【文档说明】上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(17)页，759.419 KB，由小赞的店铺上传

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上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.设点(5,)Py−是角终边上的一点，且满足条件2sin3=，则实数y=__．【答案】2【解

析】【分析】结合正弦三角函数的定义即可列式求解.【详解】由题意得22sin035yyy==+，，所以2y=．故答案为：2.2.若(2,2)a=−，则与a垂直的单位向量的坐标为______________

_.【答案】22(,)22−−或22(,)22【解析】【详解】试题分析：与垂直的单位向量的坐标为则解得或,故答案为22(,)22−−或22(,)22.考点：（1）数量积判断两个平面向量的垂直关系；（2）单位向量.3.将3cossin−xx

写成()2sinx+的形式，其中02，则=__．【答案】23【解析】【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.【详解】因为312π2π2π3cossin2cossin2sincossincos2sin22333xxxxxxx

−=−=+=+，所以23=．故答案为：23.4.已知5sin()3sin0++=，则tancot22+=__．【答案】14−##-0.25【解析】分析】根据已知等式进行凑角，利用

和差公式展开结合商数关系式即可得所求.【详解】解：因为5sin()3sin0++=，所以5sin3sin02222++++−=，所以8sincos

2cossin02222+++=，则sincossincos2222820sincoscossin2222+++=++，所以1tancot224+=−．故答案为：

14−.5.若函数()yfx=的图象按向量a平移后，得到函数()12yfx=+−的图象，则向量a=__．【答案】()1,2−−【解析】【分析】根据函数的平移方向和大小可得答案.【详解】函数()yfx=的图象平移后，得到函数()12yfx=+−的图象,则要向左平移1个单位，向下平移2个单位故(

)1,2a=−−故答案为：()1,2−−.6.已知P在ABC所在平面内，PAPBPBPCPCPA==，则P是ABC的__心．【【答案】垂【解析】【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理

作答.【详解】由PAPBPBPC=得：)0(PAPBPBPCPBPAPCPBCA−=−==，即PBCA⊥，则PBCA⊥，由PBPCPCPA=同理可得：PCAB⊥，所以P是ABC的垂心.故答

案为：垂7.函数()cosfxx=−23的严格减区间是__．【答案】()π2π,2πZ6kkk+．【解析】【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解.【详解】令2cos3ux=−

，则()fxu=为增函数，欲求()cosfxx=−23的减区间，则求2cos3ux=−的减区间由题意得定义域为3cos2x，解得()ππ2π,2πZ66xkkk−++所以2cos3ux=−减区间为()

π2π,2πZ6kkk+所以函数()cosfxx=−23的严格减区间是()π2π,2πZ6kkk+.故答案为：()π2π,2πZ6kkk+.8.已知6,3ab==，12ab=−，则向量a在向量b方向上的投影是__________

．【答案】4−.【解析】【分析】根据题意，结合向量投影公式直接计算即可.【详解】解：根据投影公式，向量a在向量b方向上的投影是12||cos,43||abaabb−===−.的故答案为：4−．9.已知两个不相等的非零向量a、b，两组向量1x、

2x、3x、4x和1y、2y、3y、4y均由2个a和2个b排列而成，记11223344Sxyxyxyxy=+++，则S最多有__个不同的值．【答案】3【解析】【分析】由题意分析即可得S的各种取值情况，即可得符合条件S的个数.【详解】解：由题意可知，11223344Sxyxyxyxy

=+++有三个值，分别为Saaaabbbb=+++2222ab=+、Saabbabab=+++222abab=++、Sabababab=+++4ab=．故最多有3个不同的值．故答案为：3.1

0.设0a，函数()2(1)sin(),(0,1)fxxxaxx=+−，若方程()21fxx=−有且只有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_________【答案】1119(,]66【解析】【分析】问题

