【文档说明】安徽省合肥市第八中学2024届高三“最后一卷”数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.445 MB，由小赞的店铺上传

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合肥八中2024届高三“最后一卷”数学试题注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．4．本卷命题范围：高考范围.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|1,N}Axxx=，|=Bxxa，若AB，则实数a的取值范围是（）A.(,0−B.(),0−C.()1,+D.)1,+【答案】B【解析】【分析】根据几集合中的元素化简集合A，再根据集合间的关

系即可得实数a的取值范围.【详解】因为集合2{|1,N}0,1Axxx==，|=Bxxa，若AB，则a<0，故实数a的取值范围是(),0−.故选：B2.某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7

，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（）A.这组数据的平均数为8B.这组数据的众数为7C.这组数据的极差为4D.这组数据的第80百分位数为9【答案】D【解析】【分析】利用众数、中位数

、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】这组数据的平均数为771097691078810+++++++++=，故A正确；这组数据的众数为7，故B正确；.这组数据的极差为1064−=，故C正确；

将这组数据按照从小到大的顺序排列为6,7,7,7,7,8,9,9,10,10，因为80%108=，所以这组数据的第80百分位数为9109.52+=，故D错误.故选：D.3.若x，Ry，则“112222xyxy−−”是“ln()0xy−”的（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】等价变形112222xyxy−−，然后构造函数得出xy，解不等式ln()0xy−

得1−xy，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解.【详解】设命题p：112222xyxy−−，命题q：ln()0xy−对于命题p，因为112222xyxy−−，所以，112222xyxy

−−，构造函数()122xxfx=−，易知()fx在R上为增函数，所以xy；对于命题q，因为ln()0xy−，所以1−xy，即1xy+；所以pq为假命题，qp为真命题；所以p是q的必要

不充分条件;故选：B.4.已知点P在圆221xy+=上运动，点,FA为椭圆22184xy+=的右焦点与上顶点，则PFA最小值为（）A.15B.30C.45D.75【答案】A【解析】【分析】由题意知(2,0),(0,2)FA，且圆在椭圆内，则确定

FP与圆相切时PFA取得最小值，即可求解.【详解】由题意知，(2,0),(0,2)FA，且圆在椭圆内，当FP与圆相切时，PFA取得最小值，此时30,45OFPOFA==，所以453015PFA

OFAOFP=−=−=，所以PFA的最小值为15.故选：A5.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转

一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为2πSRh=．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安

全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所

能看到的地球的表面积为（）A.22100π400RkmR+B.22200π400RkmR+C.22400π400RkmR+D.22800π400RkmR+【答案】D【解析】【分析】由题意可得2400ROOR=+，结合公式2πSRh=计算即可求解.【详解】如图，400AB=km，由~OOCO

CA，得OOOCOCOA=，又OCR=，则2(400)ROOOAOOR==+，得2400ROOR=+，所以222400800π2π2π()2π()2π400400400RRSRhRROOR

RRRRR==−=−==+++（2km）.即此时汤洪波回望地球时所能看到地球的表面积为2800π400RR+（2km）.故选：D6.已知()()()cos10cos50cos50−+−=+，则tan=（）A.33B.33−C.3D.3−【答案】C

【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据506010=−结合两角差的余弦公式化简即可得解.【详解】由()()()cos10cos50cos50−+−=+，得cos10cossin10sin2cos50cos+=，故sin10si

n2cos50coscos10cos=−所以2cos50cos10tansin10−=()2cos6010cos10sin10−−=cos103sin10cos103sin10+−==.的故选：C.7.已知数列na各项为正数，nb满足21

nnnabb+=，112nnnaab+++=，若12a=，11b=，则122024111aaa+++=（）A.10121013B.10111012C.20242025D.20232024【答案】C【解析】【分析】由21nnnabb+=，得1nnnabb+=，再结合112nn

naab+++=，可得212nnnbbb+++=，进而可得数列nb是等差数列，即可求出nb的通项，从而可求出数列na的通项，再利用裂项相消法求解即可.【详解】因为0na，21nnnabb+=，所以1nnnabb+=，因为112nnnaab+++=，所以0nb，11212n

nnnnbbbbb+++++=，即212nnnbbb+++=，所以数列nb是等差数列，又12a=，11b=，所以24b=，所以数列nb的公差为211bb−=，首项为11b=，所以nbn=，所以2nbn=，

