【文档说明】【精准解析】开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试（四）数学理科试题.doc，共(28)页，2.382 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试（四）理科数学时量：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案

标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1381xMx=，()23log421Nxxx=−−，则()NM=Rð（）A.0,3B.

()0,3C.()1,5−D.1,5−【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得集合|04Mxx=和{|1Nxx=−或5}x，得到{|15}Nxx=−Rð，再结合并集的概念与运算，即可求解.【详

解】由题意，集合1381|04xMxxx==，又由()23log421xx−−，即2450xx−−，解得1x−或5x，即集合{|1Nxx=−或5}x，则{|15}Nxx=−Rð所以(){|15}1,5NM

xx=−=−Rð.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及指数函数与对数的函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数对数函数的性质，正确求解集合,AB是解答的关键，着重考查运算与求解能力.-2-

2.已知()12,minimni−=−R，其中i为虚数单位，则复数zmmi=−在复平面内对应的点在（）A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数相等则对应系数相等，求得m的值，写出zmmi

=−的坐标，判断即可.【详解】()12,minimni−=−R1(2)2miinini−=−=+1n=，2m−=2m=−22zi=−+，在复平面内对应的点为(2,2)−，在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数相等的条件和

复数在复平面内对应的点，属于基础题.3.据《孙子算经》记载：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？该著作中的一种解决方法为：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”如图所示是解决此类问题的程序框图，若输入32n=，则输出的结果为（）A.

47B.48C.79D.80【答案】C-3-【解析】【分析】按照程序框图输入32n=，逐步执行循环到0n=，即得结果.【详解】按照程序框图：输入32n=，则32S=，执行第一次循环：24n=，3224S=+执行第一次循环：16n=，322416S=++执行第一次循环：8n=，3224

168S=+++执行第一次循环：0n=，3224168080S=++++=跳出循环，1SS=−，故79S=，即输出结果.故选：C.【点睛】本题利用数学文化考查了程序框图中的循环结构，属于基础题.4.已知为锐角，且3π25

sin85−=，则3πtan24−的值为（）A.34B.34−C.43−D.34−或43−【答案】C【解析】【分析】先利用已知条件得到3π8−为锐角，求出其余弦值，再利用二倍角公式求出3πsin24−和3πcos24−

，最后利用同角三角函数的基本关系求出正切即可.【详解】由02，又3πsin08−，则3π8−为锐角，故3π5cos85−=，-4-则3π3π3π4sin22sincos4588−=−−=

，23π3π3cos22cos8145−=−−=−，故3πsin23π4tan23π43cs244o−−==−−.故选：C.【点睛】本题主

要考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值的问题，属于较易题.5.已知抛物线26xy=的焦点为F，M，N，K为此抛物线上三点，若0FMFNFK++=，则FMFNFK++为（）A.9B.92C.4D.94【答案】A【

解析】【分析】由题意可得3(0,)2F是MNK△的重心，故123332yyy++=，再由抛物线的定义可得123333|()()()9222FMFNFKyyy++=+++++=．【详解】解：抛物线26x

y=焦点坐标3(0,)2F，准线方程：32y=−，设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，3(Kx，3)y0FMFNFK++=，点F是MNK△重心，则123332yyy++=，12392yyy++=．由抛物线的定义可知：123333()()()9222FMFN

FKyyy++=+++++=，故选：A．【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，-5-属于基础题．6.函数2π1cos122xyx=−++的图象大致为（）A.B.C.D

.【答案】A【解析】【分析】先记()2π1cos122xfxx=−++，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断0πx时，()0fx，进而可得出结果.【详解】记()2π2121cos(sin)sin12221121xxxxxfxxxx−=−+=−

=++−+，则()()()12212sinsinsin2221111xxxxxxfxxxxfx−−−−−=−=−+−+==+，因此函数2π1cos122xyx=−++是偶函数；故排除BC；当0πx时，11

202xx+−，sin0x，因此()112sin02xxfxx+−=；排除D；故选：A.【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.7.《九章算术》卷五描述：“今有刍甍，下广三丈，

袤四丈，上袤二丈，无广，高丈.”意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈.”-6-若该刍甍的三视图如图所示，其中网格纸上每个小正方形边长均为1丈，则该刍甍的体积（单位：立方丈

）为（）A.52B.5C.10D.20【答案】B【解析】【分析】根据三视图，作出几何体的直观图，再利用柱体、锥体的体积公式即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为：111231423115232VV−=−

