【文档说明】山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.124 MB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案

无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.164是数列12、14、18、116、L的（）A.第6项B.第7项C.

第8项D.第9项【答案】A【解析】【分析】列举出该数列的前6项，可得结果.【详解】由题意可知，该数列为12、14、18、116、132、164、L，故164是数列12、14、18、116、L的第6项.故选：A.2.已知椭圆

2213xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，若过1F且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则2ABF△的周长为（）A.2B.23C.4D.43【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义可求得2ABF△的周长.【详解】在椭圆2213xy+=中，3a=，所以，2ABF△的周长为()()22

1212443ABAFBFAFAFBFBFa++=+++==.故选：D.3.在数列na中，12,123,1nnnnnaaaaa+=−，若125a=，则103a=（）A.15B.25C.45D.85【答案】D【解析】【分析】推导出对任意的nN，4nnaa+=，利用数列的周期性可

求得103a的值.【详解】在数列na中，12,123,1nnnnnaaaaa+=−，且125a=，则21425aa==，32825aa==，431235aa=−=，54225aa==，L，

以此类推可知，对任意的nN，4nnaa+=，所以，1034253385aaa+===.故选：D.4.如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面上升1m后，桥洞内水面宽为（）A.4mB.43mC.83m

D.12m【答案】C【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220xpyp=−，分析可知点()8,4−在该抛物线上，求出p的值，可得出抛物线的方程，将=3y

−代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220xpyp=−，由题意可知点()8,4−在抛物线上，所以，()6424p=−−，可得

8p=，所以，抛物线的方程为216xy=−，当水面上升1m后，即当=3y−时，248x=，可得43x=，因此，当水面上升1m后，桥洞内水面宽为83m.故选：C.5.《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载

了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（）A.12B.24C.48D.96【答案】B【解析】【分析】由题意可

知每层灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和为381列式计算即可.【详解】设灯塔每层的灯数满足数列na，顶层的灯数为1a，前n项和为nS，则na为公比为2的等比数列，根据题意有()7171238112aS−==−

,解得13a=，∴334123224aa===，塔的正中间一层悬挂灯的数量为24.故选:B.6.若椭圆C的中心为坐标原点､焦点在y轴上；顺次连接C的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接C的四

个顶点构成四边形的面积为43，则C的方程为（）A.22143yx+=B.22162yy+=C.22184yx+=D.22186yx+=【答案】A【解析】【分析】由题可知，2222122432acababc===+，解

之即可得a和b的值，从而求得椭圆的方程；【详解】设椭圆的标准方程为22221(0)yxabab+=，由题可知，2222122432acababc===+，解得2a=，3b=，故椭圆的标准方

程为22143yx+=．故选：A.7.已知数列na、nb的通项公式分别为31nan=−和()43nbnn=−N，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合2023,AnnnN中元素的个数为（）A.166B.168C.169D.170【答案】C【解析】【分析】利用列举法

可知，将集合A中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为nc，可知数列nc为等差数列，求出数列nc的通项公式，然后解不等式2023nc，即可得出结论.【详解】由题意可知，数列:2na、5、8、11、14、17、20、23、26、29、

L，数列:1nb、5、9、13、17、21、25、29、33、37、L，将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列:5nc、17、29、L，易知数列nc是首项为5，公差为12的等差数列，则()5121127ncnn=+−=−，由1272023ncn=−，可得1015

116966n=+，因此，集合2023,AnnnN中元素的个数为169.故选：C.8.已知直线l过双曲线22:13yCx−=的左焦点F，且与C的左､右两支分别交于,AB两点，设O为坐标原点，P为A

B的中点，若OFP△是以FP为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（）A.102B.132C.133D.155【答案】D【解析】【分析】由点差法得3OPABkk=，由条件知直线OP的倾斜角为AB倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式3OPABkk=即可

求得l的斜率.【详解】设()()()112200,,,,,AxyBxyPxy,由,AB均在22:13yCx−=上，P为AB的中点，得221122223333xyxy=+=+，则()()()()12

1212123xxxxyyyy−+=−+，∴01212121212120232yyyyyyyxxxxxxx−+−=−+−=，∴3OPABkk=，设直线AB倾斜角为，则tanABk=，不妨设为锐角，∵OFP△是以FP为底边的等腰三角形，∴直线OP的倾斜角为2，则tan2OPk=.∴

tantan23=，∴22tantan31tan=−，解得15tan5=，的∴由对称性知直线l的斜率为155.故选：D【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于AB，两点，中点为P，则有21ABOPkke=−，（O为坐标原

