【文档说明】湖南省部分省示范性高中2024-2025学年高二上学期开学考试 数学 Word版含解析.docx，共(26)页，2.347 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

（暨入学检测）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数7i3iz=+的虚部为（）A.2110B.2110−C.21i10D.21i10−2已知集合1151,1,

52225xUAxxBx==+=R，则（）A.UABðB.UABðC()UABU=ðD.ABU=3.已知1πcos2,0,82=，则cos=（）A.34B.74C.34−D.74−4.已知命题甲：“实数x，y满足yxxy=”，乙

“实数x，y满足22xy=”，则甲是乙的（）A必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5已知()0.40.144,0.1,log0.1abc===，则（）A.acbB.bcaC.ab

cD.cab6.将函数()()ππcos204fxx−=+的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若()gx在区间π,π4上单调递减，则的

最大值为（）A.14B.12C.34D.1....7.由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（）A.采用第一种方案划算B.采用第二种方案划算

C.两种方案一样D.采用哪种方案无法确定8.x表示不超过实数x的最大整数，已知奇函数()fx的定义域为R，()2fx+为偶函数，()28f−=−，对于区间0,2上的任意12,xx都有()()1221440fxf

xxx+−+−，若关于x的不等式()2619fxaa−对任意的xR恒成立，则a的最大值是（）A.0B.1C.2D.3二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.9.设向量()()3,,2,1akb==−，则下列说法错误的是（）A.若a与b的夹角为钝角，则6kB.a的最小值为9C.与b共线的单位向量只有一个，为22,22−D.若3ab=，则6k=10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：

97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（）A.均值为101B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.阳马和鳖臑[biēnào]是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两

个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）.若图1中的长方体是棱长为1的正方体，则下列

结论正确的是（）A.鳖臑中的四个直角三角形全等B.堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和C.鳖臑的体积等于阳马体积的一半D.鳖臑的内切球表面积为()322π−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若A，B，C三点共线，对任意一点O，有22cosOAOCOB−=（为锐角

）成立，则=______.13.已知函数()31xafx=+，满足()102f=，则()()20242024ff+−=______.14.如图已知点,AB在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面

中心，且圆锥SO的底面积为4π，30ASB=，若AB与截面SAO所成角为60，则圆锥SO的侧面积为______.四、解答题：本题共5小题共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15.已知函数()()2sincoscos05fxxxx=−满足π04f=

.（1）求；（2）求()fx在区间π,04−上的最小值.16.ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知13sincoscossin22AaCbAbaC−=−.（1）求A；（2）若2

224bca+-=，求ABCV的面积.17.随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一

范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.（1）求a；（2）如果女

性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？（3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？18.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平

面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．19.在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为()01.

猜是反面的概率为1−；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为()01，猜是正面的概率为1−.假设每次扔硬币相互独立.（1）若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为12,

PP，试比较12,PP的大小；（2）若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，（i）从下面①②③④中选出一定错误的结论：①32+=；②1+=；③12=，④14=（ii）从（i）中选出一个可能正确结论作为条件.用X表示猜测

的正反文字串，将X中正面的个数记为()nX，如X=“正反正反”，则()2nX=，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求()()2PnX=的取值范围.的（暨入学检测）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.1.复数7i3iz=+的虚部为（）A.2110B.2110−C.21i10D.21i10−【答案】A【解析】【分析】利用复数除法法则计算出21i710z+=，得到虚部.【详解】()()()227i3i7i21i

7i21i73i3i3i9i10z−−+====++−−，故虚部为2110.故选：A2.已知集合1151,1,52225xUAxxBx==+=R，则（）A.UABðB.UABðC.(

)UABU=ðD.ABU=【答案】C【解析】【分析】先解不等式得到𝐴={𝑥|−1<𝑥<3},𝐵={𝑥|𝑥>−1}，由补集和并集运算法则，结合子集的概念得到答案.【详解】A选项，𝐴={𝑥|−1<

