【文档说明】江西省宜春市八校2022届高三下学期联考数学（理）试题 含解析.docx，共(22)页，1.188 MB，由小赞的店铺上传

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2022年江西省宜春市八校联合考试高三理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时何120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一、选择题：本题共1

2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21Mxx=，2,1,0,1,2N=−−，则MN的非空真子集个数是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B

【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合M，再根据交集的定义求出MN，最后求出其非空真子集个数；【详解】解：由21x，即()()110xx−+，解得11x−，所以21|11Mxxxx==−，又2,1,0,1,2N=−−，所以1,0,1MN=−，因

MN中含有3个元素，所以其非空真子集有3226−=个；故选：B2.已知复数z满足242i2iz=++，则z=（）A.10B.210C.10D.40【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算性质以及复数模的定义即可得到结果【详

解】2z=(4+2i)(2+i)=6+8i，设z=a+bi，则222()zab=−+2abi为所以22628abab−==解的2282ab==所以2210zab=+=故选：A3.我国古代数学名著《

九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（）A.157石B.164石C.170石D.280石【答案】C【解析】【分析】用样本中夹谷的比例乘以总体容

量可得结果.【详解】样本中夹谷比例为32268，用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为321423170268（石）.故选：C.4.已知命题p：xR，21x，命题q：函数()sinxxxf−=在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（）A.pqB.()pqC.qD.()pq

【答案】D【解析】【分析】首先判断命题p、q的真假，再根据复合命题的真假性规则判断即可；【详解】解：对于命题p，当0x时021x，故命题p为假命题，所以p为真命题；对于()sinxxxf−=，()1cos0fxx=−恒成立，所以函数()sinxxxf−=

在R上单调递增，故命题q为真命题，所以q为假命题，所以pq为假命题，()pq为假命题，()pq为真命题；故选：D5.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）的A.283+B.82+C.243+D.42+【答案】A【解析】【详解】根据三视图可知：该几何体是一个圆锥和正

方体的组合体.圆锥的体积为212π12π33=，正方体的体积为8，故几何体的体积为：283+故选：A6.过抛物线24yx=的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且3AFBF=，则直线AB的斜率为（）A.3B.23C.3D.23【答案】A【解析】【分析】当点A在第一象限，通过抛物线定义及|

|3||AFBF=可知B为CE中点，通过勾股定理可知||AC，||BC的关系，进而计算可得结论．【详解】解：如图，当点A在第一象限时．过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知||||ADAF=，

||||BEBF=，又||3||3AFBFm==，||||3ADCEm==，||4ABm=，在RtABC中，||2BCm=，60ABC=直线l的斜率为3；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为3−．故

选：A．7.《九章算术》有如下问题：“今有上禾三秉（古代容量单位），中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上､中､下禾一秉各几何？”依上文，

设上､中､下禾一秉分别为x斗，y斗､z斗，设计如图所示的程序框图，若输出的,,xyz的值分别为374，174，114，则判断框中可以填入的条件为（）A.4?iB.3?iC.2?iD.1?i【答案】B【解析】【分析】根据程序框图的功能，一一循环，直至输

出114z=，374x=，17y4=终止循环求解.【详解】解：程序框图运行过程：0i=，94z=，354x=，154y=；1i=，52z=，9x=，4y=；2i=，114z=，374x=，17y4=；3i=，跳出运行，输出,,xyz.故选；B8

.将函数()()sin0yx=+的图象向左平移3个单位后，得到函数()sin2yx=+的图象，则函数()sin2yx=+在下列哪个区间内单调递减（）A.,212−−B.,122C.,63−D.5,1212−【答案】

A【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()sin2yx=+，再求出其单调递减区间即可判断作答.【详解】依题意，2=，于是有sin(2)sin2yxx=+=−，其图象向左平移3个单位得：2sin(2)sin[(2)]sin(2)333yxxx=−+

