【文档说明】湖南省娄底市新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题（解析版）.docx，共(23)页，1.196 MB，由小赞的店铺上传

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新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期期末联考数学一、选择题（共8题，共40分）1.已知全集U=R，集合2|20Mxxx=−，集合|1Nxx=，则集合()UMN=ð（）A.1|0xx

B.|01xxC.|02xxD.|1xx【答案】B【解析】【分析】根据集合的运算定义求解即可.【详解】由220xx−解得02x，所以|02Mxx=，因为|1Nxx=，所以UN=ð|1xx，所以()UMN=ð|01xx，故

选:B.2.已知，是两个不同的平面，“存在直线l，l⊥，l⊥”是“∥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的判定与性质判段其充分性和必要

性即可.【详解】当，是两个不同的平面，对于其充分性：l⊥，l⊥可以推出∥；对于其必要性：∥可以推出存在直线l，l⊥，l⊥，故其充分必要条件，故选：C.3.在如图平面图形中，已知1,2,120OMONMO

N===,2,2,BMMACNNA==则·BCOM的值为为的A.15−B.9−C.6−D.0【答案】C【解析】【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由2,2BMMACNNA==可知点,M

N分别为线段,ABAC上靠近点A的三等分点，则()33BCMNONOM==−，由题意可知：2211OM==，12cos1201OMON==−，结合数量积的运算法则可得：()2333336BCOMONOMOMONO

MOM=−=−=−−=−.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4.函数

(0)||xxayax=的图象的大致形状是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】化简得,0,0xxaxyax=−，分1a、01a，分别讨论xya=和xya=−的单调性及取值范围，即可得答案.【详解】解

：因为,0,0xxxaxxayxax==−，当1a时，xya=在(0,)+上单调递增，且当x趋于+时，y趋于+；xya=−在(,0)−上单调递减，当x趋于−时，y趋于0,故排除D；当01a时，xya

=在(0,)+上单调递减，当x趋于+时，y趋于0；xya=−在(,0)−上单调递增，当x趋于−时，y趋于−,故排除C.故选：AB.5.已知nS为等差数列na的前n项和，356318,3aSaa+==+，则数列256nan+的最大项为（）A.157B.

115C.114D.1456【答案】B【解析】【分析】先根据等差数列的求和公式和通项公式求出首项与公差，求出等差数列na的通项公式，代入256nan+中，利用基本不等式性质分析即可.【详解】设等差数列na的首项为1a，公差为d，因为()153

53356182aaaSaa++=+==，所以33a=，所以6336aa=+=，则63331daad=−==，所以311231aada=+==，所以等差数列na的通项公式为：()*Nnann=，所以22111565656564142nannn

nnnn===+++，当且仅当56214nnn==时取等号，又*Nn，所以当7n=或8n=时取最大值为2278175685615==++，故选：B.6.4100米接力赛是田径运动中的集体项目．一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一

起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是1p，2p，3p，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中

该组合交接棒没有失误的概率是（）A.123pppB.1231ppp−C.()()()123111ppp−−−D.()()()1231111ppp−−−−【答案】C【解析】【分析】根据对立事件与独立事件求概率的方法可求出

答案.【详解】三次交接棒失误的概率分别是1p，2p，3p，三次交接棒不失误的概率分别是11p−，21p−，31p−，三次交接棒相互独立，此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是()()()123111ppp−−−，故选：C.7.《九章算术》是我国古代数学名著

，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图PABCD−是阳马，PAABCD⊥平面，5PA=，3AB=，4BC=．则该阳马的外接球的表面积为（）A.

1252π3B.50πC.100πD.500π3【答案】B【解析】【分析】由题目条件有，，PAABPAADABAD⊥⊥⊥，则阳马的外接球与以，，PAABAD为长宽高的长方体的外接球相同.【详解】因PAABCD⊥平面，AB平面ABCD，AD平面ABCD，则，

PAABPAAD⊥⊥，又因四边形ABCD为矩形，则ABAD⊥.则阳马的外接球与以，，PAABAD为长宽高的长方体的外接球相同.又5PA=，3AB=，4ADBC==．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：222222345522

22PAABADR++++===，则外接球的表面积为：25044504πππ.SR===故选：B8.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()2221()232fxxaxaa=−+−−，若xR，(1)()fxfx−

，则实数a的取值范围为（）A.11,66−B.66,66−C.11,33−D.33,33−【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，分20xa、222axa和22xa三种情况分类讨论

