【文档说明】北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.139 MB，由小赞的店铺上传

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丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习高二数学考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知(2,1,1)a=−，(42)bx=

−,,，且//ab，则x=（）A.10−B.2−C.2D.10【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出答案.【详解】由题意得bka=，即()()4,2,2,1,1xk−=−，所以422kkxk=−=−=，解得2x

k==.故选：C2.若直线l过两点(0,0)和(1,3)，则直线l的倾斜角为（）A.2π3B.π3C.5π6D.π6【答案】B【解析】【分析】利用直线上两点坐标表示斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，即得解【详解】由题意，设直线l的斜率为k，倾斜角为故30tan310k−===−由于[0,

)，故π3=故选：B3.过点(1,4)A，且横、纵截距相等的直线方程为（）A.4yx=或yx=B.50xy++=或4yx=C.30xy−+=或50xy+−=D.50xy+−=或4yx=【答案】D【解析】【分析】求出直线过原点和直线不过原点时，对应直线的方程即可．【详解】解：当直线

过原点时，直线的斜率为4k=，则直线方程为4yx=；当直线不过原点时，设直线方程为xya+=，则14a+=，解得5a=，所求的直线方程为50xy+−=，综上知，所求直线方程为4yx=或50xy+−=．故选：D.4.已知以点()0,1为圆心，2为半径的圆C，则点()1,2M与圆C的位置关系是（）

A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.无法判断【答案】A【解析】【分析】计算出圆心到点M的距离CM，比较CM与圆C半径的大小，可得出结论.【详解】由题意，圆心()0,1C，点()1,2M，圆C的半径为2，因为()()22011222CM=−+−=，因此，点()1

,2M在圆C内.故选：A.5.如图，在平行六面体ABCDEFGH−中，ADABabAEc===,,，I为线段CH的中点，则AI可表示为（）A.1122−++abcB.1122abc++C.1122abc−−+D.1122a

bc−+【答案】B【解析】【分析】根据题意结合空间向量的线性运算分析求解即可.【详解】由题可得：CHCDCGBAAEac=+=+=−+，所以()11112222AIABBCCIABADCHabacabc=++=++=++−+=++.故选：B.6.在空间直

角坐标系Oxyz中，若点()1,2,3B−关于y轴的对称点为点B，点()1,1,2C−关于Oyz平面的对称点为点C，则BC=（）A.()2,1,1−−B.()0,3,5−C.()2,1,1-D.()0,3,5−【答案】A【解析

】【分析】利用对称性求出点B、C的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量BC的坐标.【详解】因为点()1,2,3B−关于y轴的对称点为点B，则()1,2,3B−，因为点()1,1,2C−关于O

yz平面的对称点为点C，则()1,1,2C−−，因此，()2,1,1BC=−−.故选：A.7.过原点且倾斜角为30的直线被圆22(2)4xy+−=所截得的弦长为（）A.1B.2C.3D.23【答案】B【解析】【分析】先得到过原点且倾斜角为30的直线的方程，求出圆心到直线的距离

，利用垂径定理进行求解.【详解】过原点且倾斜角为30的直线为tan30yx=，即33yx=，圆心()0,2到33yx=的距离2223313d==+，故直线被圆22(2)4xy+−=所截得

的弦长为2242432d−=−=.故选：B8.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且||||PAPB=，若直线PA的方程为10xy−+=，则直线PB的方程为（）A.270xy+−=B.240xy−−=C.50xy+−=D.10x

y+−=【答案】C【解析】【分析】确定P、B两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程.【详解】如图：因为点P在直线10xy−+=上，且横坐标为2，所以P点坐标为(2,3)，点A为直线10xy−+=与x轴交点，所以()1,0A−，又B点在x轴上，

且PAPB=，则点(2,0)是,AB的中点，所以()5,0B，所以直线PB的方程为053025yx−−=−−，即50xy+−=.故选：C.9.在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP=（）A.10B

.6C.2D.2【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，确定点O，P坐标，利用空间两点间的距离公式，即可求得答案.【详解】由题意知在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，不妨设该顶点为D，以D点为坐标原点，建立如图所示空间

直角坐标系：则()2,2,2O，根据正方体的对称性，可取()2,1,1P，故()()()2222221212OP=−+−+−=.故选：D10.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+yAC-(x+y-1)AD，点N满足BN=λBA+(1-

λ)BC，当AM、BN最短时，AM·MN=（）A.-43B.43C.-13D.13【答案】A【解析】【分析】首先由向量的关系式得M∈平面BCD，N∈直线AC，由条件判断点，线，面的位置关系，结合向量数量积的运算，即可求解.