=−+−=−，令()3222Z232kxkk+−+，得函数sin(2)3yx=−的减区间511[,](Z)1212kkk++，当1k=−时，sin(2)3yx=−的一个减区间是7[,]1212−−，有7(,)[,]2121212

−−−−，A满足，B，C，D不满足；当0k=时，sin(2)3yx=−的一个减区间是511[,]1212，B，C，D都不满足，显然k取任意整数，B，C，D都不满足，所以函数()sin2yx=+在,212−

−上单调递减.故选：A9.若曲线()lnaxfxx=在点（1，f（1））处的切线方程为1yx=−，则a＝（）A.1B.e2C.2D.e【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求解.【详解】解：因为曲线()lnaxf

xx=，所以()()21lnaxfxx−=，又因为曲线()lnaxfxx=在点（1，f（1））处的切线方程为1yx=−，所以()11fa==，故选：A10.已知在三棱锥−PABC中，平面PAC⊥平面AB

C，26BC=，3PA=，90PAC=，120BAC=，则三棱锥−PABC的体积的最大值为（）A.63B.46C.26D.23【答案】D【解析】【分析】由面面垂直的性质得到PA⊥平面ABC，利用余弦定理及基本不等式求出8bc，从而求出BAC的面积最大

值，最后根据13PABCBACVPAS−=计算可得；【详解】解：因为90PAC=，即PAAC⊥，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，PA平面PAC，所以PA⊥平面ABC，在BAC中26BC=，120BAC=，由余弦定理2222cosabcbcBAC=+−

，即2224bcbc=++，所以22242bcbcbc+=−，所以8bc，当且仅当22bc==时取等号；所以13sin2324BACSbcBACbc==，即BAC的面积最大值为23；所以113232333PABCBACVPAS−==，即三棱锥−PA

BC的体积的最大值为23；故选：D11.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的离心率为3，焦点分别为1F，2F，点A在双曲线C上．若12AFF△的周长为14a，则12AFF△的面积是（）A.217aB.215aC.2214aD.2215a

【答案】C【解析】【分析】不妨令A在双曲线右支，根据双曲线的定义及离心率得到1||5FAa=，2||3FAa=，再由余弦定理求出12cosFPF，从而求出12sinFPF，最后由面积公式计算可得；【详解】解：不妨令A在双曲线右支，依题意可得12|

|||214FAFAca++=，12||||2FAFAa−=，3ca=，解得1||5FAa=，2||3FAa=，又12||26FFca==，由余弦定理222121212122cosFFPFPFPFPFFPF=+−即2221236259253cosaaaaaFPF=+−，

解得121cos15FPF=−，所以21212414sin1cos15FPFFPF=−=，所以12AFF△的面积2411352142415Saaa==．故选：C．12.在长方形ABCD中，2AB=，25AC=，点M在边AB上运动，点N在

边AD上运动，且保持2MN=，则||NCMC+的最大值为（）A.217B.213C.17D.13【答案】A【解析】【分析】建立坐标系，设AMN=，表示出各点的坐标，根据向量的模和三角函数的图象和性质即可求出．【详解】解：如图，以A为原点，AB所在的直线为x轴

，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，2AB=，25AC=，222044BCACAB=−=−=，则(0,0)A，(2,4)C，(0,4)D，设AMN=，则02剟，则2cosAM=，2sinAN=，(2cos,0)M，(0,2sin)N，(2,42s

in)NC=−，(22cos,4)MC=−，(42cos,82sin)NCMC+=−−，222(42cos)(82sin)8416(2sincos)84165sin()NCMC+=−+−=−+=−+，其中13tanta

n236==，263+，当0=时，268NCMC+=，当2=时，252NCMC+=，当0=时，NCMC+取得最大值，最大值为217．故选：A．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan3=，第三象限角，则si

n4−=___________.【答案】55−【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系求出sin、cos，再根据两角差的正弦公式计算可得；【详解】解：因为是第三象限角，所以sin0cos0，又tan3=，所以2