，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解.【详解】由题意，当0x时，()2221()232fxxaxaa=−+−−，所以当20xa时，()2221()232fxaxaxax=−+−−=−；当222axa时，()22221()232fxxaa

xaa=−+−−=−；当22xa时，()22221()2332fxxaxaaxa=−+−−=−.综上，函数()2221()232fxxaxaa=−+−−，在0x时的解析式等价于222222,0(),23,2xxafxaaxaxaxa−=−−.根据奇函数的图像关于原点对称

作出函数()fx在R上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使xR，(1)()fxfx−，则需满足()22241aa−−，解得6666a−.故选：B.二、多选题（共4题，共20分）9.下列选项中，是函数πt

an3yx=+的单调递增区间的有（）A.5,66−B.5ππ,66−C.π7π,66D.π,2π6【答案】BC【解析】【分析】由πππππ,Z,232kxk

k−++求出函数πtan3yx=+的单调递增区间，再令k取特殊值，结合选项可得答案.【详解】令,Z,232kxkk−++可得5ππππ,Z,66kxkk−+函数πtan3yx=+

的单调递增区间为5πππ,π,Z,66kkk−+令0k=，函数πtan3yx=+的单调递增区间为5ππ,66−，B正确；令1k=，函数πtan3yx=+的

单调递增区间为π7π,66，C正确，故选：BC.10.已知函数xyme=的图象与直线2yxm=+有两个交点，则m的取值可以是（）A.1−B.1C.2D.3【答案】BCD【解析】【分析】将函数xyme=的图象与直线2yxm=+

有两个交点，转化为函数()2xfxmexm=−−有两个零点，导函数为()1xfxme=−，当0m时，()0fx恒成立，函数()fx在R上单调递减，不可能有两个零点；当0m时，令()0fx=，可得

lnxm=−，函数在(),lnm−−上单调递减，在()ln,m−+上单调递增，()fx的最小值为()ln1ln2fmmm−=+−，再令()ln0fm−求解即可.【详解】因为函数xyme=的图象与直线2yxm=+有两个交点，所以函数()2xfx

mexm=−−有两个零点，求导得：()1xfxme=−，当0m时，()0fx恒成立，所以函数()fx在R上单调递减，不可能有两个零点；当0m时，令()0fx=，可得lnxm=−，当(),ln−−xm时，()0fx，当()ln,xm−+

时，()0fx¢>，所以函数在(),lnm−−上单调递减，在()ln,m−+上单调递增，所以()fx的最小值为()ln1ln2fmmm−=+−.令()()1ln20gmmmm=+−，则()12gmm=−，当10,

2x时，()0gm，当1,2x+时，()0gm，所以()gm在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减.所以()max1ln202gmg==−

，所以()fx的最小值()ln0fm−，则m的取值范围是()0,+.所以m可以取1，2，3.故选：BCD【点睛】本题主要考查导数在函数的零点中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.11.已知双曲线C过点()3,2，且渐近线方程为33yx=，则下列结论

正确的是（）A.C的方程为2213xy−=B.C的离心率为3C.曲线21xye−=−经过C的一个焦点D.直线210xy−−=与C有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的渐近线为33yx=，设出双曲线方程，代入已

知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B，C；联立方程组判断D．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为33yx=，可设双曲线方程为223xy−=，把点(3,2)代入，得923−=，即1=．双曲线C的方程为2213xy−=，故A正确；由23a=，21b=，得222cab

=+=，双曲线C的离心率为22333=，故B错误；取20x−=，得2x=，0y=，曲线21xye−=−过定点(2,0)，故C正确；联立2221013xyxy−−=−=，化简得22220,0yy−+−==，所以直线210xy−−=与C只有一个公共点，故D不正确

．故选：AC．12.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（）A.MB是定值B.点M在圆上运动C.一定存在某个位

置，使DE⊥A1CD.一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE【答案】ABD【解析】【分析】取CD的中点N，先证平面MBN∥平面A1DE，再得MB∥平面A1DE；根据余弦定理计算BM为定值；再根据BM为定值，可得点M在圆上运动；若DE⊥A1C，根据条件推出DE⊥A1E,与题意矛盾【详解】解：取D

C的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，因为MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，所以平面MNB∥平面A1DE，因为MB⊂平面MNB，所以MB∥平面A1DE，D正确；∠A1DE＝∠MNB，M

N＝12A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值，A正确；因为B是定点，所以M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B正确；在矩形ABCD中，AB＝2AD

，E为边AB的中点，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE,即得DE⊥A1E,与∠DEA1为45矛盾，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C，C不正确.故选：ABD.三、填空题（共4题，共20分）13.已知复数()()()2213i3i12iz+−=−，z=__

