【文档说明】重庆市永川北山中学校2023届高三上学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.342 MB，由管理员店铺上传

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重庆市永川北山中学校2022-2023学年度第一学期半期质量监测高2023级数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.如果1i12z=−，那么在复平面内，复数z所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限【答案】D【解析】【分析】先计算出z，然后判断其所在象限，即可求解【详解】由1i12z=−可得21,12iizz−==−，复数z所对应的点(1,2)−位于第四象限.故选：D2.已知集合21Axx=−，集合2log1Bxx=，则AB=（）AB.(0,1]C.[2,1

]−D.(0,2)【答案】B【解析】【分析】先求解集合B，再利用交集运算即可.【详解】解：由题得集合{|02}Bxx=，所以{|01}ABxx=≤.故选：B．3.“幂函数()()21mfxmmx=+−在()0,+上为增函数”是“函数()222xxgxm−=−为奇

函数”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函数()()21mfxmmx=+−是幂函数，且在()0,+上为增函数，求出1m=，可得函数()gx为奇函数，即充分性成立；函

数()222xxgxm−=−为奇函数，求出1m=，故必要性不成立，可得答案..【详解】要使函数()()21mfxmmx=+−是幂函数，且在()0,+上为增函数，则2110mmm+−=，解得：1m=，当1m=时，(

)22xxgx−=−，xR，则()()()2222xxxxgxgx−−−=−=−−=−，所以函数()gx为奇函数，即充分性成立；“函数()222xxgxm−=−为奇函数”，则()()gxgx=−−，即()

222222222−−−−=−−=−xxxxxxmmm，解得：1m=，故必要性不成立，故选：A．4.标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上

，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的1010倍，若视力4.0的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为（）A.4510aB.91010aC.4510a−D.91010a−【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n行视标边长为na，第

n1−行视标边长为()12nan−，由题意可得()101102nnaan−=，则()1101102nnana−−=，则数列na为首项为a，公比为11010−的等比数列，所以101191010101010aaa−−−==，则视力4.9的视标边长为91010a−，故选：D

.5.在三棱锥−PABC，若PA⊥平面ABC，ACBC⊥，5AC=，11BC=，8PA=，则三棱锥−PABC外接球的表面积是（）A.100πB.50πC.144πD.72π【答案】A【解析】【分析】根据三棱锥的几何特征，可将三棱锥放于

长方体内，三棱锥的外接球就是长方体外接球.【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，∵2225(11)810PB=++=，∴外接球的表面积为：21041002=

．故选：A.6.已知数列na是公差不为零的等差数列，nb为等比数列，且1122431,,ababab====，设nnncab=+，则数列nc的前10项和为（）A.1078B.1068C.566D

.556【答案】A【解析】【分析】设na公差为d()0d，nb公比为q，由1122431,,ababab====结合通项公式建立方程组解出d，q，即可分组利用求和公式求出结果【详解】设na公差为d()0d，nb公比为q

，由题，1122431,,ababab====，则111adaqdq+=+=，2211313adaqdq+=+=，联立可解得1d=，2q=，所以()111nann=+−=，11122nnnb−−==，∴nc的前10项和为()()101210121011

2110101078212aaabbb−++++++++=+=−，故选：A7.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则()222ababxyxy+++，当且仅当abxy=时等号

成立．根据权方和不等式，函数291()(0)122fxxxx=+−的最小值为（）A.16B.25C.36D.49【答案】B【解析】【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y>0，则()

222ababxyxy+++，当且仅当abxy=时等号成立，又102x，即120x−，于是得22223(23)()252122(12)fxxxxx+=+=−+−，当且仅当23122xx=−，即15x=时取“=”，所以函数29

1()(0)122fxxxx=+−的最小值为25.故选：B8.已知函数()213121xxfxx−=+++，且()()2342fafa+−，则实数a的取值范围为（）A.()4,1−B.()3,2−C.()0,5D.()

1,4−−【答案】A【解析】【分析】构造函数()21321xxgxx−=++，则()()1gxfx=−，然后判断函数()gx的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.【详解】解：令()21321xxgxx−=++，则()()1gxfx=−，因为xR，(

)()2121211233021212121xxxxxxxxgxgxxx−−−−−−+−=++−=+=++++，∴()gx为奇函数，又因为()21321xgxx=−++，由函数单调性可知()gx为xR的增函数，∵()()2342

fafa+−，则()()213410ffaa−+−−，∴()()2340gaga+−，()()()23443gagaga−−=−，∴243aa−，解得41a−.故选：A.二、多选题：本题共4

