【文档说明】辽宁省抚顺市第一中学2021-2022学年高二上学期入学考试数学试题含答案.doc，共(11)页，1.274 MB，由小赞的店铺上传

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数学试题考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a=（2，﹣1，2），b=（x，y，6），a与b共线，则x+y＝（）A．5B．6C．3D．92．已知点(,1,2)Ax和点(2,3,4

)B，且26AB=，则实数x的值是（）A．6或2−B．6或2C．3或4−D．3−或43.已知向量)2,,1(−=ma，()2,1,0=b，()0,0,1=c，若cba,,共面，则m等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或04.

用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥γ，b∥a，则b∥γ；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，a⊥b，则b∥γ．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．35．已

知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为(3,1,2)n=，则下列点P中，在平面α内的是（）A．(1，－1,1)B．(1,3，32)C．(1，－3，32)D．(－1,3，－32)6．在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1,ABCDACDBADBC++＝（

）A．－1B．0C．1D．不确定7．已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，7，则PMPN的取值范围为（）A．43-2-，B．047-，C．43-47-，D．02-，8．已知点P是平

行四边形ABCD所在的平面外一点，如果()2,1,4AB=−−，(4,2,0)AD=，(1,2,1)AP=−−.对于结论：①||6AD=；②APAD⊥；③AP是平面ABCD的法向量；④AP//BD.其中正确的是（）A

．②④B．②③C．①③D．①②二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9．已知直线12ll、的方向向量分别是(2,4,),(2,,2)ABxCDy==，若||6AB=且12,l

l⊥则x-y的值可以是（）A．3−B．7C．1D．-510．以下命题正确的是（）A．直线l的方向向量为(1,1,2)a=−，直线m的方向向量()1,2,1b=，则lm⊥B．直线l的方向向量()0,1,1a=−，平面的法向量)1,1,1(−−=n，则l⊥C．两个不同平面

，的法向量分别为()12,1,0n=−，()24,2,0n=−，则//D．平面经过三点()1,0,1A−，()0,1,0B，()1,2,0C−，向量),,1(tun=是平面的法向量，则1ut+=

11．在空间四边形OABC中，EF、分别是OABC、的中点，P为线段EF上一点，且2PFEP=，设,,OAaOBbOCc===，则下列等式成立的是（）A．1122OFbc=+B．111666EPabc=−++C．cbaFP313131−−=D．111366OP

abc=++12．如图，菱形ABCD边长为2，60BAD=，E为边AB的中点．将ADE沿DE折起，使A到A，且平面ADE⊥平面BCDE，连接AB，AC．则下列结论中正确的是（）A．BDAC⊥B．四面体ACDE的外接球表面积为8πC．

BC与AD所成角的余弦值为34D．直线AB与平面ACD所成角的正弦值为64三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知空间向量)2,1,2(),1,0,1(−==ba则向量a在向量b上的投影向量的坐标是．14．正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，

点M和N分别是11BD和11BC的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为__________．15．正方体1111ABCDABCD−棱长为2，N是棱AD的中点，M是棱1CC的中点，则直线BM与1BN之间的距离为____

______.16．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，底面边长为2，直线1CC与平面1ACD所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分）已知向量()1,2,2a=−，()4,2,4b=−，

()3,,cmn=.（1）求ab−（2）若//ac，求m，n.（3）求cos,ab18．(12分）如图，四边形ABCD为正方形，2PDDC==，点E，F分别为AD，PC的中点．（1）证明：//DF平面PBE；（2）若PD⊥平面ABCD，求点F到平面PBE

的距离．19．(12分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABBC⊥，//BCAD，1ABBC==，2AD=，3AP=.（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐

二面角的余弦值.20．(12分）在边长为2的菱形ABCD中，60BAD=，点E是边AB的中点（如图1），将ADE沿DE折起到1ADE△的位置，连接11,ABAC，得到四棱锥1ABCDE−（如图2）（1）证明：平面1ABE⊥平面BCDE；（2）若1AEBE⊥，连接C

E，求直线CE与平面1ACD所成角的正弦值.21.(12分）如图所示，底面为菱形的直四棱柱1111ABCDABCD−被过三点11CBD、、的平面截去一个三棱锥111CCBD−(图一)得几何体111ABDABCD−(图二)，E为11BD的中点．(1)点F为棱1AA上的动点

，试问平面11FBD与平面1CEA是否垂直?请说明理由；(2)设12,60,4ABBADAA===，当点F为1AA中点时，求锐二面角11FBDC−−的余弦值．22.(12分）如图，在五棱锥SABCD

E−中，SD⊥底面ABCDE，//SDBG，S，G在底面的同侧.在五边形ABCDE中，//ABCD，ABAD⊥，22SDCDADAB====，2DEAE=，AD是ADE外接圆的直径.（1）证明：GC//平面SED.（2）若二面角SACG−−的余弦值为13

，求BG.答案1.CAAABBDBBDCDABCDBCD13.9894-98，，14.301015.155816.417（1）∵()1,2,2a=−，()4,2,4b=−∴()()()()1,2,24,2,414,22,24ab−=−−−=−−−−−()3,4,

6=−−（2）∵()1,2,2a=−，()2,,4cx=−，若ac∥，则3122mn==−，解之得6m=，6n=−（3）∵()1,2,2a=−，()4,2,4b=−∴()()1422248ab=+−+−=−()2221223a=++−=，()2224