_______.【答案】210【解析】【分析】根据复数的乘法与除法运算法则进行化简，再利用模的公式进行求解【详解】解：()()()()()()()()2213i13i3i13i3i13i68i34i34i12iz++−+−+

+===−−−−−()()213i34i26i34i−+−−==−−−−所以()()2226210z=−+−=故答案为：21014.已知0x，0y，4xy+=，则22loglogxy+的最大值是_________.【答案】2【解析】【分析】

根据4xy+=，利用基本不等式求得4xy，再由222logloglogxyxy+=求解.【详解】因为0x，0y，4xy+=，所以242xyxy+=，当且仅当2xy==时，取等号，所以

2222loglogloglog42xyxy+==，所以22loglogxy+的最大值是2故答案为：215.已知()fx是定义域为R的奇函数，且对任意的x满足()()2fxfx+=，若01x时，有()43xfx=+，则()3.5f=______.【答案】5−【解

析】【分析】由条件可得()()()3.50.50.5fff=−=−，然后可算出答案.【详解】因为()()2fxfx+=，()fx是定义域为R的奇函数，所以()()()3.50.50.5fff=−=−因为当01x时，有

()43xfx=+，所以()0.50.5435f=+=所以()3.55f=−故答案为：5−16.抛物线24yx=的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl⊥，垂足为K，则AKF的面积是___________.【答案】43

【解析】【详解】试题分析：因为抛物线24yx=的焦点为F为()1,0，所以经过F且斜率为3的直线方程为()31yx=−，解得3Ax=，由抛物线定义知AKAF=3=14+=，又因为AKx轴，所以60oFAK=，AFK为正三角形，面积是13444322=，故答案为43.考点：

1、抛物线的标准方程、定义；2、三角形面积公式.【方法点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、定义及三角形面积公式,属于难题.抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到

焦点的距离使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离解决问题.本题是根据A到焦点的与到准线的距离相等AKAF=3=14+=并判定出AFK为正三角形进而求面积的.四、解答题（共6题，共70分）17.已知ABC的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若3a=，2bc−=，且()1

cos2AC+=.（1）求b､c的值；（2）求()sin2BC+的值.【答案】（1）7，5；（2）8349−．【解析】【分析】(1)由()1cos2AC+=可求B，根据余弦定理结合已知条件即可求出b、c；(2)根据正弦定理求出sinC，再求出cosC，利用三角函数公式

即可求()sin2BC+．【小问1详解】∵()1cos2AC+=，∴cosB＝12−，∵()0,B，∴B＝23，根据余弦定理得：2222cosbacacB=+−，即222(2)33ccc+=++，解得5c=，故7b=，5c=．【小问2详解】∵a＝3，b＝7，c＝5，B＝23，∴由正弦定

理得，sinsincbCB=，即35csin532sin714BCb===，∵B＞2，∴C0,2，∴211cos1sin14CC=−=，∴()()2sin2sincos2cossi

n2sin2cos1cos2sincosBCBCBCBCBCC+=+=−+3121153118321221962141449=−−=−．18.已知数列na的前n项和122nnnSa+=−.（1）求证：数列2nna

是等差数列.（2）若不等式()2235nnna−−−对任意*nN恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）378【解析】【分析】（1）由122nnnSa+=−，利用数列的通项和前n项和的关系求解；（2）由（1）得()21nnan=+，将不等式()22

35nnna−−−对任意*nN恒成立，转化为2352nn−−，对任意*nN恒成立求解.【小问1详解】解：当1n=时，21122Sa=−，解得14a=，当2n时，11222nnnnnnaSSaa−−=−=−−，所以122nnnaa−=+，即11122nnnnaa−−=+，

即11122nnnnaa−−−=，又1122a=，故数列2nna是以2为首项，1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）知，12nnan=+，即()21nnan=+，所以()()()()223123512nnnnn

n−−=+−−+，对任意*nN恒成立，即2352nn−−，对任意*nN恒成立，记232nnnb−=，故1102b=−，所以2n时，12146nnbnbn+−=−，所以3232bb=，即32bb，3n时，11nnb

b+，即随着n的增大，nb递减，所以nb的最大值为338b=，所以358−，即378.19.甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下22列联表：班级与成

绩列联表优秀不优秀总计甲队8040120乙队240200240合计320240560附2()PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参

考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++）（1）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与学校有关系；（2）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这16名同学中随机抽取3名运同学作为

成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系（2）分布列见解析，34【解析】【分析】(1)根据所给数据求出2K，结合独立性检验的定义求解；(

2)根据超几何概率模型求解.【小问1详解】由题意得22560(8020040240)5.6575.024120440320240K−=，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系．【小问2详解】16名同学中有甲学校有4人，乙学校有12人，X的可能

