【文档说明】湖南省部分学校2024届高三上学期第三次联考数学试题（解析版）.docx，共(21)页，998.315 KB，由小赞的店铺上传

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高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知

命题():0,1px，333x=，则p的否定是（）A.()0,1x，333xB.()0,1x，333xC.()0,1x，333x=D.()0,1x，333x【答案】A【解析】【分析】根据题意，由特称

命题的否定是全称命题，即可得到结果.【详解】因为命题()0,1x，333x=，则其否定为()0,1x，333x.故选：A2.定义集合,,xABzzxAyBy==．已知集合4,8A=，1,2,4B=，则

AB元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，直接进行计算即可.的【详解】因为4,8A=，1,2,4B=，所以1,2,4,8AB=，故AB的元素的个数为4．故选：B.3.已知函数()3132fxxxx=−−的图象在()0xa

a=处的切线的斜率为()ka，则（）A.()ka的最小值为6B.()ka的最大值为6C.()ka的最小值为4D.()ka的最大值为4【答案】C【解析】【分析】求导，结合基本不等式即可求解.【详解】()()221922924kafaaa==+−−=，当且仅当419

a=时，即33a=时，等号成立，所以()ka的最小值为4．故选：C4.已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（）（参考数据：取111.27.43=）A.35.15a万元B.33.1

5a万元C.34.15a万元D.32.15a万元【答案】D【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列()1,2,,11iai=是首项为a，公比为1.2的等比数列，结合等比数列的前n项和公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设第()1,2,,11ii=年的销售额为ia

万元，依题意可得数列()1,2,,11iai=是首项为a，公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为()()()111111.21.21102.2210.27.433.151.aaaa−−−===−万元．故选：D5.设函数()fx的定义域为R，且()1fx+是奇函数

，()23fx+是偶函数，则（）A.()00f=B.()40f=C.()50f=D.()20f−=【答案】C【解析】【分析】由奇函数、偶函数的性质求解即可.【详解】因为()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx−+=−+，则()10f=．又()

23fx+是偶函数，所以()()2323fxfx−+=+，所以()()510ff==．故选：C.6.设π0,2，π0,2，且1tantancos+=，则（）A.π22+=B.π22−=C.π22−=D.π22+=【答案】A【解析】【分析】根据

同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及诱导公式对题中条件进行化简，即可求得.【详解】因为1tantancos+=，所以sinsin1coscoscos+=，所以sincoscossincos+=，即()πsinsin2

+=−．又π0,2，π0,2，所以π2+=−，即π22+=或ππ2++−=，即π2=（舍去）．故选：A.7.已知函数()πcos12fxx=−，()πsin46gxx

=+，则“曲线()yfx=关于直线xm=对称”是“曲线()ygx=关于直线xm=对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系

即可判断.【详解】令()11ππ12mkk−=Z，得()11ππ12mkk=+Z，所以曲线()yfx=关于直线()11ππ12xkk=+Z对称．令()22ππ4π62mkk+=+Z，得()22

ππ124kmk=+Z，所以曲线()ygx=关于直线()22ππ124kxk=+Z对称．因为()11π{|π}12mmkk=+Z()22ππ{|}124kmmk=+Z所以“曲线()yfx=关于直

线xm=对称”是“曲线()ygx=关于直线xm=对称”的充分不必要条件．故选：A.8.对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD中，120ABC=，2AB

=，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若DPDADC=+，则+的最大值为（）A.52B.3C.5D.32【答案】A【解析】【分析】就0+=和0+分类讨论，后者可根据对称性只需考虑P在,ADAB对应的半圆弧上，前者1+≤，后者1+，

而后者可建系处理.【详解】连接AC.若0+=，则DPDADCCA=−=，若不为零，则//DPCA，这与题设矛盾，若为零，则P与D重合.若0+，则DPDADC=++++，设DADCDS+=++，故()D

