【文档说明】福建省龙岩市第一中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题（解析版）.docx，共(20)页，1.063 MB，由envi的店铺上传

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龙岩一中2026届高一上学期第三次月考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα等于（）A.513B.－513C.512D.－512【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数平方关

系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．【详解】由条件知α是第四象限角，所以sin0，即sinα＝21cos−−＝212113−−＝513−.故选：B．【点睛】本题主要考查同角三角函数平方

关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．2.2023πsin3−=（）A.32B.32−C.12D.12−【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.【详解】2023πsi

n3−=πππ3sin(674π)sin()sin3332−−=−=−=−.故选：B3.直角坐标平面上将函数1()2xfxa+=−（0a，1a）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数()gx的图像恒过定点（）A.(2,0)−B.(0,1)C.(2,1

)−D.(0,1)−【答案】A【解析】【分析】先求出()fx的图像所过定点，再将定点按题中要求平移，从而得解.【详解】因为1()2xfxa+=−（0a，1a）,令10x+=，得=1x−，021ya=−=−，所以()fx的图像过定点()1,1−−，将定点()1,1−−向左平移1个单位，再向上平

移1个单位，得()2,0−，所以()gx的图像恒过定点()2,0−.故选：A.4.函数()26logfxxx=−的零点所在区间是（）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4【答案】D【解析】【分析】根据函数

的单调性和零点的存在性定理，即可求得函数()fx的零点所在的区间.【详解】由题意，函数()26logfxxx=−，可函数()fx为定义域上的单调递减函数，又由()()22332log30,4log402ff=−=−，即()()340ff，根据零点的存

在性定理，可得函数()fx的零点所在的区间是()3,4.故选：D.5.已知a＝0.63，b＝30.6，c＝log30.6，则（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.c＜b＜a【答案】C【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解即可．【详解】因为0＜0.63＜

0.60＝1，则0＜a＜1，而b＝30.6＞30＝1，c＝log30.6＜log31＝0，所以c＜a＜b．故选：C6.扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为

24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（）（π3）A.185B.180C.119D.120【答案】C【解析】【分析】首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式12Sl

r=，用大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案．【详解】设外弧长为1l，外弧半径为1r，内弧长为2l，内弧半径为2r，该扇面所在扇形的圆心角为,∵扇形的弧长为lr=，∴1136πlr==，2215πlr==，∵扇形的面积为12Slr=，∴该

扇面画的面积为1122111361153572410119222π2ππSlrlr=−=−=，故选：C．7.已知函数()()21,04log,0xxfxxxx+=−，当1a时，方程()()()2230fxaafxa−++=的根的个数是（）A.3B.4C.5D.6【答案

】D【解析】【分析】根据题意，画出函数()fx的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.【详解】设()tfx=，则()2230taata−++=，即()()20tata−−=，故212,tata==，因为1a，故121,1

tt，画出()fx的大致图象，由图象可知yt=与()yfx=共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D.8.()fx是定义在R上的偶函数，对Rx，都有(2)(2)fxfx−=+，且当[2,0]x−时，

1()12xfx=−.若在区间(2,6]−内关于x的方程()log(2)0(1)afxxa−+=至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A.(1,2)B.(2,)+C.3[4,2)D.3(1,4)【答案】C【解析】【分析】先根据题意分析函

数()fx的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数()fx在2,6−上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.【详解】由(2)(2)fxfx−=+，可得：()()4fxfx−=+.又因为()fx是定义在R上的偶函数，则()()fxfx−=，且函数

()fx图象关于y轴对称.所以()()4fxfx+=，即()fx的周期为4.作出函数1()12xfx=−在[2,0]x−上的图象，根据()fx对称性及周期为4，可得出()fx在2,6−上的图象.令()log(2)(1)agxxa=+若在区间(2,6]−内关于x的方程()log(

2)0(1)afxxa−+=至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则函数()fx与函数()log(2)(1)agxxa=+在(2,6]−上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点.所以()()()()2266gfgf，即()()log223lo

g623aa++，解得342a.故答案为：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数()fx的对称性及周期性，并作出()fx和()gx图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.二

、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知命题2:320pxx−+，则命题成立的一个必要不充分条件是（）A.12x−B.1

2xC.2<<1x−D.22x−【答案】AD【解析】【分析】解不等式2320xx−+，根据逻辑关系得出不等式所表示范围的包含关系，即可得出答案.【详解】由2320xx−+，解得12x.设(1,2)P=，所以，设命题p成立的一个必要不充分条件所表示的范围为Q，则PQ，由(

1,2)(1,2)−，且(1,2)(2,2)−，故AD满足题意，选项B，不满足PQ；选项C，(1,2)不是(2,1)−真子集，不满足题意.故选：AD.10.已知()0,π，且1sincos5+=，则（）A.2B.12

sincos25=−C.7cossin5−=D.7cossin5−=−【答案】ABD【解析】【分析】AB选项，1sincos5+=两边平方得到12sincos25=−，再结合()0,π得到sin0，cos0