2sintan3cossincos1==+=，解得310sin1010cos10==（舍去）或310sin1010cos10=−=−，所以31021

025sinsincoscossin4441021025−=−=−−−=−；故答案为：55−14.5名实习老师安排到4所学校实习，每所学校至少安排一人，则不同的安排方式共有______种．是【答案】240

【解析】【分析】首先从5个老师中选2人作为一组，其余3人每人一组，再将四组安排到四所学校，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：依题意首先从5个老师中选2人作为一组，其余3人每人一组，再将四组安排到四所学校，故一共有2

454CA=240种安排方法；故答案为：24015.若1,22x，不等式2122log0xxxax−+恒成立，则实数a的取值范围为___________.【答案】(),5−−【解析】【分析】分离参数，将

恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.【详解】因为1,22x，不等式2122log0xxxax−+恒成立，所以12log2axx−对1,22x恒成立.记()12log2fxxx=−，1,22x

，只需()minafx.因为12logyx=在1,22x上单调递减，2yx=−在1,22x上单调递减，所以()12log2fxxx=−在1,22x上单调递减，所以()

()min25fxf==−，所以5a−.故答案为：(),5−−16.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosaBc=，D是BC的中点，若2AD=，则2bc+的最大值为______．【答案】42【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，即可得到AB=

，再结合coscos0ADBADC+=得到22216bc+=，最后借助基本不等式即可求解．【详解】解：因为2cosaBc=，由正弦定理可得2sincossinABC=所以2cossinsinsin()sincossincosBACA

BABBA==+=+，化简得sincossincos0BAAB−=，即in0()sAB−=，因为(),0,AB，所以(),AB−−所以AB=，又ADBADC+=，coscos0ADBADC+=，由余弦定

理知222222022ADDBABADDCACADDBADDC+−+−+=，即2222222()2()220222222aacbaa+−+−+=，又ab=，化简得22216bc+=，2222(2)2216bcbcbc+=+−=，又222(2)222()

22bcbcbc++=，当且仅当2bc=时取等号，故22(2)(2)162bcbc++−„，即242bc+„．故答案为：42．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为

必考题，毎个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知公差不为0的等差数列na中，23a=且125,,aaa成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列3nna的前n项和为nT.【答案】（1）21n

an=−（2）()1133nnTn+=−+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项可求出结果；（2）根据错位相减法可求出结果.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，由题意可知2215aaa=.即()()2

1114adaad+=+，又213aad=+=，得2360dd−=，因为0d，所以2d=，11a=.故通项公式21nan=−.【小问2详解】()3213nnnan=−，()23133353213nnTn=++++−

，()23413133353213nnTn+=++++−，()()()2312121323232321332333213nnnnnTnn++−=++++−−=−++++−−13(13)=32(21)313nnn+−−+−−−()111632136(22)3nnnnn+++

=−+−−=−+−，所以()1133nnTn+=−+.18.如图所示的五面体ABCDEF中，平面CDEF⊥平面ABCD，四边形CDEF为正方形，//ABCD，120ADCBCD==，2ABAD=.（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线AE与平面BDF

所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）依题意可得EDDC⊥，由面面垂直的性质得到ED⊥平面ABCD，即可得到BDED⊥，再由余弦定理求出BD，即可得到ADBD⊥，从而得证；（2）过点D作DMAB⊥交AB于点M，即

可得到DM⊥平面CDEF，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【小问1详解】证明：因为四边形CDEF为正方形，所以EDDC⊥，又平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF平面ABCDDC=

，DE平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD.因为BD平面ABCD，所以BDED⊥.在ABD△中，因为120ADC=，故60DAB=，不妨设22ABAD==，所以由余弦定理，得2222cos603BDABADABAD=+−=，则3BD=，所以222ADBDAB+=，所以ADB

D⊥，又=EDADD，,EDAD平面ADE，所以BD⊥平面ADE.【小问2详解】解：过点D作DMAB⊥交AB于点M，则DMDC⊥，平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF平面ABCDDC=，DM平面ABCD，所以DM⊥平面CDEF.如