=三棱柱三棱锥.故选：B【点睛】本题考查了根据几何体的三视图求几何体的体积，考查了柱体、锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.8.为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从《周髀算经》《九章算术》

等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）A.115B.715C.815D.1415

【答案】D【解析】-7-【分析】根据对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】设事件“所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，所以事件“所选2部专著中2部都是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，因为232101()15CPAC==，所

以114()1()11515PAPA=−=−=，故选：D【点睛】本题考查了对立事件概率公式的应用，考查了数学运算能力.9.某厂家加工甲、乙两种通讯设备零部件，其销售利润分别为10百元/件、15百元/件.甲、乙两种零部件都需要在A，B两种设

备上加工，生产一件甲产品需用A设备1小时，B设备3小时；生产一件乙产品需用A设备2小时，B设备2小时.A，B两种设备每周可使用时间分别为24小时、36小时，若生产的零部件供不应求，则该企业每周利润的最大值为（）A.150百元B.195

百元C.240百元D.300百元【答案】B【解析】【分析】先设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：x，y件，每周利润为z，根据题意，得出约束条件，和目标函数，利用数形结合的方法，即可得出结果.【详解】设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：x，y件，每周利润为：z，则由题意可得：22432

36xyxyxNyN++，1015zxy=+，画出224323600xyxyxy++所表示的平面区域如下：-8-因为目标函数1015zxy=+可化为21315yxz=−+，则115z表示直线21315yxz=−+在y轴的截距，由图像可得

，当直线21315yxz=−+过点A时，在y轴的截距最大，此时z取最大值；由2243236xyxy+=+=解得：69xy==，即()6,9A，满足2243236xyxyxNyN++；因此max106159195z=+

=.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.10.已知曲线()πsin26fxx=+按向量()(),00a=平移，得到的曲线()ygx=经过点π,112−

，则（）A.函数()ygx=的最小正周期π2T=B.函数()ygx=在1117π,π1212上单调递减C.曲线()ygx=关于直线π6x=对称D.曲线()ygx=关于点π,03对称【答案】B【解析】-9-【分析】先由向量平移和定点π,112−求

得()gx的解析式()cos(2)6gxx=+，再根据三角函数的周期性、单调性和对称性对选项逐一判断正误即可.【详解】设()yfx=上任一点(,)xy，按向量()(),00a=平移后得()ygx=上点(,)xy，则,0xxyyy

=+=+=，故,xxyy=−=，代入()fx得πsin2()6yx=−+()sin(22)6gxx=−+过点π,112−，得2()22()1262kkZ−−+=−()4kkZ=−+又0

，故可取4=−，()sin(2)cos(2)266gxxx=++=+因此，A选项中，最小正周期πT=，故A选项错误；B选项中，在1117π,π1212上，22,36x+，故函数()ygx=在1117π

,π1212上单调递减，故B选项正确；C选项中，当π6x=，262x+=，()0gx=，()ygx=关于点π,06中心对称，故C选项错误；D选项中，当π3x=，5266x+=，()0gx，点π,

03不是()ygx=的对称中心，故D选项错误.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式和代入验证法判断余弦型函数的性质，属于中档题.11.已知椭圆1C：2215xy+=，1F，2F分别为双曲线2C：()222

21,0xyabab−=的左、右焦点，两曲线1C，2C的离心率互为倒数，双曲线2C渐近线上的点M满足10OMMF=且-10-12FMF△的面积为32，其中O为坐标原点，则双曲线2C的实轴长是（）A.4B.8C.16D.32【答案】C【解析】【分析】记椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率

为2e，根据椭圆方程，由题意，求出252e=，得出双曲线渐近线方程为12yx=，不妨令点M在直线12yx=上，设001,2Mxx，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】记椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C

的离心率为2e，因为椭圆方程为2215xy+=，所以1512555e−==，又两曲线1C，2C的离心率互为倒数，所以252e=，所以2222222112bbcaeaaa−===−=，因此双曲线的渐近线方程为12byxxa==，不妨令点M在直线12yx=上，设001,2Mxx，

则001,2OMxx=，又1F，2F分别为双曲线2C：()22221,0xyabab−=的左、右焦点，所以()1,0Fc−，()2,0Fc，因此1001,2MFcxx=−−−，因为10OMMF=，所以()2000104xcxx−−−=，-11-整理得：0504cx+=

