【文档说明】江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高一下学期第三次月考数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(16)页，1.163 MB，由管理员店铺上传

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数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.已知数列1，3,5…21n−，…，则21是这个数列的（）A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】令2121n−

=，解得n=11，故21是这个数列的第11项．故选B．2.设,,abRab，则下列不等式一定成立的是（）A.22abB.11abC.2aabD.22ab【答案】D【解析】【分析】利用特殊值

法判断ABC选项，再由指数函数的单调性判断D选项.【详解】对A，B选项，当1,2ab==−时，不等式22ab和11ab不成立，则A，B错误；对C选项，当0a=时，不等式2aab不成立，则C错误；对D选项，因为函数2xy=在R上单调递增，ab，所以2

2ab，则D正确；故选：D【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于中档题.3.在ABC中，3b=，3c=，30B=，则a的值为()A.3B.23C.33D.2【答案】C【解析】【分析】先由题意得到30CB==，求出A，再由正弦定理，即可得出结果.【详

解】因为在ABC中，3b=，3c=，30B=，所以30CB==，因此120ACB=−−=，由正弦定理可得36sinsinsin30abAB===，所以6sin6sin12033aA===.故选C【点睛】本题

主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相

邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7=()711212a−−=381，解得a1=

3．故选B．5.设各项均为正的等比数列na满足4873aaa=，则3129log()aaa等于（）A.83B.93C.9D.7【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的等积性质求解即可.【详解】因为等比数列满足48

73aaa=，故5773aaa=，即53a=.故93129353log()log9log39aaaa===.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性的运用，属于基础题.6.不等式10xx−的解集是（）A.10xx−或1xB.1xx−或01xC.1xx−D.

{|1}xx【答案】A【解析】【分析】不等式化简可等价于()()110xxx−+，根据高次不等式解法求解即可.【详解】∵2=011xxxx−−等价于()210xx−，即()()110xxx−+在数轴上标跟如下图：∴不等

式的解为10xx−或1x故选：A【点睛】本题主要考查分式不等式和高次不等式的求解，属于中档题.7.已知实数x,y满足条件10100xyxyx+−−−，则2zxy=+的最大值为（）A.2−B.1C.3

D.2【答案】D【解析】【分析】作出可行域，分析1122yxz=−+截距最大值时的最优解，再求解即可.【详解】在坐标系中作出满足约束条件的可行域如下图所示，由图可知可行域为三角形，且三角形的三个顶点分别为(0,1)−，(1,0)，(0,1).又2zxy=+即1122

yxz=−+，斜率为12−，且当2zxy=+取最大值时截距最大，所以最优解为(0,1)时可使目标函数取得最大值为0212z=+=.故选：D．【点睛】本题主要考查了线性规划求解最值的问题，属于基础题.8.函数223()1mxfx

mxmx−=++的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A.(0,4)B.[0,4)C.0,4D.(0,4]【答案】B【解析】【分析】由210mxmx++恒成立可得．需要分类讨论．【详解】由题意210mxmx++恒成立，若0m=，则不等式为10恒成

立，满足题意；若0m，则2040mmm=−，解得04m．综上04m．故选：B．【点睛】本题考查函数的定义域，掌握函数定义是解题关键．根据函数定义，题意实质上是210mxmx++恒成立，对2x的系数分类讨

论可得结论．9.已知数列na满足111,2+==+nnnaaa，则10a=（）A.1024B.1023C.2048D.2047【答案】B【解析】【分析】由递推关系，利用累加法求10a．【详解】因为12nnnaa+=+，即1

2nnnaa+−=，所以1029101213210912()()()1222102312aaaaaaaa−=+−+−++−=++++==−．故选：B．【点睛】本题考查由递推关系求数列的项，解题方法是累加法．当递推式是数列前后的差时

，可用累加法求通项，若已知的是前后项的商，则可用连乘法求通项．10.在三角形ABC中，已知sin:sin:sin2:3:4ABC=，且10ab+=，则向量AB在向量AC的投影是（）A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】【

分析】根据题意，利用正弦定理设2ak=，3bk=，4ck=，再根据105abk+==，可得a、b、c的值，再由余弦定理求得cosA，再根据向量AB在向量AC的投影是cosABA，计算求得结果.【详解】由题意，利用正弦定理可得::2:3:4

abc=，则设2ak=，3bk=，4ck=，由105abk+==，所以2k=，故有4a=，6b=，8c=，由余弦定理可得2227cos28bcaAbc+−==，所以，向量AB在向量AC的投影是7cos878ABA==.故选：A.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，一个向量在另