图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()0,1,1F，31,,022A−，()0,0,1E，33,,022B，所以31,,122AE=−，()0,1,1DF=，33,,022DB=，设平面BDF的法向量为(),,nxyz=

，则033022nDFyznDBxy=+==+=，令1y=，则1z=−，3x=−，所以()3,1,1n=−−，设直线AE与平面BDF所成角为，所以()()3131112210sin1052AEnAEn−−++−===，所以直线A

E与平面BDF所成角的正弦值为1010；19.在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．成绩X[75，85）[85，

95）[95，105）[105，115）[115，125]人数Y62442208（1）已知本次质检中的数学测试成绩()2~,XN，其中μ近似为样本的平均数，2近似为样本方差2s，若该市有5万考生，试估计数学成绩介于90~12

0分的人数；（以各组的区间的中点值代表该组的取值）（2）现按分层抽样的方法从成绩在[75，85）以及[115，125]之间的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行试卷分析，记被抽取的3人中成

绩在[75，85）之间的人数为X，求X的分布列以及期望E（X）．参考数据：若()2~,XN，则()0.6826PX−+=，()220.9544PX−+=，()330.9974PX

−+=．【答案】（1）40925（2）X的分布列见解析；97【解析】【分析】（1）先求出样本数的平均数和方差，再结合正态分布求出数学成绩介于90~120分的人数；（2）求出X的所有可能取值，分别求得概率，列出分布列求出期望.【小问1

详解】根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质检中数学测试成绩样本的平均数为800.06900.241000.421100.21200.08100x=++++=.224000.061000.2400.421000.24000.08100s==+

+++=，则()2100,10XN～，所以0.95440.6826(90120)0.81852PX+==，故所求人数为0.81855000040925=．【小问2详解】依题意成绩在)75

,85之间的抽取3人，成绩在115,125之间的抽取4人，故X的可能取值为0，1，2，3．故()34374035CPXC===，()12343718135CCPXC===，()21343712235CCPXC

===，()303437CC13C35PX===．故X的分布列为X0123P43518351235135故E()41812190123353535357X=+++=．20.已知椭圆C：()222210xyabab+=，12,FF分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆上一点，12

4PFPF+=，1223FF=.（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的右顶点，直线l是与椭圆交于,MN两点的任意一条直线，若AMAN⊥，证明直线l过定点.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（

1）根据椭圆的定义，由1224PFPFa+==得到a，再由1223FF=，得到c求解；（2）当直线l不垂直于x轴，设该直线方程为ykxm=+，与椭圆方程联立，根据AMAN⊥，由0AMAN=结合韦达定理求解；当直线

l垂直于x轴时，根据椭圆的对称性，由MNA△为等腰直角三角形求解.【小问1详解】解：因为椭圆方程()222210xyabab+=，P为椭圆上一点，由椭圆的定义知1224PFPFa+==，所以2a=

，又1223FF=，所以223c=，3c=，所以2221bac=−=，所以椭圆方程为2214xy+=.【小问2详解】证明：①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为ykxm=+，()11,Mxy，()22,Nxy，由22,1,4ykxmxy=++=得()2

222424xkxkmxm+++=，化简得()222148440kxkmxm+++−=，()2216410km=−+，所以122814kmxxk+=−+，21224414mxxk−=+，()()()2212121212yykxmkx

mkxxkmxxm=++=+++，()22222222224484141414−−=−+=+++kmkmmkmkkk，因为AMAN⊥，所以()()1212220AMANyyxx=+−−=，所以()121212240yyxxxx+−++=，所以2

222224441640141414mkmkmkkk−−+++=+++，去分母得2222444164160mkmkmk−+−+++=，即22121650kkmm++=.()()2650kmkm++=，所以2mk=−或56km=−，当2mk=−时，l：122mxyxmm=−+=−+过定点

()2,0，显然不满足题意；当56km=−时，l：55166myxmmx=−+=−+过定点6,05.②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点()0,0x，由椭圆的对称性可知MNA△为等腰直角三角形，所以200124xx−=−，化