所以()11nnnabbnn+==+，则()111111nannnn==−++，所以1220241111111112024112232024202520252025aaa+++=−+−++−=−=.故选：C.8.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=，1(,0)Fc−、2(,0)F

c分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段1PF与y轴交于点E，2POPF=，线段2EF的中点H满足120FHPF=uuuruuur，则双曲线的离心率为（）A.32102+B.32102−C.735+D.735−【答案】A【解析】【分析】由2POPF=，设0(,

)2cPy，表示出1PF的方程求得02(0,)3yE，则0(,)23ycH，由120FHPF=uuuruuur表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.【详解】由2POPF=，得P的横坐标为2c，设0(,)2cPy，则直线1PF的方程为02()3yyxcc=+，令0

x=，得023yy=，即02(0,)3yE，所以线段2EF的中点0(,)23ycH，则01203(,),(,)232yccFHPFy==−，由120FHPF=uuuruuur，得2200033(,)(,)023243yycccy−=−=，则032cy=，即3(,)22ccP，代入双曲线

方程得22229144ccab−=，即222229144()ccaca−=−，整理得421440ee−+=，由1e，解得32102e+=.故选：A【点睛】思路点睛：解答本题思路是根据点P的坐标表示出点E的坐标，由中点坐标公式表示出点H的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得3(,)22ccP，

代入双曲线方程计算即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z，1z，2z，下列结论正确的有（）A.若

复数z满足1Rz，则RzB.若12zz，z满足12zzzz=，则0z=的C.若1212zzzz+=−，则120zz=D.若复数z满足228zz++−=，则z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆【答案】ABD【解析】【分析】A根据zR的条件，得出0b=可以

判断；B根据复数相等的充要条件即可求解；C举反例可求解；D令zixy=+，再结合椭圆的定义可以求解.【详解】对于A选项，令izab=+，()()22222211iiiiiiabababzabababababab

−−====−++−+++因为1Rz，所以220bab−=+，即0b=，所以Rz，故A正确；对于B选项，令111222i,i,izabzxyzxy=+=+=+，因为12zz，所以12xx或22yy，()()()1111111iiizzabxyaxby

aybx=++=−++；()()()2222222iiizzabxyaxbyaybx=++=−++；因为12zzzz=，所以11221122axbyaxbyaybxaybx−=−+=+，因为12xx或22yy，所以0ab==，所以0z=，故B正确；对于C选项，令12izz==1，，易

知1212zzzz+=−，所以12i0zz=，故C错误；对于D选项，令izxy=+，因为228zz++−=，所以()()22222284xyxy+++−+=，由椭圆定义可得z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆，故D正确，故选：ABD.10.群论，是代数学

的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数

运算，如果该运算满足以下条件：①对所有的a、bG，有abG；②a、b、cG，有()()abcabc=；③eG，使得aG，有eaaea==，e称为单位元；④aG，bG，使abbae==，称a与b互为逆元．则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（）A

.1,1G=−关于数的乘法构成群B.自然数集N关于数加法构成群C.实数集R关于数的乘法构成群D.2,ZGabab=+关于数的加法构成群【答案】AD【解析】【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可．【详解】对于A选项，对所有

的a、bG，有abG，且满足①乘法结合律；②1eG=，使得aG，有11aaa==；③aG，aG，有1aaaa==，故A正确；对于B选项，①自然数满足加法结合律；②0Ne=，

