【文档说明】山西省大同市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题含解析.docx，共(17)页，720.833 KB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年第一学期高一期末考试数学卷一.选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lnxye=的定义域和值域相同的是（）A.y=x

B.y=lnxC.y=xeD.y=1x【答案】D【解析】【分析】分别求出各个函数定义域和值域，比较后可得答案．【详解】解：函数lnxye=的定义域和值域均为(0,)+，函数yx=的定义域为R，值域为R，

不满足要求；函数lnyx=的定义域为(0,)+，值域为R，不满足要求；函数xye=的定义域为R，值域为(0,)+，不满足要求；函数1yx=的定义域和值域均为(0,)+，满足要求；故选：D．【点睛】本题

考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．2.已知集合lgAyyx==，2xByy==，则AB=（）A.RB.)0,+C.()0,+D.(),0−【答案】C【解析】【

分析】先求出集合A，B，再根据交集定义即可求出.【详解】因为lgRAyyx===，20xByyyy===，所以AB=()0,+.故选：C.的3.已知5ab=−，则baabab−+−的值是A.25B.0C.25

−D.25【答案】B【解析】【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意知0ab，22225555||||baabababababababababab−+−=−+−=+=+，由于0ab，故abab=−，则原式0=.故选B.【点睛】本题主要考查根式的运算

法则及其应用，属于中等题.4.函数()2ln1fxxx=−−的零点所在的区间是（）A.()3,4B.()2,3C.()1,2D.()0,1【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，结合()fx在(0,1)、(1,)+的值域情况、单调性，结合零点存在性定理判断零点所在区间即可

.【详解】()fx的定义域为{|0xx且1}x，在(0,1)上，()2ln01fxxx=−−恒成立，不存在零点，排除D；在(1,)+上，2ln,1yxyx==−−均递增，即()fx在该区间上单调递增，由解析式知：(2)ln220f=−，(3)ln310f=−，2(4)ln403

f=−，∴零点所在的区间是()2,3.故选：B.5.已知函数()2fxx=−，若()()222544faafaa−+++，则实数a的取值范围是（）A.()1,2,2−+B.)2,6C.)10,2,62D.(0,6【答案】C【解析】【分

析】根据()fx的单调性，以及定义域，结合一元二次不等式的求解，直接计算即可.【详解】对()2fxx=−，且定义域为)2,+，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增，故()()222544faaf

aa−+++，等价于2222544aaaa−+++，由22254aa−+，即22520aa−+，()()2120aa−−，解得)1,2,2a−+；由222544aaaa−+++，即260aa−，解得()0,6a；故实数a的取值范围为)10,2,62

.故选：C.6.已知,R，则“存在Zk使得(1)kk=+−”是“sinsin=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】

C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在Zk使得(1)kk=+−时，若k为偶数，则()sinsinsink=+=；若k为奇数，则()()()sinsinsin1sinsinkk=−=

−+−=−=；(2)当sinsin=时，2m=+或2m+=+，mZ，即()()12kkkm=+−=或()()121kkkm=+−=+，亦即存在Zk使得(1)kk=+−．所以，“存在Zk使得(1)kk=+−”是“sinsin=”的充

要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.7.已知1sin63+=，且,3，则5cos6−的值为（）A.13B.13−C.223D.223

−【答案】C【解析】【分析】应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求5cos6−，注意根据56−的范围判断符号.【详解】由51sinsin()sin()6663−=−+=+=，而,3

，∴5(,)662−−，∴25522cos1sin663−=−−=.故选：C.8.若函数2()cossinfxxaxb=++在0,2上的

最大值为M，最小值为m，则Mm−的值（）．A与a有关，且与b有关B.与a有关，且与b无关C.与a无关，且与b有关D.与a无关，且与b无关【答案】B【解析】【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系可得2()sinsin1fxxaxb=−+++，利用

换元法可得()()221[0,1]24aahttbt=−−+++，利用二次函数的性质即可得解..【详解】由题意22()cossinsinsin1fxxaxbxaxb=++=−+++，因为0,2x，令sin[0,1]tx=，则()()22211[