一个向量上的投影的定义和求法，属于基础题.11.若na是正项递增等比数列，nT表示其前n项之积，且919TT=，则当nT取最小值时，n的值为（）A.9B.14C.19D.24【答案】B【解析】试题分析：因为91

9TT=，所以，即14151aa=，又数列na是递增的等比数列，所以14151,1aa，所以当nT取最小值时，n的值为14，故选B.考点：等比数列的定义与性质.【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质;中档题;等比数列的性质是高考考查的热点

问题,解决等比数列问题一是用基本量法,即用首项与公比表示题中条件,列出方程求出首项与公比;二是利用等比数列相关性质求解,如本题就是利用等比数列的性质进行求解的.12.在锐角三角形ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，若2AB=，

给出下列命题：①64B；②(2,3]ab；③22abbc=+.其中正确的个数是（）．A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】试题分析：是锐角三角形，且,,即，即①正确；由正弦定理,得,由①，得，即,即，即②错误；由①②得，又，，化简，得即，即③正确；故选C.考点：正弦定

理、余弦定理.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若2coscoscosbBaCcA=+，则B=________．【答案】3【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化

简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝

π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知

条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结

果.14.已知函数22,0()1,0xxfxxx=+，则不等式()2fx<的解集是______.【答案】()1,1−【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分0x，0x求出对应的解集，再求并集即可得到不等式的解集.【详解】由题意

，()22,01,0xxfxxx=+，不等式()2fx，当0x时，由22x，解得1x，所以01x；当0x时，由212x+，解得11x−，所以10x−；综上，不等式()

2fx的解集为()1,1−.故答案为：()1,1−.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，分段函数，以及指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想.15.数列1111,,2,,4,,248……的前2n项和2nS=________.

【答案】122nn−【解析】【分析】分整数1,2,4,8...与分数111,,...248两组求和即可.【详解】()()2211111211122124...2...12221212nnnnnS−−=++++++++=

+−−11211222nnnn=−+−=−.故答案为：122nn−【点睛】本题主要考查了等比数列的求和，属于基础题.16.有一解三角形的题因纸张破损，有一条件不清，且具体如下：在ABC中，已知3,45aB==，____________，求

角A.经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示60A=，试将条件补充完整.【答案】622c+=【解析】【分析】先由正弦定理得出,bc的值，再分别验证条件为2b=和622c+=两种情况时，结合余弦定理，判断A是否为60，即可得出答案.【详解】60,45,75ABC==

=由正弦定理sinsinsinabcABC==可得：3sin60sin45sin75bc==解得622,2bc+==若条件为2b=时，由正弦定理可知32sin22A=，解得3sin2A=()0,A，60A=或120A=，答案不唯一，不符合题意

当条件为622c+=时，由余弦定理可得2222cosbacacB=+−262233(62)32333222+=+−+=++−−=2b=222262232311cos2262232222bcaAbc++−

+−+====++(0,)A，60A=故答案为：622c+=【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.三.解答题（本大题共6小题，17题10分，18.19.20.21.22各12分，共70分.）17.已知不等式220axx

c++的解集为11|32xx−.（1）求a，c的值；（2）解不等式220cxxa−+.【答案】（1）12a=−，2c=；（2）{|23}xx−【解析】【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程间

的关系知，12和13−是相应方程的两个根，由根与系数的关系即可求出a，c．（2）将（1）求得的a，c代入所求解的不等式，解之即可．【详解】（1）由220axxc++的解为11|32xx−，则0a则方程22

0axxc++=的两根为113x=−，212x=.由根与系数的关系得112321132aca−+=−−=，由此得12a=−，2c=.（2）由（1）得12a=−，2c=代入不等式220cxxa−+化简得260xx−−，解得23x−

.所以不等式的解集为{|23}xx−.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及方程思想，属于基础题．18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为abc、、，且32,cos5aB==.（1）若4b=

，求sinA的值；（2）若ABC的面积4ABCS=，求b，c的值.【答案】（1）25；（2）17b=，5c=【解析】【分析】（1）由平方关系以及正弦定理，即可得出sinA的值；（2）由三角形面积公式以及余弦定理，即可得出b，c的值.【详解】（1）∵3cos05B=，且0B，∴24sin1c

os5BB=−=.由正弦定理得sinsinabAB=，∴sin242sin455aBAb===.（2）∵114sin24225ABCSacBc===△，∴5c=.由余弦定理得2222232cos25225175bacacB=+−