使得Na，有00aaa+=+=；但是对于0N，1N，不存在Nb，使110bb+=+=，故B错误；对于C选项，对所有的a、Rb，有Rab，①实数满足加法结合律；②1Re=，使得Ra，有11aaa==；但对于1R，0R，不存在Rb，使001bb==，故

C错误；对于D选项，对所有的a、bG，可设2axy=+，2bst=+，(x，y，s，Z)t，则()2()abxsytG+=+++，①G满足加法结合律，即a、b、cG，有()()++=++abcabc；②0eG=，使得aG，有eaaea

+=+=；③aG，设2axy=+，x，Zy，2bxyG=−−，使abbae+=+=，故D正确．故选：AD．的11.已知函数()fx，对任意的,(,0)(0,)xy−+都有()()()fxfyfxyyx=+，且()1eef=（其中e为自然对数的底数），则（）A.()10f−=

B.1eef=−C.()fx是偶函数D.ex=是()fx的极小值点【答案】AB【解析】【分析】由题意，合理巧妙赋值，即可判断ABC；根据()()()xyfxyxfxyfy=+构造函数()lnxfx

x=，利用导数研究()fx的性质即可判断D.【详解】A：令1xy==，得(1)(1)(1)fff=+，解得(1)0f=，令1xy==−，得(1)(1)(1)fff=−−−−，解得(1)0f−=，故A正确；B：令1e,exy==，得1()(e)e(1)1eefff=+，又1

(e)ef=，所以1()eef=−，故B正确；C：令1y=−，得()(1)()()1fxffxfxx−−=+=−−，所以()fx为奇函数，故C错误；D：由()()()fxfyfxyyx=+，得()()()xyfxyxfxyfy

=+，设函数()lnxfxx=，则ln,0ln()ln(),0xxxxfxxxxx==−，当0x时，21ln()xfxx−=，令()00e,()0efxxfxx，所以()fx在(0,e)上单调递增，

在(e,)+上单调递减，所以ex=是()fx的极大值点，故D错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，本题的关键是：根据()()()xyfxyxfxyfy=+，构造函数()lnxfxx

=.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()2,3a=−r，()1,2b=−，若()aba+⊥，则=______．【答案】813【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算与向量垂

直的坐标运算列方程求解即可.【详解】因为()2,3a=−r，()1,2b=−，由()aba+⊥可得()()()()()()21,322,32213321380aba+=−−+−=−+−−+

=−=，解得813=.故答案为：813.13.除数函数（divisorfunction）()()*Nydnn=的函数值等于n的正因数的个数，例如，()11d=，()43d=．则()2160d=______．【答案】40

【解析】【分析】根据定义写出2160的质数因数，即可得解.【详解】因为432160235=，它的因数形如235ijk，其中0,1,2,3,4,0,1,2,3,0,1ijk，所以不同的因数有54240=个，

即()216040d=.故答案为：40.14.已知函数()21xfxx+=，若()()lnfxfax对任意()2e,ex恒成立，则正数a的取值范围为______．【答案】1,ee【解析】【分析】一方面，通过题设条件可以证明1eea；另一方面，在1eea

的情况下又可证明题设条件成立，这就得到了a的取值范围是1,ee.【详解】一方面，如果对任意()2e,ex有()()lnfxfax：设()()()lngxfxfax=−，则对任意()2e,ex有()0gx，从而由()2

e1e,e+知()e10g+.假设()e0g，则由零点存在定理知存在()e,e1t+使得()0gt=.但由()()2e,e1e,et+又有()0gt，矛盾，所以()e0g.代入得到()()e0ffa−，从而22e11eaa++，解之，得到1eea；另一方面，如果1eea