【详解】由共面向量定理和共线向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，此时，2|MC|=260sin=433，∴|MC|=233，∵AM⊥平面BCD，MC⊂平面BCD，∴AM⊥MC，的∴|MA

|=22||-||ACMC=22232-3=263.又MN=12(MC+MA)，∴AM·MN=12(AM·MC+AM·MA)=-12|MA|2=-43.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.圆222690

xyxy+−++=的圆心坐标为___________；半径为___________.【答案】①.(1,3)−②.1【解析】【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是22(1)(3)1xy−++=，圆心坐标为(1,3)−，半径为1．故

答案为：(1,3)−；1．12.已知直线l∥，且l的方向向量为(2,,1)m，平面的法向量为(1,1,2)，则m=______.【答案】4−【解析】【分析】根据线面的位置关系得直线的方向向量与平面法向量垂直，然后利用向量垂直的坐标运算列式计算即可.【详解】因为直

线l∥，且l的方向向量为(2,,1)m，平面的法向量为(1,1,2)，所以211120m++=，解得4m=−.故答案为：4−13.已知两平行直线1:230lxy+−=，21:20lxmy+−=，则1l与2l间的距离是________.【答案】52##152【解析

】【分析】利用两直线平行可得4m=，再利用平行线间的距离公式计算可得结果.【详解】由两直线平行可知4m=，此时2:2410lxy+−=将1:230lxy+−=可化为2460xy+−=，所以1l与2l间的距离为22165522524−+==+.故答案为：5214.已知(2,1,3)AB

=−，(112)AC=−−,,，(21)AD=−,,，若,,,ABCD四点共面，则实数=___________.【答案】3【解析】【分析】由共面向量基本定理结合向量的坐标运算列式求解即可.【详解】

因为,,,ABCD四点共面，所以存在实数,xy，使得ADxAByAC=+，即()()()2,1,2,1,31,1,2xy−=−+−−，所以22132xyxyxy=−−=−+=−，解得103xy===，所以3=.

故答案为：3.15.在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}dABxxyy=−−为两点11(,),Axy22(,)Bxy的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点Q，称(,)dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作(,)dPl.已知点(3

,1)P和直线:210lxy−−=，则(,)dPl=________；若定点00(,)Cxy，动点(,)Pxy满足()(0)dCPrr=,，则点P所在的曲线所围成图形的面积是_________.【答案】①.43②.24r【解析】【分析】设点Q是直线l上一点，且(),21Qx

x−，可得(),max3,22dPQxx=−−，讨论3,22xx−−的大小，可得距离d，再由函数的性质，求得最小值；运用新定义，求得点的轨迹图形，计算图形的面积即可.【详解】设(),21Qxx−为直线:210lxy−−=上一点，则(),m

ax3,22dPQxx=−−，由322xx−−，解得513x−，即有(),3dPQx=−，当53x=时，取得最小值43，由322xx−−，解得53x或1x−，即有(),22dPQx=−，(),dP

Q的范围为()444,,,33++=+，无最小值，综上，(),dPQ的最小值为43，所以()4,3dPl=.设轨迹上动点为𝑃(𝑥,𝑦)，则()00,max,dCPxxyyr=−−=，等价于000yyxxxxr−

−−=或000yyxxyyr−−−=，所以点P的轨迹是以()00,Cxy为中心，边长为2r的正方形，所以点P所在的曲线所围成图形的面积为24r.故答案为：24,4.3r【点睛】关键点点睛：此题考查新定义理解和运用，解题的关键是正确理解新定义，注意

(),dPQ与(),dPl的区别.三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16已知直线1l过点(2,2)，直线2l：yx=．（1）若12ll⊥，求直线1l的方程；（2）若直线1l与x轴和直线2l围成的三角形的面积为2，求直线1

l的方程．【答案】（1）40xy+−=（2）2x=或220xy−+=【解析】【分析】（1）由题意，根据垂直关系可求得直线1l斜率1=1k-，结合直线方程的点斜式即得解；的.（2）分直线1l斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线1l

：(22)ykx−=−，用k表示面积，求解即可【小问1详解】设直线1l斜率为1k，直线2l的斜率为2k因为12ll⊥，所以121kk=−又因为2=1k，所以1=1k-又因为直线1l过点(2,2)直线1l的方程为2(1)(2)

yx−=−−，即40xy+−=．【小问2详解】若直线1l斜率不存在，则直线1l：2x=此时，直线1l与x轴和直线2l围成的三角形面积为2，符合题意．若直线1l斜率存在，设直线1l的斜率为(0)kk设直线1l：(22)ykx−=−，与x轴交点为点

