【文档说明】四川省泸县第五中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理）试题含答案.docx，共(10)页，441.452 KB，由小赞的店铺上传

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2020年秋四川省泸县第五中学高二开学考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线yx3=−的倾斜角为A.45°B.60°C.120°D.135°2.下列命题正确的是A.三点确定一个平

面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面3.已知数列{𝑎𝑛}是公比为𝑞的等比数列，且𝑎1,𝑎3,𝑎2成等差数列，则公比𝑞的值为A.1,-12B.1C.-12D.

-24.已知5a=，4b=，且10ab=−，则向量a与b的夹角为A.6B.3C.23D.565.在ABC中，已知3AC=，3AB=，30A=，则BC=A.4B.2C.3D.36.设nS是等比数列na的前n项和，若361=3SS，则612SS

为A.15B.310C.18D.197.设𝑚,𝑛是两条不同的直线，𝛼,𝛽是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽，则𝛼//𝛽B.若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝑛，则𝑛⊥𝛼C.若𝑚⊥𝛼，𝑚//𝑛，

则𝑛⊥𝛼D.若𝛼⊥𝛽，𝑚⊥𝛼，则𝑚//𝛽8.已知向量()1,2a=−r，则与a平行的单位向量的坐标为A.255,55−B.255,55−或255,55−C.525,55−

D.525,55−或525,55−9.在ΔABC中,2sin2A=(,,2cbabcc−分别为角,,ABC的对应边),则ΔABC的形状为A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三

角形D.等腰三角形10.已知函数()()sin3cos0fxxx=+的零点构成一个公差为2的等差数列，把函数()fx的图象沿x轴向右平移6个单位，得到函数()gx的图象．关于函数()gx，下列说法正确的是A.在,42上是增函数B.其

图象关于直线2x=对称C.函数()gx是偶函数D.在区间2,63上的值域为3,2−11.已知S，A，B，C是球O表面上的点，𝑆𝐴⊥平面ABC，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝑆𝐴=𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=√2，则球O的体

积等于A.√3𝜋2B.4𝜋3C.√2𝜋3D.𝜋612.已知函数1()lnsin1xfxxx+=+−，则关于a的不等式2(2)(4)0fafa−+−的解集是A.(32)，B.(32)−，C.(12)，D.(35)，二、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.不等式2560xx−+的解集为__________.14..若()3sincosfxxx=−，0,x，则()fx的最小值为____________15.已知直三棱柱111ABCABC−所有的

棱长都相等，D，E分别为棱1AA，BC的中点，则异面直线DE与1AB所成角的余弦值为_______________16.在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐．若△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆，且𝑎

=1，4𝑆=𝑏2+𝑐2−1，则𝛥𝐴𝐵𝐶外接圆的面积为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。17.（10分）已知直

线l：x+y-1=0.（1）求过原点且与直线l平行的直线方程.（2）求过点(2，3)且与直线l垂直的直线方程.18.（12分）设函数()213sincoscos2fxxxx=−−，xR.（1）求函数()f

x的最小正周期；（2）若0,2x，求函数()fx的最值.19.（12分）已知正项等比数列nb的前n项和为nS，且2416bb=，37S=，数列na满足()*11nnaannN+−=+，且11ab=.（1）求数列na，

nb的通项公式；（2）求数列1na的前n项和.20.（12分）在ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，且()()2sin2sin2sinaAbcBcbC=−+−.(1)求角A的大小；(2)若10a=，25cos5B=，D为AC的中点，求BD的长．21.（12分）如

图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是正方形，平面11ADB⊥平面ABCD，1AD=，12AA=.过顶点D，1B的平面与棱BC，11AD分别交于M，N两点.（1）求证：1ADDB⊥；（2）求证：四边形1DMBN是平行四边形；（3）若1A

DCD⊥，试判断二面角1DMBC−−的大小能否为45？说明理由.22.对于定义在区间,mn上的两个函数()fx和()gx，如果对任意的,xmn，均有不等式()()1fxgx−成立，则称函数()fx与()gx在,mn

上是“友好”的，否则称为“不友好”的．（1）若()fxx=，()2gxxx=−，则()fx与()gx在区间1,2上是否“友好”；（2）现在有两个函数()()log3afxxa=−与()()1log0,1agxaaxa=−，给定区间2,3aa++．①若()fx与()gx