𝑥<3},𝐵={𝑥|5𝑥>15}={𝑥|𝑥>−1}，故1UBxx=−ð，则A不是UBð的子集，A错误；B选项，1UAxx=−ð或3x，故UAð不是B的子集，B错误；C选项，()RUABU==ð，C正确；D选项，()1,AB=−−，D错误.故选：C3

.已知1πcos2,0,82=，则cos=（）A.34B.74C.34−D.74−【答案】A【解析】【分析】根据余弦二倍角公式可得结果.【详解】因为21cos22cos18=−=，所以3cos4=

或3cos4=−，又π0,2，所以3cos4=.故选：A.4.已知命题甲：“实数x，y满足yxxy=”，乙“实数x，y满足22xy=”，则甲是乙的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析

】22yxxyxy==，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.【详解】22yxxyxy==，充分性成立，但22xy=不能得到yxxy=，比如当0xy==时，满足22xy=，但不满足yxxy=，必要性不成立，故

甲是乙的充分不必要条件.故选：B5.已知()0.40.144,0.1,log0.1abc===，则（）A.acbB.bcaC.abcD.cab【答案】C【解析】【分析】结合指数函数，对数函数的性质估计,,abc的范围，由此比较它们的大小.【详解】函数4xy=

在R上为增函数，又00.11，所以00.1444，即14a，函数0.1xy=在R上为减函数，又00.41，所以10.400.10.10.1，即0.11b，函数4logyx=在()0,+上为减函数，1110.116104=，所以42log0.11−

−，即21c−−，所以cba.故选：C.6.将函数()()ππcos204fxx−=+的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若()gx在区间π,π4上单调递减，则的最大值为（）A.14B.12C.34D.1【答案】D【解

析】【分析】先根据伸缩变换得到()()ππcos04gxx−=+，求出ππππ+3π,444x−+，结合函数单调性得到不等式，求出1，得到答案.【详解】()()ππcos04gxx−

=+，ππ,π,,π44xx，ππππ+3π,444x−+，要想()gx在区间π,π4上单调递减，则π+3ππ4，解得1，故的最大值为1.故选：D7.由

于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（）A.采用第一种方案划算B.采用第二种方案划算C.两种方案一样D.采用哪种方案无法确定【答案】B【解析】【分析

】设两次购买猪肉的价格分别为,ab，0,0ab，表达出两种方案购买的均价，结合基本不等式比较出大小，得到答案.【详解】不妨设两次购买猪肉的价格分别为,ab，0,0ab，第一种方案，均价为3362abab++=，第二种方案，均价为10025050ababab=++，其中2

abab+，当且仅当ab=时，等号成立，222ababababab=+，当且仅当ab=时，等号成立，故22ababab++，当且仅当ab=时，等号成立，所以采用第二种方案划算.故选：B8.x表示不超过实数x的最大整数，已知奇函数()fx的定义域为R，()2fx+为偶函数，()

28f−=−，对于区间0,2上的任意12,xx都有()()1221440fxfxxx+−+−，若关于x的不等式()2619fxaa−对任意的xR恒成立，则a的最大值是（）A.0B.1C.2D.

3【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性，奇偶性得到()fx的一个周期为8，由𝑓(𝑥1+4)−𝑓(𝑥2+4)𝑥2−𝑥1>0变形得到()()4gxfx=+在[0,2]上单调递减，故()fx在4,6上单调递减，由函数周期，

奇偶性，对称性得到()fx在R上的最小值为()28f−=−，故26198aa−−，解得1823a，求出a的最大值为2.【详解】()2fx+为偶函数，故()fx关于2x=对称，()()22fxfx−+

=+，又()fx为奇函数，故𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，即()()22fxfx−+=−−，所以()()22fxfx+=−−，所以()()26fxfx−=−−，故()()26fxfx+=−，()fx的一个周期为8，区间[0,2]上的任意12

