【文档说明】山西省大同市2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.767 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．考试范围国：必修第二册第六、七、八章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.1.在ABC中，π3A=，2ABAC=，则该三角形的面积1sin2ABACA=（）A.23B.3C.2D.6【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式得4ABBC=，再根据三角形面积公式计算即可.【详解】因为在ABC中，π

3A=，2ABAC=，所以1cos22ABAAACBCACABA===，则4ABBC=，故113sin43222ABCSABACA===.故选：B.2.已知复数i(0,R)zabab=+满足3z=，且i0zz+=，则=a（）A.2B.3C.233D.3

22【答案】D【解析】【分析】由3z=，可得229ab+=，再将i(0)zaba=+代入i0zz+=化简可得ab=，从而可求出a的值.【详解】因为复数i(0)zaba=+满足3z=，所以229ab+=，由i(0)zaba=+，i0zz+=，得(i)ii0abab++−=，()()i0a

bab−+−=，所以0ab−=，即ab=，所以229a=，因为0a，所以322a=，故选：D3.已知平面向量a，b，c满足(2,1)a=，(1,2)b=，且ac⊥.若32bc=，则||c=（）A.10B.25C.52D.35【答案】A【解析】【分析】设(,)cxy=，根据

向量垂直、数量积的坐标表示列方程求c，最后用坐标公式求模即可.【详解】令(,)cxy=，则20232acxybcxy=+==+=，可得222xy=−=，所以||2810c=+=.故选：A4.某种质地的沙子自

然堆放在水平地面上，该沙堆呈底面水平的圆锥形，若要使沙堆上的沙子不滑落，则圆锥母线与底面的最大夹角为π6．现有一底面半径为3m，高为1m的沙堆，为了节省该沙堆的占地，用一底面半径为3m的无盖圆柱形容器自然盛放完这些沙子（沙子可以超出该容器的上

底，且超出部分的形状呈圆锥形），则该容器的高至少为（）A.lmB.2m3C.3m3D.3m2【答案】B【解析】【分析】根据圆柱的体积和圆锥的体积公式即可求解.【详解】依题意，沙堆的体积是22311ππ313π(m)33Vrh===，设圆柱的高为h，露出上部分的沙堆的高为1

h，所以()()2211π3π33π3hh+=，整理得1113hh=−，又因为1π3tan633h=，所以11h，则23h.故选：B.5.在平行四边形ABCD中，4,3,,ABADEF==分别是边,BCCD上的点

，21,32BEBCCFCD==，若10AEAF=，则ABAD=（）A.63B.23C.3−D.6−【答案】C【解析】【分析】以,ABAD为基底向量表示,AEAF，结合数量积运算律运算求解.【详解】以,ABAD为

基底向量，则231,2AEAABBEABADFADDBDFAA=+=++=+=uuuruuuruuruuuruuuruuuruuuuuruuururuuur，因为222114232233ABADABADABABADAAEAFD

++=++=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，即14216910233ABAD++=uuuruuur，解得3ABAD=−uuuruuur.故选：C.的6.在菱形ABCD中，已知π2,3ABBAD==，将AB

D△沿对角线BD折起，形成三棱锥ABCD−，则三棱锥的表面积最大时，该三棱锥的体积为（）A.223B.32C.1D.34【答案】A【解析】【分析】沿对角线BD折起，当ABBC⊥且ADDC⊥，则三棱锥的表面积最大时，取BD的

中点E，连接AE，EC，由ABCD是菱形，可知BD⊥平面AEC，结合三棱锥的体积公式即可求解;【详解】由题意可知，当ABBC⊥且ADDC⊥，则三棱锥的表面积最大时，2,22,ADDCAC===取BD的中点E，连接AE，EC，,,AEBDCEBDAE⊥⊥平面AEC，EC平面AEC，

ECAEE=，可知BD⊥平面AEC，因为π2,3ABBAD==，ABCD是菱形，ABD△是等边三角形3232AE==，DBC△是等边三角形12,3,223222AECBDCES===−=，所以112222333ABCDAECVSBD−==

=.故选：A.7.已知方程()()224230xxaxx−+−+=（aR）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则=a（）A.1842+B.1842−C.2282+D.2282−【答案】D【解

析】【分析】利用复数的四则运算法则,复数相等的条件及其几何意义求解即可.【详解】由已知得240xxa−+=或2230xx−+=，当240xxa−+=时，此方程的两个虚数根互为共轭复数，设1ixmn=+，2ixmn=−，其中,mnR,将1x代入方程得()()2i4i0mnmna+−++=，

整理得()22424i=0mnmamnn−−++−，则2240240mnmamnn−−+=−=，解得24mna==−，即24ixa=−，同理可得，当2230xx−+=时，该方程的虚数根为12i，由复数的几何意义可知，这四个根在复平面

内对应的点为顶点的四边形为等腰梯形，则该等腰梯形的面积为()()122242142a+−−=，解得2282a=−，故选：D.8.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，113bca+=，cosA的最小值为（）A.33B.

