【文档说明】重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高三第二次诊断性检测数学试题 含解析 .docx，共(27)页，1.452 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市2022年高考第二次诊断性检测高三数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1

.若复数z满足13i3z−+=，则z的最大值为（）A.1B.2C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根据题意可知复数z的轨迹为以(1,3)−为圆心，3r=为半径的圆.由此则可求出z的最大值.【详解】设i,zabab

R=+、.则13i3z−+=表示复平面点(,)zab到点(1,3)−的距离为3.则z的最大值为点(1,3)−到(0,0)的距离加上3.即max1335z=++=.故选：C.2.已知函数323()ln2fxxxax=−−，则函数()fx

在(0,)+上单调递增的一个充分不必要条件是（）A.49a−B.49a?C.23aD.23a【答案】A【解析】【分析】根据题设条件转化为()0fx在(0,)+上恒成立，即3233axx−在(0,)+上恒成立，令()3233,0gxxxx=−，利用导数求得()

gx单调性和最小值，结合题意，即可求解.【详解】由函数323()ln2fxxxax=−−，可得函数()fx的定义域为(0,)+，且2()33afxxxx=−−，因为函数()fx在(0,)+上单调递增，即()0fx在(0,)+上恒成立，即2330axxx−−

在(0,)+上恒成立，即3233axx−在(0,)+上恒成立，令()3233,0gxxxx=−，可得()2963(32)gxxxxx=−=−，当2(0,)3x时，()0gx，()gx单调递减；当2(,)3x+时，()0

gx，()gx单调递增，所以()min2439gxg==−，所以49a?，结合选项，可得49a−时函数()fx在(0,)+上单调递增的一个充分不必要条件.故选：A.3.已知1.12a−=，ln3b=，21log32=c，则（）A.ab

cB.acbC.b<c<aD.bac【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】解：因为1.1110222−−==a，ln31blne==，2221111log2log

3log412222===c，所以acb，故选：B4.某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm,2cm的两个同心圆的圆心，等腰三角形ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，

点,OA在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧BC所围成的弓形面积为1S，△OAB与△OAC的面积之和为2S，设2BOC=．经研究发现当21SS−的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，cos=（）A.152−+B.512−C.12D.22【答案】A【解析

】【分析】利用三角形面积公式，将21SS−表示为的函数，利用导数研究其单调性和最值即可.【详解】由题意可知，2(0,)BOC=，故0,2，又11sin2sin222OBCSOBOC==，()()112cos2sin2cos22ABCSBCOBOBO

B=+=+2sinsincos=+，设劣弧BC所对扇形面积为3S，则3122SOBOB==，故131sin22OBCSSS=−=−，212sinsincossin22sin2A

BCOBCSSS=−=+−=，则2112sinsin2,0,22SS−=+−；令1()2sinsin22f=+−，0,2，则'()f22cos2cos2=+−，令'()f0=，得15cos2−+=或

15cos2−−=（舍去），记0cos=015,0,22−+，当()00,时，'()f0，函数()f单调递增，当0,2时，'()f0，函数()f单调递减，故当0=，即15cos2−+=时，()f取得最大值，即21SS−取

得最大值．故选：A．5.设直线系():cos2sin1Mxy+−=（02），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均

经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数()3nn，存在正n边形，其所有边均在M中直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据已知可知，直线系M都为以()0,2为圆心，以1为半径的圆的

切线，即可根据相关知识，逐个判断各命题的真假．【详解】根据直线系():cos2sin1Mxy+−=（02）得到，所有直线都为圆心为()0,2，半径为1的圆的切线．对于①，可取圆心为()0,2，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；对于②，可取圆心为()0,2，半径为1

2的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；对于③，可取圆心为()0,2，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；对于⑤，存在()0,2不在M中的任一条直线上，所以⑤错误；

对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在M中的直线上，所以⑥正确；对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；的故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的

个数为4个．故选：B．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及直线与圆的位置关系的判断，直线系的理解等知识，综合考查学生运用直线与圆的知识解决问题的能力，属于较难题．6.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理

斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),xy；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),xy的个数a；最后再根据统计数a估计

的值，那么可以估计的值约为（）A.4amB.2am+C.2amm+D.42amm+【答案】D【解析】【分析】由试验结果知m对0～1之间的均匀随机数,xy，满足0101xy，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)xy，满足条件的面积，由几何概