246b=+−+=84cos,369ababab−===−18.（Ⅰ）证明：取点G是PB的中点，连接EG，FG，则//FGBC，且12FGBC=，∵//DEBC且12DEBC=，∴//DEFG且DEFG=，∴四边形DEGF为平行四边形，∴//DFEG，∴//D

F平面PBE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF平面PBE，所以点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d．利用等体积法：DPBEPBDEVV−−=，即1133PBEBDESdSPD=，112BDESDEAB==，∵5PEBE==，23

PB=，∴6PBES=，∴63d=．19.解：（1）在梯形ABCD中，过点C作CHAD⊥于点H.由已知可知1CHAB==，1AHHD==，222ACABBC=+=222CDCHHD=+=.所以2224ACCDAD+==，即ACCD⊥，①因为AP⊥平面ABCD，CD平面ABCD

，所以CDAP⊥，②由①②及ACAPA=，得CD⊥平面PAC.又由CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.（2）因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz−，可得()0,0,0A，

()1,0,0B，()1,1,0C，()0,2,0D，()0,0,3P，()1,1,3PC=−，()0,2,3PD=−.设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，则30230nPCxyznPDyz=+−==−=，取3y=，则2z=，3x=，则()3,3,2n=.平面PAB的一个

法向量为()0,2,0AD=,所以322cos,22ADnADnADn==，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为32222.20.（1）连接图1中的BD，因为四边形ABCD为菱形，且60BAD

=所以ABD△为等边三角形，所以DEAB⊥所以在图2中有1,DEBEDEAE⊥⊥，因为1BEAEE=所以DE⊥平面1ABE，因为DEBCDE，所以平面1ABE⊥平面BCDE（2）因为平面1ABE⊥平面BCDE，平

面1ABEÇ平面BCDEBE=，1AEBE⊥，11AEABE所以1AE⊥平面BCDE以E为原点建立如图空间直角坐标系所以()()()()10,0,1,2,3,0,0,3,0,0,0,0ACDE所以()()()110,3,1,2,3,1,2,3,0ADACEC=−=−=设平面1AC

D的法向量为(),,nxyz=，则1130230nADyznACxyz=−==+−=，令1y=，则()0,1,3n=，所以321cos,1427nECnECnEC===所以直线CE与平面1ACD所成角的

正弦值211421．【解析】（1）平面11FBD⊥平面1CEA，证明如下：连接AC，BD相交于点O，因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为直四棱柱上下底面全等，所以由AC⊥BD得111AEBD⊥，又因为CB=CD，11BBDD=，所以CB1=CD1.因

为E为B1D1的中点，所以11CEBD⊥，又1CEAEE=，所以B1D1⊥平面CEA1，又因为11BD平面11FBD，所以平面11FBD⊥平面CEA1.（2）连接OE，易知OE⊥平面ABCD，所以OB，OC，OE两两互相垂直，所以分别以,,OBOCOE所在直线为,,xyz轴的正方向，建立

空间直角坐标系，如图所示，则O（0，0，0），()()()()110,3,0,1,0,4,1,0,4,0,3,2CBDF==−−.（7分）设平面11CBD的法向量为()1111,,nxyz=，则()()()()11111111111111,,1,3,40,0

,340,0,,2,0,00,xyznCByznDBxxyz−======，令11143,0yzx===所以()10,4,3n=.同理设平面F11BD的法向量为()2222,,nxyz=，则()()()()22221222112222,

,1,3,20,0,32,0,0,,,2,0,00,xyznFByznDBxxyz===−===，令22223,0yzx==−=.所以()20,2,3n=−，所以121212cos,=nnnnnn()()0,4,30,2,351331331

6343−==++,所以所求的锐二面角11FBDC−−的余弦值为513313322.1）证明：过点E作EFAD⊥，垂足为F.因为AD是ADE外接圆的直径，所以90AED=.因为2DEAE=，22SDCDADAB====，所

以45ED=，25AE=，45EF=，85FD=，25FA=.由题意，可知DA，DC，DS两两垂直.如图，以D为原点，以DA的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz−，则()2,1,0B，()0,2,0C，84,,055E−

，所以()2,1,0CB=−，84,,055DE=−，所以45DECB=，所以//DECB因为//SDBG，CBBGB=，所以平面//BCG平面SED.因为GC平面BCG，所以GC//平面SED.另外

，本题还可取CD的中点M，连接BM，AM，通过证明1tantan2EDADAM==，得到//DEAM，而//AMBC，所以//DEBC.又//SDBG，BGBCB=，则平面//BCG平面SED，而GC平面

BCG，故GC//平面SED.（2）解：设BGt=，由（1）知()2,0,0A，()0,2,0C，()2,1,Gt，()0,0,2S，()2,2,0AC=−，()0,1,AGt=，()2,0,2AS=−.设平面AGC的法向量为()111,,mxyz=，则1111220,0,ACmxyAGmy

tz=−+==+=令11z=，得(),,1mtt=−−.取平面ASC的一个法向量()1,1,1n=，则2121cos,311121mntmnmnt−===+++，解得15t=或1t=.当15t=时，二面角SACG−−为钝角，舍去，所以1t=，即1BG=.