0,1]24aahttatbtbt=−+++=−−+++，则M、m分别为()ht在[0,1]t上的最大值与最小值，由二次函数的性质可得最大值M与最小值m的差Mm−的值与a有关，但与b无关.故选

：B．【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系应用及三角函数最值相关问题的求解，考查了二次函数性质的应用，属于基础题.二、多项选择题：共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．9.已知()0,π，1sincos5+=，则下列结论正确的

是（）A.π,π2B.3cos5=−C.3tan4=−D.7sincos5−=【答案】ABD【解析】【分析】由题意得()21sincos12sincos25+=+=，可得242sincos25=−，根据

的范围，可得sin，cos的正负，即可判断A的正误；求得sincos−的值，即可判断D的正误，联立可求得sin，cos的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.【详解】因为1sincos5+=，所以()21sinc

os12sincos25+=+=，则242sincos25=−，因为()0,π，所以sin0，cos0，所以π,2，故A正确；所以()249sincos12sincos25−=−=，的所以7sinco

s5−=，故D正确；联立1sincos57sincos5+=−=，可得4sin5=，3cos5=−，故B正确；所以sin4tancos3==−，故C错误.故选：ABD.10.已知函数()22log11fxx=−+，下列说法中正确的是（）A

.()fx的定义域为()0,+B.()fx为奇函数C.()fx在定义域内为增函数D.若()()223fmfm+，则1,3m−【答案】BCD【解析】【分析】利用换元法求得()2121xxfx−=+，Rx即可判断A，再根据函数奇偶性的判定方

法即可判断B，对C直接从解析式形式即可判断其单调性，对D根据单调性解不等式即可.【详解】设2log,Rxtt=，则2tx=，故()22112121tttft−=−=++，所以()2121xxfx−=

+，Rx，故A错误，()()211221212121xxxxxxfxfx−−−−−−===−=−+++，且定义域关于原点对称，所以()fx为奇函数，故B正确，()21212121xxxfx−==−++，1

21xy=+为增函数，且1y恒大于0，则2221xy=+为减函数，则3221xy=−+为增函数，则()2121xfx=−+为增函数，故C正确，()2(23)fmfm+，根据()fx为增函数，所以223mm+，解得13m−≤≤，故D正确.故选：BCD.11.若1ab

，logaxb=，logbya=，bza=，则下列结论一定正确的是（）A.xyB.yzC.xzD.yz【答案】AC【解析】【分析】由对数函数的单调性可得出01x，从而11yx=，则,yx关系可判断；由11bzaaa==，则,zx关系可判断；取特殊数字可得,

zy的大小不定.【详解】由1ab，则0log1loglog1aaaba=，即01x，logbya=，即1yx=，则11yx=，所以yx故选项A正确.11bzaaa==，所以zx,故选项C正确.取2,2,ab==满足1ab

，2log22y==，21222z==，此时zy，取142,2,ab==满足1ab，142log24y==，1422224z==，此时zy，所以,zy的大小不定.故选：AC12.已知函数221,0()log,0xkxxfxxx−+=，下列关于函数

()1yffx=+的零点个数的说法中，正确的是（）A.当1k，有1个零点B.当2k=−时，有3个零点C.当10k，有4个零点D.当4k=−时，有7个零点【答案】ABD【解析】【分析】令0y=得()1ffx=−，利用换元法将函数分解为()fxt=和()1

ft=−，作出函数()fx的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y=，得()1ffx=−，设()fxt=，则方程()1ffx=−等价为()1ft=−，函数21yxkx=−+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx=对于A，当1k时，

作出函数()fx的图象：,()1ft=−，此时方程()1ft=−有一个根12t=，由()12fx=可知，此时x只有一解，即函数()1yffx=+有1个零点，故A正确；对于B，当2k=−时，作出函数()fx的图象：()1ft=−，

此时方程()1ft=−有一个根12t=，由()12fx=可知，此时x有3个解，即函数()1yffx=+有3个零点，故B正确；对于C，当10k时，图像如A，故只有1个零点，故C错误；对于D，当4k=