小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.,ab是两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（）A.,//,//abab⊥⊥B.,,////abab

⊥⊥C.,//,//abab⊥⊥D.,//,//aabb⊥⊥【答案】AD【解析】【分析】根据线面、面面垂直与平行的判定定理及性质定理判定即可；【详解】解：对于A：由a⊥、//，可得a⊥，又//b，所以ab⊥rr，故A正确；对于B：由a

⊥、//，可得a⊥，又ab⊥rr，则//b或b，故B错误；对于C：由//,//a，则//a或a，又ab⊥rr，则//b或b或b与相交（不垂直）或b⊥，故C错误；对于D：由a⊥、//，可得a⊥，又//ab，所以b⊥，故D正确；故选：AD10.下列说法正确

的是（）A.随机变量服从正态分布()3,4N，若()()232PaPa−=+，则a的值等于3.B.为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方

法从该地区A、B、C、D四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知A、B、C、D四校人数之比为7∶4∶3∶6，则应从B校中抽取的样本数量为80C.已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是0.4yxa=+，且由样本数据

算得4x=，3.7y=，则2.1a=D.箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M={第一次取到红球}，N={第二次取到白球}，则M、N为相互独立事件【答案】BC【解析】【分析】利用正态分布的性质得到a

的值，利用抽样比即可判断从B校中抽取的样本数量，根据线性回归直线过样本中心点，可得a的值，根据相互独立性的定义即可作出判断.【详解】A.由正态分布的性质可得：2326aa−++=，解得：73a=，故选项A错误；B.由分层抽样的性质可得：应抽取人数为4

4000=807+4+3+6，故B正确；C.因为回归直线必过样本中心(4,3.7)，所以0.44+=3.7a，即2.1a=，故C正确；D.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此M、N不是相互独立事件，故D错误，故选：B

C.11.已知直线:20+−=lxy与圆22:4Cxy+=交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点()2,2N−−，记M到l的距离为d，则（）A.||22AB=B.d的最大值为22C.ABN是等腰三角形D.MNd+的最小值为32【答案】ACD【解析

】【分析】对于A，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案；对于B，根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案；对于C，求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案；对于D，由题意，作图，根据线段组合，求得答案.【详解】对于A，由圆22:4Cxy+=，可得()0,0C，

半径为2，点C到直线l的距离为2211−=+，则24222AB=−=，故A正确；对于B，由题意，可作下图：点D为弦AB的中点，直线CDAB⊥，则max222dMD==+，故B错误；对于C，由选项B与题意，如下图：易知()2,0A，()0

,2B，则直线AB的斜率02120ABk−==−−，由CDAB⊥，则直线CD的斜率11MDABkk=−=，由()1,1D，则直线CD的方程为()111yx-=?，则yx=，即点()2,2N−−在直线CD上，CD为AB的中垂线，ABN是等腰三角形，故C正确；对于D，由题意，可作图：则dM

E=，显然dMNMEMNND+=+，则2223211MD−−−==+，故D正确；故选：ACD.12.已知函数()ecosxfxmx=−，()fx为()fx的导函数，则下列说法正确的是()A.当1m=时，()fx在()0,

+单调递增B.当1m=时，()fx在()()0,0f处的切线方程为yx=C.当1m=−时，()fx在[0,)+上至少有一个零点D.当1m=−时，()fx在3,2−−上不单调【答案】A

BD【解析】【分析】A．代入m＝1，求()fx，根据指数函数和正弦函数在()0,+上的值域即可判断()fx的正负，由此可判断f(x)在()0,+上的单调性；B﹒代入m＝1，求f(0)和()0f，根

据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；C﹒代入m＝－1，求()fx，令()()xfx=，求()x，根据()x在()0,+上的正负判断()fx的单调性，根据()fx单调性可判断其在[0,)+上

是否有零点；D﹒判断()x在3(2−，)−上的正负，由此判断()fx的单调性，由此可判断()fx在3(2−，)−上有零点，故可判断f(x)在3(2−，)−上不单调．详解】①当1m=时

，()ecosxfxx=−，()esinxfxx=+，当x＞0时，ex＞1，－1≤sinx≤1，∴()fx＞0，∴f(x)在()0,+上单调递增，故A正确；【∵f(0)＝0，()01f=，∴()fx在()()0,0f处的切线方程为y＝x，故B正确；②当m＝－1时，()ecosxf

xx=+，()esinxfxx=−，令()()xfx=，则()ecosxxx=−，当x＞0时，ex＞1，－1≤cosx≤1，∴()x＞0，∴()()xfx=在()0,+上单调递增，∴当x≥0时，()fx≥()0f＝1，∴()fx在[0,)+上无零点，∴

