【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.879 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2025届高三月考试卷（二）数学得分__________．本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合()2,128tAxxBtt==

Z∣∣剟?，则AB=（）A.1,3−B.0,1C.0,2D.0,1,2【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,AB，再利用交集的定义求解即可.【详解】|2=22Axxxx=−∣，由指数

函数的性质可得()1280,1,2,3tBtt==Z∣，所以220,1,2,30,1,2ABxx=−=∣.故选：D.2.已知复数z满足i1z−=，则z的取值范围是（）A.0,1B.)0,1C.)0,

2D.0,2【答案】D【解析】【分析】利用i1z−=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z表示圆上的点到原点的距离可得答案.【详解】因为在复平面内，i1z−=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即i1z−=表示以(0,1

)为圆心，1为半径的圆，z表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z的取值范围是[0,2].故选：D.3.已知()2:ln(11)1pfxaxx=+−−是奇函数，:1qa=−，则p是q成立的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不

充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当p成立，判断q是否成立，再由q成立时，判断p是否成立，即可知p是q成立何种条件.【详解】由()fx是奇函数，则()00f=，即()ln20a+=，解得1a=−，所以pq，当1a=−时，()21ln1ln

11xfxxx+=−=−−，11x−，()()1111lnlnln111xxxfxfxxxx−−++−===−=−+−−，所以()fx是奇函数，所以pq，所以p是q的充要条件.故选：A.4.若锐角满足5sinc

os5−=，则sin22π+=（）A.35B.35-C.35-或35D.45−或45【答案】B【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin4−，再利用角的变换ππsin2sin2π24+=−+

，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得π5sincos2sin45−=−=，解得π10sin410−=，因为是锐角，所以πππ,444−−，π310cos410−=，所以πππ

ππsin2sin2πsin22sincos24444+=−+=−−=−−−103103210105=−=−.故选：B.5.某大学在校学生中，理科生多于文科生，

女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【解析】【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根

据已知条件设理科女生有1x人，理科男生有2x人，文科女生有1y人，文科男生有2y人；根据题意可知1212xxyy++，2211xyxy++，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211xxxyyyxy+−++

−+，即有12xy，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C.6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点P是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，且,APBPO=为上底

面圆的圆心，则OP与平面ABC所成的角的正切值为（）A.2B.12C.5D.55【答案】A【解析】【分析】作出直线OP与平面ABC所成的角，通过解直角三角形来求得直线OP与平面ABC所成的角的正切值.【详解】设O为下底面圆的圆心，连接,OOCO和CO，因为APBP=，所以

ABOP⊥，又因为,,ABOOOPOOOOPOO⊥=、平面OOP，所以AB⊥平面OOP，因为PC是该圆台的一条母线，所以,,,OOCP四点共面，且//OCOP，又AB平面ABC，所以平面ABC⊥

平面POC，又因为平面ABC平面POCOC=，所以点P在平面ABC的射影在直线OC上，则OP与平面ABC所成的角即为POCOCO=，过点C作CDOP⊥于点D，因为4cm,2cmOPOC==，所以tantan2OOPOCOCOOC===.故选

：A7.在平面直角坐标系xOy中，已知直线1:2lykx=+与圆22:1Cxy+=交于,AB两点，则AOBV的面积的最大值为（）A.1B.12C.32D.34【答案】D【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出AOBV的面积的表达式利用三角函数单调性

即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2lykx=+恒过点10,2E，该点在已知圆内，圆22:1Cxy+=的圆心为()0,0C，半径1r=，作CDl⊥于点D，如下图所示：易知圆心C到直线l的距离为12CDCE=，所以1cos2CDDCBCB

=，又π0,2DCB，可得ππ,32DCB；因此可得2π2,π3ACBDCB=，所以AOBV的面积为112π3sin11sin2234AOBSCACBACB==.故选：D8.设函数()()2lnfxxa

xbx=++，若()0fx，则a的最小值为（）A.2−B.1−C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据对数函数性质判断lnx在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x=为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()fx定义域

为(0,)+，而01ln0xx，1ln0xx==，1ln0xx，要使()0fx，则二次函数2yxaxb=++，在01x上0y，在1x上0y，所以1x=为该二次函数的一个零点，易得1ba=−−，则2(1)(1)[(1)]yxaxaxxa=+−+=

−++，且开口向上，所以，只需(1)0101aaa−++−，故a的最小值为1−.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知2n，且

*nN，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）A.若1(,)3XBn，则()22113EXn+=+B.若1(,)3XBn，则()4219DXn+=C.若1(,)3XBn，则()()11PXPXn===−D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布【答案】BC【