PDS=+，且,,SAC三点共线.由对称可知只需考虑P在,ADAB对应的半圆弧上.当P在AD对应的半圆弧上（除D外）时，S总在DP的延长线上，故此时1+≤.当P在AB对应的半圆弧上，S总在DP之间，故此时1+建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0A−，33:33ACy

x=+，()0,3D，设(cos,sin)(π0)P−，当π2=−时，223333DS==，而13DP=+，此时1333522233+++==.当π2−时，则3sin3sin:330coscosDPyxx−−=+=−+−

，由3sin3cos3333yxyx−=−+=+可得23333sin3cosSx=−+，故3cos3sin3cos23233333sin3cosDPDS+−==−+.23πcos333233++=，当π3=−时，max535

32233DPDS==.综上，max52DPDS=故选：A【点睛】思路点睛：与向量的线性表示有关的最值问题中，如果考虑基底向量前系数的和的最值，则可利用三点共线构造系数和的几何意义，这样便于求

最值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()241lg4fxxx=−+，则（）A.()fx最小值为1B.xR，()()12ffx+=C.()92lo

g23ffD.0.10.18119322ff−−【答案】ACD的【解析】【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD.【详解】()21lg10lg10

12fxx=−+=，当且仅当12x=时，()fx取得最小值1，A正确．因为当且仅当12x=时，()fx取得最小值，且最小值为1，所以()11f，所以()()12ffx+，B错误．因为9lg2lg210log2lg9lg83==，所以9

11log226−，又211326−=，且()fx在1,2−上单调递减，在1,2+上单调递增，所以()92log23ff，C正确．因为0.10.20.189331=，所以0.10.1811193222

−−，所以，D正确．故选：ACD10.若正项数列na是等差数列，且25a=，则（）A.当37a=时，715a=B.4a的取值范围是)5,15C.当7a为整数时，7a的最大值为29D.公差d的取值范围是()0,5【答案】ABC【解析】【分析】对于A根据等差

数列的定义求出公差d的值，即可求出7a；又数列na是正项等差数列，根据150ad=−，及0d≥，即可求出公差d的取值范围，继而可以判断B,C,D.【详解】当37a=时，公差2d=，7347815aad=+=+=，A正确．因为na是正项等差数列，所以150ad=−，即5d，且0d

≥，所以公差d的取值范围是)0,5，D错误．因为452ad=+，所以4a的取值范围是)5,15，B正确．)7555,30ad=+，当7a为整数时，7a的最大值为29，C正确．故选：ABC.11.若函数()fx的定义

域为D，对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得()()121fxfx=，则称()fx为“A函数”，则下列说法正确的是（）A.函数()lnfxx=是“A函数”B.已知函数()fx，()1fx的定义域相同，若()fx是“A函

数”，则()1fx也是“A函数”C.已知()fx，()gx都是“A函数”，且定义域相同，则()()fxgx+也是“A函数”D.已知0m，若()sinxfxm=+，,22x−是“A函数”，则2m=【答案】BD【解析】【分析】题

干给出了“A函数”的定义，按照定义，判断函数是否是“A函数”，其中一定注意()0fx在定义域中恒成立，选项中不正确的举出反例，正确的严格按照“A函数”的定义证明即可.【详解】对于选项A，当11x=时，()10fx=，此时不

存在2x，使得()()121fxfx=．A不正确；对于选项B，由()fx，()1fx的定义域相同，若()fx是“A函数”，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得()()121fxfx=，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得

()()12111fxfx=，所以()1fx也是“A函数”．B正确；对于选项C，不妨取()fxx=，()1gxx=，()0,x+，令()()()12Fxfxgxxx=+=+，则()()124FxFx，故()()fxgx+不是“A函数”．C

不正确；对于选项D，因为()sinxfxm=+，,22x−，是“A函数”，所以sin0mx+在,22−上恒成立．又0m，所以10m−，且()()12sinsin1mmxx++=，即对于任意1,22x−