，又12FMF△的面积为32，所以12120011132222FMFFFxcx===△S，由005041322cxcx+==解得：45c=，因此245852cae===，所以双曲线2C的实轴长是216a=.故选：C.【点睛】本

题主要考查求双曲线的实轴长，考查双曲线与椭圆的简单性质，涉及向量垂直的坐标表示，属于常考题型.12.已知函数())1,2,112,1,211,,22xxxfxxxxx+−−=−−−，()2gxax=−，2,2x−，若对于任意12,2x

−，总存在02,2x−，使()()01gxfx=成立，则实数a的取值范围是（）A.7,4−−B.7,4+C.77,44−D.77,,44−−+【答案】D【解析】【分析】根据对于任意1[2x−，2]，总

存在[2x−，2]，使得1()()gxfx=成立，得到函数()fx在[2−，-12-2]上的值域是()gx在[2−，2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数()fx、()gx在[2−，2]上的值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．【详解】解：当21x−−剟时，1(

)fxxx=+，21()10fxx=−，即[2−，1]−为增区间，()[4fx−，2]−，当112x−„时，()2fx=−；当122x剟时，1()fxxx=−，21()10xfx=+，此时函数递增，则3()[2fx−，3]2．则(

)fx的值域为5[2−，32][2−−，3]2．对于任意1[2x−，2]，总存在0[2x−，2]，使得01()()gxfx=成立，得到函数()fx在[2−，2]上的值域是()gx在[2−，2]上值域的子集．对a讨论，当0a=时，()2gx=−，显然不成立；

当0a时，()gx的值域为[22a−−，22]a−，由5222a−−−„且3222a−…，即74a…；当0a时，()gx的值域为[22a−，22]a−−，由5222a−−„且3222a−−…，即74a−

„，综上，a的取值范围是：(−，77][44−，)+．故选：D.【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及分段函数、函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13.若()622xaxx+−的展开式中2x的系数为20，则

a的值为______.【答案】3【解析】【分析】求得二项展开式的通项为62616(1)2rrrrrTCx−−+=−，求得2x的系数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，二项式62()xx−的展开式的通项为66261662()()(1)2rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−，-13-

所以2x的系数为33342466(1)2(1)216060CaCa−+−=−+，令1606020a−+=，解得3a=.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合题意，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14.在ABC中

，π6B=，E为AB边上一点，且2EC=，5EA=，2EAEC=，则BC=______.【答案】855【解析】【分析】先由向量夹角公式，根据题中条件，求出cosAEC，从而求出sinBEC，再由正弦定理，即可得出结果.【

详解】因为2EC=，5EA=，2EAEC=，所以5cos5EAECAECEAEC==，所以又E为AB边上一点，所以AECBEC+=，因此5coscos5BECAEC=−=−，所以25sin5BEC=，在BEC

△，由正弦定理可得：sinsinECBCBBEC=，即212525BC=，解得：855BC=.故答案为：855.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，涉及向量的夹角公式，属于常考题型.15.给出的下列四个命题中，正确的命题序号为______.-14-①从匀速传递的产品生产流

水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②设回归直线方程为0.212ˆyx=+，当变量x每增加一个单位时，ˆy平均增加2个单位；③已知服从正态分布()20,N，且()200.4P−=，则()20.2P=；④变量U与V相对应的一组样本数据为

()1,1.4，()2,2.2，()3,3，()4,3.8，由上述样本数据得到U与V的线性回归分析，若2R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则21R=.【答案】④【解析】【分析】①根据抽样方法的概念，直接判断，即可得出结果；②根

据回归直线方程的性质，即可得出结果；③根据正态分布的性质，计算概率，即可得出结果；④根据在线性回归中，相关指数等于相关系数，计算相关系数，即可得出结果.【详解】对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽

样；故①错误；对于②，在回归直线方程0.212ˆyx=+中，当变量x每增加一个单位时，ˆy平均增加0.2个单位；故②错误；对于③，若服从正态分布()20,N，且()200.4P−=，则()020.4P=，所以()()20.5020.1PP=−

=，故③错误；对于④，在线性回归中，相关指数等于相关系数，由题意，11x=，22x=，33x=，44x=，11.4y=，22.2y=，33y=，43.8y=，则2.5x=，2.6y=，所以相关指数()()()()4

21442211iiiiiiixxyyRrxxyy===−−==−−222222221.51.20.50.40.50.41.51.24153.21.50.50.51.51.20.40.41.2+++===++++++，故④正确；故答案为：④-15-【