解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A，由1(,)3XBn，得()13EXn=，则()2

2113EXn+=+，A正确；对于B，由1(,)3XBn，得()122339DXnn==，则()()82149DXDXn+==，B错误；对于C，由1(,)3XBn，得11111221(1)C(),(1)C()3333

nnnnnPXPXn−−−===−=，故(1)(1)PXPXn==−，C错误；对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确.故选：BC10.已知函数()sincos(,0)fxxaxx=+R的最大值为2，其部分图象如图所示，则（）

A.0aB.函数π6fx−为偶函数C.满足条件的正实数存在且唯一D.()fx是周期函数，且最小正周期为π【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，求得函数π()2sin(2)3fxx=+，结合三角函数的

图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数2()sincos1sin()fxxaxax=+=++，且tana=，因为函数()fx的最大值为2，可得212a+=，解得3a=，又因为(0)0fa=，所以3a=，所以A正确；()π

sin3cos2sin3fxxxx=+=+因为πππ2sin1443f=+=，且函数()fx在π4的附近单调递减，所以ππ5π2π,Z436kk+=+，所以28,Zkk=+，又因为π24T，可得π2T，所以2ππ2，解得04

，所以2=，此时π()2sin(2)3fxx=+，其最小正周期为πT=，所以C、D正确；设()πππ2sin22sin2663Fxfxxx=−=−+=，()()2sin[2()]2sin2F

xxxFx−=−=−=−，所以𝐹(𝑥)为奇函数，即函数π()6fx−为奇函数，所以B不正确.故选：ACD.11.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于,AB两点

，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MNNF=，则（）A.l斜率为3B.ABD△是锐角三角形的C.四边形MNDF的面积是23pD.2||BFFAFD【答案】ABD【解析】【分析】根据题意分析可知MNF为等边三角形，即可得直线l倾斜角和

斜率，进而判断A；可知直线l的方程，联立方程求点,AB的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02pF，准线为2px=−，即,02pD−，设()()112212,,,,0,0AxyBxyyy，则1

11,,0,2422xyypMN+，可得，因为MNNF=，即MNNFMF==，可知MNF为等边三角形，即60NMF=，且MN∥x轴，可知直线l的倾斜角为60，斜率为tan603k==，故A正确；则直线:32plyx=−，联立方程232

2pyxypx=−=，解得323pxyp==或633pxyp==−，即3,32pAp，3,63pBp−，则33,,0,22MppNp，可得728,7,,2,,333DFpADpB

DpFApFBpABp======，的在ABD△中，BDADAB，且2220BDADAB+−，可知ADB为最大角，且为锐角，所以ABD△是锐角三角形，故B正确；四边形MNDF的面积为21313322222MNDFBDFMNFSSSppppp=+=+

=△△，故C错误；因为224,3FBFApFDp==，所以2||BFFAFD，故D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关

系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用12S=底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三

角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.

在ABCV中，AD是边BC上的高，若()()1,3,6,3ABBC==，则AD=______．【答案】5【解析】【分析】设()6,3BDmBCmm==，表达出()61,33ADmm=++，根据垂直关系得到方

程，求出13m=−，进而得到答案.【详解】设()6,3BDmBCmm==，则()()()1,36,361,33ADABBDmmmm=+=+=++，由0ADBC=得6(61)3(33)366990ADBCmmmm=+

++=+++=，解得13m=−，故()()12,311,2AD=−−=−，所以22(1)25||AD=−+=.故答案：5.13.已知定义在𝑅上的函数()fx满足()()23exfxfx=−+，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点()()0,0f处的切线方为程

为_____________.【答案】3yx=+【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.【详解】因为()()23exfxfx=−+，所以()()23exfxfx−−=+，联立可解得()=e2exxfx−+，所以()03f=，

所以()()e2e,01xxfxf−=−+=.所以曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为3yx−=，故所求的切线方程为3yx=+.故答案为：3yx=+.14.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,AB中分别放入3颗糖

，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入B中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B中没有糖的概率是__________．【答案】117【解析】【分析】设最初在A中有k颗

糖，B中有6k−颗糖时，游戏结束时B中没有糖的概率为()0,1,,6kak=，归纳找出递推关系，利用方程得出0a，再由递推关系求3a.【详解】设A中有k颗糖，B中有6k−颗糖，游戏结束时B中没有糖的概率为()0,1,,6kak=.显然0113a

a=，()65112112,153333kkkaaaaak+−=+=+，可得()112kkkkaaaa+−−=−，则()566510022aaaaa−=−=，()65626765040010002222221aaaaaaaaaa=+=++=+++=−，同理()256510002221aaaa

a=+++=−，()()760021212133aa−=−+，解得011385255a==()430112115.25517aa=−==故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统