型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．【详解】解：根据题意知，m名同学取m对都小于1的正实数对(),xy，即0101xy，对应区域为边长为1的正方形，其面积

为1，若两个正实数,xy能与1构成钝角三角形三边，则有22110101xyxyxy++，其面积142S=−；则有142am=−，解得42amm+=故选：D．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形

，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.7.已知函数()|1||1|2cosfxxxx=++−+，若函数()()gxf

xa=−恰有三个零点时，mna+=（其中m，n为正实数），则72812mn+++的最小值为（）A.9B.7C.307D.4【答案】A【解析】【分析】将函数写成分段函数的形式，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的图象与零点的关系可得a的值，最后由基本不等式即可得结果.【详解】()22cos,

1112cos22cos,1122cos,1xxxfxxxxxxxxx−+−=++−+=+−+当1x−时，()22sin0fxx=−−恒成立，∴()fx在()1−−，上单调递减，∴()()()

()122cos122cos13,4fxf−=+−=+，当11x−时，()22cosfxx=+为偶函数，在)1,0−上单调递增，在(0,1上单调，∴()()()1,0fxff，即

()(22cos1,43,4fx+，当1x时，()22sin0fxx=−恒成立，∴()fx在()1,+上单调递增，∴()()()122cos13,4fxf=+，由此作出函数()fx的草图如下所示，由函数()()gxfxa=−恰有三

个零点可得4a=，即4mn+=，所以()()41728172821251271212mnmnmnmnmn+++=++++=++++++++()25294121mnmn+++++=，即72812mn+++的最小值为9，当且仅当43m=，83n=时，等号成

立，故选：A.8.已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，在三角形ABC中心为圆心()01rr为半径的圆上有一个动M，则3++MAMBMC最大值为（）A.13B.89C.511D.116+【答案】A【解析】【分析】建立直角坐

标系，可以表示出,,ABC的坐标，再设点(cos,sin)Mrr，即可用r与表示出3++MAMBMC，即可求出答案.【详解】建立如图所示坐标系，则点(2,23),(2,23),(4,0)ABC−−−，设点(cos,sin)Mrr，且02，则

3++MAMBMC222=(85cos)25sinrr−+2642580cosrr=+−故当1,=r=时，3++MAMBMC有最大值为13故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20

分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.已知点(),Pxy是圆()22:14Cxy−+=上的任意一点，直线()():131330lmxmym++−+−=，

则下列结论正确的是（）A.直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种B.圆C的圆心到直线l距离的最大值为2C.点P到直线43160++=xy距离的最小值为2D.点P可能圆221xy+=上【答案】ACD【

解析】【分析】求出直线l所过定点Q的坐标，判断点Q与圆C的位置关系，可判断A选项；利用当直线l与圆相切时，圆C的圆心到直线l距离最大可判断B选项；求出圆心C到直线43160++=xy的距离，利用圆的几何性质可判断C选项；判断两圆的位置关系可判断D选项

.【详解】对于A选项，因为直线l的方程可化为()3330xymxy−+++−=．令333xyxy−=−+=解得03xy==，所以直线l过定点()0,3Q，直线l是过点Q的所有直线中除去直线330xy+−=外的

所有直线，圆心()1,0C到直线330xy+−=的距离为131213−=+，即直线330xy+−=与圆C相交，又点()0,3Q在圆()22:14Cxy−+=上，所以直线l与C至少有一个公共点，所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相

切两种，A正确；对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为2QC=，B错误；对于C选项，因为圆心C到直线43160++=xy的距离41645d+==，所以圆C上的点P到直线43160++=xy距离的最小值为4

22−=，C正确；对于D选项，圆221xy+=的圆心为原点O，半径为1，因为121OC==−，所以，圆C与圆O内切，故点P可能在圆221xy+=上，D正确.在故选：ACD.10.设等差数列na前n项和为nS，公差0d，若920S

S=，则下列结论中正确的有（）A150a=B.当15n=时，nS取得最小值C.10220aa+D.当0nS时，n的最小值为29【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.【详解】解：根据

题意，由9201111511998202019140022SSadadada=+=++==.故A正确；因为0d，故当15n时，0na，150a=，当15n时，0na，当15n=或14n=时，nS取得最小值，故