：设()lnhxxx=，则()ln1hxx=+.从而当10ex时()0hx，当1ex时()0hx.所以()hx在10,e上递减，在1e,+上递增.当()2e,ex时，有11111lnelnelneeeeeax

xxxhxhxxxxx=−=−−=−−=，且()()111111lnlnlneeeeeeeaxxxxhxhxxxxx====.所以1lnaxxx，这就意味着()1lnln0

axxaxx−−，展开即()21ln1lnaxaxxx++，此即()2ln11lnaxxxax++，故()()lnfxfax.综上，a的取值范围是1,ee.【点睛】方法点睛：分类讨论是求取值范围的典型方法.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，直四棱柱1111ABCDABCD−各棱长均为2，π3BAD=，O是线段BD的中点．（1）求点O到平面11ACD的距离；（2）求直线AB与平面11ACD所成角的正弦值．【答案】（1）255（2）55【解析】【分析】

（1）连接AC，11BD交11AC于点1O，连接1OO，以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】连接AC，由题意，点O为,ACBD的交点，连接11BD交11AC于点1O，连接

1OO，则1OO⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为菱形，则ACBD⊥，如图，以点O为原点，建立空间直角坐标系，在ABD△中，π3BAD=，则ABD△为等边三角形，则2,23BDAC==，则()()()()110,0,0,1,0,0,0,3,2,0,3,2ODAC−−，故()()()1111

,0,0,0,23,0,1,3,2ODACDA=−==−，设平面11ACD的法向量为(),,nxyz=，则有111230320nACynDAxyz===−+=，可取()2,0,1n=−，则点O到平面11ACD的距离为22555ODnn==；【小问2详解】()()0,3

,0,1,0,0AB−，故()1,3,0AB=，则25cos,552nABnABnAB===，即直线AB与平面11ACD所成角的正弦值为55．16.已知函数()π2π1sinsin332fxxx

=++−，角A为△ABC的内角，且()0fA=．（1）求角A的大小；（2）如图，若角A为锐角，3AB=，且△ABC的面积S为934，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．

【答案】（1）π6A=或5π6A=（2）73【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据()0fA=即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出边c，再将AM用,AFAC表示，结合数量积的运算律即可得解.【小问1详解】()π

2π1sinsin332fxxx=++−13131sincossincos22222xxxx=+−+−22311cossin442xx=−−21sin4x=−，则()21sin04fAA=−=，因为()0,πA，所以sin0A，所以1

sin2A=，所以π6A=或5π6A=；【小问2详解】若角A为锐角，则π6A=，设角,,ABC的对边分别为,,abc，则1393sin244SbcAb===，所以33b=，如图，连接CF，因为点E、F为边AB上的三等分点，所以E为AF的中

点，因为点D为边AC的中点，所以点M为ACF△的重心，则()222112333233CMCEAEACAFACAFAC==−=−=−，所以()13AMACCMAFAC=+=+，又2,33AFAC==，所以(

)22211172427189333AMAFACAFACAFAC=+=++=++=，即线段AM的长为73．17.混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比

例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中*nN），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量)i1,2,(,Xn=；③记随机变量11niiXXn==，利用X的期望()EX和方差()D

X进行估算．设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中MN，每一次试验都相互独立．．．．．．．．．．．（1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率；（2）

已知()()()ijijEXXEXEX+=+，()()()ijijDXXDXDX+=+，（i）证明：()()1EXEX=，()()11DXDXn=；（ii）试验结束后，记iX的实际取值分别为()1,2,,ixi

n=，平均值和方差分别记为x、2s，已知其方差2758sn=．请用x和2s分别代替()EX和()DX，估算MN和x．【答案】（1）1949（2）（i）证明见解析，（ii）13MN=，252x=【解析】【分析】（1）

设事件M：“第一次记录的是鱼苗A“，事件N：“第二次记录的是鱼苗A”，然后根据题意求出()PM和()PMN，再利用条件概率公式即可求得所求概率；（2）（i）由题意可得，(1iXi=，2，L，)n都近似服从完全相同的二项分布，则