66C.34D.58【答案】D【解析】【分析】对原式化简得3bcabc=+，再将其代入余弦定理结合基本不等式即可求出最值.【详解】113bca+=，化简得3bcabc=+，2222222222222233325222c

os22228bcbcbcbcbcbcbcbcabcbcbcbcAbcbcbcbc+−+−−++−+++====，当且仅当bc=时等号成立，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20

分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知四边形ABCD为等腰梯形，,ABCDl∥为空间内的一条直线，且l平面ABCD，下列说法正确的是（）A.若lAB∥，则l//平面ABCDB.若lAD

∥，则l与BC为异面直线C.若,lADlBC⊥⊥，则l⊥平面ABCDD.若,lABlCD⊥⊥，则l⊥平面ABCD【答案】ABC【解析】【分析】对于A：根据线面平行的判定定理分析说明；对于B：根据异面直线的判定定理分析说

明；对于C、D：根据线面垂直的判定定理分析说明.【详解】对于选项A：若lAB∥，l平面ABCD，AB平面ABCD，所以l//平面ABCD，故A正确；对于选项B：由题意可设ADBCO=，因为l//AD，设l与AD确定的平面为，又因

为l平面ABCD，则平面ABCDAD=，可得,OBCOAD，且AD，则O，即BCOl=，所以l与BC为异面直线，故B正确；对于选项C：若,lADlBC⊥⊥，且,ADBC相交，,AD

BC平面ABCD，所以l⊥平面ABCD，故C正确；对于选项D：虽然,lABlCD⊥⊥，但ABCD，不满足线面垂直的判定定理，所以无法确定l与平面ABCD是否垂直，故D错误；故选：ABC.10.在ABC中，已知ABC+，则（）A.2abc+B.222abc+C.sinsin2sin

ABC+D.tantan1AB【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用小角对小边判断即可；对于B，利用余弦定理，结合角的范围即可判断；对于C，举反例排除即可；对于D，利用正切函数的和差公式即可判断.【详解】对于A，因为ABC+，所以,ACBC，根据小角对小边得：

,acbc，所以2abc+，故A正确；对于B，因为ππCABC−=+，所以ππ2C，则cos0C，由余弦定理得222cos02abcCab+−=，即222abc+，故B正确；对于C，当30,30,120ABC=

==时，符合ABC+，但是6sinsin12sin2ABC+==，故C错误；对于D，因为πππ0,0,0222ABAB+，所以tan0,tan0,tan()0ABAB+，则tantantan()01tantanABABAB++=−，所以1tantan0AB−，

即tantan1AB，故D正确.故选：ABD.11.已知复数123,,zzz均为虚数，且312zzz=，则（）A.3120zzzB.312zzz=C.31211zzz−为纯虚数D.存在某个实系数二次方程，它的两

个根为12123,zzzzz【答案】BC【解析】【分析】利用复数的四则运算及复数的模公式，结合共轭复数的概念及复数的概念即可求解.【详解】设()12ii,,,Rzabzcdabcd=+=+，，()()()12ii()izzabcdacbdadbc=++=−++，()(

)312izzzacbdadbc==−−+，对于A，()()221230zzzacbdadbc=−++，故A错误；对于B，()()()()()()2222223||zacbdadbcacbdadbc=−++=+++，()()()()22222

22212||||zzabcdacbdadbc=++=+++，所以312zzz=，故B正确；对于C，()()()()()()2223i11iacbdadbczacbdadbcacbdadbc−++==−−+−++，()()()()2212i1acbdadbczzacbdadbc−−

+=−++，()()()223122i11adbczzzacbdadbc+−=−++为纯虚数，故C正确；对于D，因为()12()izzacbdadbc=−++为虚数，()()22123zzzacbdadbc=−++为实数，所以实系数二次方程，要么0

，要么Δ0，不可能既有实数根，又有虚数根，故D错误.故选：BC.12.在ABC中，π3A=，2AB=，6AC=，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，AExAB=，AFyAC=（x，(0,1y），线段EF与AD相