点睛】本题主要考查统计与概率的综合，熟记抽样方法的概念，回归直线的特征，正态分布的性质，以及相关指数的计算公式即可，属于常考题型.16.定义：设函数()yfx=在(),ab上的导函数为()fx，若()fx在(),ab上也存在导函数，则称函数()yfx=在(),ab上存在二阶导函数，简记

为()yfx=.若在区间(),ab上()0fx，则称函数()yfx=在区间(),ab上为“凸函数”.已知()()2ln1exfxmx=+−在区间()1,1−上为“凸函数”，则实数m的取值范围为______.【答案】18m【解析】【分析】根据题意对函数()yfx=求二

阶导函数()yfx=，令()0fx在区间()1,1−恒成立，分离参数，解得实数m的取值范围即可.【详解】()()2ln1exfxmx=+−()12121e1exxxefxmxmx=−=−−++()2e2(1e)xxfxm=−+()()2ln1exfxmx=+−在区间()

1,1−上为“凸函数”()2e20(1e)xxfxm=−+在()1,1−上恒成立2e2(1e)xxm+()1,1−上恒成立设2e()()1exxgx=+，()1,1x−，则2e111()e2e

114e2e2e1e2xxxxxxxgx++=+==++当且仅当0x=时取得最大值14，124m-16-18m故答案为：18m.【点睛】本题考查了新定义“凸函数”，考查了分离参数法解决恒成立问题和基本不等式，属于中档题.三、解答题（一）必考

题：17.已知函数()()sinsin12fxxx=−++（xR）的所有正数的零点构成递增数列na（nN）.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足324nnnba=+，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）34nan

=−（nN）；（2）222nnnT+=−.【解析】【分析】（1）令()0fx=可得出14xk=+（kZ），根据题意确定数列na的首项和公差，即可求得数列na的通项公式；（2）求出122n

nnnbn==，然后利用错位相减法可求得nT.【详解】（1）()()sinsin1cossinsin24fxxxxxx=−++=−=−−，令()0fx=，得sin04x−−=，

所以4xk−=（kZ），所以14xk=+（kZ），这就是函数()yfx=的全部零点，所以数列na是以首项为14，公差为1的等差数列，-17-所以()131144nann=+−=−（nN）；（2）因为324nnnba=+，所以122nnn

nbn==，则()123111111123122222nnnTnn−=++++−+，①()23411111111231222222n

nnTnn+=++++−+，②①−②得：1234111111112222222nnnTn+=+++++−

，所以11122122222nnnnnTn++=−+=−.【点睛】本题考查函数的零点，考查等差数列通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常

考题.18.某食品加工厂对生产机器升级改造，现从机器改造前后生产的食品中各抽取100件产品作为样本，检测某项营养成分含量，根据国家食品卫生标准，若该项营养成分含量落在)20,40内的食品视为合格品，否则为不合格品.如图所示是机器改造前样本的频率分布直方图；下表是机器改造后

样本的频数分布表.营养成分含量)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45-18-频数2184814162（1）请估算食品加工厂在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值；（2）工厂质检规定：不合格食品必须全部销毁合格食品分等级

销售，营养成分含量落在)25,30内的定为一等品，每件售价240元；营养成分含量落在，)20,25或)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合

格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买改造后的两件该食品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望.【答案】（1）30.2（2）见解析【解析】【分析】（1）由每一组区间的中间值乘以该组的频率再相加，可得平均值．（2

）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为111236，，，从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111236，，，随机变量X的取值为240，300，360，42，480，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X

的分布列和E（X）．【详解】根据图1可知，机器改造前样本的频数分布表如下：营养成分含量)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45频数41640121810∴估计在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值为1100（4

×17.5+16×22.5+40×27.5+12×32.5+18×37.5+10×42.5）＝30.2．（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中合格食品有96件，则样本中一、二、三等品的频率分别为111236，，，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111236，

，，随机变量X的取值为240，300，360，420，480，P（X＝240）＝111=6636，-19-P（X＝300）＝12111=369C，P（X＝360）＝1211115+=263318C，P（X＝420）＝12111=323C，P（X＝480

）＝111=224，∴随机变量X的分布列为：E（X）＝11511240300360420480=4003691834++++.【点睛】本题考查平均数、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查频率分布直方图、频率分布表、相互独立事件概

率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.如图，在四棱锥PABCD−中，ABAD=，CBCD=，PBPD=，且24PCPA==，60APC=.（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若底面ABCD