−时，作出函数()fx的图象：()1ft=−，此时方程()1ft=−有3个根，其中112t=，2(1,0)t−，3(4,3)t−−由()12fx=可知，此时x有3个解，由()2(1,0)fxt=−，此时x有3个解，由()3(4,3)fxt=−−

，此时x有1个解，即函数()1yffx=+有7个零点，故D正确；故选：ABD．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求

解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．三、填空题：本题共4小题，

每小题4分，共16分．13.()cos300−=．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用诱导公式进行求解.【详解】()()1cos300cos360300cos602−=−==故答案为：1214

.已知函数()()22log22fxxax=++在区间)1,−+上单调递增，则实数a的取值范围为．【答案】31,2【解析】【分析】设()222uxxax=++，由复合函数的单调性可得，函数()222uxxax=++在区间)1,−+上单调递增且函数值恒大于0，从而列出不等

式组求解即可得答案.【详解】解：设()222uxxax=++，则2logyu=，因为2logyu=在()0,+上单调递增，所以由复合函数的单调性可得，函数()222uxxax=++在区间)1,−+上单调递增且函数值恒大于0，所以()(

)min111220auxua−−=−=−+，解得312a,所以实数a的取值范围为31,2.故答案为：31,2.15.已知关于x方程π2sin206xm−−=

在π0,2x上有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为．【答案】)1,2【解析】【分析】参变分离后画出函数图象，数形结合得到1,122m，进而求出m的取值范围.【详解】由题意得：πsin262mx−=，因为π0,2x，所以ππ5π2

,666x−=−，画出函数图象如下：要想保证有两个不同的实数解，则只需2my=与函数图象有两个交点，显然1,122m，解得：)1,2m故答案为：)1,216.给出下列命题：①若角的终边过点()3,4Pkk（0k），

则4sin5=；②若，是第一象限角，且，则sinsin；③函数()π4sin23fxx=+的图象关于点π,06−对称；的④函数()π3sin23gxx=−在区间π5,1212−内是增函数；⑤若函数

()()3cos32fxx=+是奇函数，那么的最小值为π4．其中正确的命题的序号是．【答案】③⑤【解析】【分析】根据象限角三角函数值的符号（或正弦函数的定义）判断①，根据正弦函数的定义举例判断②，根据正弦函数的对称性代入检验法

判断③，把()gx中正弦号后面x的系数化为正，然后结合正弦函数的单调性判断④，利用正弦函数与余弦函数的关系与性质判断⑤．【详解】①当0k时，是第三象限角，sin0，①错；②136=，3=，都是第一象限角，且a，但1sin2=

3sin2=，②错；③()4sin()0633f−=−+=，(,0)6−是()fx图象的一个对称中心，③正确；④()sin()323gxx=−−，51212x−时，2232x−−，因此在区间π5,1212

−上()gx是减函数，④错；⑤函数()()3cos32fxx=+是奇函数，则2,Z2kk=+，24k=+，因此的最小值是4，⑤正确．故答案为：③⑤．四、解答题：本题共4小题，36分.17.已知函数()()

()()π3πsincostan2π22tanπsinπf−−−=++．（1）化简()f；（2）若()π22ff+=，求()π2ff−的值．【答案】（1）c

os−（2）25−【解析】【分析】（1）由题意，利用诱导公式化简()f的解析式即可求解．（2）由题意，可得tan2=-，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求解．【小问1详解】解：3sin()cos()tan(2)cos(sin)(tan)22()costan

()sin()tan(sin)f−−−−−===−++−.【小问2详解】解：()2()2ff+=Q，cos()2cos2−+=−，即sin2cos

=−，tan2=−，故222sincostan2()()cos[cos()]sincos22sincostan15ff−=−−−====−++．18.已知函数()()0,1xfxabaa=+，其中,ab均为实数.（1）若

函数()fx的图象经过点()0,2A，()1,3B，求函数()1yfx=的值域；（2）如果函数()fx的定义域和值域都是1,1−，求ab+的值.【答案】（1）()0,1（2）1ab+=【解析】【分析】（1）由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函