点）此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了ABk与OPk的关系，另一方面通过OFP△是以FP为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.二､多选题：本题共4小题，每小题5

分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线()22:121xyCmmm−=−−R，下列说法正确的有（）A.若曲线C表示椭圆，则m>2或1mB.若曲线C表示椭圆，则椭圆焦距为定值C.若曲线C表示双曲线，则12mD.若

曲线C表示双曲线，则双曲线的焦距为定值【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆、双曲线的方程求出m的取值范围，可判断AC选项；利用椭圆、双曲线的几何性质可判断BD选项.【详解】对于A选项，若曲线C表示椭圆，则201021mmmm−−−−，解得1m，A错；对

于B选项，若曲线C表示椭圆，则1m，椭圆C的标准方程为22121xymm+=−−，椭圆C的焦距为()()2212mm−−−=，B对；对于C选项，若曲线C表示双曲线，则()()210mm−−，解得12

m，C对；对于D选项，若曲线C表示双曲线，则双曲线C的标准方程为22121xymm−=−−，双曲线C的焦距为()()2212mm−+−=，D对.的故选：BCD.10.已知等差数列na的前n项和为()*NnSn，若14120,aSS=，

则（）A.公差0dB.790aa+C.nS的最大值为8SD.满足0nS的n的最小值为16【答案】AC【解析】【分析】根据14120,aSS=求出1a与公差d的关系即可判断AB；再根据等差数列前n项和公式即可判断CD.【详

解】因为14120,aSS=，则()()1411241222aaaa++=，即()141123aaaa+=+，则12015da=−，故A正确；7912140aaadd+=+=−，故B错误；由790aa+，得80a，911802aadd=+=,因为

100,da，所以数列na是递减数列，且当8n时，0na，当9n时，0na，所以nS的最大值为8S，故C正确；2211116221515naaddSnannn=+−=−+，令0nS，解得16n，所以满足0nS的n的最小值为17，故D错误.故选：AC.1

1.已知数列na的前n项和为1,1nSa=，且()*1121N2nnnaSn++=+，则（）A.数列2nna为等差数列B.32nnna−=C.nS随n的增大而减小D.nS有最大值【答案】ABD【解析】【分析】根据11,1,2

nnnSnaSSn−==−求出数列na的通项，即可判断AB；根据数列na的符号，即可判断nS的增减性，即可判断CD.【详解】由11212nnnaS++=+，当2n时，111212nnnaS−−+=+，两式相减得11222nn

nnaaa+−+=−，即1122nnnaa+=−，所以()112212nnnnaan++−=−，当1n=时，21322aa+=，则214a=，则221221aa−=−，所以数列数列2nna是以1−为公差，122a=为首项的等差数列，故A正确；则

23nnan=−，所以32nnna−=，故B正确；由32nnna−=，得当2n时，0na，30a=，当4n时，0na，所以当2n时，nS随n的增大而增大，当4n时，nS随n的增大而减小，故C错误；所以当2n=或3时，nS取得最大值，故D正确.故选：ABD.12.已知抛物

线24yx=的焦点为F，点P在抛物线上，则（）A.过点()0,2A且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条B.设点()3,2B，则PBPF−的最大值为22C.点P到直线30xy−+=的最小距离为2D.点P到直线4360xy−+=与点P到y轴距离之和的最小值为1【答案】B

CD【解析】【分析】根据直线与抛物线有一个交点，求出直线的方程，可判断A选项；数形结合求出PBPF−的最大值，可判断B选项；设点()24,4Ptt，其中tR，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C选项；利用抛物线的定义以及数形结合思想求出点P到直线4360xy

−+=与点P到y轴距离之和的最小值，可判断D选项.【详解】对于A选项，设过点A的直线为m，若直线m方程为0x=，此时直线m与抛物线24yx=只有一个公共点，若直线m的方程为2y=，此时直线m与抛物线24yx=只有一

个公共点，若直线m的斜率存在且不为零，设直线m的方程为2ykx=+，联立224ykxyx=+=可得()224440kxkx+−+=，若直线m与抛物线24yx=相切，则()220Δ44160kkk=−−=，解得12k=，此时，直