,xx都有𝑓(𝑥1+4)−𝑓(𝑥2+4)𝑥2−𝑥1>0⇒𝑓(𝑥1+4)−𝑓(𝑥2+4)(𝑥1+4)−(𝑥2+4)<0，令()()4gxfx=+，则()()4gxfx=+在[0,2]上单调递减，故()fx在4,6上单调递减，因

为()fx为奇函数，所以()fx在6,4−−上单调递减，又()fx的一个周期为8，故()fx在[2,4]上单调递减，又()fx关于2x=对称，故()()400ff==，故()fx在26,上单调递减，由对称性可知

()fx在22−,上单调递增，()()26ff−=且()fx的一个周期为8，故()fx在R上的最小值为()28f−=−，不等式()2619fxaa−对任意的𝑥∈𝑅恒成立，故26198aa−−，解得1823a，当112a

时，0a=，当12a时，1a=，当823a时，2a=，故a的最大值为2故选：C【点睛】结论点睛：设函数𝑦=𝑓(𝑥)，Rx，0a，ab．（1）若()()fxafxa+=−，则函数()fx的周期为2a；（2）若

()()fxafx+=−，则函数()fx的周期为2a；（3）若()()1fxafx+=−，则函数()fx的周期为2a；（4）若()()1fxafx+=，则函数()fx的周期为2a；（5）若()()fxafxb+=+，则函数()fx的周期为ab−；（6）若函数()fx的图象关于直线xa=与

xb=对称，则函数()fx的周期为2ba−；（7）若函数()fx的图象既关于点(),0a对称，又关于点(),0b对称，则函数()fx的周期为2ba−；（8）若函数()fx的图象既关于直线xa=对称，又关于点(),0b对称，则函数

()fx的周期为4ba−；（9）若函数()fx是偶函数，且其图象关于直线xa=对称，则()fx的周期为2a；（10）若函数()fx是奇函数，且其图象关于直线xa=对称，则()fx的周期为4a．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设向量()()3,,2,1akb==−，则下列说法错误的是（）A.若a与b的夹角为钝角，则6kB.a的最小值为9C.与b共线的单位向量只有一个，为22,22−D.若3ab=，

则6k=【答案】BC【解析】【分析】A选项，0ab且,ab不反向共线，得到不等式，求出6k；B选项，利用模长公式得到a的最小值为3；C选项，求出5b=，从而得到利用bb求出答案；D选项，利用模长公式得到方程，求出6k=.【详解】A选项，a与b的夹角为钝角，故0ab

且,ab不反向共线，则()()3,2,160abkk=−=−且320k−−，解得6k且32k−，综上，6k，A正确；B选项，293ak=+，当且仅当0k=时，等号成立，故a的最小值为3，B错误；C选项，415b=+=，与b共线

的单位向量有2个，为21255,,5555−=−，C错误；D选项，若3ab=，则2935k+=，解得6k=，D正确.故选：BC10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下

：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（）A.均值为101B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为101【答案】ABD【解析】【分析】A选项，利用均值定义进行求解；B选项，利用极差定义进行求解；C选项，在A

选项基础上，利用方差公式进行求解；D选项，006084.8=，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，得到答案.【详解】A选项，均值为9798991001011031041061018+++++++=，A正确；B选项，极差为106979−=，B正确；C选项，方差为

()()()2229710198101106101169410492517882−+−++−+++++++==，C错误；D选项，因为60%84.8=，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101，D正确.故选：ABD1

1.阳马和鳖臑[biēnào]是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个.以

矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）.若图1中的长方体是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是（）A.鳖臑中的四个直角三角形全等B.堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和C.鳖臑的体积等于阳马体积的一半D.鳖臑的内切球

表面积为()322π−【答案】CD【解析】【分析】由条件，求鳖臑的各棱长，判断A，结合多面体表面积定义及堑堵、鳖臑、阳马的结构特征求出它们的表面积，判断B，根据锥体体积公式求鳖臑和阳马的体积判断C，利用鳖臑的体积和表面积可求其内切