12()()()nEXEXEX===，12()()()nDXDXDX===，然后利用期望和方差的公式计算即可得证；（ii）由（i）可知1~(50,)MXBMN+，则1X的均值150()MEXMN=+，1X的方差1()50MNDXMNMN=++，然后结合题

意即可求解．【小问1详解】设事件M：“第一次记录的是鱼苗A“，事件N：“第二次记录的是鱼苗A”，由题意可得，120150C2()C5PM==，220250C38()C245PMN==，所以5()938242519(|)()

4PMNPNMPM===；【小问2详解】（i）证明：由题可得，(1iXi=，2，L，)n都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()nEXEXEX===，12()()()nDXDXDX===，11111111()()()()()()nnniiiiiiiEXExEXEXnEXEXnnn

n========，1122211111111()()()()()()nnniiiiiiDXDXDXDXnDXDXnnnnn========，所以1()()EXEX=，11()()DXDXn=；（ii）解：由（i）可知1~(50,)MXB

MN+，则1X的均值150()MEXMN=+，1X的方差1()50MNDXMNMN=++，所以25075()()8MNDXnMNn==+，解得13MN=或3MN=，又0MN，则01MN，所以13MN=，15025()()2MxEXEXMN====+．18.已知抛物线2:2yx

=，点000(,)(0)Rxyy在抛物线上．（1）证明：以R为切点的的切线的斜率为01y；（2）过外一点A（不在x轴上）作的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线11BC（切点为D

），点1B、1C分别是与AB、AC的交点（如图）．（i）若直线AD与BC的交点为E，证明：D是AE的中点；（ii）设三角形△ABC面积为S，若将由过外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如11ABC△．再由点1B、1C确定的切线三角形221BB

C△，133CBC△，并依这样的方法不断作1，2，4，…，12n−个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于13S．【答案】（1）证明过程见解析（2）（i）证明过程见解析；（ii）证明过程见解析【解析】【分析】（1）设出切线方程并和抛物线联立，再由方

程有唯一解得到结论；（2）使用（1）的结论即可直接得到（i）的结论；求出每次作的切线三角形的面积与前一次作的切线三角形的面积的比值，从而确定每个切线三角形的面积，然后即可证明（ii）.【小问1详解】设()00ykxxy=−+是以R为切点的的切线，则0k.由于该直线

和有唯一公共点()00,Rxy，故联立后的方程组()0022ykxxyyx=−+=只有唯一解00xxyy==.从而将第一个方程代入第二个，得到的方程2002yyyxk−=+只有唯一解0yy=.此方程展开即为2002220y

yyxkk−+−=，从而002yyk=+，所以01ky=.小问2详解】（i）设211,2yBy，222,2yCy，则12yy.根据上一小问的结论，可知在B和C处的切线分别是2112yyyx=+和2222yyyx=+.联

立两直线解得121222yyxyyy=+=，所以1212,22yyyyA+.由于A不在x轴上，所以120yy+，故1112221212222BCBCyykkyyyy−===+−，所以D的纵坐标是122yy+，从而212121,222yyyyD++

.而1212,22yyyyA+，A在外，D在上，所以直线AD的方程是122yyy+=.这表明该直线通过BC的中点221212,42yyyy++，所以直线AD与BC的交点E就是BC的中点，即【221212,42yyyyE++.而12

12,22yyyyA+，2221212121124222yyyyyy+++=，故AE的中点坐标为212121,222yyyy++，这就是点D的坐标，所以D是AE的中点.（ii）由于D是AE的中点，

11BC和BC平行，故11,BC分别是,ABAC的中点.所以()1121213,44yyyyyB++，()2121213,44yyyyyC++.首先有323223121212121212121

111222428222ABCBCyyyyyyyySAEyyyyyyyy++=−=−−=−=−=−.从而321212222ABCyyyySS+==−，11321

2121124422ABCABCyyyySS+==−.而1212,22yyyyA+，故根据点的一般性可知对外的任意一点(),Txy，该点确定的切线三角形的面积为()32124yx−.再由()1121213