C错误；当3(2x−，)−时，cosx＜0，ex＞0，∴()ecosxxx=−＞0，∴()()xfx=在3(2−，)−单调递增，又323e102f−−=−，而()e0f−−=，∴由零点存在定理可知，存在唯一03(2x−，)−，使得()0

0fx=，当3(2x−，0)x时，()00fx，()fx单调递减，当0(xx，)−时，()00fx，()fx单调递增，∴()fx在3(2−，)−上不单调，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.5()xy−的展开式中23xy的

系数为__________.【答案】10−【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特点即可求解.【详解】5()xy−的展开式中第四项为()3323232355C=C10xyxyxy−−=−，故23xy的系数为：10−，故

答案为：10−14.设,ab为单位向量，且1ab−=rr，则2ab−=________.【答案】3【解析】【分析】先根据1ab−=rr计算出ab的值，然后将2ab−先平方再开根号，结合,,abab的值计算出2ab−的结果.【

详解】因为1,1abab−===，所以2221aabb−+=，所以21ab=，所以12ab=，又因为2221441432224aaababbb==−+=−+=−−，故答案为：3.【点睛】方法点睛：已知,,,abab，求解xayb+的方法：（1）先将xayb+平方然后开根号，得到2

2222xaybxaxyabyb+=++，（2）代入,,,abab的值，即可计算出xayb+的值.15.2cos503sin10cos10−值为_________.【答案】1【解析】【分析】把50拆成6010−，然后利用公式进行化简.【详解】因为

()132cos60102cos10sin10cos103sin1022−=+=+，所以2cos503sin10cos101cos10cos10−==；故答案为：1.16.在平面直角坐标系xOy中，过动点P作圆A

：()()22111xy−+−=的一条切线PQ，其中Q为切点，若2PQPO=，则PQ的最大值为__________.【答案】26+##62+【解析】【分析】先求出点P轨迹方程，然后求出PO的最大值，由2PQPO=可得出答案.【详解】22212PQPOPAPO=−=，设(),P

xy，则()()()22221112xyxy−+−−=+，的化简得()()22113+++=xy，故点P轨迹是以()1,1C−−为圆心、3为半径的圆，所以PO的最大值为()()2231010323PC+=−−+−−+=+由2PQPO=，则故PQ最大值为()23226+

=+故答案为：26+四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na满足25a=，5930aa+=，na的前n项和为nS.（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）令()*1n

nbnNS=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=+，()2nSnn=+；（2）()()3234212nnTnn+=−++【解析】【分析】（1）设公差为d，由题可得715a=，则7225aad−==，从而算出na的通项公式及前n

项和nS；（2）()1111222nbnnnn==−++，采用裂项相消法求解nT.【详解】（1）设公差为d，由5930aa+=得：7230a=，所以715a=，则72155255aad−−===

，所以()2221naandn=+−=+，13a=，所以()()122nnnaaSnn+==+，（2）()1111222nbnnnn==−++，1111111112324112nTnnnn=−+−++−+−

−++()()1111323122124212nnnnn+=+−−=−++++的【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

(1)1111()()nnkknnk=−++；（2）11()nknknkn=+−++；（3）1111()(21)(21)22121nnnn=−−+−+；（4）1112(21)(21)(21)(21)(21)(21)nnnnnnn+++−−−=−−−−1112121nn+=−−−；此外，需注意裂项

之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，()cos3sinsincos0BabCbBC++=.（1）求角B；（2）若2ca=，ABC的面积为233，

求ABC的周长.【答案】（1）2π3B=（2）221233+【解析】【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理边化角即可得tan3B=−，进而可求解，（2）根据三角形面积公式以及2ac=可得,ac，由余弦定理

可求b，进而可得周长.【小问1详解】∵()cos3sinsincos0BabCbBC++=，∴3cos(sincoscossin)0aBbCBCB++=，∴3cossin()sinaBbBCbA=−+=−.由正弦定理得3sincossinsinABBA=−，sin0

A，∴tan3B=−，∵(0,π)B，∴2π3B=.【小问2详解】∵ABC的面积为233，即1323sin243acBac==，得83ac=，∵2ac=，∴2823c=，∵0c，∴233c=，∴4323ac==，由余弦定理可得222282cos

3bacacB=+−=，∵0b，∴2213b=，∴三角形的周长为221233abc++=+.19.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABAD⊥，//ABCD，222ABADCD===，E是PB的中点.（1）求证：//CE平面PAD；（2）若2PC=，求三棱锥P-ACE的体

