【文档说明】决战中考数学九年级三轮冲刺训练：《二次函数动点综合》（三）.doc，共(22)页，500.068 KB，由管理员店铺上传

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1决战2020年中考数学九年级三轮冲刺训练：《二次函数动点综合》（三）1．我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与轴交于点A，B，且

点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．2．如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段

BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过

程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．23

．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点过点P作PH⊥AC于点H，求线段PH长度的最大值；（3）Q为抛物线上的一个动点（不与点A、B、C重合），QM⊥x轴于点M，是否存在点

Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6

．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．35．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD＝，如图所示．（1）求抛

物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连结PB，求PC+PB的最小值．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两

点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出

点N的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，点A（﹣2，0），点C（﹣1，0），点A、C关于原点O的对称点分别为点B、D．线段AB沿y轴向下平移2m（m＞0）个单位长度，得到线段A1B1，抛物线y＝ax2+bx+2过点A1，B1．（1）当m＝1时，a＝；（2）求

a与m之间的关系式；（3）线段CD沿y轴向下平移2n（n＞0）个单位长度，得到线段C1D1，抛物线y＝ax2+bx+2过点C1，D1．①a＝；（用含n的式子来表示）m与n之间的关系式为．②点P（x，0）在x轴上，当△PC1B1为等腰直角三角形时

，直接写出点P的坐标．58．如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴正半轴交于点C，连接BC，P为线段AC上的动点，P与A，C不重合，作PQ∥BC交AB于Q，A关于PQ的对称

点为D，连接PD，QD，BD．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在抛物线上时，求点P的坐标；（3）设点P的横坐标为x，△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S．①直接写出S与x的函数关系式；②当△BDQ为直角三角形时，直接写出x

的值．9．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l

的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两

点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．610．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM

，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．7参考答案1．解：（1）如图

，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8

﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）结论：AE是⊙C的切线．理由：连接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A（2，

0），B（8，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣x+4＝（x﹣5）2﹣，∴抛物线的顶点E（5，﹣），∵AE＝＝，CE＝4+＝，AC＝5，∴EC2＝AC2+A

E2，∴∠CAE＝90°，8∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．2．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式

为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，

∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为：（，），将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，∴点E的坐标为：（，），9∴DE＝﹣＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2

+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED

＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴＝，∵C（0，4）、E（，），∴CE＝＝，由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标

为：（t，﹣t+4），∴CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，解得：t＝，10当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为：（，）．3．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的

表达式为：y＝﹣x2+x﹣2；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，如图1，过点P作x轴的平行线交AC于点N，交x轴于点M，设PH交x轴于点K

，∵∠PMA＝∠MHA＝90°，∠PKM＝∠AKH，∴∠NPH＝∠OAC，则tan∠NPH＝tan∠OAC＝＝，则cos∠NPH＝，设点P（x，﹣x2+x﹣2），则点N（x，﹣x﹣2），则PH＝PNcos∠NPH＝（﹣x2+x﹣2+x+2）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故PH有最大

值，当x＝3时，PH的最大值为；11（3）存在，理由：设点Q（x，﹣x2+x﹣2），则AM＝|x﹣4|，QM＝|﹣x2+x﹣2|，由（2）知，tan∠OAC＝＝，以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似，则∠MQA＝∠OAC或∠OCA，即tan∠MQA＝＝或2，即＝或2

，解得：x＝1（舍去）或4（舍去）或5或﹣3，即x＝5或﹣3，故点Q的坐标为：（5，2）或（﹣3，﹣14）．4．解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令x＝0，则y＝﹣a，∴C（0，﹣a），令y＝

0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴（1﹣a）（﹣a）＝6解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；12（2）∵a＝﹣3，∴C（0，3），∵S△ABP＝S△ABC．∴P点的纵坐标为±3，把y＝

3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣

1﹣，﹣3）．5．解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），又∵＝，∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），

解得，∴二次函数的解析式为＝﹣x2++；（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得即直线BC的解析式为，令y＝t，得：，∴点E（5﹣t，t），把代入，得，即，13∴，∴△BCF的面积＝×EF×BD＝（t﹣）＝，∴当t＝2时，△BCF的面积最大

，且最大值为；②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴，过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，∴，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，∴线段BH的长就是的

最小值，∵，又∵，∴，即，∴的最小值为．6．解：（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+314（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），∵B（0，3），C（1，0），∴OA＝OB＝3O

C＝1，AB＝3，∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴＝，∴＝，∴AP＝2．（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝2，①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，∴N（﹣2，3），N′（2

，﹣5），②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，∴N″（﹣4，﹣5），综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．7．解：（1）点A、C关于原点O的对称点分别为点B、

D，则点B、D的坐标分别为（2，0）、（1，0），15则平移后A1、B1的坐标分别为（﹣2，﹣2m）、（2，﹣2m），则，∴4a+4＝﹣4m，∴a＝﹣m﹣1，当m＝1时，a＝﹣2，故答案为﹣2；（2）由（1）得：a＝﹣m﹣1，（3）①平移后点C1、D1的坐标分别为（﹣1，﹣2n）、（1，﹣

