【文档说明】湖南省部分学校2024届高三上学期第三次联考数学试题（解析版）.docx，共(21)页，998.315 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-e0bb35debe47f7cb0df8cb20add39758.html

以下为本文档部分文字说明：

高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在

答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围．一、选择题：本题共8

小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题():0,1px，333x=，则p的否定是（）A.()0,1x，333xB.()0,1x，333xC.()

0,1x，333x=D.()0,1x，333x【答案】A【解析】【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.【详解】因为命题()0,1x，333x=，则其否定为()0,1x，333x.故选：A2.定义集合,,xABzzxAyBy==．已知

集合4,8A=，1,2,4B=，则AB元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，直接进行计算即可.的【详解】因为4,8A=，1,2,4B=，所以1,2,4,8AB=，故AB的元素的个数为

4．故选：B.3.已知函数()3132fxxxx=−−的图象在()0xaa=处的切线的斜率为()ka，则（）A.()ka的最小值为6B.()ka的最大值为6C.()ka的最小值为4D.()ka的最大值为4【答案】C【解析】【分析】求导，结合基本不等式即可求解.【详解】()()22192292

4kafaaa==+−−=，当且仅当419a=时，即33a=时，等号成立，所以()ka的最小值为4．故选：C4.已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公司从第1年到

第11年（含第11年）的销售总额为（）（参考数据：取111.27.43=）A.35.15a万元B.33.15a万元C.34.15a万元D.32.15a万元【答案】D【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列()1,2,,11iai

=是首项为a，公比为1.2的等比数列，结合等比数列的前n项和公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设第()1,2,,11ii=年的销售额为ia万元，依题意可得数列()1,2,,11iai=是首项为a，公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为()

()()111111.21.21102.2210.27.433.151.aaaa−−−===−万元．故选：D5.设函数()fx的定义域为R，且()1fx+是奇函数，()23fx+是偶函数，则（）A.()00f=B.()40f=C.()50

f=D.()20f−=【答案】C【解析】【分析】由奇函数、偶函数的性质求解即可.【详解】因为()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx−+=−+，则()10f=．又()23fx+是偶函数，所以()()2323fxfx−+=+，所以()()510ff==．故选：C.6.设π0,2

，π0,2，且1tantancos+=，则（）A.π22+=B.π22−=C.π22−=D.π22+=【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及两角和

的正弦公式及诱导公式对题中条件进行化简，即可求得.【详解】因为1tantancos+=，所以sinsin1coscoscos+=，所以sincoscossincos+=，即()πsinsin2

+=−．又π0,2，π0,2，所以π2+=−，即π22+=或ππ2++−=，即π2=（舍去）．故选：A.7.已知函数()πcos12fxx=−，()πsin46gxx=+，则“曲线()yfx=关于直线xm=

对称”是“曲线()ygx=关于直线xm=对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12mkk−=Z，得()1

1ππ12mkk=+Z，所以曲线()yfx=关于直线()11ππ12xkk=+Z对称．令()22ππ4π62mkk+=+Z，得()22ππ124kmk=+Z，所以曲线()ygx=关于直线()22ππ124kxk=+Z对称．因

为()11π{|π}12mmkk=+Z()22ππ{|}124kmmk=+Z所以“曲线()yfx=关于直线xm=对称”是“曲线()ygx=关于直线xm=对称”的充分不必要条件．故选：A.8.对称性是数学美的一个重要

特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD中，120ABC=，2AB=，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若DPDADC=+，则+的最大值为（）A.52B.3C.5D.32【答案】A【解析】【分析】就

0+=和0+分类讨论，后者可根据对称性只需考虑P在,ADAB对应的半圆弧上，前者1+≤，后者1+，而后者可建系处理.【详解】连接AC.若0+=，则DPDADCCA=−=，若不为零，则//DPC

A，这与题设矛盾，若为零，则P与D重合.若0+，则DPDADC=++++，设DADCDS+=++，故()DPDS=+，且,,SAC三点共线.由对称可知只需考虑P在,ADAB对应的半圆弧上.当P在AD对应的半圆弧上（除D