数1()yfx=的值域．（2）根据函数()fx的定义域和值域都是1,1−，求得a、b的值，可得ab+的值．【详解】解：（1）函数()fx的图象经过点()0,2A，()1,3B所以0123abab+=+=，解得

21ab==，所以()21xfx=+因为20x，211x+，即()1fx，所以()()10,1yfx=故()1yfx=的值域为()0,1（2）利用指数函数的单调性建立关于,ab的方程组求解.当1a时，函数()xfxab=+在1,1−上为增函数

，由题意得111abab−+=−+=，解得212ab=+=−，1ab+=当01a时，函数()xfxab=+在1,1−上为减函数，由题意得111abab−+=+=−，解得212ab=−=−，1ab+=−综上：1ab+=【点睛】本题主要考查用待定系数

法求函数的解析式，指数函数的单调性的应用，属于基础题．19.2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，

疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位

时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：()xT123456Ly（万个）L10L50L250L若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过()*xxN个单位时间T的关系有两个函数模型2ypxq=+与(0,1)=x

ykaka可供选择.（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：52.236,62.449,lg20.301,lg60.778）【答案】（1）选择函数(0,1)=xykaka更合适，解析式为2(5)xy=（2

）11个单位【解析】【分析】（1）将2x=，10y=和4x=，50y=分别代入两种模型求解解析式，再根据6x=时的值估计即可；（2）根据题意2(5)10000x，进而结合对数运算求解即可.【小问1详解】若选2(0)ypxqp=+，将2x=

，10y=和4x=，50y=代入得4101650pqpq+=+=，解得103103pq==−得2101033yx=−将6x=代入2101033yx=−，250y，不符合题意若选(0,1)=xykaka，将2x=，1

0y=和4x=，50y=代入得241050kaka==，解得25ka==得2(5)xy=将6x=代入2(5)xy=得250y=，符合题意综上：所以选择函数(0,1)=xykak

a更合适，解析式为2(5)xy=【小问2详解】解：设至少需要x个单位时间，则2(5)10000x，即(5)5000x两边取对数：lg5lg53x+332210.5811lg5(1lg2)22x+=+−因为*xN，所以x的最小值为11至少经过11个单位时间不少于1亿个20.

已知函数()()()()log3,log3(0,1)aafxxgxxaa=−=+，记()()()Fxfxgx=−.（1）求函数()Fx的定义域；（2）判断函数()Fx的奇偶性，并说明理由；（3）是否存在实数a，使

得当,xmn时，()Fx的值域为1log,1logaanm−−？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）33xx−（2）奇函数，证明见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据真数大于0，分别求f(x)和g(x)定义域，F(

x)为这两个定义域的交集；(2)根据函数奇偶性的定义，即可判断；(3)先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.【小问1详解】由题意知()log(3)log(3)aaFxxx=−−+要使()Fx有意义，则有3030xx−+，得33x−所以函数的定

义域为：33xx−【小问2详解】由(1)知函数F(x)的定义域为：33xx−，关于原点对称，()log(3())log(3)log(3)log(3)()aaaaFxxxxxFx−=−−−−=+−−=−函数()Fx为()3,3−上的奇函数.【

小问3详解】3()log3axFxx−=+，假设存在这样的实数a，则由,[,](3,3),mnmn<?可知03mn1log1log,loglog,1aaaanmnma−−令33xtx−=+，则613tx=−+在[,]mn上递减，3()log3axFxx−=+在[,]mn上递减，3

()log1log33()log1log3aaaamFmmmnFnnn−==−+−==−+,mn是方程3log1log3aaxxx−=−+，即3loglog3aaxaxx−=+有两个在(0,3)上的实数解问题转化为：关于x的

方程2(3)30xaxa+−+=在(0,3)上有两个不同的实数解令2()(3)3gxxaxa=+−+，则有2Δ1890(0)30(3)603032aagagaa=−+==−−，9629620033aaaaa+−−

或解得0962a−，又1aQ，∴a故这样的实数a不存在.