线m的方程为122yx=+，综上所述，过点()0,2A且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；对于B选项，如下图所示：易知点()1,0F，()()22312022PBPFBF−=−+−=，当且仅当点P为射线BF与抛物线24yx=的交点时，等号成立，故PBPF−的最大值

为22，B对；对于C选项，设点()24,4Ptt，其中tR，则点P到直线30xy−+=的距离为222114242244322222ttttd−+−+−+===，当且仅当12t=时，等号成立，故点P到直线30xy

−+=的最小距离为2，C对；对于D选项，如下图所示：抛物线24yx=的准线为:1lx=−，过点P作PAl⊥，垂足为点A，设PA交y轴于点B，过点P作直线4360xy−+=的垂线，垂足为点D，连接PF，则11PBPDPAPDPFPD+=+−=+−，当DF与直线4360xy−+=垂直时

，PDPF+取最小值，且最小值为点F到直线4360xy−+=的距离()2210243d==+−，因此，1211PBPDPFPD+=+−−=，故点P到直线4360xy−+=与点P到y轴距离之和的最小值为1，D对.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列

na前n项和为nS，若13a=，35125aS=，则公差d的值为__________.【答案】1或4−##4−或1【解析】【分析】由等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得3a的值，由此可求得d的值.【详解】由等差数列的求和公式可得()1553552aaSa+=

=，则23535125aSa==，可得35a=.的当35a=时，3112aad−==；当35a=−时，3142aad−==−.综上所述，1d=或4−.故答案为：1或4−.14.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右顶点为A，以A为圆心､a为半径

的圆与C的一条渐近线相交于,MN两点，若120MAN=，则C的离心率为__________.【答案】233##233【解析】【分析】由题意知120MAO=,所以30MOA=,故tan30ba=,从而求得离心率.【详解】如图所示，设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ，由题意

可得OAANAMa===，所以N与O重合,所以120MAO=，所以30=.又tanθ=ba，所以33ba=∴e=221231133cbaa==+=+=．故答案为：23315.去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整

数按自小到大的顺序排成数列123:,,,naaaa，再将数列na中所有序号为123,,,aaa的项去掉，na中剩余的项按自小到大的顺序排成数列()*Nnbn，则1920bb+的值为__________.【

答案】153【解析】【分析】由题意，整理数列na的通项公式，以及分析数列nb与数列na的对应关系，可得答案.【详解】由题意可知，数列na所有的奇数项为被4除余2的数，所有的偶数项为被4除余3的数，则当n为奇数时，14

222nnan−=+=；当n为偶数时，243212nnan−=+=−.即12a=，23a=，36a=，47a=，510a=，611a=，L显然数列nb是数列na从第二项开始去掉两项、保留两项所组成的对于19b，由()1912137

−+=，则193774ba==；对于20b，由20240=，则2040240179ba==−=，故19207479153bb+=+=.故答案为：153.16.在平面直角坐标系中，若点()(),0Pxyy到点10,4

的距离比它到x轴的距离大14，则点P的轨迹Γ的方程为__________，过点10,4作两条互相垂直的直线分别与曲线Γ交于点A、B和点C、D，则2241ABCD+的最小值为__________.【答案】①.2xy=②

.45##0.8【解析】【分析】利用抛物线的定义可得出点P的轨迹Γ的方程；分析可知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为()104ykxk=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的

焦点弦长公式以及二次函数的基本性质可求得2241CDAB+的最小值.【详解】由题意可知，点()(),0Pxyy到点10,4的距离与它到直线14x=−的距离相等，故曲线点P的轨迹Γ是以点10,4为焦点，直线14x=−为准线的抛物线，其方程为2xy=，若

直线ABy⊥轴，则直线CD为y轴，此时直线CD与抛物线2xy=只有一个交点，不合乎题意，设直线AB的方程为()104ykxk=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，联立214ykxyx=+=，可得2104xkx−−=，210k=+，则12xxk+=

，()212121112AByykxxk=++=++=+，同理可得211CDk=+，所以，()()422222222414141111kkkkABCD++=+=+++，令210tk=+，则21kt=−，令()()2222145211

41555tfttttt−+==−+=−+，因为0t，所以，()()min455ftf==.故答案为：2xy=；45.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的前n项和为nS，15a=−，3a、