中，90ADC=，30ACD=，在PC上是否存在点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为611495？若存在，试求:PMMC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，:2PMMC=.【解析】【分析】-20-（1）设ACBDO=，连接PO，由已

知条件得O为BD的中点，利用线面垂直的判定定理证明DB⊥面PAC，又DB平面ABCD，即可得出结论；（2）先利用已知条件证明PA⊥面ABCD，再以A为坐标原点，过A作AB垂线即为y轴，AB为x轴，AP为z轴建立如图所示的空间坐标系，写出点坐标，令PMMC=，求出平面PBD的法向量，利用空间

向量求线面所成角即可得出结论.【详解】（1）证明：设ACBDO=，连接PO，因为ABAD=，CBCD=，所以O为BD的中点，BDAC⊥，又PBPD=，BDPO⊥又,ACPOODB=⊥面PAC，DB平面ABCD，所以平面PAC⊥平面A

BCD.（2）在PAC中，24,60PCPAAPC===，易得90PAC=，即PAAC⊥，由（1）知BDPA⊥，PA⊥面ABCD；以A为坐标原点，过A作AB垂线即为y轴，AB为x轴，AP为z轴建立如图所示的空间坐标系，则()()()()330,0,0,0,0,2,3,0,0,,,0,3

,3,022APBDC−，-21-()333,0,2,,,222PBPD=−=−−，令PMMC=，332332,,,,,111111MBM−=++++++，设平面PBD的法向量为

(),,nxyz=，32003302022xzPBnPDnxyz−===−+−=，取()2,23,3n=，设直线BM与平面PBD所成的角为，则()6114sincos,95nBMnBMnBM===，解得2=，即:2PMMC

=.【点睛】本题主要考查了线面垂直以及面面垂直的判定定理，考查了利用空间向量解决线面所成角的问题.属于中档题.20.已知O：222xy+=交x轴于M，N两点，过以MN为长轴，离心率为22的椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆C于A，

B，分别交y轴和圆O于P，H.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若PAsAF=，PBtBF=.求证：st+为定值；（3）过原点O作直线l的垂线交直线2x=−于点K.试探究：当点H在圆O上运动时（不与M，N重合），直线HK与

圆O是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）4−；（3）故直线HK与圆O相切，证明见详解.【解析】【分析】-22-（1）由题意可得2a=，再根据离心率可得1c=，由221bac=−

=，可得椭圆C的标准方程.（2）设直线l的方程为：()1ykx=+，将直线与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，再根据向量的坐标运算可得1212,11xxstxx=−=−++，求出即可证出.（3）设()()000,2Hxyx，则22002yx=−，只要证出1HKOHkk=−即可【详解】（1

）由222a=，解得2a=，又因为22cea==，所以1c=，所以221bac=−=，所以椭圆C的标准方程为2212xy+=.（2）证明，如图，由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：()1ykx=+，则点()0,Pk，将直线l代入椭

圆方程2212xy+=可得()2222124220kxkxk+++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，2122412kxxk−+=+，21222212kxxk−=+，由PAsAF=，PBtBF=，知1212,11xx

stxx=−=−++，-23-故2222121222121222444212124142211212kkxxxxkkstxxxxkkkk−−++++++=−=−=−+++−+−+++.（3）点H在圆O上运动时，直线HK与圆O相切，证明：设()()0

00,2Hxyx，则22002yx=−，001HFykx=+，001OKxky+=−，直线OK的方程为001xyxy+=−，即点00222,xKy+−，()()()020200000000

000022222222HKxyyxyxxxkxxyxyy+−−+−−====−+++，00OHykx=，1HKOHkk=−，即HKOH⊥，故直线HK与圆O相切.【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题对计算能力要求比较高，属于

难题.21.已知函数()2lnaxfxxx=+，()12gxxx=−，其中aR.（1）若方程()()fxgx=在1,e（e为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围；（2）若在1,e上存在一点0t，使得关于x的不等式()()2212axfxxxx++

+成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(21,1,2e−−+；（2）()21,2,1ee+−−++.【解析】【分析】-24-（1）由题意得21ln022xax−−=，令()

21ln22xFxax=−−，由题意得只需函数()yFx=在1,e上有唯一的零点；求导，分①当1a时，②当2ae时，③当21ae时三种情况分析单调性求零点，即可求出a的取值范围；（2）把已知条件转化为00001ln0atattt+−+在01,te上有解，即函