，都存在唯一的2,22x−，使得21sins1inmmxx=−+，因为11sin1mxmm−++，所以1n1i1111smmmxmmm−−−++−，即211sin11mxmmm-＃-+-由111111mmmm−−+−−解得2m=．

D正确．故选：BD12.定义在(0,)+上的函数()fx的导函数为()fx，()0fx且()()()()232xfxfxxfxfx−恒成立，则（）A.()()()()()()11212122ffffff−−

B.()0,a+，函数()()()0fxayxxfx=+有极值C.()()()()()()11212122ffffff−−D.()0,a+，函数()()()0fxayxxfx=+为单调函数【答案】

AD【解析】【分析】法一：构造函数()()()()10fxgxxxfx=+，考查其单调性，可判断B,D;利用其单调性知()()1,2gg的大小关系可判断A,C；法二：取()()0fxxx=，逐项验证即可.【详解】解法一：设函数()()()()10fxgxxxfx=+，则()

()()()()()()()()()23222220xfxfxfxxfxxfxfxfxgxxfxxfx−−−=−=，所以()gx在(0,)+上单调递减，故B错误，D正确．从而()()12gg

，即()()()()12111122ffff++，因为()0fx，所以()10f，()20f，所以()()()()()()11212122ffffff−−，故C错误，A正确．解法二：取

()()0fxxx=，满足()0fx且()()()()232xfxfxxfxfx−，则()()()()()()11212122ffffff−−，()0,a+，函数()()()0fxayxxfx

=+为单调函数．故选：AD.【点睛】关键点睛：构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设向量(),2ABxx=在向量()3,4AC=

−上的投影向量为15AC−，则x=________．【答案】1【解析】【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，解出即可.【详解】向量(),2ABxx=在向量()3,4AC=−上的投影向量为3825ABACACxxACACAC−=，则138525xx

−−=，解得1x=．故答案为：1.14.若π0,2，1cos23=，则sin3=________．【答案】539##539【解析】【分析】根据同角关系以及二倍角公式，和差角公式即可求解.【详解】因为π0,2

，所以()20,π，所以()222sin21cos23=−=，因为21cos22cos13=−=，π0,2，所以6cos3=，3sin3=，所以()53sin3sin2sin2coscos2sin9

=+=+=．故答案为：53915.若关于x的不等式()277xaax++的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是________，这50个整数元素之和为________．【答案】①.)(44,4357,58−−②.925−或1625【解析】【分析】讨论a的范围，解出

不等式，结合题意确定a的范围及解集中的整数解，再利用等差数列求和公式求和即可.【详解】不等式()277xaax++等价于不等式()()70xax−−．当7a=时，()()70xax−−的解集为，不合题意；当7a时，()()70xax−−的解集为(),7a，则50个

整数解为43−，42−，…，5，6，所以4443a−−，这50个整数元素之和为()436509252−+=−；当7a时，()()70xax−−的解集为()7,a，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以5758a，这5

0个整数元素之和()8575016252+=．综上，a的取值范围是)(44,4357,58−−，这50个整数元素之和为925−或1625．故答案为：)(44,4357,58−−；925−或162516.如图，已知平面五边形

ABCDE的周长为12，若四边形ABDE为正方形，且BCCD=，则当BCD△的面积取得最大值时，AB=______．为【答案】273178−【解析】【分析】根据几何关系构造函数关系式利用导数求函数的最值.【详解】过点C作CFBD⊥，垂足为F．设(0)=ABxx，则BDA

EDEx===，∵BCCD=，∴3212ABBC+=，则362BCx=−，由0,BCBCCDBD+，得03x．在BCF△中，222231622CFBCBFxx=−=−−=221836xx−+．记BCD△的面积为S，则4321291822SBDC

Fxxx==−+．设函数()432918fxxxx=−+，则()()3224273642736fxxxxxxx=−=−++，令()0fx=，得0x=或273178x=．当2731708x−时，()0fx¢>；当2731738x−时，