球的半径，结合球的表面积公式求球的表面积判断D.【详解】由已知1111BCCCDC===，11111190BCCCCDBCDBCD====，所以112BCCD==，13DB=，所以1BCC和11BCD△不全等，

A错误；堑堵的表面积()111121211322S=+++=+，由已知11DDDADC===，111190CDDADDCDABADBCD=====，所以112CDAD==，阳马的表面积211112112122222S=++

=+，鳖臑的表面积3112112121222S=+=+，1232SSS+=+，所以堑堵的表面积不等于阳马与鳖臑的表面积之和，B错误，鳖臑的体积1111111113326BCCVSDC===，阳马的体积2111111333ABCDVSDD===，所以鳖臑的体积等于

阳马体积的一半，C正确；设鳖臑的内切球的半径为r，因为鳖臑表面积312S=+，鳖臑的体积116V=，又1313VSr=，所以11212221r−==+，所以鳖臑的内切球表面积为()22214π4π322π2Sr−===−，D正确.故选：CD.三、填空题

：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若A，B，C三点共线，对任意一点O，有22cosOAOCOB−=（为锐角）成立，则=______.【答案】π3【解析】【分析】根据三点共线得到存在使得ABCB=，故()1OAO

BOC=−+，结合22cosOAOCOB−=，得到11,cos22==，从而求出π3=.【详解】因为A，B，C三点共线，所以存在使得ABCB=，即OBOAOBOC−=−，故()1OAOBOC=−+，将其代入22cosOAOCOB−=得，()2222co

sOBOCOCOB−+−=，即()()2122cos2OCOB−=+−，由于上式恒成立，，故22cos20210+−=−=，解得11,cos22==，因为为锐角，所以π3=.故答案为：π

313.已知函数()31xafx=+，满足()102f=，则()()20242024ff+−=______.的【答案】1【解析】【分析】利用()102f=，求出1a=，代入求值.【详解】()00231aaf=+=，故122a=，解得1a=，则()131xfx=+

，()()20242024202420242024111320242024131313131ff−+−=+=+=++++.故答案：114.如图已知点,AB在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥

SO的底面积为4π，30ASB=，若AB与截面SAO所成角为60，则圆锥SO的侧面积为______.【答案】()262π+【解析】【分析】设圆锥SO的底面半径为r，母线长为l，由底面面积为4π可求r，证明BAO为直线AB与截面SAO所成的角，解三角形求l，由此可求圆锥的侧面积.【详解】设

圆锥SO的底面半径为r，母线长为l，因为圆锥SO的底面积为4π，所以2π4πr=，故2r=，过点B作BDAO⊥，垂足为D，连接BO，由已知SO⊥平面ABO，BD平面ABO，所以BDSO⊥，AOSOO=，,AOSO平面SAO，所以BD⊥平面SAO，所以AB在平面SAO上的射影为𝐴𝐷，

所以BAO为直线AB与截面SAO所成的角，为由已知60BAO=，又2OAOB==，所以OAB△为等边三角形，故2AB=，因为30ASB=，SASBl==，由余弦定理可得2242cos30llll=+

−，所以()2423l=+，所以62l=+，所以圆锥SO的侧面积为()()ππ262262πrl=+=+.故答案为：()262π+.四、解答题：本题共5小题共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15.已知函数()()2sincoscos05fxxxx=−

满足π04f=.（1）求；（2）求()fx在区间π,04−上的最小值.【答案】（1）1（2）122+−【解析】【分析】（1）化简后代入π04f=，求出1=；（2）化简得到()2π1

sin2242fxx=−−，由π,04x−求出π3ππ2,444x−−−，利用整体法求出函数的最小值.【小问1详解】()221sincoscossin2cos2fxxxxxx=−=−，故21si

ncos0πππ4224f=−=，即sin1π2=，因为05，所以π5π022，故ππ22=，解得1=，【小问2详解】()1cos212π1sin2sin2222242xfxxx