简得200516120xx−+=，解得065x=或2（舍去），即此时直线l也过定点6,05.综上直线l过定点6,05.21.已知函数()lnfxxx=，()()21fxgxxxx=−+．（1）求函数()gx的单调区

间；（2）若方程()fxm=的根为1x、2x，且21xx，求证：211exxm−+．【答案】（1）单调递减区间为()0,+，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()gx的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析()

fx的单调性，()1lnfxx=+，推出()fxx−，设直线yx=−与ym=的交点的横坐标为3x，则13xxm=−，证明当1,1ex时，()1(1)e1fxx−−，即可得证．【小问1详解】解：因为()lnfxxx=，()()21fxgxxxx=−+，所以()l1n2

xgxxx=−+定义域为()0,+，()()222221212110xxxgxxxxx−−−+−=−−==，所以()gx在()0,+上单调递减，即()gx的单调递减区间为()0,+，无单调递增区

间；【小问2详解】证明：()lnfxxx=，()1lnfxx=+，当10ex时()0fx，当1ex时()0fx¢>所以()fx在10,e上是单调递减，在1,e+上单调递增，则()min11eefxf==−，当01x时，()ln0fxx

x=，所以12101xxe，且10em−，当10,ex时，ln1x−，所以lnxxx−，即()fxx−，设直线yx=−与ym=的交点的横坐标为3x，则1311lnxxmxx=−=−，下面证明当1,1ex

时，()1(1)e1fxx−−，设le111()ln(1)(n)11e()e1hxxxxxxx=−−=−+−−−，11()ln1e(1e)mxxx=−+−−，则22e11(1)1(e)(1))e(1xmxxxx−−=−=−−，当1

1ee1x−时，()0mx，当11e1x−时，()0mx，所以()mx在11,ee1−上是减函数，在1,1e1−上增函数，又因为10em=，()10m=，所以当11ex时，()0mx，()0hx，故当1

,1ex时，()1(1)e1fxx−−，设直线1(1)1yxe=−−与ym=的交点的横坐标为4x，则241(e1)xxm=+−，所以21431exxxxm−−=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直

接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造

“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线l的参

数方程为22222xtyt=+=（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为22cos22sin10−+−=.（1）写出l普通方程和曲线C的参数方程；（2）点P在圆C上，当点P到直线l的距离最大时，求点P的直角坐标.

【答案】（1）20xy−−=，12cos,22sinxy=+=−+（为参数）（2）()12,22P+−【解析】【分析】（1）由条件所给方程转换即可；（2）设点()12cos,22sinP+−+，

则点P到l的距离122sin42d−−=，然后利用三角函的数的知识求解即可.【小问1详解】由22222xtyt=+=可得2xy−=所以l的普通方程为20xy−−=，由22cos22sin10−+−=可得2222210xyxy+−+−=，所以曲线C

的直角坐标方程为()()22124xy−++=，参数方程为12cos,22sinxy=+=−+（为参数）.【小问2详解】设点()12cos,22sinP+−+，则点P到l的距离122sin12cos22sin2422d−−++−−

==，所以sin14−=−时，d最大，此时()24kk=−Z，2cos2=，2sin2=−，所以()12,22P+−.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()112fxxx=−+−的值域为M.（1）求M；（2）证明：当,a

bM时，214abab−−.【答案】（1）12xx（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的性质即可求解.（2）利用平方后作差,转化成22111644ab−−的形式,然后根据第一问的范围即可证明差与0的关系,即可求解.【小问1详解】因

为()11111222fxxxxx=−+−−−+=，所以()fx值域为1,2+，即12Mxx=.【小问2详解】证明：由()()222222144181642ababababaabb−

−−=−+−−+()()22222222111164441411644abababab=+−−=−−=−−，由,abM有12a，12b，可得214a，214b，故22144abab−−，可得214abab−−.的获得更多资源

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