t=时，等号成立）．π0,3

，当π3=时，p取得最大值4364362=．故答案为：36【点睛】关键点睛：本题考查了正弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中引入变量x，将乘积转化为关于x的函数关系再利用均值不等式求解是解题的关键.16．设0a

且1a，若对(,0)x−都有12xxaaa+恒成立，则实数a的取值范围为______.【答案】(1,2]【分析】由原不等式结合基本不等式可得12xxaa+−，再由0x可得12xx+−，则得1a，然后由12xxaaa+结合指数的运算可得2a，再通过构

造函数利用导数证明在12,(,0)ax−，有1112xxaa+++即可.【详解】因为0a且1a，因为112xxxxaaa++，当且仅当1xxaa=时取等号，故122xxaa+，所以12xxaa+−，又0x，所以11()2xxxx+=−−+−−，当且仅

当1xx=时取等号，所以1a.又12xxaaa+，所以11122xxxaaaaa+−−=，显然0xa，所以有1120xa+−，即11log2ax+恒成立，又0x，所以111x+，故log21loga

aa=，所以2a.当2a时，11log2ax+恒成立，即1log21ax−恒成立，与(,0)x−矛盾.下面证明：在12,(,0)ax−，有1112xxaa+++，令1(0,),logxattaaxa+==要

使1112xxaa++−，即11log(2)atx+−即11log(2)logaatta+−由12a知1(0,)xtaa+=，得(0,1),log0attaa从而需证：()log1log1log(2)aaattta+

−−即需证明：lnln(2)lnln(2)0lnlnlnlnttttaaaa−−+−，记ln(0,ln2]ab=从而只需证：()[lnln(2)]lnln(2)0htbtttt=+−−−①而111111()ln(2)ln

[ln(2)][ln],(1)0222htbttbttbhtttttt−=−−−+=−−+−=−−−，令11()[ln(2)][ln]2tbttbtt=−−+−−，则2212212()ln1(ln2)ln1

(ln2)22(2)2tttbbtttt−=+−+−++−+−−−，令1()ln1(0)txxxx=+−，则22111()xtxxxx−=−=，当01x时，()0tx，当1x时，()0tx，所以()tx在(0,1)上递减，在(1,)+上递增

，所以()(1)0txt=≥，即1ln10xx+−，因为ln20b−，所以()0t≥∴()ht在(0,)a上递增，又(1)0h=，∴在01,()(1)0,()ththht=递减，()(1)hth，1,()(1)0,()ta

hthht=递增，()(1)hth，而(1)0h=，从而在1ta时总有()(1)0hth=∴①式恒成立，不等式11132xaa+++得证.综上所述，(1,2]a.故答案为：(1,2]【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是根

据已知条件结合基本不等式确定出a的范围，然后通过构造函数再证明其正确性即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）如图，四棱锥PABCD−的底面为菱形且60BAD=，PA⊥底面ABCD，AB=2，23PA=，E为PC的中点．(1)求直线DE与平面PAC所成

角的大小；(2)求二面角EADC−−平面角的正切值．【答案】(1)30(2)2【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；（2）利用空间向量求二面角.【详解】（1）连结对角线AC、BD相交于点O，连结DE、OE，∵,OE分别为,AC

PC的中点，则EOPA，132EOPA==，且PA⊥平面ABCD，则EO⊥平面ABCD，∵底面是菱形ABCD，60BAD=，AB=2，23PA=，则BD=2，23AC=，以O为原点，OA、OB、OE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)O，()3,0,0A，()3,

0,0C−，(0,1,0)D−，()0,0,3E，可得()0,1,3DE=，()3,1,0AD=−−．∵平面PAC的法向量为()0,1,0OD=−uuur，11cos,122ODDEODDEODDE−===，设直线DE与平面PAC所成的角0,90，

则1sin2=，故直线DE与平面PAC所成的角为30.（2）设二面角EADC−−的平面角为()0,90，平面ADC的法向量为()0,0,3OE=，设平面EAD的法向量为(,,)nxyz=，则3030ADnxyDEnyz=−−==+=，令1x

=，则3,1yz=−=，得到()1,3,1n=−，∴35cos,535OEnnOEnOE===uuurruuurruuurr，即5cos5=，则225sin1cos5=−=，∴tan2=，故二面角EADC−−的平面角的正切值是

2．18．（12分）数列na中，已知()12121,,nnnaaaakaa++===+对任意*Nn都成立，数列na的前n项和为nS.(1)若15,2ak==，求数列na的通项公式；(2)若11,2ak==

−，求2023S的值；(3)是否存在实数a和k，使数列na是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项1,mmaa+，2ma+按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有实数a和k的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)43nan=−；(2)-2021；(3)存在，12a=−或22,5ak=−=−；【分析】（1）确定na是等差数列，得到11a=，214daa=−=，再求出通项公式；（2）求出33a=−