一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）15.已知数列na中，11a=，且0,nnaS为数列na的前n项和，1nnnSSa−+=．

（1）求数列na的通项公式；（2）若1(1)nnnnncaa+−=，求数列nc的前n项和．【答案】（1）21nan=−（2）421,42nnnnTnnn−+=+−+，为偶数为奇数【解析】【分析】(1)求出11nnSS−−=，可求

出nS通项公式，即可求得{𝑎𝑛}的通项公式；(2)求出(1)1142121nncnn−=+−+，再讨论n为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列nc的前n项和.【小问1详解】根据题意知1,2nnnaSSn−=−①，又因10n

nnSSa−+=②，①式除②式可得11,2nnSSn−−=，所以可得nS是以11S=为首项，1为公差的等差数列，则11nSnn=+−=，所以2nSn=，121,2nnnanSSn−−==−，当1n=时11a=也满足该式，所以21nan=−.【小问2详解】由(1)结论

可知21nan=−，所以()()1(1)(1)(1)11212142121nnnnnnnncaannnn+−−−===+−+−+，设nc的前n项和为nT，则当n为偶数时，111111111111433557212142142nnTnnnn

=−+++−++++=−+=−−+++则当n为奇数时，1111111111111433557212142142nnTnnnn+=−+++−++−+=−−=−−+++所以4

21,42nnnnTnnn−+=+−+，为偶数为奇数.16.如图，在以,,,,,ABCDEF为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB∥,CDEF∥,224CDCDABEF===，5,22ADDEAE===.

（1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF；（2）若M为线段CD上一点，且1CM=，求二面角AEMB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂

直判定定理得出OE⊥平面ABCD，由OE平面CDEF进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面CDEF内，过E做EO垂直于CD交CD于点O，由CDEF为等腰梯形

，且24CDEF==，则1,DO=又5OE=，所以222OEDEOD=−=，连接AO，由ADOEDO，可知AOCD⊥且2AO=，所以在三角形OAE中，222AEOEOA=+，从而OEOA⊥，又,,,OECDOA

CDOOACD⊥=平面ABCD，，所以OE⊥平面ABCD，又OE平面CDEF，所以平面ABCD⊥平面CDEF【小问2详解】由（1）知，,,OEOCOA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(

)()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2AEMB，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AEEMMB=−=−=，设平面AEM的一个法向量为(),,nxyz=r，则00nAEnEM=

=，即220220xzxy−=−+=，取1z=，则()1,1,1n=，设平面BEM的一个法向量为()111,,mxyz=r，则00mMBmEM==，即11120220zxy=−+=，取11y=，则()1,1,0m=，所以

26cos,36mnmnmn===，由图可以看出二面角AEMB−−为锐角，故二面角AEMB−−的余弦值为63.17已知函数2()e2,Rxfxaxa=−．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若对于任意的0x，都有()1fx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(,1

−【解析】【分析】（1）对2()e2xfxax=−求导，可得2()2e2xfxa=−，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对a进行分类讨论，根据导数的正负求得()fx的最小值，判断是否满足(

)1fx，即可求解．【小问1详解】对2()e2xfxax=−求导，可得2()2e2xfxa=−，令()0fx=，即22e20xa−=，即2exa=，当0a时，𝑓′(𝑥)>0恒成立，()fx在R上单调递增；当0a

时，21e,2ln,ln2xaxaxa===，当1ln2xa时，()()0,fxfx在1,ln2a−上单调递减；当1ln2xa时，𝑓′(𝑥)>0，()fx在1ln,2a+上单调递增；综

上，当0a时，()fx的单调递增区间为R；当0a时，()fx的单调递减区间为1,ln2a−，单调递增区间为1ln,2a+．【小问2详解】因为对于任意的0x，都有()1fx恒成立，.对2()e2xfxax=−求导，可得2()2e2xfxa=−，令()0fx

=，即22e20xa−=，即2exa=，①当0a时，𝑓′(𝑥)>0，则()fx在(0,+∞)单调递增，()()01fxf=，符合题意；②当01a时，2exa=，则1ln02xa=，则()0f

x，()fx在(0,+∞)单调递增，()()01fxf=，符合题意；③当1a时，2exa=，则1ln02xa=，当10,ln2xa时，()0fx，则()fx在10,ln2a单调递减，当1ln,2xa

+时，()0fx，则()fx在1ln,2a+单调递增，所以()ln11lne2lnln22afxfaaaaaa=−=−，令()ln,1gaaaaa=−，则()ln0gaa=−，所以()ga在(1,+∞)上单调递减，所以()()11

gag=，不合题意；综上所述，(,1a−．18.已知双曲线()2222:10,0xyEabab−=的左､右焦点分别为12,,FFE的一条渐近线方程为3yx=，过1F且与x轴垂直的直线与E交于P，Q两点，