41a−、51a+成等比数列，数列nb的前n项和为nT，且()22,nnTbn+=N.（1）求数列na、nb的通项公式；（2）记x表示不超过x的最大整数，例如2.13−=−，1.21=，设10nnac=，求数列nnbc的前

7项和.【答案】（1）49nan=−，2nnb=（2）218【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，根据题中条件可得出关于d的等式，解出d的值，可得出等差数列na的通项公式，当2n时，由22

nnTb=−可得出1122nnTb−−=−，两式作差可得出数列nb为等比数列，当1n=时，求出1b的值，可得出等比数列nb的通项公式；（2）列举出数列nc前7项的值，进而可求得数列nnbc前7项的和.【小问1详解】解：设等差数列na的公差为d，因3a、41

a−、51a+成等比数列，所以()()243511aaa−=+，即()()()2362544ddd−=−−，整理可得28160dd−+=，解得4d=，故()()1154149naandnn=+−=−+−=−，因为22nnTb=−①，当2n时，1122nnTb−−

=−②，①−②可得122nnnbbb−=−，即()122nnbbn−=，又1n=时，1122bb+=，即12b=，所以数列nb是以2为首项，2为公比的等比数列，故1222nnnb−==.【小问2详解】解：由（1

）知，49nan=−，则4910nnc−=，所以121cc==−，340cc==，5671ccc===，则数列nnbc的前7项和()()()123456771220221222218H=−+++

+++=.18.已知双曲线C与221416yx−=有相同的渐近线，()25,2为C上一点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）设双曲线C的左、右焦点分别为1F、2F，过1F且倾斜角为45的直线与C相交于A、B两点，求2ABF△的面积.【答案】（1）

2214xy−=（2）4103【解析】【分析】（1）设双曲线C的方程为22416yx−=，将点()25,2的坐标代入双曲线C的方程，求出的值，即可得出双曲线C的标准方程；为（2）设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线AB的方程与双曲线C的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可

求得2ABF△的面积.【小问1详解】解：设双曲线C的方程为22416yx−=，将点()25,2代入方程中得14=−，所以双曲线C的方程为2214164yx−=−，即双曲线C的方程为2214xy−=.【小问2详解】解：在双曲线C中，2a=，

1b=，则225cab=+=，则()15,0F−，所以直线AB的方程为5yx=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，联立22544xyxy=−−=可得232510yy+−=，20120=+，由韦达定理可得12253yy+=−，1213yy=−，则()21212124243yyy

yyy−=+−=，所以，21212121410523ABFSFFyyyy=−=−=.19已知数列na满足()()*112,Nnnnaanaan+==−.（1）求数列na的通项公式；（2）设211=−nnba，数列nb的前n

项和为nS，求证：1132nS.【答案】（1）2nan=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由()1+=−nnnanaa得1111nnaaann−===−，可求得na的通项公式；.（2）用裂项求和求得111221nS

n=−+，再根据单调性求得nS的范围.【小问1详解】由()1+=−nnnanaa得，()11nnnana++=，所以11nnaann+=+对任意*Nn恒成立，于是1111nnaaann−===−，又12a=，所以2nan=.【小问2详解】由（1）知，2111141

22121nbnnn==−−−+，所以12111111123352121nnSbbbnn=+++=−+−++−−+111221n=−+，因为110213n+，所以2111321n−+，从而113

2nS.20.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，过拋物线C上一点M向其准线作垂线，垂足为N，当30MNF=时，1MN=.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l与抛物线C交于,AB两点，与,xy轴分别交于,PQ（异于坐标原

点O），且2APPB=，若APBPOPOQ=，求实数的取值范围.【答案】（1）23yx=（2）1【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可知MNF为等腰三角形，当1MN=时，3NF=.设准线与x轴交点为

T，则32TFp==，求得抛物线方程.（2）设直线方程为()()()()11220,,,,,,0xmytmAxyBxyPt=+，联立直线与抛物线方程得韦达定理，由2APPB=得122yy=−，代入韦达定理得26t

m=，根据条件APBPOPOQ=可得112mm=+，由基本不等式求得的取值范围.【小问1详解】如图：设准线与x轴交点为T，由题意知30MNFNFO==，由抛物线的定义可知MNF为等腰三角形，所以30MNFMFN==，120NMF=，由1MN=得，