，确定321nnnnaaaa++++=+，()32023121011Saaa=++，计算得到答案；（3）根据条件，可得1112,,mmmmmmaaaaaa−+++===，考虑1ma+，ma，2ma+分别为等差中项三种情况，计算得到答案

.【详解】（1）()1211,22nnnkaaa++==+，即122nnnaaa++=+，所以na是等差数列，又11a=，公差21514daa=−=−=，所以43nan=−；（2）当11,2ak==−时，()1212nnnaa

a++=−+，即122nnnaaa++=−−，所以()211nnnnaaaa++++=−+，所以()32211nnnnnnaaaaaa++++++=−+=+，又2132aaa=−−，所以33a=−，所以()12320231323202101112

0222021aaaaaaaS=+++=++=−=−.（3）数列na是等比数列，则na公比1121211,,,mmmmmmaqaaaaaaaa−+++=====，若1ma+为等差中项，则122mmmaaa++=+，112mmmaaa+−=+，即221a

a=+，解得1a=（舍去）；若ma为等差中项，则122mmmaaa++=+，112mmmaaa−+=+，即22aa=+，解得2a=−（1a=舍去），此时11122215mmmmmmaaakaaaaa+−++====−+++；若2ma+为等差中项，则122mmmaa

a++=+，112mmmaaa+−=+，即221aa=+，解得12a=−（1a=舍去），此时11122215mmmmmmaaakaaaaa+−++====−+++，综上所述，12a=−或22,5ak=−=−.19．（12分）互花米草是禾本科草本植物，其根系

发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深

度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m=，样本平均数18x=，样本方差2119s=；乙镇的样本容量18n=，样本平均数36y=，样本方差2270s=．(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数z及其方差2S；(2)为营造“

广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代

表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求()EX．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,

1210.81399.68,187.2933.12=====．【答案】(1)28.8z=，2127.36S=(2)3625【分析】（1）利用平均数的计算公式求得z，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；（2）先根据题意得到X的

所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得X各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.【详解】（1）根据题意，得121821833628.812185xyz++===+，因为()()()(

)()121212222111212iiiiiixxxzxxxxxzxz===−+−=−+−−+−()()()()()12121222221112121212iiiiiixxxzxxxzxxxz====−+−−+−=−+−，同理()()()18182221112iiii

yyyzyyyz==−+−=−+−，所以()()121822211130iiiiSxzyz===−+−()()12182211130iiiixxxzyyyz===−+−+−+−()

()()()12182222111121230iiiixxxzyyyz===−+−+−+−22221211212()1818()30SxzSyz=+−++−()22112191210.81870187.

230=+++127.36?=，所以总样本的平均数为28.8z=，方差2127.36S=.（2）依题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，设“第i场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件iA，“第i场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件,?1,2

,3iBi=，则()()31,52iiPAPB==，所以()21234(0)1525PXPAA===−=，()()()1231231231233133316(1)1152555225PXPABAAABPABAPAAB==+=+=−+−=

，15(2)1(0)(1)25PXPXPX==−=−==，所以461536()01225252525EX=++=.20．（12分）已知抛物线()2:20Cxpyp=上的点()02,y到其焦点F的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)已知点D在直线

l：=3y−上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为,AB，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当MN最小时，求ABMN的值.【答案】(1)24xy=(2)304【分析

】（1）根据题意求得02yp=，结合抛物线的定义，得到222pp+=，求得2p=，即可得得到抛物线C的方程；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，利用导数的几何意义求得在点,AB的切线方程，得出直线AB方程为260txy−+=，令=3y−

，得到点12,3Mt−−，根据直线NF与直线AB垂直，求得直线NF方程为21yxt=−+，进而得到点()2,3Nt−，进而求得122MNtt=+，结合基本不等式求得MN的最小值，联立方程组，结合弦长公式求得弦AB的长，

即可求得ABMN的值.【详解】（1）解：因为点()02,y在抛物线()2:20Cxpyp=上，可得02yp=，又因为点()02,y到其焦点F的距离为2，由抛物线的性质可得222pp+=，解得2p=，即抛物线C的方程为24xy=.（2）解：由题意可设(),3Dt−，且

0t，()11,Axy，因为214yx=，所以12yx=，可得112ADkx=，所以111312yxxt+=−，整理得11260txy−+=，设点()22,Bxy，同理可得22260txy−+=，则直线AB方程为260txy−+=，令=3y−，可得12xt=

−，即点12,3Mt−−，因为直线NF与直线AB垂直，所以直线NF方程为21yxt=−+，令=3y−，可得2xt=，即点()2,3Nt−，所以12122246MNtttt=−−=+，当且仅当122tt=时，即26t=

时上式等号成立，即MN的最小值为46，联立方程组22604txyxy−+==，整理得22120xtx−−=，所以122xxt+=，21212,Δ4480xxt=−=+则()()22221212141