B正确；由于()102216150aaaadd+==+=，故C正确；因为0d，nN，所以由1111(1)(14)(1)(29)0222nSnanndndnnddnn=+−=−+−=−，可得：29,nnN，因此n的最小值为30，故D错误.故选：ABC11.设12,FF分别是双曲

线2221(0)yxbb−=的左右焦点，过2F作x轴的垂线与双曲线交于,AB两点，若1ABF为正三角形，则（）A.2b=B.双曲线的离心率3C.双曲线的焦距为25D.1ABF的面积为43【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性及定义求出正1

ABF的边长，逐项计算判断作答.【详解】在正三角形1ABF中，由双曲线的对称性知，12FFAB⊥，12||2||AFAF=，由双曲线定义有：12||||2AFAF−=，因此，1||4AF=，2||2AF=，221212|

|||||23FFAFAF=−=，.即半焦距3c=，则2212bc=−=，A正确；双曲线的离心率31ce==，B正确；双曲线的焦距1223FF=，C不正确；1ABF的面积为213||434AF=，D正确.故选：ABD1

2.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为梯形，//ADBC，90ABD??，2ADBC=，PAB是边长为1的等边三角形，E为PD的中点，则（）A.ABPD⊥B.直线AB与CE所成的角为30°C.//CE平面PABD.线段CE的长度为

12【答案】BC【解析】【分析】对于A：假设A项正确,客栈名称AB⊥PB,与△PAB为等边三角形矛盾,故A错误;对于C：取AP的中点F,连接EF,BF.利用线面平行的判定定理证明//CE平面PAB,即可判断；对于B：判断出∠ABF即为直线AB与CE所成的角,直接求得；对于D：直接求出32CE

BF==，即可判断.【详解】对于A：若A项正确,则由AB⊥PD,AB⊥BD,可得AB⊥平面PBD,则有AB⊥PB,与△PAB为等边三角形矛盾,故A错误;对于C：如图,取AP的中点F,连接EF,BF.因为1

,2ADEFEFAD=//,且12BCAD=，//ADBC，所以//,,EFBCEFBC=故四边形EFBC为平行四边形,则有//CEBF.又因为BF平面PAB,CE平面PAB,所以//CE平面PAB,故C正确;对于B：由//C

EBF,则有∠ABF即为直线AB与CE所成的角,因为PAB是等边三角形，所以∠ABF=30°,故B正确；对于D：由CE=BF,且△PAB是边长为1的等边三角形,则32CEBF==.故D项错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.521()(2)x

mxx+−的展开式中x的系数是27−，则m=___________.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则，求出5(2)mx−展开式中常数项及3x项即可列式计算作答.【详解】依题

意，521()(2)xmxx+−的展开式中x的项是由21,xx分别与5(2)mx−展开式中常数项及3x项相乘积的和，因此，521()(2)xmxx+−的展开式中x的项为5523235521C(2)C()(2)(3240)xmxmxx−+−=−+，即有3324027m−+=−，

解得12m=，所以12m=.故答案为：1214.关于x的不等式()999999999999121xxx−−+，解集为___________.【答案】)1,−+【解析】【分析】利用9999yx=的单调性，讨论1,2xx−的大小关系，

判断原不等式是否成立，即可得解集.【详解】由题设，99999999(1)(2)1xxx−−+，而9999yx=在R上递增，当12xx−即1x−时，99999999(1)(2)01xxx−−+，原不等式不成立；当12x

x−即1x−时，99999999(1)(2)01xxx−−+，原不等式恒成立.综上，解集为)1,−+.故答案为：)1,−+【点睛】关键点点睛：注意构造9999yx=，根据幂函数的单调性，讨论9999

9999(1),(2)xx−大小关系求解集.15.点M在△ABC内部，满足2340MAMBMC++=，则:MACMABSS=____________．【答案】34##3:4【解析】【分析】分别延长MA至,DMB至,EMC至F，使2,3MDMAMEMB==，4MFMC=，连接

,,DEEFDF.根据已知条件可得点M是DEF的重心，根据重心性质可知MDEMEFMDFSSS==，再根据三角形面积公式1sin2MDESMDMEDME=、1sin2MABSMAMBDME=及边长倍数关系可得各需求的