A令=0y，解得2=2xk-所以点A坐标为2(2,0)k−直线1l与直线2l的交点为点(2,2)因为直线1l与x轴和直线2l围成的三角形面积为2即1S=2|OA|=22即2|2|=2k−，可求得1=2k则直线1l的方程

为12(2)2yx−=−综上：直线1l方程为2x=或220xy−+=．17.如图所示，在三棱柱111ABCABC−中，1,,CAaCBbCCc===，1=2CACBCC==，12π3ACBACC==，1π2BCC=，点N是棱AB的中

点，点M在棱11CB上，且112CMMB=.的的（1）用,,abc表示向量AM；（2）求AM；（3）求证：1AMAN⊥.【答案】（1）23AMabc=−++（2）2373AM=uuur（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可

；（2）利用数量积的运算律求解模长即可；（3）先利用向量线性运算得1AN1122abc=−+−，然后利用数量积的运算律及定义求得10AMAN=，即可证明.【小问1详解】1123AMCMCACCCMCAabc=−=+−=−++；【小问2详解】2223AMabc=−++441

1148=4+4+42224=93229−−−−，则2373AM=；【小问3详解】1111()()2ANCNCACACBCACC=-=+-+uuuruuuruuuruur

uuruuruuur11122CACBCC=-+-uuruuruuur1122abc=−+−，所以1211()()322AMANabcabc=−++−+−22211111122322323aabacabbbcacbcc=

−−−+++−−22211511+23626abcabacbc=+−−−151112+222222+22036222=−−−−−（）（）0=，所以1AMAN⊥，即1AMAN⊥.18.已知圆22:2440Cxyxy+−+−=，圆221:(3)(1)

4Cxy−+−=及点(3,1)P.（1）判断圆C和圆1C的位置关系，并说明理由；（2）若斜率为k的直线l经过点P且与圆C相切，求直线l的方程.【答案】（1）圆C和圆1C相交，理由见解析（2）1y=或125410xy+−=.【解析】【分析】（1）求出两圆的圆

心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，可得两圆的位置关系.（2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求k，可得圆的切线方程.【小问1详解】圆C方程可整理为：22(1)(2)9xy−++=，则圆心(1,2)C−，半径3r=，由

圆1C方程可知：圆心1(3,1)C，半径12r=，因为221||(13)(21)13CC=−+−−=，15rr+=，11rr−=，所以111||rrCCrr−+，所以圆C和圆1C相交.【小问2详解】当过(3,1)P的直线斜率不存在，即直线为3x=时，其与圆C不相切，所以可设所求切线方

程为：1(3)ykx−=−，即310kxyk−−+=，所以圆心C到切线的距离2|32|31kdk−==+，即2299(32)kk+=−，解得：0k=或125k=−，所以切线方程为：1y=或121(3)5yx−=−−，即1y=或125410xy+−=.19.如图，在长方体1111ABCDABCD

−中，3AB=，12ADAA==，点E在AB上，且1AE=.（1）求直线1BC与直线CE所成角的大小；（2）求直线1BC与平面1AEC所成角的正弦值；（3）若点P在侧面11AABB上，且点P到直线1BB和CD的距离相等，求点P到直线1AD距离的最小值．【答案】（1）60（2）26（3）1【解

析】【分析】（1）以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出直线1BC与直线EC的方向向量运算得解；（2）求出平面1AEC的一个法向量，利用向量法求解；（

3）设出点(2,,),[0,3],[0,2]Pabab挝，可得234ab-=+，利用点到直线距离公式求解.【小问1详解】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图

所示：(0,0,0),(0,3,0),(2,0,0)(2,3,0),DCAB，11(2,1,0),(2,0,2),(0,3,2)EAC,则1(2,0,2),(2,2,0)BCEC=-=-uuuruuur，11141c

os,22222BCECBCECBCEC===，所以直线1BC与直线EC所成角为60.【小问2详解】设平面1AEC的一个法向量为(,,)nxyz=，1(0,1,2),(2,2,0)AEEC=-=-uuuruuur，因为1nAEnEC⊥⊥，所以100nA

EnEC==，即20220yzxy−=−+=，令1z=，则2xy==，所以(2,2,1)n=，设直线1BC与平面1AEC所成角为，则11122212sincos,6223BCnBCnBCn−+====，所以直线1BC与平面1AEC所成角的正弦

值为26.【小问3详解】设(2,,),[0,3],[0,2]Pabab挝，根据题意有234ab-=+，即22(3)4ba=--，1(0,,),(2,0,2)APabAD==-uuuruuur，则点P到1AD的距离22222112()()22ADbdAPAPabAD=−=+−222211=(