取值为0，1，2，3．312316C11(0)C28PX===，21124316CC33(1)C70PX===，12124316CC9(2)C70PX===，34316C1(3)C140PX===，X的分布列为如下X0123P112833709701140所以()11339130123287

0701404EX=+++=．20.如图1，在△ABC中，90ACB=，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．（1）证明：DF⊥平面ABC．（2）

若2AE=，二面角D-AC-E为6，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形,然后利用线面垂直的判定定理证明EG⊥平面ABC,从

而得到DF⊥平面ABC.（2）（方法一）过点E作EHEC⊥，以E为原点，建立空间直角坐标系E-xyz，设DEa=,求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知条件可得DE长，然后利用线面角的向量公式求解即可；（方法二）连接DG，可证得6DGE=，可得DE长，过点F作FIDG

⊥，垂足为I，利用线面垂直及面面垂直的性质可得FI⊥平面ACD，连接AI，则∠FAI即为所求角，在三角形中计算可得答案.【小问1详解】如图，取AC中点G，连接FG和EG，由已知得DEBC∥，且12DEBC=．因为F，G分别为A

B，AC的中点，所以FGBC∥，且12FGBC=所以DEFG∥，且DEFG=．所以四边形DEGF是平行四边形．所以EGDF∥．因为翻折的BCAC⊥，易知DEAC⊥．所以翻折后DEEA⊥，DEEC⊥．又因为EAECE=，EA，EC平

面AEC，所以DE⊥平面AEC．因为DEBC∥，所以BC⊥平面AEC．因为EG平面AEC，所以EGBC⊥．因为ACE等边三角形，点G是AC中点，所以EGAC⊥又因为ACBCC=，AC，BC平面ABC．所以EG⊥平

面ABC．因为EGDF∥，所以DF⊥平面ABC．【小问2详解】（方法一）如图，过点E作EHEC⊥，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设DEa=，则()3,1,0A，()0,2,2Ba，()0,2,0C

，()0,0,Da，则()3,1,2ABa=−，()3,1,0AC=−uuur，()0,2,CDa=−，因为DE⊥平面AEC．所以()0,0,EDa=是平面AEC的法向量，设面ACD的法向量为(),,mxyz=，则00mACmCD==，即3020xyyaz

−+=−+=，解得332xyzya==．取3ya=，得(),3,23maa=．是因为二面角D-AC-E为6，所以2233coscos,62||412amEDmEDmEDaa====+，解得1a=，所以()1,3,23m=，(

)3,1,2AB=−．记直线AB与平面ACD所成角，则33436sincos,4422mABmABmAB−++====，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为64．（方法二）如图，连接DG，因为DE⊥平面AEC，AC平面AEC，所以ACDE⊥．又

因为ACEG⊥，DEEGE=，DE，EG平面DEG．所以AC⊥平面DEC．因为EG，DG平面DEG，所以ACEG⊥，ACDG⊥，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故6DGE=．由△ACE是边长为2的等边三角形，得3EG=，在RtDGE中，3tantan63DEDGE

EG===，所以1DE=，2BC=．过点F作FIDG⊥，垂足为I，因为AC⊥平面DEGF，AC平面ACD，所以平面DEGF⊥平面ACD．又因为平面DEGF平面ACDDG=，FI平面DEGF，且FIDG⊥，所以FI⊥平面ACD．连接AI，则∠

FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，3DF=，1FG=，得2DG=，由等面积法得DGFIDFFG=，为解得32FI=．在RtAFG中，1AG=，1FG=，所以2AF=．在RtFA

I中，362sin42FIFAIAF===，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为64．21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的上下左右四个顶点分别为A，B，C，D，x轴正半轴上的点P满足||||2,||4PAPDPC===．（1）求椭圆C的标准方

程以及点P的坐标．（2）过点P作直线l交椭圆于M，N，是否存在这样的直线l使得MNA△和MND的面积相等？若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，求当直线l的倾斜角为钝角时，MND的面积．【答案】（1）22193xy+=，P点坐标为()10，（

2）存在，()31yx=−或()313yx=−−（3）513【解析】【分析】（1）由||||2,||4PAPDPC===及椭圆的定义即可求得标准方程及点P点坐标.（2）由MNA△与MND的面积相等知点,AD到直线l的距离相等，再由点到直线的距离公式即可求得直线方程.（3）由（2