,44yyyyyB++，()2121213,44yyyyyC++，可知()1221133223211212121123111112444442448BBCABCyyyyyyyySyyS+++=−=−=−=

，同理1331118CBCABCSS=.这就表明，不断作11,2,4,...,2n−个切线三角形后，第()2,3,...,kkn=次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第1k−次作的切线三角形的面积的18.而1114ABCSS=，所以第()1,

2,...,kkn=次作的切线三角形的面积均为28kS.设所有切线三角形的面积之和为tS，由于第()1,2,...,kkn=次作的切线三角形的个数为12k−，故11112221884kknnntkkkkkkSSSS−======.从而2111...444tnS

S=+++，这就得到21444114...1...44444tnnSSS−=+++=+++121111111......444444tnnnSSSSS−++++=++++=+，所以3

tSS，即13tSS，结论得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线性质的使用和探究.19.贝塞尔曲线（Be'ziercurve）是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein多项式．引入多项式()C(1)niiniinBx

xx−=−(0,1,2,,)in=L，若()fx是定义在0,1上的函数，称()0;()()nnniiiBfxfBxn==，[0,1]x为函数()fx的n次Bernstein多项式．（1）求()202Bx在()0,1上取得最大值时x的值；（2）当()fxx=时，先化简();nB

fx，再求3;2nBf的值；（3）设()00f=，()fxx在()0,1内单调递增，求证：();nBfxx在()0,1内也单调递增．【答案】（1）110（2）();nBfxx=，2233;nBf=（3）证明见解析【解析】【分

析】（1）求导，进而可求出函数的单调区间，即可得解；（2）根据Bernstein多项式及函数()fx的n次Bernstein多项式的定义化简即可求出();nBfx，再令32x=即可得解；（3）根据()00f=及函数()fx的n次Bernstein多项式

的定义求导并化简，再根据()fxx在()0,1内单调递增，可得11iiffnniinn++，即可得出结论.【小问1详解】由题意()()182022220C1Bxxx=−，()0,1x，则()()()()()()1817172022222020C21181C2

1110Bxxxxxxxx=−−−=−−令()()2020Bx=，得110x=，当1010x<<时，()()2020Bx，当1110x时，()()2020Bx，所以()202Bx在10,10上单调

递增，在1,110上单调递减，所以当110x=时，()202Bx在()0,1上取得最大值；【小问2详解】()()()0;;nnniiniBxxBBfxnx===()()0!1!1!nniiiinxxn

in−==−−()()()()01!11!1!nniiinxxin−=−=−−−()()()1101!1!1!nniiinxxxini−−−=−=−−−()()11101nnniixBxxxxx−−−===+−=，所以2233;nBf=；【小问3详解】()()()200

;1nnnnniiiiBfxiixfBxfBxxxnn===−()()11120011C1C1nnniniiiiinniiiiixnffxxfxxxnnn−−−−−==+=−−−−

由()00f=，上式()()11120111C1C1nnniniiiiinniiiiixnffxxfxxxnnn−−−−−==+=−−−−

()()1111111200111C1C1nnniniiiiinniiiiixnffxxfxxxnnn−−−−−−++−==++=−−−−

()()()()()11101!1!11!1!1!1!nniiiniinixxnfffininninin−−−−=−++=−−−−−+−−

()()1110!1111!1!1nniiiniiixxfffininnin−−−−=++=−−−−−+()()1110!11,0,1,,1!1!1nni

iiniiixxffininiinn−−−−=+=−−=−−−+，而()fxx在()0,1内单调递增，所以11iiffnniinn++，所以11iiiffinn+

+，故();0nBfxx，所以();nBfxx在()0,1内也单调递增．【点睛】关键点点睛：理解Bernstein多项式及函数()fx的n次Bernstein多项式的定义是解决本题的关

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