外）时，S总在DP的延长线上，故此时1+≤.当P在AB对应的半圆弧上，S总在DP之间，故此时1+建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0A−，33:33ACyx=+，()0,3D，设(cos,sin)

(π0)P−，当π2=−时，223333DS==，而13DP=+，此时1333522233+++==.当π2−时，则3sin3sin:330coscosDPyxx−−=+=−+−，由3sin3cos3333yxyx−=−+=

+可得23333sin3cosSx=−+，故3cos3sin3cos23233333sin3cosDPDS+−==−+.23πcos333233++=，当π3=−时，max

53532233DPDS==.综上，max52DPDS=故选：A【点睛】思路点睛：与向量的线性表示有关的最值问题中，如果考虑基底向量前系数的和的最值，则可利用三点共线构造系数和的几何意义，这样便于求最值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()241lg4fxxx=−+，则（）A.()fx最小值为1B.xR，()()12ffx+=C.()92log23ffD.0.10.1811932

2ff−−【答案】ACD的【解析】【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD.【详解】()21lg10lg1012fxx=−+=，当且仅当12x=时，()fx取得最小值1，

A正确．因为当且仅当12x=时，()fx取得最小值，且最小值为1，所以()11f，所以()()12ffx+，B错误．因为9lg2lg210log2lg9lg83==，所以911log226−，又211326−=，且()

fx在1,2−上单调递减，在1,2+上单调递增，所以()92log23ff，C正确．因为0.10.20.189331=，所以0.10.1811193222−−，所以，D正确．故选：ACD10.若正项

数列na是等差数列，且25a=，则（）A.当37a=时，715a=B.4a的取值范围是)5,15C.当7a为整数时，7a的最大值为29D.公差d的取值范围是()0,5【答案】ABC【解析】【分析】对于A根据等差数列的定义求出公差d的值，即可求出7a；又数列

na是正项等差数列，根据150ad=−，及0d≥，即可求出公差d的取值范围，继而可以判断B,C,D.【详解】当37a=时，公差2d=，7347815aad=+=+=，A正确．因为na是正项等差数列，所以150ad=−，即5d，且0d≥，所以公差d的取值范围是)0,5

，D错误．因为452ad=+，所以4a的取值范围是)5,15，B正确．)7555,30ad=+，当7a为整数时，7a的最大值为29，C正确．故选：ABC.11.若函数()fx的定义域为D，对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得()

()121fxfx=，则称()fx为“A函数”，则下列说法正确的是（）A.函数()lnfxx=是“A函数”B.已知函数()fx，()1fx的定义域相同，若()fx是“A函数”，则()1fx也是“A函数”C.已知()fx，()gx都是“A函数”，且定义域相同，则()()fxgx+也是

“A函数”D.已知0m，若()sinxfxm=+，,22x−是“A函数”，则2m=【答案】BD【解析】【分析】题干给出了“A函数”的定义，按照定义，判断函数是否是“A函数”，其中一定注意()0fx在定义域中恒成立，选项中不正确的举出反例，正确的严格按照“A函数”的定义证

明即可.【详解】对于选项A，当11x=时，()10fx=，此时不存在2x，使得()()121fxfx=．A不正确；对于选项B，由()fx，()1fx的定义域相同，若()fx是“A函数”，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得()()121fxfx=，则对于任意1xD，

都存在唯一的2xD，使得()()12111fxfx=，所以()1fx也是“A函数”．B正确；对于选项C，不妨取()fxx=，()1gxx=，()0,x+，令()()()12Fxfxgxxx=+=+，则()()124FxFx，故()()fxgx+

不是“A函数”．C不正确；对于选项D，因为()sinxfxm=+，,22x−，是“A函数”，所以sin0mx+在,22−上恒成立．又0m，所以10m−，且()()12sinsin1mmxx++=，即对于任意1,22x