=−−=−−，π,04x−，π3ππ2,444x−−−，故π2sin21,42x−−−，则2π112sin2,12422x+−−−−，故()fx在区间π,04−的最小值为

122+−.16.ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知13sincoscossin22AaCbAbaC−=−.（1）求A；（2）若2224bca+-=，求ABCV的面积.【答案】（1）π3（2）3【解析】【分析】（1）化简，结合正弦和角

公式，诱导公式得到31sincossin22aBbAbA=+，由正弦定理得到13sincostan322AAA==，求出A；（2）利用余弦定理得到4bc=，利用三角形面积公式求出答案.【小问1详解】13sincoscossin22AaCbAbaC−=−

，故13sincossincossincos22aACbAbAaCA−=−，即31sincossincoscossin22aACaCAbAbA+=+，由于()sincossincossi

nsinACCAACB+=+=，故31sincossin22aBbAbA=+，由正弦定理得31sinsinsincossinsin22ABBABA=+，因为()0,πB，所以sin0B，故31sincossin22AAA=+，即13sincost

an322AAA==，因为()0,πA，所以π3A=；【小问2详解】由余弦定理得222cos2bcaAbc+−=，又2224bca+-=，π3A=，故4122bc=，解得4bc=，则113sin43222ABCSbcA==

=.17.随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这

一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.（1）求a；（2）如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过

胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？（3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？【答案】（1）0.01a=；（2）全市女性“偏胖”的人数约为300000，“过胖”的人数约

为100000；（3）小张的体脂率更低.【解析】【分析】（1）由所有矩形条的面积和为1，列方程可求a；（2）求出样本中女性“偏胖”，“过胖”的频率，由此估计全市女性“偏胖”，“过胖”的人数；（3）求样本的中位数，平均数可得小王和小张的体脂率，由此可得结论.【小问1详解】由频率直方图可得，5250.

0350.0756521aaa++++=，所以0.01a=.【小问2详解】由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”的频率为50.060.3=，样本中女性“过胖”的频率为50.020.1=，所以全市女性“偏胖”的人数约为10000000.33000

00=，全市女性“过胖”的人数约为10000000.1100000=，【小问3详解】调查所得数据的平均数为12.50.117.50.1522.50.3527.50.332.50.123.25++++=，设调查所得数据的中位数为x

，因为0.10.150.250.5+=，0.10.150.350.60.5++=，所以2025x，所以()0.25200.070.5x+−=，所以16523.577x=，所以调查所得数据的中位数约为23.57，所以小王的体脂率约为23.57，小张的

体脂率为23.25，所以小张的体脂率更低.18.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案

】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得AD⊥平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//ADl，从而得到l⊥平面PDC；（2）方法一：根据题意，建立相应的

空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Qm，之后求得平面QCD的法向量以及向量𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑的坐标，求得cos,nPB的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，//ADBC，因为A

D平面PBC，BC平面PBC，所以//AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl=，所以//ADl，因为在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，所以,,ADDClDC⊥⊥且PD⊥平面ABCD，所以,,ADPDlPD⊥⊥因CDPDD

=，所以l⊥平面PDC．为（2）［方法一］【最优解】：通性通法因为,,DPDADC两两垂直，建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示：因为1PDAD==，设(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设(,0

,1)Qm，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB===−，设平面QCD的法向量为(,,)nxyz=，则00DCnDQn==，即00ymxz=+=，令1x=，则zm=−，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm=

−，则210cos,31nPBmnPBnPBm++==+根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于2|1||cos,|31mnPBm

+=+ruur2231231mmm++=+223232||361111313133mmmm=+++=++，当且仅当1m=时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.［方

法二］：定义法如图2，因l平面PBC，Ql，所以Q平面PBC．为在平面PQC中，设PBQCE=．在平面PAD中，过P点作PFQD⊥，交QD于F，连接EF．因为PD⊥平面,ABCDDC平面ABCD，所以DCPD⊥．又由,,DCADAD

