【文档说明】北京市门头沟区大峪中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，3.188 MB，由小赞的店铺上传

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大峪中学2023—2024第二学期高二年级数学学科开学测试卷（满分：150分时间：120分钟命题人：高二数学集备组）一、选择题（本大题共10小题，每题4分）1.已知直线l经过(1,0)A−，()0,3

B两点，则直线l的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得直线l的斜率为3k=，进而求得直线的倾斜角，得到答案.【详解】由直线l经过(1,0)A−，()0,3B两点，可得直线l的斜率为3030(1)k−==−−，设直

线l的倾斜角为(0180)，可得tan3=，所以60=.故选：B.2.两条直线1:240lxy−−=与2:210lxy−+=之间的距离是（）A.5B.1C.5D.355【答案】C【解析】【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果

.【详解】由两平行线之间的距离公式可得()2214512d+==+−.故选：C3.51+xx的展开式中，x的系数为（）A.1B.5C.10D.20【答案】C【解析】【分析】由二项展开式的通项计算即可得.【详解】二项展开式的通项为5

521551CCkkkkkkTxxx−−+==，令521−=k，即2k=，有25235C10Txx−==，故x系数为10.故选：C.4.已知椭圆22137xymm+=−−的焦点在x轴上，则m的取值范围是（）A.37mB.35

mC.57mD.3m【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解.【详解】由椭圆22137xymm+=−−的焦点在x轴上，则满足307037mmmm−−−−，解得57m.故选：C.5.如图，在四面体OABC中，OA

a=，OBb=，OCc=.点M在OC上，且12OMMC=，N为AB的中点，则MN=（）A.111223abc−−+B.111223abc−−−C.111223abc++D.111223abc+−【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性

运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】由题意可知，()111222ONOAOBab=+=+，1133OMOCc==，所以111223MNONOMabc=−=+−.故选：D.的6.已知椭圆22

:194xyC+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆C上.若1290FPF=，则12FPF△的面积为（）A.2B.4C.8D.9【答案】B【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到126PFPF+=，再由勾股定理得221220PFPF+=，联立方

程组，求得128PFPF=，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，椭圆22:194xyC+=，可得3,2ab==，则225cab=−=，因为点P在椭圆C上，可得126PFPF+=，又由1290FPF=，可得22221212(25)20PFPFFF+===

,联立方程组122212620PFPFPFPF+=+=，可得128PFPF=，所以12FPF△的面积为12142SPFPF==.故选：B.7.已知点()1,0A−，()10B,．若直线2ykx=−上存在点P，使得90APB=，则实数k的取值范

围是（）A.(,3−−B.)3,+C.3,3−D.(),33,−−+【答案】D【解析】【分析】将问题化为直线2ykx=−与圆221xy+=有交点，注意直线所过定点(0,2)−与圆的位置关系

，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点(0,2)−的直线2ykx=−与圆221xy+=有交点，又(0,2)−在圆外，所以只需2211k+，可得k(),33,−−+.故选：D8.已知点P在由直线3yx=+，5y=和=1x−所

围成的区域内（含边界）运动，点Q在x轴上运动.设点(4,1)T，则QPQT+的最小值为（）A.30B.42C.34D.210【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，再确定出使QPQT+的位置.然后求出值即可【详解】由直

线3yx=+，5y=和=1x−围成ABC,如图所示，点P在ABC内（含边界）运动，Q在x轴上运动，作点()4,1T关于x轴的对称点()4,1T−，则QPQTQPQT+=+，QPQT+的最小值为()4,1

T−到直线3yx=+的距离，即8422=.故选：B.9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱11AD的中点，F为棱1AA上一动点.给出下列四个结论：①存在点F，使得//EF平面1ABC；②直线

EF与1BC所成角的最大值为π2；③点1A到平面1ABC的距离为2；④点1A到直线1AC的距离为263.其中所有正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由线面平行的判定定理验证选项A；几何法处理异面直线所成的角验证选项B；等体积法求点到平面的距离验证选项C；等面积法求