，得到AB正确；先求出cossin−的平方，结合角的范围求出cossin−的值.【详解】AB选项，1sincos5+=两边平方得，221sincos2sincos25++=，即112sinc

os25+=，所以12sincos25=−，B正确，因为()0,π，所以sin0，故cos0，所以2，A正确；CD选项，()2222449cossinsincos2sincos12525

−=+−=+=，因为sin0，cos0，所以cossin0−，故7cossin5−=−，C错误，D正确.故选：ABD11.已知函数21()21xxfx-=+，下面说法正确的有（）A.()fx的图象关于y轴对称B.()fx的图象关于原

点对称C.()fx的值域为()1,1−D.12,xxR，且12xx，()()12120fxfxxx−−恒成立【答案】BC【解析】【分析】判断()fx的奇偶性即可判断选项AB，求()fx的值域可判断C，证明()fx的单调性可判断选项D

，即的可得正确选项.【详解】21()21xxfx-=+的定义域为R关于原点对称,()()2122112()()2112212xxxxxxxxfxfx--------====-+++，所以()fx是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项

B正确；212122()1212121xxxxxfx+−−===−+++，因为20x，所以211x+，所以10121x+，22021x−−+，所以211121x−−+，可得()fx的值域为()1,1−，故选

项C正确；设任意的12xx，则()()()121221121222()()1121212121212222221xxxxxxxxfxfx骣琪-=---=-=琪++++++桫-，因为1210x+，2210x+，12220xx−，所以()()()121222202121xxxx−+

+，即12())0(fxfx−，所以()()12120fxfxxx−−，故选项D不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性方法（1）取值：设12,xx是该区间内的任意两个值，且12xx；（2）作差变形：即作差，即作差12()()fxfx−，

并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()fxfx−的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.12.设

函数()fx的定义域为R，π()2fx−为奇函数，π()2fx+为偶函数，当ππ[,]22x−时，()cosfxx=，则下列结论正确的是（）A.5π()12f=−B.()fx在(3π,4π)上为增函数的C.点3π(,0)2是函数()fx的一个对称中心D.方程()lg0fxx

−=仅有5个实数解【答案】BC【解析】【分析】由函数的奇偶性，对称性以及周期性逐一判断选项即可得到答案.【详解】函数()fx的定义域为R，由π()2fx−为奇函数，得ππ()()22fxfx−−=−−，即(π)()fxfx−−=−，由π()2fx+为偶函数，得ππ(

)()22fxfx−+=+，即(π)()fxfx−+=，则(π)(π)fxfx−+=−−−，即(2π)()fxfx+=−，于是(4π)(2π)()fxfxfx+=−+=，函数()fx是周期为4π的周期

函数，对于A，当ππ[,]22x−时，()cosfxx=，5ππππ()(2π)()cos02222fff=+=−=−=，A错误；对于B，()fx在π[,0]2−上单调递增，由(π)()fxfx−−=−，知()fx

图象关于点π(,0)2−对称，则()fxπ[π,]2−−上单调递增，即函数()fx在[π,0]−上单调递增，因此()fx在(3π,4π)上单调递增，B正确；对于C，由(2π)()fxfx+=−及(π)

()fxfx−+=，得(2π)(π)fxfx+=−−+，即(3π)()fxfx+=−−，因此函数()fx图象关于点3π(,0)2对称，C正确；对于D，当ππ[,]22x−时，0()1fx，由函数()fx图象关于点π(,0)2−

对称，知当3ππ[,]22x−−时，1()0fx−，则当3ππ[,]22x−时，1()1fx−，由(π)()fxfx−+=，知函数()fx图象关于直线π2x=对称，则当π5π[,]22x时，1()1fx−，于是当3π5π[,]22x−时，1()1fx−

，而函数()fx的周期是4π，因此函数()fx在R上的值域为[1,1]−，方程()lg0fxx−=，即()lgfxx=，因此()lg0fxx−=的根即为函数()yfx=与lgyx=图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()yfx=与lgyx=的部分图象，如图，在

观图知，()yfx=与lgyx=图象在7π(0,)2上有且只有3个公共点，而当7π2x时，()1,lg1fxx，即函数()yfx=与lgyx=图象在7π(,)2+无公共点，所以方程()lg0fxx−=仅有3个实数解，D错误.故选：BC

【点睛】结论点睛：函数()yfx=的定义域为D，xD，(1)存在常数a，b使得()()22fxfaxb+−=()()2faxfaxb++−=，则函数()yfx=图象关于点(),ab对称.(2)存在常数a使得()()2fxfax=−()()

faxfax+=−，则函数()yfx=图象关于直线xa=对称.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ππ,22−，若函数()()sin3fxx=+的图象关于直线3π5x=对称，则的值为___________.【答案】3π10−【解析】【分析】结合正