交于点G．已知ABC的面积是AEF△的面积的2倍，则（）A.12xy=B.x＋y的取值范围为2,2C.若AGAD=，则的取值范围为22,32D.AGEF的取值范围为1137,33【答案】ACD【解析】【分析

】利用三角形面积公式即可得到12xy=，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B，利用共线向量定理的推论即可判断C，利用转化法计算AGEF即可判断D.【详解】对A，13sin234ABCSABACABAC==，133sin2344AEFSAEAFxAByACxyABAC=

==，又因为2ABCAEFSS=△△，即33244ABACxyABAC=，解得12xy=，故A正确，对B，因为12xy=，(,0,1xy，则112yx=，解得12x，则112x，则112222xyxxxx+=+=，当且仅当22x=时等号成立，根据对勾函数的

图象与性质可知当12x=或1时，max1322xx+=，则32,2xy+，故B错误，对C，因为1122ADABAC=+，AGAD=，所以22AGABAC=+，因为点,,EGF三点共线，则存在R

，使得()1AGAEAF=+−()1xAByAC=+−则有()212xy=−=，则yxy=+，2122,32xyxyxy==++，故C正确；对D，1()2()AGADABACxy==++，EFAFAEyACxAB=−=−，

则()1()2()AGEFACAByACxABxy=+−+()2212()AGEFyACyxACABxABxy=+−−+()221166222()2yyxxxy=+−−+22222215215215132

51122xyxxyxxyxxyxx−−−====−++++，因为112x，则2133,242x+，则21311375,1332x−+，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题较难的CD选项的判定，需要利用共线向量定

理的推论，从而得到()212xy=−=，然后解出21xyxyxy==++，从而得到其范围；对于D选项，则利用转化法来计算AGEF，最后得到215yxAGEFxy−=+，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围.三、填

空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z满足22zz+=，则z=________．【答案】2【解析】【分析】根据实数系方程解得1iz=，进而可求模长.【详解】因为22zz+=，整理得()211z−=−，解得1iz=，所以()2211

2z=+=.故答案为：2.14.已知向量()3,1a=，(2cos,2sin1)()b=+R，当ab取得最大值时，ab+=______．【答案】21【解析】【分析】先利用向量数量积的坐标表示与辅助角公式，求得ab取得最大值时的值，从而求得ab+，再利用向量模的

运算公式即可得解.【详解】因为()3,1a=，(2cos,2sin1)()b=+R，所以31π23cos2sin14cossin14sin1223ab=++=++=++，当且仅当ππ2π(Z)32kk+=+，即π2π(Z)6kk=+时

ab取最大值415+=，此时ππ2cos2π,2sin2π1(3,2)66bkk=+++=，所以(23,3)ab+=，所以22||(23)321ab+=+=故答案为：21.1

5.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，22baca=+，则b的取值范围为______．【答案】(22,23)【解析】【分析】利用正、余弦定理得2AB=，再利用正弦定理得2cosbaA=，最后根据三角形为锐角三角形求出cosA的范围

即可得到答案.【详解】由余弦定理得22222cosbacacBaac=+−=+，则2coscaBa=+，则根据正弦定理得sin2sincossinCABA=+，又因为()CAB=−+，sin()2sincossinABABA+=+，即sinco

scossin2sincossinABABABA+=+，化简得sinsin()ABA=−，因为ABC是锐角三角形，则π,0,2AB，则ππ,22BA−−，则则ABA=−，则2AB=，则π02203ππ0π32AAA−，解得ππ64A

，根据正弦定理有()sinsin22sincos2cos2,3sinsinsinbBAAAAaAAA====，.2a=，(22,23)b，故答案：(22,23).16.已知,,,ABCP是半径为2的球面上的四点，且2,ABACABAC==^

．二面角PBCA−−的大小为π4，则点P形成的轨迹长度为________．【答案】23π【解析】【分析】根据题意求出−PABC外接球球心与面ABC的距离，结合二面角的大小判断OD与面PBC所成角大小，进而求出O到PBC外接圆圆心距离

，即可确定P轨迹长度.【详解】由题意，ABC为等腰直角三角形，且外接圆半径22BCr==，圆心为BC中点D，又−PABC外接球半径2R=，球心O，则222ODRr=−=，易知：ODAV为等腰直角三角形，又二面角PBCA−−的大小为π4，由BC为ABC外接圆直径，且面

PBC面ABC=BC，则OD与面PBC所成角为π4，所以O到PBC外接圆圆心距离212dOD==，故PBC外接圆的半径为223Rd−=，注意：根据二面角大小及球体的对称性，如上图示，P轨迹在大球冠对应PBC外