点到直线的距离验证选项D.【详解】连接1111,,DAABAC，如图所示正方体中有11//ABDC，11ABDC=，则四边形11ABCD为平行四边形，有11//DACB，E为棱11AD的中点，当F为棱1AA的中点时，有1//EFDA，则1//EFCB，EF平面1ABC

，1CB平面1ABC，所以此时//EF平面1ABC，结论①正确；直线EF与1BC所成角，即直线EF与1AD所成的角，由图形可知，直线EF与1AD不可能垂直，结论②错误；正方体中1AA⊥平面1111DCB

A，11AC平面1111DCBA，111AAAC⊥，1122AC=，同理，1ABBC⊥，122BC=，123AC=设点1A到平面1ABC的距离为d，由1111AABCCABAVV−−=，有11111133ABCABASdSCB=，即111

11113232ABBCdABAACB=，解得2d=，结论③正确；设点1A到直线1AC的距离为d，11RtAAC△中，111122223'AAACACdd==，解得263d=，结论④正

确.正确结论有3个.故选：C10.已知双曲线Q与椭圆22:12521xyE+=有公共焦点，且左、右焦点分别为1F，2F，这两条曲线在第一象限的交点为P，12PFF△是以1PF为底边的等腰三角形，则双曲线Q的标准方程为（）A.2213xy−=B.22

195xy−=C.2213yx−=D.2213xy−=【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的和双曲线的定义结合焦点三角形的性质求解即可.【详解】设双曲线Q的方程为222211:1xyQab+=，在椭圆22:12521xyE+=中2222225,21,4abcab=

==−=，则5,2ac==，因为12PFF△是以1PF为底边的等腰三角形，所以21224PFFFc===，由椭圆的定义可知，12210PFPFa+==，所以16PF=，再由双曲线的定义可得1212642PFPFa−==−=，

所以11a=，因为双曲线Q与椭圆22:12521xyE+=有公共焦点，所以2211112,413cbca==−=−=，故双曲线Q的标准方程为2213yx−=.故选：C.二、填空题（本大题共5小题，每题5分）11.若直线2

(1)0xaya+−+=与直线20axy++=垂直，则a的值为___．【答案】1−【解析】【分析】由两直线垂直的条件求解.【详解】结合题意：由两直线垂直可得：()2110,aa+−=解得：1a=−.故答案为：1−.12.已知圆2222212:(1)1,:(3)(0)CxyCxyrr+−=

−+=．则圆1C的圆心坐标为___；若圆1C与圆2C内切，则r=___．【答案】①()0,1②.3【解析】【分析】第一空：由圆标准方程即可得出圆心坐标.第二空：由几何关系表示出内切即可.【详解】22(1)1xy+−

=圆心为()0,1，半径11r=；222(3)xyr−+=圆心为()3,0，半径r；设两圆的圆心距为d，则()()2203102d=−+−=由几何关系知两圆内切1213rdr=+=+=..故答案为：()0,1；3.13.如图，在正方体1111ABCDABCD−

中，直线1AB与直线11DC所成角的大小为___；平面ABCD与平面1ACB夹角的余弦值为___．【答案】①.45##π4②.33【解析】【分析】根据线线角、面面角等知识求得正确答案.【详解】由于11//ABDC，所以1BAB是异面直线1AB与

直线11DC所成角或其补角，而四边形11ABBA是正方形，所以145BAB=.连接BD交AC于O，则ACBD⊥，连接1OB，由于11ABBC=，O是AC的中点，所以1OBAC⊥，所以1BOB是平面ABCD与平面1ACB夹角，设正方体的边长为2，则()22112,2,22

6BBOBOB===+=，所以在直角三角形1OBB中，123cos36BOB==.故答案为：45；3314.已知直线123:310,:50,:30lxylxylxay−+=+−=−−=，则1l与2l的交点坐

标为_____________；若直线123,,lll不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值________________．【答案】①.(1,4)②.答案不唯一（只需写出111,,23−−中的一个即可）【解析】【分析】联立方程组解得交