在区间2,3aa++上都有意义，求a的取值范围；②讨论函数()fx与()gx与在区间2,3aa++上是否“友好”．2020年秋四川省泸县第五中学高二开学考试理科数学答案1.A2.C3.A4.C5.D6.A7.C8.D9.B10.D11.B12.A

13.{23}xx.14.1−15.52816.𝜋217.解：（1）直线:10lxy+−=的斜率为1−，过原点且与直线l平行的直线方程为：yx=−，即0xy+=；（2）直线:10lxy+−=的斜率为1−，

与直线l垂直的直线的斜率为1，过点(2,3)且与直线l垂直的直线方程为：32yx−=−，即10xy−+=．18.（1）∵()213sincoscos2fxxxx=−−，xR.3cos211sin2sin212226xxx+=−−=−−，∴22T==.（2）∵0,2x

，∴52,666x−−，∴1sin2,162x−−，∴函数()max03fxf==，()()min302fxf==−，∴函数()fx在区间0,2上的最大值为0，最小

值为32−.19.（1）设等比数列nb的公比为q(0)q，依题意可得31121111670bqbqbbqbqq=++=所以21214(1)70bqbqqq=++=，所以22417qqq=++，即23440qq−−=，解得2q=或23q=−（舍

），所以1241bq==，所以1112nnnbbq−−==，所以111ab==，因为11nnaan+−=+，所以212aa−=，323aa−=，434aa−=，，1nnaan−−=，将以上各式相加可得1234naan−=++++L，所以(1)12342nnnan+=+++++=.综上所述：12

nnb−=，()12nnna+=.（2）因为12112()(1)1nannnn==−++，所以数列1na的前n项和为1231111111111112()1223341naaaann++++=−+−+−++−+122(1)11nnn=−=++.20

.(1)因为asinA＝(b－c)sinB＋(c－b)·sinC，由正弦定理得a2＝(b－c)b＋(c－b)c，整理得a2＝b2＋c2－2bc，由余弦定理得cosA＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)由cosB＝，得sinB＝＝＝，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos

(A＋B)＝－＝－，由正弦定理得b＝＝＝2，所以CD＝AC＝1，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝()2＋12－2×1××＝13，所以BD＝.21.（1）由平面11ADB⊥平面ABCD，平面11ADB平面ABCDCD=，且ADCD⊥，所以AD

⊥平面11ADB，又1DB平面11ADB，所以1ADDB⊥；（2）依题意1DMBN，，，都在平面1DB上，因此DM平面1DB，1NB平面1DB，又DM平面ABCD，1NB平面ABCD，平面A

BCD与平面ABCD平行，即两个平面没有交点，则DM与1NB不相交，又DM与1NB共面，所以//DM1NB，同理可证//DN1MB，所以四边形1DMBN是平行四边形；（3）不能.如图，作1CEMB⊥交1MB于点E，延长CE交1BB于点F，连接D

E，由1ADCD⊥，ADCD⊥，1=ADADD⊥，所以CD⊥平面11ADDA，则CD⊥平面11BCCB，又1CEMB⊥，根据三垂线定理，得到1DEMB⊥，所以CED是二面角1DMBC−−的平面角，若=45CED，则CED是等腰直角三角形，1CECD==，又111=9090CFBBE

FFBEFBE+=+，所以CFB中，由大角对大边知1CFBC=，所以1CECF，这与上面1CECD==相矛盾，所以二面角1DMBC−−的大小不能为45.22.（1）由已知，()()222(1)1fxgxxxx−=−=−−，因为1,2x时，2(1)1[1,0]y

x=−−−，所以()()2(1)11fxgxx−=−−恒成立，故()fx与()gx在区间1,2上是“友好”的.（2）①()fx与()gx在区间2,3aa++上都有意义，则必须满足23020aaaa+−+−，解得1a，又0a且1a，所以a的取值

范围为(0,1).②假设存在实数a，使得()fx与()gx与在区间2,3aa++上是“友好”的，则()()22log(43)1afxgxxaxa−=−+，即221log(43)1axaxa−−+，因为(0,1)a，则2(0,2)a，22a+，所以

2,3aa++在2xa=的右侧，又复合函数的单调性可得22log(43)ayxaxa=−+在区间2,3aa++上为减函数，从而max2,log(44)axaya=+=−，min3,log(96)ax

aya=+=−，所以log(44)1log(96)101aaaaa−−−，解得957012a−，所以当957012a−时，()fx与()gx与在区间2,3aa++上是“友好”的；当957112a−时，()fx与()gx与在区间

2,3aa++上是“不友好”的.