且2PQF的周长为16.（1）求E的方程；（2）,AB为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点()0,4C，求ACB的取值范围.【答案】（1）22:13yEx−=；（2）2π0,3.【解析】【分析】（1）将xc=−

代入曲线E得2bya=，故得211bPFQFa==，从而结合双曲线定义以及题意得234416babaa=+=，解出,ab即可得解.（2）设:ABykxm=+，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得ACM的正切值，进而得ACM范围，从而由2ACB

ACM=即可得解.【小问1详解】将xc=−代入2222:1(0,0)xyEabab−=，得2bya=，所以211bPFQFa==，所以2222bPFQFaa==+，所以由题得234416babaa=+=，13ab==，所以双曲线E的方程为22:13

yEx−=.【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且3k，设:ABykxm=+，𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),设AB的中点为M.由2233ykxmxy=+−=消去y并整理得222(3)230kxkm

xm−−−−=，230k−，则22222(2)4(3)(3)12(3)0kmkmmk=+−+=+−，即223mk−，12223kmxxk+=−，212233mxxk+=−−，12122226()2233kmmyykxxmkmkk+=++=

+=−−，于是M点为2(3kmk−，23)3mk−，2223431243MCMCMmyymkkkkmxkmxk−−−+−===−.由中垂线知1AMCBkk=−，所以231241mkkmk−+=−，解得：23mk=−.所以由,AB在双曲线的右支上可得：22221220333033mmx

xmkkkm+−+=−==−−，且12222003kmxxkkk+==−，且()()()()()22222222Δ43390333403mkkkkkk=−+−+−=−−或24k，综上24k即2k，又2222223104333kmmmkCMkkk+=−+−=

−−−，所以()221212221412tan13xxxxkAMACMCMmkk+−+==+−22222222221233919333331332mkmkmkmkkkk−++−=−+==+−

+−.因为24k，所以213mk=−−，故2333k−−，所以()2330,33k+−，所以π0,3ACM.所以2π20,3ACBACM=.19.对于集合,AB，定义运算符“Δ”:Δ{,ABxxAxB=∣两式恰有一式成立}，A表示

集合A中元素的个数．（1）设1,1,0,2AB=−=，求ΔAB；（2）对于有限集,,ABC，证明ΔΔΔABBCAC+，并求出固定,AC后使该式取等号的B的数量；（用含,AC的式子表示）（3）若有限集,,ABC满足ΔΔΔABBCAC+=，则称有序三元组(),

,ABC为“联合对”，定义*1,2,,,Inn=N，(),,,,uABCABCI=∣．①设mI，求满足ΔACm=的“联合对”(),,ABCu的数量；（用含m的式子表示）②根据（2）及（3）①的结果，求u中“联

合对”的数量．【答案】（1）[1,0)(1,2]−（2）||2AC（3）①C2mnmn+②6n【解析】【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立

的条件，利用集合的性质转化为求子集个数；（3）①分别求出(),AC,B取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0xxAxB−，故xAB；对于,,[0,1]xxAxB，故xA

B；对于,,(1,2]xxAxB，故xAB；对于,,[1],2xxAxB−，故xAB，即[10)(12],,AB=−.【小问2详解】画出Venn图，如图，将ABC划分成7个集

合17,,SS，则14562547||||||||||,||||||||||ABSSSSBCSSSS=+++=+++，1267||||||||||ACSSSS=+++，故45||||||2||2||0ABB

CACSS+−=+不等式成立，当且仅当45SS==时取等号，4S=等价于()ACB，5S=等价于()BAC，故当且仅当()()ACBAC取等号.设()BACD=，其中集合D

与AC无交集，由于()\()ACACAC=，故有()()\ΔDACACAC=，即D为AC的某一子集，有||2AC种，从而使上式取等的B有||2AC个.小问3详解】①设XACu=，有||Xm=，故X有Cmn种取法，对于每一个x，知X中每一个元素x有两种情形：,xAxC或

,xAxC，且/IX中每一个元素x有两种情形：,xAxC或,xAxC，故,xIx共有两种选择，也就是这样的(),AC有||22In=种，对于每一个(),AC，由（2）知B有||22ACm=种取法.故由乘法原理，这样的“联合对”(),,ABC有C2mnmn+个.②

由①知，u中“联合对”的数量为()00C22C212216nnnmnmnmmnmnnnnmm+−====+=(二项式定理)，故u中“联合对”(),,ABC的数量为6n.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的

关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.【