−，都存在唯一的2,22x−，使得21sins1inmmxx=−+，因为11sin1mxmm−++，所以1n1i1111smmmxmmm−−−++−，即211sin11mxmmm-＃-+-由111111mmmm−−+−−

解得2m=．D正确．故选：BD12.定义在(0,)+上的函数()fx的导函数为()fx，()0fx且()()()()232xfxfxxfxfx−恒成立，则（）A.()()()()()()11212122ffffff−−B.()0,a

+，函数()()()0fxayxxfx=+有极值C.()()()()()()11212122ffffff−−D.()0,a+，函数()()()0fxayxxfx=+为单调函数【答案】AD【解析】【分析】法一：构造函数()()()()10fxgxxxfx=+，

考查其单调性，可判断B,D;利用其单调性知()()1,2gg的大小关系可判断A,C；法二：取()()0fxxx=，逐项验证即可.【详解】解法一：设函数()()()()10fxgxxxfx=+，则()()()()()()()()()()23222220xfxfxfxxfxxfxfxf

xgxxfxxfx−−−=−=，所以()gx在(0,)+上单调递减，故B错误，D正确．从而()()12gg，即()()()()12111122ffff++

，因为()0fx，所以()10f，()20f，所以()()()()()()11212122ffffff−−，故C错误，A正确．解法二：取()()0fxxx=，满足()0fx且()()()()232x

fxfxxfxfx−，则()()()()()()11212122ffffff−−，()0,a+，函数()()()0fxayxxfx=+为单调函数．故选：AD.【点睛】关键点睛：构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题

，是一种常用技巧.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设向量(),2ABxx=在向量()3,4AC=−上的投影向量为15AC−，则x=________．【答案】1【解析】【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，

解出即可.【详解】向量(),2ABxx=在向量()3,4AC=−上的投影向量为3825ABACACxxACACAC−=，则138525xx−−=，解得1x=．故答案为：1.14.若π0,2

，1cos23=，则sin3=________．【答案】539##539【解析】【分析】根据同角关系以及二倍角公式，和差角公式即可求解.【详解】因为π0,2，所以()20,π，所以()222sin21cos23=−=，因为21cos22cos13=

−=，π0,2，所以6cos3=，3sin3=，所以()53sin3sin2sin2coscos2sin9=+=+=．故答案为：53915.若关于x的不等式()277xaax++的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是________，这50个整数元素之

和为________．【答案】①.)(44,4357,58−−②.925−或1625【解析】【分析】讨论a的范围，解出不等式，结合题意确定a的范围及解集中的整数解，再利用等差数列求和公式求和即可.【详解】不等式()277x

aax++等价于不等式()()70xax−−．当7a=时，()()70xax−−的解集为，不合题意；当7a时，()()70xax−−的解集为(),7a，则50个整数解为43−，42−，…，5，6，所以

4443a−−，这50个整数元素之和为()436509252−+=−；当7a时，()()70xax−−的解集为()7,a，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以5758a，这50个整数元素之和()8575016252+=．综上，a的

取值范围是)(44,4357,58−−，这50个整数元素之和为925−或1625．故答案为：)(44,4357,58−−；925−或162516.如图，已知平面五边形ABCDE的周长为12，若四边形ABDE为正方形，且BCCD=，则

当BCD△的面积取得最大值时，AB=______．为【答案】273178−【解析】【分析】根据几何关系构造函数关系式利用导数求函数的最值.【详解】过点C作CFBD⊥，垂足为F．设(0)=ABxx，则BDAEDEx===，∵BCCD=，∴321

2ABBC+=，则362BCx=−，由0,BCBCCDBD+，得03x．在BCF△中，222231622CFBCBFxx=−=−−=221836xx−+．记BCD△的面积为S，则4321291822SBDCFxxx==−+．设函数()4329

18fxxxx=−+，则()()3224273642736fxxxxxxx=−=−++，令()0fx=，得0x=或273178x=．当2731708x−时，()0fx¢>；当2731738x−时，()0fx．故当273178x−=时，()fx取得最大值，则S取得最大值，此时