3)222abaa=++--223533+=1)1222aaa=--+（，当1a=时，d取得最小值1.所以点P到1AD的距离最小值为1.20.如图，在四棱锥PABCD−中，CD⊥平面PAD，PAD△为等腰三角形，5PAPD==，ADBC∥，22ADCDBC==

=，点,EF分别为棱,PDPB的中点．（1）求证：直线//BD平面AEF；（2）求直线BD到平面AEF的距离；（3）试判断棱PC上是否存在一点G，使平面AEF与平面ADG夹角的余弦值为357，若存在，求出PGPC的值；若不

存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）2147（3）存在，3=4PGPC【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理可求得结果；（2）根据已知条件建立空间直角坐标，确定各点坐标，计算平面的法向量，再根据线面之间

的距离公式可求得结果；（3）假设存在，设(01)PGPC=，根据面面夹角的余弦值列得等式，求出值即可.【小问1详解】连接BD，如图所示：，因为点,EF分别为棱,PDPB的中点，所以EF是PBD△的中位线，所以//EFBD，因为EF平面EFA，B

D平面EFA，所以//BD平面EFA；【小问2详解】由（1）知直线BD到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，取AD中点O，连接,OBOP，因为//,22ADBCADBC==，所以四边形OBCD为平行四边形，所以//OBDC，因为CD⊥平面PAD，所

以OB⊥平面PAD，所以,OBADOBOP^^，因为,PAPDO=为AD中点，所以POAD⊥，，以O为坐标原点，分别以,,OAOBOP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：(0,0,0),(1,0,0)(0,2,0),(1,0,0)OABD，-，1(0,0,

2),(1,2,0),(,0,1),(0,1,1)2PCEF--设平面AEF的一个法向量为(,,)nxyz=，因为nAEnEF⊥⊥，所以00nAEnEF==，所以302102xzxy−+=+=，设=2x，则1,3yz=−=

所以(2,1,3)n=-r，(1,2,0)AB=−，所以直线BD到平面AEF的距离-2-2214=714ABndn==；【小问3详解】棱PC上存在点G，使平面AEF与平面ADG夹角的余弦值为357设(01)PGPC=(2,0,0),

(1,0,2),(1,2,2)ADAPPC=-=-=--uuuruuuruuur(1,0,2)(1,2,2)(1,2,22)AGAPPG=+=−+−−=−−−设平面ADG的一个法向量为(,,)mxyz=因为

mADmAG⊥⊥，所以00mADmAG==，201)2(22)0xxyz−=−−++−=（，设z=，则1,1xy=−=−，所以(0,1,)n=−，22(1335cos,72(1)9

nmnmnm−−+===−+），解得3=[0,1]4，所以3=4PGPC.21.已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点(2,2)A−.（1）求圆M的标准方程；（2）设点(0,1)D，过点D作直线1l，交圆M于P，Q两点（P

，Q不在y轴上），过点D作与直线1l垂直的直线2l，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值.【答案】（1）22(2)4xy+−=（2）7【解析】【分析】（1）设圆心坐标为(0,)Mb，根据半径列式求出b

，即可求得答案；（2）讨论直线斜率是否存在，存在时，结合点到直线的距离公式、圆的弦长以及直线的垂直关系求出四边形EPFQ的面积的表达式，利用基本不等式即可求得答案.【小问1详解】因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为(0,)Mb，又因为半径为2，且经过点(2,2)A

−，所以22||(2)(2)2AMb=−+−=，解得：2b=，所以圆M的标准方程为：22(2)4xy+−=.【小问2详解】直线1l的斜率存在，设直线1l的方程1ykx=+，即10kxy−+=，则圆心(0,2)到直线1l的距离122|21|111dkk−+==++，所以222143||242

11kPQkk+=−=++，若0k=，则直线2l斜率不存在，则||23,||4PQEF==，则1||||432SEFPQ==，若0k，则直线2l得方程为11yxk=−+，即0xkyk+−=，则圆心(0,2)到

直线2l的距离221kdk=+，所以222234||24211kkEFkk+=−=++，则2222222221(43)(34)12(1)||||222(1)(1)kkkkSEFPQkk++++===++22222221121221221271(1)1222kkkkkk

=+=++=++++,当且仅当221kk=，即1k=时取等号，综上所述，因为74943=，所以S的最大值为7.【点睛】关键点睛：本题是关于圆内四边形的面积的最值计算问题，解答的关键在于结合直线的

垂直求出四边形的面积表达式，进而利用基本不等式求解最值.