数()1lnahxxaxxx=+−+在1,e上的最小值小于零，求导，分①当1ae+时，②当11a+时，③当11ae+时三种情况分析单调性求最值，即可求出a的取值范围.【详解】（1）()()fxgx=，2ln1

2axxxxx+=−，即21ln022xax−−=；令()21ln22xFxax=−−，由题意得只需函数()yFx=在1,e上有唯一的零点；又()2axaFxxxx−=−=，其中1,ex，①当1a时，()0Fx恒成立，()Fx单调递增，又

()10F=，则函数()Fx在区间1,e上有唯一的零点；②当2ae时，()0Fx恒成立，()Fx单调递减，又()10F=，则函数()Fx在区间1,e上有唯一的零点；③当21ae时，当1xa时，()0Fx，()Fx单调递减，又()10F=，()()10FaF=，则

函数()Fx在区间1,a上有唯一的零点；-25-当axe时，()0Fx，()Fx单调递增，则当()0Fe时符合题意，即21022ea−−，所以212ea−，当2212eae−时，则函数()Fx在区间1,a上有唯一的零点；所以实数a的取值范围是(21,1,2

e−−+.（2）在1,e上存在一点0t，使得关于x的不等式()()200000212atftttt+++成立，等价于00001ln0atattt+−+在01,te上有解，即函数()1lnahxxaxxx=+−+在1,e

上的最小值小于零，()()()2221111xxaaahxxxxx+−−=−−−=，①当1ae+时，即1ae−时，()hx在1,e上单调递减，所以()hx的最小值为()he，由()10aheeae+=+−，可得22

11,111eeaeee++−−−，故211ea>e+−；-26-②当11a+时，即0a时，()hx在1,e上单调递增，所以()hx的最小值为()1h，由()1110ha=++，可得2a−；③当11ae+，即01ae−时，可

得()hx的最小值为()1ha+，()()0ln11,0ln1aaaa++，()()()111ln12ln1211ahaaaaaaaaa+=++−++=+−+++，所以()10ha+不成立，综上：实数a的取值范围是()21,2,1ee+−−++.【点

睛】本题主要考查了导数求解零点问题，利用导数求解最值问题，做题的过程中注意对已知条件的转化，考查了学生构造函数的能力以及分类讨论的思想.属于较难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系

与参数方程]22.在平面直角坐标系中，已知曲线C的普通方程为222690xyxy+−−+=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()π6R=.（1）求直线l的普通方程及曲线C的参数方程；（2）过直线l上的任意一点G向曲线C引切线GQ，当切线长GQ最

短时，求G点的极坐标.【答案】（1）直线l的普通方程为30xy−=，曲线C的参数方程为1cos3sinxy=+=+（为参数）；（2）G点的极坐标为：33(,)26G+【解析】【分析】-27-根据极角的正切与直线斜率之间关系求直线的普通方程，根据圆心和半径写参数方程即可；判断当CGl

⊥时GQ最短，联立两直线方程得到G点直角坐标，并转化成极坐标即可.【详解】解：（1）依题意得，直线l的普通方程为33yx=，曲线C的普通方程为222690xyxy+−−+=，即22(1)(3)1xy−+−=曲线C的参数方程为1cos3sinxy=+=

+（为参数）综上，直线l的普通方程为30xy−=，曲线C的参数方程为1cos3sinxy=+=+（为参数）；（2）要使切线长GQ最短，则需CG最短，故当CGl⊥时最短，此时直线CG的斜

率为3−，直线CG方程为33(1)yx−=−−，即3330xy+−−=，联立直线方程303330xyxy−=+−−=得33333(,)44G++故G点的极坐标为：33(,)26G+.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化以及点坐标的互相转化，考查了普通

方程与参数方程的转化，属于常考题.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数()()332mfxxm=+−R，且()302mfx−+的解集为22xx−.（1）求m的值；（2）若,,xyzR+，且mxyz=++，求证：22243xyz++.【答案】（1）2m=；（2

）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）根据题意，得到xm，再由不等式的解集，即可得出结果；（2）根据柯西不等式，由题中条件，即可得出结果.【详解】（1）由题意，不等式()302mfx−+可化为0xm−，

即xm，所以-28-mxm−；又()302mfx−+的解集为22xx−，所以2m=；（2）由（1）得：2xyz++=，由柯西不等式可得：()()()22222221114xyzxyz++++++=，当且仅当23x

yz===时，等号成立；因此22243xyz++.【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，考查由柯西不等式证明不等式，属于常考题型.