273178AB−=．故答案为：273178−.【点睛】利用导数求最值的方法就是先求出函数的极值，若极值有多个，则需要比较各极值与端点值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；若函数只有一个极大（小）值，则这个极大（小）值就是函数的最大（小）值.四、解答题：本题

共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscos2abbBAc−=+．（1）求tanA；（2）若17a=，ABC的面积为22，求ABC的周长．【答案】（1）tan22A=−（2）

517+【解析】【分析】（1）根据正弦定理得1cos3A=−，从而求得tanA；（2）根据面积公式和余弦定理即可求得ABC的周长.【小问1详解】因为coscos2abbBAc−=+，所以sincos2sincossinsinABBABC−=+．又()sinsinsinco

scossinCABABAB=+=+，所以3sincossinBAB−=．因为sin0B，所以1cos3A=−．又()0,πA，所以22sin3A=，tan22A=−．【小问2详解】ABC的面积n12222si3ASbcbc===，则6bc=．由22222c23s2o

abcbcbcbcA=+−=++，得()224253bcabc+=+=，所以5bc+=，故ABC的周长为517+．18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB=，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．（1）证明：//EF平面PAD．（

2）求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）取PA的中点N，证明//EFDN后可得线面平行；（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间

向量法求二面角．【小问1详解】证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以//ENAB，12ENAB=．又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以//ENDF，ENDF=，所以四边形ENDF为平行四边形，所以//EFDN．因为EF平面PAD，DN平面PAD，所以//EF

平面PAD．【小问2详解】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB=，则()1,0,1E，()1,2,0F，()002P,,，()0,2,0D，()0,1,1M．从而()1,1,0EM=−，()1,1,1MF=−，()1,2,0AF

=．设平面AMF的法向量为()111,,mxyz=，则11111200xyxyz+=+−=，令11y=，得()2,1,1m=−−．设平面EMF的法向量为()222,,xnyz=，则2222200xyzxy+−=−+=，令21

y=，得()1,1,2n=．1cos,2mnmnmn==−．故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为12．19.已知数列na满足12312121223nnaaaaaaaaann++++++++++=．（1）求

na的通项公式；（2）求数列nan的前n项和nS．【答案】（1）()232nnann−=+（2）()1221nnSn−=+−【解析】【分析】（1）根据递推关系作差即可求解，（2）根据错位相减法即可求和.【小问1详解】当1n=

时，12a=．当2n时，()()111221212nnnnaaannnn−−+++=−−=+，即()11212nnaaann−+++=+，当1n=时，上式也成立，所以()()()()1221212322nnnnannnnnnn−−−=+−−=+．当1n=时，

也符合()232nnann−=+，所以()232nnann−=+．【小问2详解】由（1）知()232nnann−=+．()102425232nnSn−−=++++，()0112425232nnSn−=++++，则

()()()()()012111122223222132221nnnnnnSnnn−−−−−−=++++−+=+−−+=−++，所以()1221nnSn−=+−．20.某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客

凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a，第2个号码为b．设X是不超过ba的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券（若X0=，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用．（1）已知某顾客抽到的a是偶数，求该

顾客能获得代金券的概率；（2）求X的数学期望．【答案】（1）12（2）1930【解析】【分析】（1）由条件概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值及其对应的概率，再由数学期望公式求解即可.【小问1详解】当ba时，该顾

客能获得代金券．设“a是偶数”为事件A，“ba”为事件B，则()()()()2152062082018564A21015PAB−+−++−===，()2158148A15PA==，所以()()()41158215PABPBAPA===，所以当顾客抽到a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为

12．【小问2详解】的X可能的取值为0，1，2，3．当X0=时，ba，则()102PX==．当1X=时，121aba+−，若11a，则120ab+．对每一个a，b有20a−种不同的取值，则(),ab共有98145+++=种可能的取值．若610a，对每一个a，b有1a−种不同的取