三角形面积之间的比例关系.【详解】如图，分别延长MA至,DMB至,EMC至F，使2,3MDMAMEMB==，4MFMC=，连接,,DEEFDF.由2340MAMBMC++=，得0MDMEMF++=，∴点M是DEF的重心，延长EM交DF于G，则MG＝13EG，过M作MH⊥

DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝13EI，故13MDFDEFSS=△△，同理可证13MDEMEFDEFSSS==△△△，∴MDEMEFMDFSSS==，设1MDES=，设1sin12MEFMDFMDESSSM

DMEDME====，则1111sinsin2223MABSMAMBDMEMDMEDME==1111sin2326MDMEDME==，同理111248MACMDFSS==，∴1:8MACM

ABSS=：13:46=.故答案为：3:4.16.定义函数()fxxx=，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2，当[0,)xn时，()fx的值域为An，记集合A

n中元素的个数为na，则234202111111111aaaa++++−−−−的值为_________.【答案】40402021【解析】【分析】根据函数的定义判断()fx在[0,)xn上值域中元素的个数na，进而可得11na−通项公式，应用裂项

相消法求目标式的值.【详解】由题设，0,01,12[]2,23...(1),1xxxxxxxnxnxn=−−，所以()fx在各区间上值域中元素个数为1、1、2、…、n1−，所以221123...(

1)2nnnan−+=+++++−=，则1112()11nann=−−−，所以220211111140402(1...111202020)2(1)112212021232021aa+−−+=−+−++==−−.故答案为：40402021.【点

睛】关键点点睛：利用[x]的定义判断()fx在[1,)nn−上值域元素的个数，再应用分组、等差数列前n项和公式求na，最后由裂项相消法求目标式的值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知A

BC的外心为O，,MN为线段,ABAC上的两点，且O恰为MN中点.（1）证明：||||||||AMMBANNC=（2）若||3AO=，||1OM=，求AMNABCSSVV的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）49【解析】【

分析】（1）设1122,,,AMxBMyANxCNy====，利用余弦定理求得cosAMO，cosBMO，再根据coscos0AMOBMO+=，化简，可求得11xy，同理可求得22xy，即可得证；

（2）利用余弦定理求得cosAOM，cosAON，再根据coscos0AOMAON+=结合（1）求得2212xx+，设1212,xxyy==，可求得+，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】证明：设1122,,,

AMxBMyANxCNy====，由余弦定理知：22211cos2xOMAOAMOxOM+−=，22211cos2yOMBOBMOyOM+−=，由O是ABC外心知AOBOCO==，而coscos0AMOBMO+=，所以2222221111022xOMAOyOMBOxOMy

OM+−+−+=，即221111()()0xyOMAOxy+−+=，而110xy+，因此2211xyAOOM=−，同理可知2222xyAOON=−，因此1122xyxy=，所以||||||||AMMBANNC=；【小

问2详解】解：由（1）知11222xyxy==，由余弦定理知：2221cos2AOOMxAOMAOOM+−=，2222cos2AOONxAONAOON+−=，代入coscos0AOMAON+=得22128xx+=，设1212,xxy

y==，则2212422xx+=+=，因此11455(1)(1)9114AMNABCSAMBMSABAC====++++，当且仅当2==时取到等号，因此AMNABCSSVV的最大值为49.18.已知数

列na，满足11a=，11233nnnnaaaa+++=；（1）求na的通项公式；（2）若111(1)nnnncaa++=−，求nC的前2n项和2nT．【答案】（1）321nan=+；（2）28493nn−−.【解析】【分析】（1）由题可得1112

3nnaa+−=，进而可得1213nna+=，即得；（2）由题可得2122413nnncca−=−+，然后利用分组求和法及等差数列求和公式即得.【小问1详解】∵11233nnnnaaaa+++=，∴1332nnaa+=+，即11123nnaa+−=，又11a=，∴数列1na是首项为

1，公差为23的等差数列，∴()122121113333nnnna+=+−=+=，∴321nan=+；【小问2详解】∵111(1)nnnncaa++=−，∴21221222122121211111413nnnnnnnnnnccaa

aaaaaa−−+−+=−=−=−+，∴212233445212221111111nnnnnTaaaaaaaaaaaa−+=−+−++−24241113naaa=−+++541433332nn++=−28493nn=−−.19.如图，已知直