接圆优弧的一侧，在小球冠对应PBC外接圆劣弧的一侧，所以P轨迹长度为23π.故答案为：23π四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（10分）17.已知复数z满足()i1i14izz++=+．为（1）求z；（2）若()22kzkz+R为纯虚数，求k的值

．【答案】（1）12zi=−（2）25k=−【解析】【分析】（1）设i(,R)zabab=+，代入()i1i14izz++=+化简，再利用复数相等的条件可求出,ab，从而可求出复数z，（2）由（1

）知12zi=−，代入()22kzkz+R化简，再由其为纯虚数可求出k的值．【小问1详解】设i(,R)zabab=+，因为()i1i14izz++=+，所以()()()iii1i14iabab++−+

=+，22iiiii14iabaabb+++−−=+，()2i14iaab+−=+，所以124aab=−=，得12ab==−，所以12zi=−【小问2详解】由（1）可知12zi=−，所以()22212i14i4i34iz=−=−+=−−，

所以2234i34ikkzz+=−−−+()()()34i34i34i34ik−=−−−+−34i34i25kk−=−−−3434i2525kk=−−+−因()22kzkz+R为纯虚数，所以33025k−−=

且44025k−，解得25k=−.18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知6()Sbac=+.（1）若2sin3A=，求cosB；（2）若3b=，π3B=，求ABC的面积S.【答案】（1）19−（2

）332【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，得ac=，再根据正弦定理，边角互化，结合coscos()BAC=−+，即可求解；（2）根据条件，变形得32acac=+，再结合余弦定理求ac，代入三角形面积公式，即可求解.【小问1详解】因()6Sbac=+，所以()16si

n2bcAbac=+，因为2sin3A=，所以233cac=+，即ac=，所以2sinsin3CA==，且AC=，(),0,πAC，且πAC+，π,0,2AC，5coscos3CA==，所以1coscos()9BAC=−+=−.【小问2详解】因为()6Sbac=+，所

以()16sin2bcAbac=+，即3sincAac=+，因为3b=，π3B=，323πsinsinsin3abAB===，即sin23aA=，所以32acac=+，为为由余弦定理得2222cosbacacB=+−，所以()()222239334acacacacacac=+−

=+−=−，解得6ac=，所以133sin22SacB==19.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,,abcH是ABC内的一点，且1143AHABAC=+．（1）若H是ABC的垂心，证明：22277cba−=；（2）若H是ABC的外心，求BAC

．【答案】（1）证明见详解（2）π4BAC=【解析】【分析】（1）由垂心的概念及向量的数量积结合余弦定理化简即可；（2）根据外心的性质结合数量积计算得出32cos43cbBACbc==，计算即可.【小问1详解】

∵H是ABC的垂心，∴0AHBCAHBC⊥=，，即11114343AHBCABACBCABBCACBC=+=+，11coscos043acBabC=−+=，由余弦定理可得上式等价于()()22222234cos3cos22abCacBabcacb=+−

=+−，化简得22277cba−=；【小问2详解】如图所示，取AB、AC中点分别为E、F，∵H是ABC的外心，∴,EHABFHAC⊥⊥，即()211110cos03434EHABAHAEABACABABbcBACc=

=−=−−=，故4cos3bBACc=,同理，03cos2FHACcBACb==，联立可得32222cos,cos,4332cbbBACcBACbc====∵()0,πBACπ4BAC=20.如图，在四棱台1111ABCDABCD−中，四边形ABCD和11

11DCBA均为正方形，四边形11ACCA为直角梯形，111111,2,1,ACAAABABAABBDD⊥====．（1）设平面11BCCB平面11ADDAl=，证明：l∥平面ABCD（2）求该四棱台的体积．【答案】（1）证明见详解；（2）73【解析

】【分析】（1）利用条件先证BC∥面ADD1A1，从而得BC∥l，再证线面平行即可；（2）根据已知先证得1AA为棱台高，结合棱台体积公式计算即可.【小问1详解】由题意可得BC∥AD，BC面ADD1A1，AD面ADD1A1，∴BC∥面ADD1A1，又BC平面11BCCB，且

平面11BCCB平面11ADDAl=，∴BC∥l，∵BC平面ABCD，l面ABCD，∴l∥平面ABCD；【小问2详解】如图所示，连接BD，交AC于O点，连接B1D1交A1C1于O1，连接OO1，在四棱台中易得11BDDB∥，由11BBDD=得四边形11BDDA为等腰梯