值，则(),ab共有5678935++++=种可能的取值，所以()215453581A21PX+===．当2X=时，231baa−．若7a，则220ab．对每一个a，b有212a−种不同的取值，则(),ab共有753116+++=种情况．若6a=，则1217b，(

),ab共有6种可能的取值．所以()215166112A105PX+===．当3X=时，341baa−，(),ab只有()6,18，()6,19，()6,20这3种情况，所以()31321070PX===．所以()18111133190123221

1057021030EX=+++==．21.以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴椭圆过点()830,1,(,)55CD−−−．（1）求椭圆的方程．（2）设P是椭圆上一点（异于,CD），直线,PCPD与x轴分别交于,MN两点．证明在x轴上存在两点,AB，使得MBNA是定值，并

求此定值．【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析，定值为12−.【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得.（2）设出点,,PAB的坐标，利用向量共线探讨出点,MN的坐标，再求出MBNA，并确定,AB的坐标

，再计算即得.的【小问1详解】设椭圆方程为221pxqy+=，则164912525qpq=+=，解得141pq==，所以椭圆的方程为2214xy+=．【小问2详解】设()()()00,,,0,,0PxyAmBn，(,0),(,0)MNMxNx，则00(,1),

(,1)MCMxCPxy==+，由//CMCP，得00(1)Mxyx+=，而010y+，于是001Mxxy=+，008383(,),(,)5555NDNxDPxy=+=++，同理008338()()()5

555Nxyx++=+，而0305y+，于是000385535Nxyxy−=+，则000003855(,0),(,0)315xyxNAmMBnyy−=−=−++，00000000000038(583355()()31(1)(53))()5xyxnynx

myymxMBNAnmyyyy−+−++−=−−=++++，令00058333myymnyn++=−−，而00(,)Pxy是椭圆上的动点，则583,33mnmn+=−=−，得4,4nm==−，于是()()()2222200000

020000003443(44)(4412(583)12]1533[1)(5)58)3(yxyyyyMBNAyyyyyy−+−−+−−−++====−++++++，所以存在()4,0A−和()4,0B，使得MBNA是定值，且定值为12−.【点睛】方法点睛：

（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．22.已知函数()1lneaxfxax−=+−

有两个零点12,xx．（1）求a的取值范围；（2）证明：122xxa+．【答案】（1）()1,+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造新函数()exgxx=+，通过其单调性，转化为11lnaxx−=的零点问

题，通过分离参数，即可解决；（2）构造新函数()2ln11xxxx=−−，通过其单调性，确定其正负，对1lnaxx=+进行放缩，从而证明.【小问1详解】令()0fx=，得10lenaxxa−+−=，则11en1laxxaxx−+−=−，即11ln11e()elnaxxaxx−+−=+

，令函数()exgxx=+，则11lngagxx−=，因为()gx在R上单调递增，所以11lnaxx−=，即1lnaxx=+．令函数()1lnhxxx=+，则()21xhxx−=，令()0hx，得1x，()0hx，得01x，则()hx在(

)0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min11hxh==．因为当x趋近于0时，ln1n1lxxxxx++=趋近于+；当x趋近于+时，1lnxx+趋近于+，依题意可得方程1lnaxx=+有两个不相等的正根，所以1a，即a的取值范围是()1,

+．【小问2详解】证明：令函数()2ln11xxxx=−−，则()()22102xxx−=−，所以()x在()0,+上单调递减．因为()10=，所以当()0,1x时，()0x；当()1,x+时，()0x．不妨假设12xx，则由（1

）知1201xx，所以()10x，()20x，即11111n2lxxx−，22211n2lxxx−，所以由1lnaxx=+有两个不相等的正根12,xx，且1201xx得111111111111l2n22xaxxxxxx

=++−=+，则21121axx+，222222211111l2n22xaxxxxxx=++−=+，则22221axx+，即22221axx−−−，所以()()()22121212122axxxxxxx

x−−=+−，因为120xx−，所以122xxa+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com