=+−=∴17b=.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.19.已知公差不为零的等差数列na满足：3820aa+=，且5a是2a与14a的等比中项.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足11nnnbaa+=，

求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）21nan=−；（2）21nnSn=+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项相消法求和．【详解】（1）设等差数列na的公差为d，∵3820

aa+=，且5a是2a与14a的等比中项，∴()()()121112920413adadadad+=+=++，解得11a=，2d=，∴12(1)21nann=+−=−.（2）由（1）得21nan=−∴1111(21)(21)22121nbn

nnn==−−+−+，∴123nnSbbbb=++++111111123352121nn=−+−++−−+111221n=−+21nn=+【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，数列求和，属于中档题．20.已知数列na的前n项和为nS，()*122nnNS

an=−，数列nb满足11b=，点()1,nnPbb+在直线2yx=+上.（1）求数列na，nb的通项na和nb；（2）令nnncab=，求数列nc的前n项和nT；【答案】（1）22nna−=，21nbn=−；（2）13(23)22nnTn−=+−【解析】【分析

】（1）结合题意，化简可得12nnaa−=，12nnbb+-=，可知数列{}na是以12为首项，2为公比的等比数列，数列{}nb是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求数列{}na，{}nb的通项公式；（2）2(21)2nnnncabn−==−，

利用错位相减法求和．【详解】（1）∵122nnSa=−，∴11111222Saa=−=，当2n时，11122nnSa−−=−，∴1122nnnnnaSSaa−−=−=−，∴()*122,nnaannN−=，∴na是首项为112a=，公比为2的等比数列.

其通项公式为2*2()nnanN−=∵()1,nnPbb+在直线2yx=+上，所以12nnbb+=+，∴12nnbb+-=，而11b=∴nb是首项为1，公差为2的等差数列∴21nbn=−.（2）

∵()2*(21)2nnnncabnnN−==−，∴2113152(21)22nnTn−=++++−③因此2212113252(23)2(21)2nnnTnn−−=++++−+−④③-④得：()21121222(21)22nnnTn−−

−=+++++−−111122(21)2212nnn−−−=+−−−13(32)22nn−=−+−∴13(23)22nnTn−=+−.【点睛】本题考查数列的求和，考查等比关系与等差关系的确定及其通项公式，突出考查错位相减法

，属于中档题．21.在△A.BC中，A.，b，c分别是内角A.，B，C的对边，15cos5ABABC==，．（Ⅰ）若2BC=，求sinACB的值；（Ⅱ）若D是边AC中点，且72BD=，求边AC的长．【答案】（Ⅰ）

265（Ⅱ）33AC=【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理求出AC的值，然后利用正弦定理可得sinACB的值；（Ⅱ）以BABC，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE,在△BCE中，由余弦定理可得BC的值，在ABC中，由余弦

定理可得AC的长.【详解】解：（Ⅰ）15cos5ABABC==，，2BC=，由余弦定理：2222cosACBABCBABCABC=+−=52+22-2×5×2×15=25，5AC=．由正弦定理：sinsinABA

CACBABC=，得sin26sin5ABABCACBAC==．（Ⅱ）以BABC，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，则1coscos5BCEABC=−=−，BE=2BD=7，CE=A.B=5，在△BCE中，由余弦定理：2

222cosBECBCECBCEBCE=+−．即21492525()5CBCB=+−−，解得：4CB=．在△ABC中，2222212cos54254335ACBABCBABCABC=+−=+−=，即33AC=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，

考查计算能力，属于中档题.22.机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．(Ⅰ)写出

y与x之间的函数关系式；(Ⅱ)从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；(Ⅲ)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(1)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(2)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床

．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．【答案】（Ⅰ)2(1)5012498240982xxyxxxx−=−+−=−+−；（Ⅱ）从第3年开始盈利；（Ⅲ）方案（1）比较合理.【解析】【详解】【分析】解:（Ⅰ）依题得：（xN*）(3分)（Ⅱ）解不等式2240

980,:10511051xxx−+−−+得∵xN*,∴3≤x≤17，故从第3年开始盈利．(5分)（Ⅲ）（1）989824040(2)40229812yxxxxx=−+−=−+−=当且仅当98

2xx=时，即x=7时等号成立．到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．(8分)（2）()2224098210102yxxx=−+−=−−+，当x=10时，ymax=102故到2011年

，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元(11分)盈利额达到的最大值相同，而方案(1)所用的时间较短，故方案(1)比较合理．(12分)