形，∴1OOBD⊥,在正方形ABCD中，易知BD⊥AC，且1ACOOO=，1ACOO、面11ACCA，∴BD⊥面11ACCA，又1AA面11ACCA，∴1BDAA⊥，∵1ACBDOACCBADAA=⊥，，、面ABCD

，∴1AA⊥面ABCD，设棱台上下底面积分别为1SS、，由条件可得114SS==，，故其体积为：()171114433V=++=.21.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,,2abcabc+=．（1）求C的最大值；（2）求tantantantanCC

AB+的取值范围．【答案】（1）π3（2）2,23【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式计算即可；（2）先由切化弦，结合正余弦定理将条件式化为与边的比值有关的函数，计算即可.【小问1详解

】由余弦定理可得：()2222224431311cos22884842abababcababCababbaba+−++−===+−−=，当且仅当abba=，即ab=时取得最小值，故π3

C，所以C的最大值为π3；【小问2详解】2tantantantancossincossinsinsintantantantantansinsincossinsincosCCABABBACCCABABABCABC+++===，由正余弦定理可得22222222

sin22sinsincoscos1CccABCabCabcabcc===+−+−，由题意可得2abcc=−，所以上式可化为2222243211bbbccc=−+−+，易知02bc，即)22111,3bc−+

，故22,232211bc−+，所以tantan2,2tantan3CCAB+22.如图，在矩形ABCD中，4,2,ABADE==是线段AB上的一点．将ADEV沿DE翻折，

使A点到达P的位置，且点P不在平面BCDE内．（1）若面PDC⊥平面PBC，证明：平面PCD⊥平面BCDE；（2）设E为AB的中点，当二面角PBCD−−最大时，求四棱锥−PBCDE的体积．【答案】（1）证明见解析（2）

83【解析】【分析】（1）在平面PDC内过D作DFPC⊥于F，则由面面垂直的性质可得DF⊥平面PBC，所以DFBC⊥，再由四边形ABCD为矩形，得BCDC⊥，然后由线面垂直的判定可得BC⊥平面PDC，

再由面面垂直的判定可证得结论；（2）取DE的中点O，连接PO，则PODE⊥，延长BC至S，使得4BS=，在平面POS中，过P作SO的垂线，垂足为H，过H作HGBC⊥，垂足为G，连接PG，可证PGH为二面角PBCD−−的平面角

，设0πPOS=，，利用三角变换公式和解直角三角形可得222sincos22tancos2sin22PGH=+，据此可得何时二面角最大，故可求对应的体积.【小问1详解】证明：在平面PDC内过D

作DFPC⊥于F，因为平面PDC⊥平面PBC，平面PDC平面PBCPC=，DF平面PDC，所以DF⊥平面PBC，因为BC平面PBC，所以DFBC⊥，因为四边形ABCD为矩形，所以BCDC⊥，因为DCDFD=，,DCDF平面PDC，所以BC⊥平面PDC，因为BC平面BCD

E，所以平面PCD⊥平面BCDE；【小问2详解】解：因为在矩形ABCD中，4,2,ABADE==为AB的中点，所以ADEV为等腰直角三角形，即PDE△为等腰直角三角形，取DE的中点O，连接PO，则PODE⊥，因为2PDPE==，所以22DE=，所以122PODE==，延长BC至S，使得4BS

=，则ABS为等腰直角三角形，故45BAS=，故,,AOS三点共线，故ASDE⊥，因为,,POOSOPOOS=平面PSO，故DE⊥平面POS，而DE平面BEDC，故平面BEDC⊥平面POS.在平面POS中，过P作FO的垂线，垂足为H，过H作HGBC⊥，垂足为G，连接

PG，因为平面BEDC平面POSOS=，故PH⊥平面BEDC，而BC平面BEDC，故PHBC⊥，而,,PHGHHPHGH=平面PGH，故BC⊥平面PGH，而PG平面PGH，故PGBC⊥，故PGH为二面角PBCD−−的平面角，

设0πPOS=，，则2sinPH=，22cosAH=+，所以322cosFH=−，所以3cosGH=−，故222222sincos2sin22tan3cos3sin3coscossin2222PGH==−+−+222sincos1222

cos2sin22=+，当且仅当tan222=时等号成立，此时22sin3=，故当43PH=时，二面角PBCD−−的平面角最大，因为1(24)262BCDES=+=梯形，所以114863333PBCDEBCDEVSPO−=

==梯形.【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查二面角，考查棱锥的体积的求法，第（2）问解题的关键构造二面角的平面角，利用基本不等式判断何时二面角PBCD−−最大，从而可求出棱锥的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题.获得更多资源请扫码加入享学

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