可转化为sinyt=在(0,)a上的图象与直线12y=−仅有两个交点，作出函数图象，观察图象即可得解．【详解】由题意得，212(1)sin()xxxax−−=−在(0,1)上仅有两个不同的解，即12(1)sin()xxax−=−在(0,1)上仅有两个不同的解，即1sin()2a

x=−在(0,1)上仅有两个不同的解，设(0,)taxa=，则sinyt=在(0,)a上的图象与直线12y=−仅有两个交点，作出sinyt=及直线12y=−的图象如下图所示，由图象可知，111966a„．故答案为：1119(,]66．【点睛】方法与易错点点睛：转化为sinyt=在(

0,)a上的图象与直线12y=−仅有两个交点是解题的关键，易错点：结果的开闭区间要注意.11.如图，已知P是半径为2圆心角为3的一段圆弧AB上的一点，若2ABBC=，则PCPA的值域是__________.【答案】5213,0−【解析】【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转

换成求三角函数的最值即可．【详解】以圆心为原点，平行AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则(1,3)A−，(2,3)C，设(2cos,2sin)P，233剟，则(22cosPCPA=−，32sin)(12cos−−−，32sin)52c

os43sin−=−−5213sin()=−+，且330tan63=，06，536+，sin()y=+在(3，]2上递增，在[2，5)6上递减，当2=−时，PCPA的最小值为5213−，当23=时

，PCPA的最大值为2252cos43sin033−−=，则[5213PCPA−，0]，故答案为：[5213−，0]．【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题.12

.在平面直角坐标系xOy中，起点为坐标原点的向量,ab满足1ab==，且12ab=−，(),1,(,1)cmmdnn=−=−（,mnR）．若存在向量a、b，对于任意实数,mn，不等式acbdT−+−成立，则实数T的

最大值为___________．【答案】12+【解析】【分析】由acbdT−+−转化为求acbd−+−的最小值，转化为求AEBF+的最大值，再由梯形中位线转化为求MN的最大值得解.【详解】设aOAbOB==，，,cOCdOD==ruuur

uruuur，则点A、B在单位圆上，点C、D在直线10xy+−=上，ab，的夹角为23．如图所示．根据m、n的任意性，即求点A、B到直线10xy+−=距离之和的最小值，即AEBF+（点E、F分别是点A、B在直线10xy+−=上的射影点）；同时根据,ab的存在性，问题

转化为求AEAF+的最大值．设AB的中点为M，设点M、O在直线10xy+−=上射影点分别为N、'O，则22(')AEBFMNMOOO+=+122)1222=+=+（，当且仅当点M、O、'O依次在一条直线上时，等号成立．所以12T+，即所求实数T的最大值是12+．故答案为：12

+【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.若在ABC中，""AB是"sinsin"AB的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【答案】C【解析】【分析】在三角形中，结

合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】解：在三角形中，若AB，根据大角对大边可得边ab，由正弦定理sinsinabAB=，得sinsinAB．若sinsinAB，则正弦定理sinsinabAB=，得ab，根据大边对大角，可知

AB．所以，“AB”是“sinsinAB”的充要条件．故选：C．14.下列等式中不恒成立的是（）A.abba=B.()abab=C.222()abab=D.22||()()ababab−=+−【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积

的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得cos,,cos,abababbababa==rrrrrrrrrrrr，所以abba=rrrr是正确；根据向量的数量积的运算律，可得()abab=rrrr是正确；由向量

的数量积的运算公式，可得22222222()cos,,ababababab==，所以不恒成立；由2222()()||||abababab+−=+=−rrrrrrrr，所以是正确的。故选：C。【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式

及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。15.定义运算：bababaab=，对于函数()fx和()gx，把函数|()()|fxgx−在闭区间[,]ab上的最大值称为()fx与()gx

在闭区间[,]ab上的“绝对差”，记为((),())axbfxgx，则00.5(sincos,1)xxx=A.212−B.22C.1D.212+【答案】A【解析】【分析】根据题意将00.5(sincos,1