PDDPD⊥=平面PAD，AD平面PAD，所以DC⊥平面PAD．又PF平面PAD，所以DCPF⊥．又由,,PFQDQDDCDQD⊥=平面,QOCDC平面QDC，所以PF⊥平面QDC，从而FEP即为PB与平

面QCD所成角．设PQa=，在PQD△中，易求21aPFa=+．由PQEV与BECV相似，得1PEPQaEBBC==，可得31aPEa=+．所以22211226sin1313333aaFEPaa+==+=++，当且仅当1a=时等号成立．［方法三］：等体积法如图3，延

长CB至G，使得BGPQ=，连接GQ，GD，则//PBQG，过G点作GM⊥平面QDC，交平面QDC于M，连接QM，则GQM即为所求．设PQx=，在三棱锥QDCG−中，111()(1)326QDCGVPDCDCBBGx−=+=+．在三棱锥GQDC−中，2111113232GQD

CVGMCDQDGMx−==+．由QDCGGQDCVV−−=得2111(1)1632xGMx+=+，解得2222112212111xxxxGMxxx+++===++++，当且仅当1x=时等号成立．在RtPDB△中，易

求3PBQG==，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为26sin33MQG==．【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面QCD的法向量n与向量𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑的夹角的余弦值的绝对值，即cos,nPB

，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用//PBQG，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所

成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．19.在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为()01.猜是反面的概率为1−；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为()01，猜是正面的概率为1−.假设每次扔

硬币相互独立.的（1）若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为12,PP，试比较12,PP的大小；（2）若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，（i）从下面①②③④中选出一定错误的结论：①32+=；②1+=；③12=，④14=（i

i）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用X表示猜测的正反文字串，将X中正面的个数记为()nX，如X=“正反正反”，则()2nX=，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求()()2PnX=的取值范围.【答案】（1）答案见解析；

（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求12,PP，作差可得()211PP−=−+，分别在01,1,12++=+条件下确定差的正负，由此可得12,PP的大小关系，（2）（i）由

条件证明111,122，由不等式性质可求,+的范围，由此确定一定错误的结论；（ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求()()2PnX=，若选①，令t=，求出t的范围，化简()

()2PnX=，结合二次函数性质求其范围；若选③，令s=+，结合对勾函数性质求s的范围，化简()()2PnX=，结合二次函数性质求其范围；【小问1详解】猜测全部正确的概率为1P=，猜测全部错误

的概率为()()211P=−−，因为()()()21111PP−=−−−=−+，所以当01+时，12PP，当1+=时，12PP=，当12+时，12PP，【小问2详解】（i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，则{

𝛼>1−𝛼𝛽>1−𝛽，解得{𝛼>12𝛽>12，所以112112，所以112,14+，因此，②④一定错误，（ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件()2nX=包含以下三种情况：两个正都猜对，且

两个反都猜对，其概率为22；有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为()()()212141−−=−−+；两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为()()()222111

−−=−−+；所以()()()()2222411PnX==+−−++−−+，若选择①32+=，令t=，则32t=−，其中112，所以19,216t，所以()()2221112463224PnXtttttt==+−+−=−

+，记()21634fttt=−+，19,216t，由二次函数的性质可知，()ft在区间19,216上单调递增，所以()159,4128ft，即()

()2PnX=的取值范围是159,4128若选择③12=，此时12=，又112，所以11122，所以112，令s=+，则12s=+，112，由对勾函数性质可得函数12s=+在

12,22上单调递减，在2,12上单调递增，所以32,2s，因为()()()()2222411PnX==+−−++−−+，12=，s=+，所以()()22133112254222PnXssss==+−+−=

−+，32,2s，记()21152gsss=−+，32,2s，由二次函数的性质可知，()gs在区间32,2上单调递减，所以()()3,22gsgg，即()115,52

42gs−【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合题意准确理解事件()2nX=，利用基本事件表示()2nX=，再结合概率运算公式求其概率表达式.