弦型函数图象的性质与的范围即可得.【详解】因为函数()()sin3fxx=+的图象关于直线3π5x=对称，所以π3π3π52k=++，kZ，解得13ππ10k=−+，kZ，又ππ,22

−，所以3π10=−.故答案为：3π10−.14.已知()fx奇函数，且当0x时，()eaxfx=−.若(ln2)8f=，则=a__________.【答案】-3【解析】是【分析】当0x时0x−，()

()axfxfxe−=−−=代入条件即可得解.【详解】因为()fx是奇函数，且当0x时0x−，()()axfxfxe−=−−=．又因为ln2(0,1)，(ln2)8f=，所以ln28ae−=，两边取以e为底的对数得ln23ln2a−=，所以3a−=，即3a=−．【点睛】本题主要

考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．15.已知函数()()sin2fxx=+，其中为实数，且π，若()π6fxf对xR恒成立，且()ππ2ff

，则()fx的单调递增区间为______.【答案】()π2ππ,πZ63++kkk【解析】【分析】由题意可知π6f为函数的最大值或最小值，所以()ππ22πZ62kk+=，

由π，得到π6=或5π6=−，即可得()fx的表达式，根据()ππ2ff，即可验证值，代入正弦函数单调递增区间，化简整理，即可得答案.【详解】由()π6fxf对xR恒成立知，()ππ22πZ62kk+=，得到π2π6k=+或5π2

π6k=−，因为π，所以π6=或5π6=−，当π6=时，()πsin26fxx=+，此时π1sinπ62π2f+=−=，()π1sin2π62πf==+，()ππ2ff，不合题意，舍，当5

π6=−时，()5πsin26fxx=−，此时π5π1sinπ262f=−=，()5π1sin2π62πf−=−=，()ππ2ff，符合题意，所以()5πsin26fxx=

−，所以由()π5ππ2π22πZ262kxkk−−+得π2πππ,Z63kxkk++，所以()fx的单调递增区间是()π2ππ,πZ63++kkk.故答案为：()π2ππ,πZ63++kkk16

.已知函数()yfx=与函数()ygx=，满足()()gxfx=−，当()yfx=和()ygx=在区间,ab上单调性不同，则称区间,ab为函数()yfx=的“异动区间”.若区间1,2−是函

数()15xfxt=−的“异动区间”，则t的取值范围是______.【答案】1,[25,)25−+【解析】【分析】两函数图象关于y轴对称，分0t，01t，1t=，1t四种情

况，结合函数图象和单调性，得到不等式，求出答案.【详解】()()155xxtgtxfx−=−=−=−，若0t，()55xxttgx=−=−在1,2−上单调递增，()15xfxt=−在1,2−上单调递减，满足要求，若01t，

画出()5xgxt=−与()15xfxt=−的图象，如下：可以看出两函数图象关于y轴对称，要想1,2−是函数()15xfxt=−的异动区间，则5log2t−，解得10,25t，满足01t，当

1t=时，()115xfx=−，()51xgx=−，画出两函数图象，可以看出两函数图象在1,2−上单调性相同，不合要求，舍去，当1t时，画出两函数图象，可以看出两函数图象关于y轴对称，要想1,2−是函数()15xfxt=−的异动区间

，故5log2t，解得25t，满足1t，综上，t的取值范围为1,[25,)25−+.故答案为：1,[25,)25−+四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.17.（1）求值：()6log6lglg100lg5++.（2）已知正数a满足216,9mnaa==，求2mna−的值.【答案】（1）3（2）23【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可；（2）根据指数幂

的运算性质计算即可.【详解】解：（1）原式2lg2lg52lg103=++=+=.（2）因216ma=，所以4ma=.所以112224293mnmnaaa−===.18.平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重

合，终边经过点(1,2)P−（1）求sinα和tanα的值（2）若()()()()sintan2cos2sincosf+++−=+−，化简并求值【答案】（1）25sin5=，tan

2=-（2）()sin2cos,4sincosaf−=+【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义计算；（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．【小问1详解】∵5OP=，由三角函数的定义得25sin5=，tan2=-；为【小问2详解】∵()

()()()sintan2cos2sincosf+++−=+−sincos2cossin2coscossincossincos−−==++，∴()tan2224tan11f−−−===+

−.19.已知函数()sin26πfxx=−．（1）求函数()fx的最小正周期及π2f；（2）求函数()fx的单调递增区间；【答案】（1）πT=，π122f=（2）3Z