)xxx写成分段函数的形式,再分段讨论求解即可.【详解】由题意,先化简cos,04sincossin,42xxxxxx=,则1cos,04sincos11sin,42xxxxxx−−=−

.故20sincos112xx−−故00.52(sincos,1)12xxx=−.故答案为：212−【点睛】本题主要考查了新定义与三角函数值域的问题,需要根据题意分段讨论三角函数的范围,再根据新定义的问题进行分析即可

.属于中等题型.16.已知O、A、B、C是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1、2、3，使得1230OAOBOC++=，则三个角AOB、BOC、COAA.都是钝角B.至少有两个钝角,C.恰有两个钝角D.至多有两个钝角【答案】B【解析】【分析】根据123λOA

λOBλOC0++=，移项得123λOAλOBλOC+=−，两边同时点乘OC，得1λOA•23OCλOBOCλOCOC＜+=−0，再根据正实数12λλ，，3λ，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝

角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．详解】∵λ1OA+λ2OB+λ3OC0=，∴123λOAλOBλOC+=−，两边同时点乘OC，得1λOA•23OCλOBOCλ

OCOC+=−，即1λ|OA|•|OC|cos∠COA+2λOB|OC|cos∠BOC＝﹣3λOCOC＜0，∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一

个为钝角，因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．故选B．【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）1

7.已知：a、b是同一平面内的两个向量，其中()1,2a=r．（1）若5||2b=且ab+与b垂直，求a与b的夹角；（2）若()1,1b=且a与ab+的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】（1）2π3=

（2）5,0(0,)3−+【解析】【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得ab，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小；【（2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.【

小问1详解】解：由()abb+⊥得()0abb+=，即2+0abb=，所以254abb=−=−，得514cos2552abab−===−，又0,π，所以2π3=；【小问2详解】解：因为(

)1,2a=r，()1,1b=，所以()()()1,21,11,2ab+=+=++所以()0aab+，则512403+++−，由()//aab+得0=，由与a与ab+的夹角为锐角，所以5,0(0,)3−+1

8.在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，且(23)cos3cos.bcAaC−=（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：（1）2a=；（2）π4B=；（3）3=cb.试从中选出两个可以确定ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求ABC的面

积（写出一种可行的方案即可）【答案】（1）π6A=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）结合正弦定理边角互化变形即可求解（2）选择（1）（3），利用余弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（1）（2），利用正弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（2）（3）

，三角形不存在【小问1详解】由正弦定理可得：2sincos3sincos3sincosBACAAC=+，得()2sincos3sin3sinBAACB=+=，又sin0B，得3cos2A=，又()0,πA，所以6A=；

【小问2详解】（i）选择（1）（3），将2a=，3=cb代入2222cosabcbcA=+−可得222343232=+−bbb，解得2,23bc==，所以1sin32SbcA==，（ii）选择（1）（2），由sin22sinsinsin===

ababBABA，又()62sinsinsincoscossin4CABABAB+=+=+=，所以1sin312SabC==+，（iii）选择（2）（3），由6A=，π4B=可得()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+12322622224+

=+=，所以由正弦定理可得sinsinbcBC=即22624=+bc与3=cb矛盾，故这样的三角形不存在．19.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若cos2cos3cosabcABC==，求(1)tan:tan:tanABC的值；(2)求角A的值．【答案】（1）

1:2:3；（2）4.【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sinsinsincos2cos3cosABCABC==，利用同角三角函数基本关系式化简求得tan:tan:tanABC的值.（2）由（1）可得：tan2tanBA=，tan3tanC

A=，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得25tantan6tan1AAA=−，解得tanA，分类讨论可求A的值.【详解】（1）∵cos2cos3cosabcABC==，∴由正弦定理可得：sinsinsincos2cos3cosABCABC==，