()0fx．故当273178x−=时，()fx取得最大值，则S取得最大值，此时273178AB−=．故答案为：273178−.【点睛】利用导数求最值的方法就是先求出函数的极值，若极值有多个，则需要比较各极值与端点值，其中最大的一

个是最大值，最小的一个是最小值；若函数只有一个极大（小）值，则这个极大（小）值就是函数的最大（小）值.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.ABC的内角A，B，C的

对边分别为a，b，c，已知coscos2abbBAc−=+．（1）求tanA；（2）若17a=，ABC的面积为22，求ABC的周长．【答案】（1）tan22A=−（2）517+【解析】【分析】（1）根据正弦定理得1cos3A=−，

从而求得tanA；（2）根据面积公式和余弦定理即可求得ABC的周长.【小问1详解】因为coscos2abbBAc−=+，所以sincos2sincossinsinABBABC−=+．又()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+，所以3sincossinBAB−

=．因为sin0B，所以1cos3A=−．又()0,πA，所以22sin3A=，tan22A=−．【小问2详解】ABC的面积n12222si3ASbcbc===，则6bc=．由22222c23s2oabcbcbcbcA=+−=++，得()224253bcab

c+=+=，所以5bc+=，故ABC的周长为517+．18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB=，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．（1）证明：//EF平面PAD．（2）求平面AMF与平

面EMF的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）取PA的中点N，证明//EFDN后可得线面平行；（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小问1详解】证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以//ENAB，12ENAB=．又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以//ENDF，ENDF=，所以四边形ENDF为

平行四边形，所以//EFDN．因为EF平面PAD，DN平面PAD，所以//EF平面PAD．【小问2详解】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB=，则()1,0,1E

，()1,2,0F，()002P,,，()0,2,0D，()0,1,1M．从而()1,1,0EM=−，()1,1,1MF=−，()1,2,0AF=．设平面AMF的法向量为()111,,mxyz=，则11111200x

yxyz+=+−=，令11y=，得()2,1,1m=−−．设平面EMF的法向量为()222,,xnyz=，则2222200xyzxy+−=−+=，令21y=，得()1,1,2n=．1cos,2mnmnmn==−．故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为12．19.已知数列na满足

12312121223nnaaaaaaaaann++++++++++=．（1）求na的通项公式；（2）求数列nan的前n项和nS．【答案】（1）()232nnann−=+（2）()1221nnSn−=+−【解析】【分析】（1）根据递推关系作差即可求解，（2）根据

错位相减法即可求和.【小问1详解】当1n=时，12a=．当2n时，()()111221212nnnnaaannnn−−+++=−−=+，即()11212nnaaann−+++=+，当1n=时，上式也成立，所以()()()()1221212322nnnnannnnnnn−−−=+−−

=+．当1n=时，也符合()232nnann−=+，所以()232nnann−=+．【小问2详解】由（1）知()232nnann−=+．()102425232nnSn−−=++++，()0112425232nnSn−=

++++，则()()()()()012111122223222132221nnnnnnSnnn−−−−−−=++++−+=+−−+=−++，所以()1221nnSn−=+−．20.某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2

个号码，第1个号码为a，第2个号码为b．设X是不超过ba的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券（若X0=，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用．（1）已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；（2）求X的数学期望．【答案】（1）12（2）1930【

解析】【分析】（1）由条件概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值及其对应的概率，再由数学期望公式求解即可.【小问1详解】当ba时，该顾客能获得代金券．设“a是偶数”为事件A，“ba”为事件B，则()()()()2152062082018564A21015PAB−+−++−==

=，()2158148A15PA==，所以()()()41158215PABPBAPA===，所以当顾客抽到a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为12．【小问2详解】的X可能的取值为0，1，2，3．当X0=时，ba，则()102PX==．当1X=时，121aba

+−，若11a，则120ab+．对每一个a，b有20a−种不同的取值，则(),ab共有98145+++=种可能的取值．若610a，对每一个a，b有1a−种不同的取值，则(),ab共有5678935++++=种可