积.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，DF，利用平行四边形证明//ECDF，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）根据等体积法知PACEEACPVV−−=，

即可由棱锥体积公式求解.【小问1详解】取PA的中点F，连接EF，DF，∵点E，F分别为PB，PA的中点，∴//EFAB，12EFAB=，又∵//DCAB，12DCAB=，∴//EFCD，EFCD=，∴四边形EFDC是平行四边形，∴//

ECDF，又∵EC平面PAD，DF平面PAD，∴//CE平面PAD；【小问2详解】∵222ABADCD===，ABAD⊥，ABCD∥，∴2ACBC==，∵BCAC⊥，又PC⊥平面ABCD，∴BCPC⊥，∴BC⊥平面PAC，又点E为PB的中点，点E到平面PAC的距离为12BC，11111

222322123PACEEACPVVACPCBC−−====..20.北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利

进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门

组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以

上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望

，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）81125（2）分布列见解析，()95EX=，甲【解析】【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解，（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关

成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大.【小问1详解】乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则232332381()C555125PA=+=.【小问

2详解】由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，34310C1(0)C30PX===，1264310CC3(1)C10PX===，2164310CC1(2)C2PX===，36310C1(3)C6PX

===，故X的分布列为X0123P1303101216所以13119()01233010265EX=+++=.所以甲闯关成功的概率为112263+=，因为8121253，所以甲比乙闯关成功的可能性大.21.如图，已知函数()sin()0,||2fxx=+

的图象与坐标轴交于点A，B，1,02C−，直线BC交()fx的图象于另一点D，O是ABD△的重心.（1）求；（2）求ACD的外接圆的半径.【答案】（1）3=（2）576【解析】【分析】（1）根据题中的条件确定点A的坐标，进

而根据三角函数的图象与解析式的关系求解；（2）求解相关的边和角，利用正弦定理求解.【详解】解：（1）∵O是ABD△的重心，1,02C−，∴(1,0)A，故函数()fx的最小正周期为3，即23=，解得23=，又121sin232f−

=−+sin03=−+=，且||2，∴3=.（2）由（1）知2()sin33fxx=+，∴30,2B，又1,02C−，∴3BCO=.∵1,02C

−是BD中点，∴31,2D−−，∴319442AD=+=，设R为ACD的外接圆的半径，的则1957222sin3sin3ADRACD===，∴ACD的外接圆的半径等于576.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、正弦定理.掌握正弦函数性质提解题关键．22.

已知函数()()()e1lnln0xfxaxaxa=+−−．（1）若ea=，求函数()fx的单调区间；（2）若不等式()1fx在区间()1,+上有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）()fx的单调递增区间为()1,+，单调递减区间为()0,1（2）(

)e,+【解析】【分析】（1）当ea=时，分析导数的符号变化，由此可得出函数()fx的增区间和减区间；（2）分0ea、ea两种情况讨论，利用导数分析函数()fx在()1,+上的单调性，验证()1fx在()1,+上能否成立，综合可

得出实数a的取值范围.【小问1详解】解：当ea=时，()()e1elnxfxxx=+−−，()()()11e1eeexxxfxxx−=+−−=−+，当1x时，ee0x−，10xx−，所以()0fx¢>，即()fx在()1,+上单调递增，当01x时，ee0x−，10xx−，所以(

)0fx，即()fx在()0,1上单调递减，则()fx的单调递增区间为()1,+，单调递减区间为()0,1.【小问2详解】解：因为()()()e1lnln0xfxaxaxa=+−−，则()()()()lnlne1e0xxaxafxaaxxx−=+−−=−+，①当

ln1a时，即0ea时，因为1x，eexa，1lnxa，所以()0fx¢>，因此函数()fx在区间()1,+上单调递增，所以()()1e1e1e1fxfa=+−+−=，不等式()1fx在区间()1,+上无解；②当ln1a时，即ea时，当1lnxa

时，lneexaa=，lnxa，因此()0fx，所以函数()fx在区间()1,lna上单调递减，()()1e1e1e1fxfa=+−+−=，不等式()1fx在区间()1,+上有解．综上，实数a的取值范围是(

)e,+．【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：（1）求函数()fx的定义域；（2）求导数()fx；（3）解不等式()0fx¢>，并与定义域取交集得到的区间为函数()fx的单调增区间；解不等式()0fx，并

与定义域取交集得到的区间为函数()fx的单调减区间.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com