∴11tantantan23ABC==.可得：tan:tan:tan1:2:3ABC=.（2）由（1）可得：tan2tanBA=，tan3tanCA=，∵ABC++=，∴2tantan5tantantan()1tantan6t

an1BCAABCBCA+=−+=−=−−，解得：tan1A=，或tan0A=，当tan0A=，舍去；当tan1A=，4A=，当tan1A=−，则tan2B=−，则2A，2B，矛盾，综上，4A=.【点睛】本题第一问考查正弦定理

得边化角公式，第二问考查了正切的两角和公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题.20.已知(,)OMxy=，(,)ONuv=，()(cos,sin),0OPrrRr=，为常数，若满足cossinsincosuxryr

vxryr=−=+成立，则称OM通过OP变换到ON.（1）若向量()2,1OM=通过OP变换到ON，且//OMON，求和ON的值；（2）11(,)OAxy=通过OP变到'11(,)OAuv=，22(,)OBxy=通过OP变到

'22(,)OBuv=（其中OA与OB不平行），猜想OAB的面积与''OAB的面积的比，并说明理由.【答案】（1）()kkZ=，5ONr=；（2）''21=OABOABSSr，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据“变换”

的定义和向量共线的法则求解，（2）根据“变换”定义，再求出OA与OB的夹角，以及'OA与'OB的夹角，再根据三角形面积公式计算.【小问1详解】由题意得(2,1)OM=，()2cossin2sincosONrrr

r=−+，，的2cossin2sincos//,21rrrrOMON−+=,即则2cossin4sin2cos,sin0rrrr−=+=，()kk=Z，此时，()()22=2cossin2sincos5ONrrrrr−++=，综上所述，()kkZ=

，5ONr=；【小问2详解】由题意得111111cossinsincosuxryrvxryr=−=+，222222cossinsincosuxryrvxryr=−=+，则()()()222'222111111

cossinsincosOAxryrxryrrxy=−++=+，得'OArOA=，同理可得'OBrOB=，()()''1122cossincossinOAOBxryrxryr=−−()()1122sincossincosxryrxryr+++，所以()22222

12121212''cossinsincosOAOBrxxyyxxyy=+++()21212rxxyy=+，所以''2OAOBrOAOB=，则''''''cos,=cos,OAOBOAOBOAOBOAOBOAOBOAOB==，得''2''''1sin,12==1sin,2OAB

OABOAOBOAOBSSrOAOBOAOB；综上，()kkZ=，5ONr=，''21OABOABSSr=.21.已知函数()sin()fxx=+(0,0π)的最小正周期为π，图像的一个对称中心为π(,0)4，将函数()fx图像上的所有点的横坐标

伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移π2个单位长度后得到函数()gx的图像.（1）求函数()fx与()gx的解析式；（2）当1a，求实数a与正整数n，使()()()Fxfxagx=−在(0,π)n恰有2021个零点．【答案】（1）()cos2fxx=，()sin

gxx=（2）1,1347an==．【解析】【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解；(2)转化为方程22sinsin10xax+−=有2021个根，根据奇数个根可得其中一个根必为sin1x=−或1，分类讨论求解.【小问

1详解】2ππ2T===，当π4x=时，()ππsin0π22kkZ+=+=，因为0π，取2=，()πsin2cos22fxxx=+=，将函数()fx图像上的所有点的横坐标伸长为原来的

2倍（纵坐标不变），可得函数cosyx=，再将所得图像向右平移π2个单位长度后，π()cossin2gxxx=−=，【小问2详解】由（1）得()2cos2sin2sinsin1Fxxaxxax=−=−−+，()0πxn,22sinsin10xax+−=，不妨设1sin

xt=或()212sinxttt=，显然120,0tt若()sin1,1x−，则()Fx在()0,πn上必有偶数个零点，所以12,tt中至少有一个为1或1−，不妨设1sin11xt==−或，当11t=，则1a=−（舍）；当11t=−，则2112at==

，此时()Fx在()0,2π上有3个零点，又202167332=+π6732ππ1347πn=+=，即1347n=，综上所述，1,1347an==．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com