πππ,π6kkk−++【解析】【分析】（1）根据三角函数周期公式即可求函数()fx的最小正周期；（2）根据三角函数单调性即可求函数()fx的单调增区间；【小问1详解】对于函数()sin26πfxx=−，它的最小正周期为2ππ2T==；

π122f=；【小问2详解】令πππ2π22π262kxk−+−+，Zk，求得π2π2π22π33kxk−++，Zk，即ππππ63kxk−++，Zk．所以，函数()fx的单调递增区间是3Zπππ,π6kkk

−++．20.函数()()()log1log3aafxxx=−++，01a（1）求函数()fx的定义域；（2）求函数()fx的零点；（3）若函数()fx的最小值为4−，求a的值【答案】（1）()3,1−（2）13−（3）22【解析】【分析】（1）利用对数型复合函数的定

义域求解即可；（2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解；（3）利用对数函数的单调性即可求解.【小问1详解】解：()()()log1log3aafxxx=−++要使函数有意义，则1030xx−+

，解得：31x−所以函数()fx的定义域为：()3,1−【小问2详解】解：()()()()2log1log3log23aaafxxxxx=−++=−−+令()0fx=，得：2231xx−−+=即2220xx+−=解得：13x=−因为()133,1−−所以函数()

fx的零点为13−.【小问3详解】解：()()()()()22log1log314log23logaaaafxxxxxx=−++=−−−+++=()3,1x−()20144x−++01a且函数()fx的最小值为

4−()214lo4glogaax−++即()log44aminfx==−，得44a−=即22a=.21.近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不

仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()fx（单位

：元）与时间x（单位：天）()*130,Nxx的函数关系满足()10kfxx=+（k为常数，且0k），日销售量()gx（单位：件）与时间x的部分数据如下表所示：x15202530()gx105110105100设该

文化工艺品的日销售收入为()Mx（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.（1）求k的值；（2）给出以下四种函数模型：①()gxaxb=+；②()gxaxmb=−+；③()xgxab=；④()logb

gxax=.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量()gx与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()gx，求()Mx的最小值.【答案】（1）1k=（2）选择函数模型②()gxaxmb=−+，()()*20110130,gxx

xx=−−+N（3）961【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得k的值.（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得,,abm，从而求得()gx的解析式.（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【小问1详解】因为第15天的日销售收入为1057元，所以()()(

)15151510105105715kMfg==+=，解得1k=.【小问2详解】由表中的数据知，当时间x变化时，()gx先增后减.而函数模型①()gxaxb=+；③()xgxab=；④()logbgxax=都是单调函数，所以选择函数模型②()gxaxmb=−+.由()()()

()152515510520110gggabgb==+===，解得1a=−，110b=，20m=.所以日销售量()gx与时间x的变化关系为()()*20110130,gxxxx=−−+N.【小问3

详解】由（2）知()**90,120,N20110130,2030,Nxxxgxxxxx+=−−+=−+所以()()()()**110(90),120,110130,2030,xxxxM

xfxgxxxxx++==+−+NN即()**9010901,120,130101299,2030,xxxxMxxxxx++=−++NN.当120x，*xN时，由

基本不等式得，()90109012900901961fxxx=+++=当且仅当9010xx=，即3x=时，等号成立.当20x30，*xN时，()130101299fxxx=−++单调递减，所以()()1

3309999613fxf=+.综上所述：当3x=时，()fx取得最小值，最小值为961.22.双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正

弦函数为()fx，双曲余弦函数为()gx，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为R；②()fx为奇函数，()gx为偶函数；③()()exfxgx+=（常数e是自然对数的底数，e2.71828=）.利用上述性质，解决以下问题：（1）求双曲正弦

函数和双曲余弦函数的解析式；（2）解不等式21e(())2effx−.【答案】（1）eeee(),()22xxxxfxgx−−−+==（2）(ln(21),)−+【解析】【分析】（1）由()()exfxgx+=

，得()()exfxgx−−+−=，再根据函数的奇偶性化简后，与原式联立方程组可求出(),()fxgx，（2）先判断()fx的单调性，再由其单调性解不等式【小问1详解】由()()exfxgx+=，得()()exfxgx−−+−=，因为()fx为奇函数，()gx为偶函数，所

以()()exfxgx−−+=，由()()e()()exxfxgxfxgx−−+=+=，解得eeee(),()22xxxxfxgx−−−+==，【小问2详解】()ee1()ee22xxxxfx−−−==+−，因为exy=和exy−=−在R上均为增函数，所以

()fx在R上为增函数，由21e(())2effx−，得1ee(())(1)2ffxf−−=−，所以()1fx−，所以ee12xx−−−，即ee20xx−−+，令ext=（0t），则120tt−−+，即2210tt+−，解得12t−−（舍

去），或21t−，所以e21x−，得ln(21)x−，所以不等式的解集为(ln(21),)−+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com