4486544ttABxxxxt=++−=++=所以6530446ABMN==.【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种

方法：1、几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数的性质、基本不等式等知识进行求解．21．（12分）已知函数()()e21Rxfxaxa=−−．(1)

若()0fx恒成立，求实数a的取值集合；(2)求证：对*Nn，都有11111231sinsinsinsin1111e1nnnnnnnnn++++++++++++−．【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】（1）求导，

利用分类讨论思想判断函数的单调性，根据函数的单调性，结合已知不等式进行求解即可；（2）先构造函数把1sin1nkn++转化为11nkn++,再利用（1）中的结论构造不等式，结合不等式的

性质和等比数列前n项和公式进行证明即可.【详解】（1）由()e2xfxa=−且()00f=，令1(0)02fa==，当12a=时，则()e1xfxx=−−，()e1xfx=−，当()0fx，有0x，即()fx在(0,)+上递增；当()0fx，有

0x，即()fx在(,0)−上递减；所以()(0)0fxf=，满足题设；当12a时，()e21e1xxfxaxx=−−−−，则0(0)e010f−−=，显然不合要求，舍去；当12a时，则()e2xfxa=−，若0a时()0fx，即()fx在R上递增，故(,0)

−上()0fx，不合要求；若102a时，令()0fx得：ln2xa，令()e20xfxa=−得：ln2xa，且ln20a，则()fx在(),ln2a−上单调递减，在()ln2,a+上单

调递增，又()00f=，故当()ln2,0xa时，()0fx，不合题意，舍去；综上：实数a取值集合为12．（2）设()singxxx=−且0x，则()1cos0gxx=−，()gx在,()0x+上单调递增，所以()()min00gxg==．即sinxx在,()0x

+上恒成立，所以11sin11nnkknn++++，*Nk，*Nn，则1111111212sinsinsin111111nnnnnnnnnnnnnn++++++

++++++++++++……，故只需证明：111112311111e1nnnnnnnnn++++++++++++−…即可，由（1）知，()e

10xfxx=−−在(0,)+恒成立，则1exx+，故()()111ennxx+++，令11kxn+=+（1k=，2，3，…，n），则11e1enknkn+++（1k=，2，3，…，n），∴()()11112311e1e12311eee...e1111ee1ennnnnnnn

nnnnn++++++−++++++++=++++−()1111ee1eee1e1e1nnn++−−==−−−，∴11111231sinsinsinsin1111e1nnnnnnnnn++++++++

++++−…．【点睛】关键点点睛：构造函数结合（1）结论的应用，先用放缩法将1sin1nkn++的和转化为11nkn++的和，再应用1exx+结合等比数列前n项和公式得证

.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

曲线1C的极坐标方程为4sin=，若P为曲线1C上的动点，将OP绕点O顺时针旋转60得到OQ，动点Q的轨迹为曲线2C．(1)求曲线2C的极坐标方程；(2)在极坐标系中，点2π4,3M，射线()π06=与曲线1C，2C分

别交于异于极点O的A，B两点，求MAB△的面积．【答案】(1)π4sin3=+(2)4【分析】（1）假设曲线1C上的动点P的极坐标为()00,P，设(),Q，即可得到00π3==+，再由P点在4sin=上即可求出Q的轨迹方程；（2）首先求出AB及点M到

射线()π06=的距离h，即可求出MAB△的面积.【详解】（1）解：假设曲线1C上的动点P的极坐标为()00,P，设(),Q，由题意00π3==+，因为004sin=，所以π4sin

3=+，所以曲线2C的极坐标方程为π4sin3=+.（2）解：由题意可得12ππ4sin4sin262AB=−=−=，又因为2π4,3M到射线()π06=的距离π4sin42h==，所以1124422MA

BSABh===△.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知222,,R,9abcabc+++=，求证：(1)33abc；(2)2223abcabcbccaab+++++++.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元

基本不等式即可得证.（2）利用基本不等式推得24bcabca+++，24cabcab+++，24cabcab+++，再相加即可得证．【详解】（1）因为222,,R,9abcabc+++=，所以32222223abcabc++，即322293ab

c，当且仅当abc==且2229abc++=，即3abc===时，等号成立，所以32223abc，即22227abc，故33abc.（2）因为,,Rabc+，因为22244abcabcabcbc+++=++，当且仅当24abcbc+=+，即2abc=+取得等号，同理可得24

bcabca+++，当且仅当2bac=+取得等号，同理可得24cabcab+++，当且仅当2cba=+取得等号，上面三式相加可得2222abcabcabcbccaab++++++++++，即2222abcabcbccaab+++++++，当且仅当2abc=+，2bac=+，2cba=+且

2229abc++=，即3abc===时，等号成立，因为0abc++，所以23abcabc++++，所以2223abcabcbccaab+++++++.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com