1MF=，在MNF中由余弦定理得3,NF=在RtNTF看，3cos30,2TFNF==则32TFp==，故抛物线方程为23yx=.【小问2详解】设直线方程为()()()()11220,,,,,,0xmytmAxy

BxyPt=+，显然0t，联立23xmytyx=+=，消x得2330ymyt−−=，所以123yym+=①，123yyt=−②因为2APPB=，所以()()1122,2,t

xyxty−−=−，可得122yy=−，将122yy=−代入①式得23ym−=③，将122yy=−代入②式得2223yt−=−④，将③式平方代入④得26tm=.由题意可得，22121,1APmyBPmy=+=+，所以()()22212118

1APBPmyymm=+=+，又336||tOPOQtmm==，所以211122APBPmmOPOQmm+===+，故1，当且仅当1mm=，即1m=时等号成立.21.已知数列na满足()*1133,N222nnnaa

ana+=−=−.（1）证明：12na+是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足()1312nnbna=−+，记nb的前n项和为nT，若nnTtb对*Nn

恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）证明见解析；12223nna=−（2）21t−【解析】【分析】（1）将1322nnnaaa+=−变形为1121233nnaa+=−，两边同加2

后可证得12na+是等比数列，并可求得na通项公式.（2）由错位相减求和法求得nT，由nnTtb恒成立分离常数后得t的取值范围.【小问1详解】因为11330,222nnnaaaa+=−=−，所以0na，12212

12333nnnnaaaa+−==−，于是*1121221222,N333nnnnaaa++=−+=+，又因为11423a+=，所以12na+是以43为首项､23为公比的等比数列，于是114

2222333nnna−+==，即12223nna=−.【小问2详解】由（1）得，()()1231323nnnbnna=−+=−，()()()()12312222221043333

33nnnTnn−=−+−+++−+−，()()()()23122222214333333nnnTnn+=−+−++−+−，两式相减得，()2311422

223333333nnnTn+=−++++−−()114219342323313nnn−+−=−+−−−(

)111442221333333nnnnn−++=−+−−−=−，所以223nnTn=−，由nnTtb，得()222333nnntn−−恒成立，即()320tnn−+恒成立

，3n=时不等式恒成立；3n时，26233ntnn−=−−−−，()623gnn=−−−增函数，故当1n=时，()min1gn=，所以1t；3n时，26233ntnn−=−−−−，()623gnn=−−−增函数，所以()2gn，所以2t−；所以21t−.22.已知椭圆2

221(1)xyaa+=的右焦点F恰为抛物线22ypx=的焦点，过点F且与x轴垂直的直线截拋物线､椭圆所得的弦长之比为43.（1）求a的值；（2）已知P为直线ya=−上任一点，AB､分别为椭圆的上､下

顶点，设直线PA，PB与椭圆的另一交点分别为,CD，求证：直线CD过定点.【答案】（1）2a=（2）证明详见解析【解析】【分析】(1)设点(),0Fc，则2pc=，得到过点F且与x轴垂直的直线截抛物线､椭圆的弦长分别为

222bpa､,根据题意建立,,abc的方程，求之即可;(2)设点()()(),2,,,,CCDDPmCxyDxy−，易知()()0,1,0,1AB−，分别求出直线PA的方程为31,yxPBm=−+的方程为11yxm=−−，再分别

跟椭圆方程联立求得,CD的坐标，最后求出直线CD的方程，化为斜截式，可知直线CD恒过定点直线10,2−.【小问1详解】设点(),0Fc，则2pc=，又过点F且与x轴垂直的直线截抛物线､椭圆的弦长分别为222b

pa､，所以22243bpa=，又221,1bac==+，所以2a=.【小问2详解】由（1）知，椭圆的方程为2214xy+=.设点()()(),2,,,,CCDDPmCxyDxy−，易知()()0,1,0,1AB−，当0m时，直线PA的方程为31,yxPBm=−+的方程为11yx

m=−−，联立223114yxmxy=−++=，得22362410xxmm+−=，解得2222436,3636CCmmxymm−==++，同理可得22284,44DDmmxymm−−==++，所以2

1216CDmkm−=，所以直线CD的方程为222241284164mmmyxmmm−−−=+++，整理得2121162myxm−=−，所以直线CD恒过定点直线10,2−，当0m=时直线CD的方程为0x=，也经过10,2−，

综上所述,直线CD恒过定点直线10,2−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com