）求得的直线方程，联立椭圆，再由面积公式即可求得三角形的面积.【小问1详解】设点P的坐标为()00x，，0(0),x易知224a=+，3a=，041xa=−=，22023bx=−=，因此椭圆的标准方程为22193xy+=，P点坐标为()10，．【小问2详解】设直线():1lykx=−，由MN

A△与MND的面积相等知点,AD到直线l的距离相等，所以22|3||3|,11kkkkk−−−=++解得3k=或33k=−，所以直线l的方程为()31yx=−或3(1)3yx=−−．【小问3详解】若直线l的

倾斜角为钝角，则33k=−，此时直线l的方程为3(1)3yx=−−，由221,933(1),3xyyx+==−−消去x得262380yy−−=，设M，N坐标分别()11xy，，()22xy，，则有121234,,33yyyy+==−所以MN

D的面积22121212113451||||2()4()4()22333SPDyyyyyy=−=+−=−−=故所求MND的面积为513．22.已知函数21()ln,2fxxaxxaR=−+（1）若(1)0f=，求函数()fx的单调递减区间;（2）若关于x的不等式()1fx

ax−恒成立，求整数a的最小值:（3）若2a=−，正实数12,xx满足1212()()0fxfxxx++=，证明:12512xx−+【答案】（1）(1,)+；（2）2；（3）证明见解析．【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求导：因为(

1)102af=−=，所以2a=，2121()21(0)xxfxxxxx−++=−+=由()0fx，得为1x，（2）不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于2ln112xxaxx+++在(0,)+上恒成立．再利用导数求函数2ln1()12xxgxxx

++=+最大值，令()0gx=根为0x，()gx在0(0,)xx上是增函数；在0(,)xx+上是减函数．000max020000011ln112()()11(1)22xxxgxgxxxxxx+++====++(1,2)，所以整数a的最小值为2．（3）转化为关于

12xx+的不等式即可：由1212()()0fxfxxx++=，即2211122212lnln0xxxxxxxx++++++=从而212121212()()ln()xxxxxxxx+++=−，利用导数求左边函数最小值

1，所以21212()()1xxxx+++，解得12512xx−+试题解析：（1）因为(1)102af=−=，所以2a=，1分此时2()ln,0fxxxxx=−+，2121()21(0)xxfxxxxx−+

+=−+=2分由()0fx，得2210xx−−，又0x，所以1x．所以()fx的单调减区间为(1,)+．4分（2）方法一：令21()()(1)ln(1)12gxfxaxxaxax=−−=−+−+，所以21(1)1()(1)axaxgxaxaxx−+

−+=−+=−．当0a时，因为0x，所以()0gx．所以()gx在(0,)+上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022gaaa=−+−+=−+，所以关于x的不等式()1fxax−不能恒成立．6分当0a时，21()(1)(1)1()axxaxaxagxxx−+

−+−+=−=，令()0gx=，得1xa=．所以当1(0,)xa时，()0gx；当1(,)xa+时，()0gx，因此函数()gx在1(0,)xa是增函数，在1(,)xa+是减函数．故函数()gx的最大值为21111

11()ln()(1)1ln22gaaaaaaaa=−+−+=−．8分令1()ln2haaa=−，因为1(1)02h=，1(2)ln204h=−，又因为()ha在(0,)a+是减函数．所以当2a时，()0ha．所以

整数a的最小值为2．10分方法二：（2）由()1fxax−恒成立，得21ln12xaxxax−+−在(0,)+上恒成立，问题等价于2ln112xxaxx+++在(0,)+上恒成立．令2ln1()12xxgxxx++=+，只要max()agx．6分因为2

21(1)(ln)2()1()2xxxgxxx+−=+−，令()0gx=，得1ln02xx−−=．设1()ln2hxxx=−−，因为11()02hxx=−−，所以()hx在(0,)+上单调递减，不妨设1ln02xx−−=的根为0x．当0(0,)xx时，()0gx；当0(,)

xx+时，()0gx，所以()gx在0(0,)xx上是增函数；在0(,)xx+上是减函数．所以000max020000011ln112()()11(1)22xxxgxgxxxxxx+++====++．8分因为11()2024hln=−，1(1)02h=−所以0112x，此时0

112x，即max()(1,2)gx．所以2a，即整数a的最小值为2．10分（3）当2a=−时，2()ln,0fxxxxx=++由1212()()0fxfxxx++=，即2211122212lnln0xx

xxxxxx++++++=从而212121212()()ln()xxxxxxxx+++=−13分令12txx=，则由()lnttt=−得，1()ttt−=可知，()t在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+

上单调递增．所以()(1)1t=，15分所以21212()()1xxxx+++，因此12512xx−+成立．16分考点：利用导数求函数单调区间、函数最值