2n），则，解得：a＝﹣2n﹣2，而a＝﹣m﹣1，故m＝2n+1，故答案为：﹣2n﹣2；m＝2n+1；②平移后点B1的坐标为（2，﹣2m），即（2，﹣4n﹣2），而点C1（﹣1，﹣2n），（Ⅰ）当∠B1PC1为直角时，如图1，连接BB1、CC1，

∵∠CPC1+∠BPB1＝90°，∠CPC1+∠CC1P＝90°，∴∠BPB1＝∠CC1P，而PB1＝PC1，∠PCC1＝∠B1BP＝90°，∴△PCC1≌△B1BP（AAS），∴CC1＝PB，BB1＝PC，16即2n＝2﹣x且x+1＝4n+2，解得：x＝，故点P的坐标为（，

0）；（Ⅱ）当∠C1B1P为直角时，过C1作C1M⊥A1B1，过点P作PN⊥A1B1交A1B1的延长线于点N，同理可得：△C1MB1≌△B1NP（AAS），∴MC1＝B1N且MB1＝PN，即2n+2＝x﹣2且4n+2＝3，解得：x＝；（Ⅲ）当∠B1C1P为直

角时，简图如图3，过点C1作C1M⊥x轴，过点B1作x轴的平行线交MC1的延长线于点N，同理可得：△PMC1≌△C1NB1（AAS），∴PM＝C1N，C1M＝NB1，即x+1＝2n+2，2n＝3，解得：x＝4，故点P（4，0）；综上，点P的坐标为（，0）或（4，0）或（，0）．8．解：（1）直线y

＝x+4①，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣317∴A（﹣3，0）B（0，4），∵抛物线经过A，B两点，∴，解得，∴；（2）设P点坐标为（x，0），令＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴OB＝OC＝4，∴∠BCO＝45°，又PQ∥B

C，∴∠QPA＝∠BCO＝45°，∴∠APD＝90°，∴D（x，x+3），∴，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵P与A，C不重合，∴P（1，0）；（3）∵PQ∥BC，∴直线PQ的表达式中的k值为﹣1，则直线PQ的

表达式为：y＝﹣x+b，将点P的坐标[改设为：点P（m，0）]代入上式并解得：直线PQ的表达式为：y＝﹣x+m②，联立①②并解得：x＝，故点Q（，）；①由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，由（2）知，点D（x，x+3），18∵当点D在直线BC上时，即x+3＝﹣x+4，解得：x

＝；当﹣3＜x≤时，S＝S△PQG＝×PD×（xP﹣xQ）＝×（x+3）（x﹣）＝；当＜x＜4时，同理可得：S＝；②点B的坐标（0，4），点D（x，x+3），点Q（，）；（Ⅰ）当∠BDQ为直角时，如图1

，过点D作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点M，交过点B与x轴的平行线于点N，∵∠NDB+∠NBD＝90°，∠NDB+∠MDQ＝90°，∴∠MDQ＝∠NBD，∴tan∠MDQ＝tan∠NBD，即，而MQ＝x﹣＝，MD＝x+3﹣＝，BN＝x，

ND＝4﹣（x﹣3）＝1﹣x，，解得：x＝或﹣3（舍去﹣3），故x＝；（Ⅱ）当∠BQD为直角时，如图2，19同理可得：tan∠QDN＝tan∠MQB，即，则，解得：x＝0或﹣3（舍去）；（3）当∠QBD为直角时，同理可得：x＝；综上，当△BDQ为直角三角形时，x的值是或．9．解：（1）根据题意

，得：，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣1；（2）d﹣t＝，证明：如图1，过点P作PD⊥y轴于点D，设P（p，p2﹣1），p≠0，在Rt△CDP中，由勾股定理得PC2＝PD2+CD2，∴PC2＝p2+（p2﹣1+）2＝p2+（p2﹣

）2＝（p2+）2，20∴t＝PC＝p2+，∵d＝PH＝p2﹣1﹣（﹣2）＝p2+1，∴d﹣t＝；（3）如图2，过点P作PH⊥l于点H，交x轴于点G，∵抛物线y＝x2﹣1与x轴交于点A，B，∴A（﹣1，0）、B（1，0），∵直线l∥x轴，∴△PAG∽△PMN，∴

＝，设P（p，p2﹣1），∴＝＝，∴m＝，同理可得n＝，∴mn＝﹣1．10．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由抛物

线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），则tan∠MAC＝＝2，则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，21将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，故直线AM的表达式为：y＝2x+6，∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠

DEF＝，设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），

连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，则BD＝＝；②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，则直线OK的表达式为：y＝x，22∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y

＝﹣x+b，将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，则直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，故点Q（0，2﹣），由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα＝，则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），则DQ+

OQ为最小值＝+（2﹣）＝．