三棱柱111ABCABC-，O，M，N分别为线段BC，1AA，1BB的中点，P为线段1AC上的动点，116AA=，8AC=.（1）若12AOBC=，试证1CNCM⊥；（2）在（1）的条件下，当6AB=时，试确定动点

P的位置，使线段MP与平面11BBCC所成角的正弦值最大.【答案】（1）证明见解析（2）P为1AC的中点时，sin取得最大值35.【解析】【分析】（1）先证AB⊥平面11ACCA，得ABCM⊥，结合已知条件得出CMMN⊥，根据11AMCAMC△△及勾股定理的逆定理，得出

1CMCM⊥，进而得出CM⊥平面1CMN，即证1CNCM⊥.（2）建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量和直线的方向向量，再由向量的夹角公式可求出线面角，在利用二次函数的性质即可求解该问题.【小问1详解】在ABC中，∵O为BC中点且12AOBC=，∴ABAC⊥.∵平面A

BC⊥平面11ACCA交线为AC，∴AB⊥平面11ACCA，∴ABCM⊥.∵M，N分别为1AA，1BB的中点，∴MNAB∥.∴CMMN⊥.在直角AMC和直角11MAC△中，∵18AMAM==，118ACAC==，∴11AMCAMC

△△，∴1646482CMCM==+=，∴22221112812816CMCMCC+=+==，∴11,CMCMMNCMM⊥=.∴CM⊥平面1CMN，1CN平面1CMN，∴1CMCN⊥.【小问2详解】∵

1AA⊥平面ABC，由（1）得AB，AC，1AA三线两两垂直，以A为原点，以AB，AC，1AA为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，则()0,0,0A，()6,0,0B，()0,8,0C，()10,8,16C，()0,0,8M，()1

6,0,16B，∴()6,8,0BC=−，()10,0,16BB=.设平面11BBCC一个法向量为(),,nxyz=，则680160xyz−+==，令4x=得3y=，()4,3,0n=，设(),,P

xyz，()101APmACm=，则()(),,0,8,16xyzm=，∴()0,8,16Pmm，()0,8,168MPmm=−，设直线MP与平面11BBCC所成角为，则222243564(168)55s

1in4mmmmnMPmnMPm==+−−+=.若0m=，sin0=此时点P与A重合，若0m，令()11ttm=，则2233355545(2)1sinttt=−+−+=.当2t=，即12m=，P为1AC的中点时，sin取得最大

值35.20.规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则

，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；的的（2）为

验证抽球试验成功的概率不超过12，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：t12345y23298604020求y关于t的回归方程byat=+，并预测成功的总人数（精确到1）；（3）证明：(

)22222222221111111111111111?·12232342321nn+−+−−++−−−+．附：经验回归方程系数：1221niiiniixynxybxnx==−=−

，aybx=−$$；参考数据：5211.46iix==，0.46x=，20.212x=（其中1iixt=，5115iixx==）．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2912（2）回归方程为27034.2yt=−，预测成功的总人数为465（3）

证明见解析【解析】【分析】（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.（2）利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出y关于t的回归方程，并由求得预测值.（3）通过求“在前n轮没有成功的概

率”大于12，来求得“前n轮就成功的概率”小于12，从而证得不等式成立.【小问1详解】由题知，X的取值可能为1，2，3所以()2121114PXC===；()2211231112112PXCC==−=

；()2211231123113PXCC==−−=；所以X的分布列为：X123P1411223所以数学期望为()11232242912341231212EX++=++==.

【小问2详解】令1iixt=，则ybxa=+$$$，由题知：51315iiixy==，90y=，所以515221531550.46901082701.4650.2120.45iiiiixyxybxx==−−====−

−，所以902700.4634.2a=−=−，27034.2yx=−，故所求的回归方程为：27034.2yt=−，所以，估计6t=时，11y；估计7t=时，4y；估计8t时，0y；预测成功的总人数为450114465

++=.【小问3详解】由题知，在前n轮就成功的概率为()22222222221111111111111111223234231Pnn=+−+−−++−−−

+又因为在前n轮没有成功的概率为()2221111111231Pn−=−−−+1111111111111111223311nnnn=−+−+−+−+

++1324112223311nnnnnnnn−++=++()1

2212111222222222nnnnn+++===++++，故()2222222222111111111111111112232342321nn+−+−−++−−−+.21.已知椭圆