能的取值，所以()215453581A21PX+===．当2X=时，231baa−．若7a，则220ab．对每一个a，b有212a−种不同的取值，则(),ab共有753116+++=种情况．若6a=，则1217b，(

),ab共有6种可能的取值．所以()215166112A105PX+===．当3X=时，341baa−，(),ab只有()6,18，()6,19，()6,20这3种情况，所以()31321070P

X===．所以()181111331901232211057021030EX=+++==．21.以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴椭圆过点()830,1,(,)55CD−−−．（1）求椭圆的方程．（2）设

P是椭圆上一点（异于,CD），直线,PCPD与x轴分别交于,MN两点．证明在x轴上存在两点,AB，使得MBNA是定值，并求此定值．【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析，定值为12−.【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得.（2）设出点,,PA

B的坐标，利用向量共线探讨出点,MN的坐标，再求出MBNA，并确定,AB的坐标，再计算即得.的【小问1详解】设椭圆方程为221pxqy+=，则164912525qpq=+=，解得141pq==，所以椭圆

的方程为2214xy+=．【小问2详解】设()()()00,,,0,,0PxyAmBn，(,0),(,0)MNMxNx，则00(,1),(,1)MCMxCPxy==+，由//CMCP，得00(1)Mxyx

+=，而010y+，于是001Mxxy=+，008383(,),(,)5555NDNxDPxy=+=++，同理008338()()()5555Nxyx++=+，而0305y+，于是000385535Nxy

xy−=+，则000003855(,0),(,0)315xyxNAmMBnyy−=−=−++，00000000000038(583355()()31(1)(53))()5xyxnynxmyymxMBNAnmyyyy−+−++−

=−−=++++，令00058333myymnyn++=−−，而00(,)Pxy是椭圆上的动点，则583,33mnmn+=−=−，得4,4nm==−，于是()()()2222200000020000003443(44)(4412(583

)12]1533[1)(5)58)3(yxyyyyMBNAyyyyyy−+−−+−−−++====−++++++，所以存在()4,0A−和()4,0B，使得MBNA是定值，且定值为12−.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法

，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．22.已知函数()1lneaxfxax−=+−有两个零点12,xx．（1）求a

的取值范围；（2）证明：122xxa+．【答案】（1）()1,+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造新函数()exgxx=+，通过其单调性，转化为11lnaxx−=的零点问题，通过分离参数，即可解决；（2）构造新函

数()2ln11xxxx=−−，通过其单调性，确定其正负，对1lnaxx=+进行放缩，从而证明.【小问1详解】令()0fx=，得10lenaxxa−+−=，则11en1laxxaxx−+−=−，即

11ln11e()elnaxxaxx−+−=+，令函数()exgxx=+，则11lngagxx−=，因为()gx在R上单调递增，所以11lnaxx−=，即1lnaxx=+．令函数()1l

nhxxx=+，则()21xhxx−=，令()0hx，得1x，()0hx，得01x，则()hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min11hxh==．因为当x趋近于0时，ln1n1lxxxxx++=趋近于+；当x趋近于

+时，1lnxx+趋近于+，依题意可得方程1lnaxx=+有两个不相等的正根，所以1a，即a的取值范围是()1,+．【小问2详解】证明：令函数()2ln11xxxx=−−，则()()22102

xxx−=−，所以()x在()0,+上单调递减．因为()10=，所以当()0,1x时，()0x；当()1,x+时，()0x．不妨假设12xx，则由（1）知1201xx，所以()10x，()20x，即11

111n2lxxx−，22211n2lxxx−，所以由1lnaxx=+有两个不相等的正根12,xx，且1201xx得111111111111l2n22xaxxxxxx=++−=+，则21121

axx+，222222211111l2n22xaxxxxxx=++−=+，则22221axx+，即22221axx−−−，所以()()()22121212122axxxxxxxx−−=+−，因为120xx−，所以122xxa+．获得

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