C的离心率32e=，长轴的左、右端点分别为()()122,02,0AA−，（1）求椭圆C的方程；（2）设直线1xmy=+与椭圆C交于PQ，两点，直线1AP与2AQ交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理

由.【答案】（1）22214xy+=（2）恒在直线4x=【解析】【分析】（1）设椭圆C的标准方程为22221xyab+=，由2a=且32e=，求得b的值，即可求解；（2）设直线l的方程为1xmy=+，取0m=，得到点S在同一直线:4lx=上，结合结

论作出证明：联立方程组求得12122223,44myyyymm−−+==++，设1AR和2AQ与l交于点00(4,)Sy和00(4,)Sy，结合000yy−=，即可求解.【小问1详解】解：设椭圆C的标准方程为22221(0)xyabab+=，根据题意，可得2a=且32e

=，所以3c=，所以221bac=−=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.【小问2详解】解：根据题意，可设直线l的方程为1xmy=+，取0m=，可得33(1,),(1,)22RQ−，可得直线1AR的方程为3363

yx=+，直线2AQ的方程为332yx=−，联立方程组，可得交点为1(4,3)S；若33(1,),(1,)22RQ−，由对称性可知交点2(4,3)S−，若点S在同一直线上，则直线只能为:4lx=；以下证明：对任意的m，直线1AR

与直线2AQ的交点S均在直线:4lx=上，由22114xmyxy=++=，整理得22(4)230mymy++−=，设1122(,),(,)RxyQxy，则12122223,44myyyymm−−+==++，设1AR与l交于点00(4,)Sy，由011422

yyx=++，可得10162yyx=+，设2AQ与l交于点00(4,)Sy，由022422yyx=−−，可得20222yyx=−，因为121221001212626(1)2(3)22(2)(2)yyymyymyyyxxxx−−+−=−=+−+−2212121212121246()440(2

)(2)(2)(2)mmmyyyymmxxxx−−−−+++===+−+−，因为00yy=，即0S与0S重合，所以当m变化时，点S均在直线:4lx=上，.22.已知函数()ln2=−fxaxxx．（1）若()fx在1x=处取得极值，求()fx的单调区间；（2）若函数2()()2=−+

fxhxxx有1个零点，求a的取值范围．【答案】（1）单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+（2）a<0或2ea=【解析】【分析】（1）求导，因为函数()fx再1x=处取得极值，所以f（1）0=，解得a，进而可得函数()fx的解析式，再求导，分析函数()fx的单调性．（2）分类

讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数的最值情况，从而求得答案.【小问1详解】()ln2,(0)fxaxxxx=−，()ln2fxaxa=+−，因为函数()fx在1x=处取得极值，所以(1)ln120faa=+−=，所以2a=，所以(

)2ln2fxxxx=−，()2lnfxx=，故当01x时，所以()0fx，函数单调递减，当1x时，()0fx，函数单调递增，所以函数()fx在1x=处取得极小值，所以实数a的值为2，函数()fx的单调减区间为(0,1)

，单调增区间为(1,)+．【小问2详解】当0a=时，22()()2fxhxxxx=−+=−，而0x，此时函数无零点，不合题意；当a<0时，22()()2lnfxhxxaxxx=−+=−，()20,(0)ahxxxx=−

，函数2()lnhxaxx=−单调递减，作出函数2ln,yaxyx==的大致图象如图：此时在2ln,yaxyx==的图象在(0,1)内有一个交点，即2()lnhxaxx=−在(0,1)有一个零点；当0a时，22()2,

(0)aaxhxxxxx−=−=，当02ax时，22()0axhxx−=，函数2()lnhxaxx=−递增，当2ax时，22()0axhxx−=，函数2()lnhxaxx=−递减，故2max()()ln()222aaahxha==−，作出函数2()lnh

xaxx=−的大致图象如图此时要使函数2()()2=−+fxhxxx有1个零点，需使得2max()ln()022aahxa=−=，即ln022aaa−=，解得2ea=，综合上述，可知求a的取值范围为a<0或2ea=.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及函数零

点问题，解答时要明确函数的单调性以及极值和导数之间的关系，解答的关键是分类讨论，利用导数判断函数单调性，确定函数零点有一个的处理方法.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com