点坐标；列出直线123,,lll不能围成三角形的条件，分别解出a即可.【详解】解方程组31050xyxy−+=+−=，得14xy==，所以1l与2l的交点坐标为()1,4；由30xay−−=得，直线3l恒过定点()

3,0；若直线123,,lll不能围成三角形，只需3l经过()1,4，或1l与3l平行，或2l与3l平行.当3l经过()1,4时，图1所示，1430a−−=，12a=−；当1l与3l平行时，图2所示，31a−=−，13a=；当2l与3l平行时，图3所示，1

a−=，1a=−.故答案为：()1,4；1−或12−或13（只需写出111,,23−−中的一个即可）.图1图2图315.已知曲线212:Wxym+=，()422:0Wxymm+=，给出下列四个命题：①曲线1W关于x轴、y

轴和原点对称；②当1m=时，曲线1W，2W共有四个交点；③当2m=时，曲线2W围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3；④当01m时，曲线1W围成的区域面积大于曲线2W围成的区域面积.其中所有真命题的序号是______.【答案】①②③【解析】【

分析】分别将(,)xy−、(,)xy−、(,)xy−−代入曲线方程验证，可判断①；解方程求出曲线的交点坐标可判断②；求出曲线422:2Wxy+=上任一点(,)xy到原点的距离的表达式，结合二次函数性质，求得其最大值，结合曲线对称性，可判断③；比较曲线1W和曲线2W上任一点到原点距离的大小

情况，结合对称性即可判断④.【详解】对于①，设(,)xy在212:Wxym+=上，将(,)xy−代入22xym+=中，得2222()xyxym+−=+=，即点(,)xy−在212:Wxym+=上，同理将(,)xy−代入22xym+=中，得2222()xyxy

m−+=+=，即点(,)xy−在212:Wxym+=上，将(,)xy−−代入22xym+=中，得2222()()xyxym−+−=+=，即点(,)xy−−在212:Wxym+=上，综合上述可知曲线1W关于x轴、y轴和原点对称，①正确；对于

②，当1m=时，曲线2211:Wxy+=，422:1Wxy+=，联立可得412:0Wxx−=，解得0x=，或1x=，当0x=时，对于221xy+=，421xy+=，均有1y=，即1W，2W有交点(0,1),(0,1)−；当1x=时，对于221xy+=，421xy+

=，均有0y=，即1W，2W有交点()()1,0,1,0−，故曲线1W，2W共有四个交点，②正确；对于③，当2m=时，422:2Wxy+=，则242yx=−，由2402yx=−，得202x＃，则曲线422:2Wxy+=上任一点(,)xy到原点的距离为22221924dxyx=+=−−+

当212x=时，d取到最大值32，结合曲线422:2Wxy+=的对称性可知曲线2W围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3，③正确；对于④，当01m时，曲线1W围成的区域面积为以原点为圆心，半径为m的圆的面积；对于42

2:Wxym+=，则24ymx=−，由240ymx=−，得20xm，曲线422:Wxym+=上任一点(,)xy到原点的距离为22221124dxyxm=+=−−++，由于01m，20xm，故20x=时，221124xm

−−++取最小值m，即dm恒成立，由此可知曲线2W围成的区域面积.大于曲线1W围成的区域面积，④错误，故答案为：①②③【点睛】难点点睛：本题考查曲线的性质以及应用，解答的关键为③④的判断，解答时要求出曲线上任意一点到原点距离

的表达式，确定变量范围，结合曲线的对称性以及二次函数性质，即可解答.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC的三个顶点分别为(1,3),(3,1),(1,0)ABC−．（1）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程；（

2）求AB边上的高线的长．【答案】（1）2320xy−+=（2）522【解析】【分析】（1）由中点坐标公式可得线段AB的中点为M的坐标，再根据点斜式即得中线CM所在直线的方程；（2）由题意可得直线AB的斜率，由直线的点斜式可得方程40xy+−=，然后由点C到直线AB

的距离公式代入可求得AB边上的高线的长.【小问1详解】设M的坐标为00(,)xy，则01322x+==，03122y+==，即(2,2)M，所以2022(1)3MCk−==−−，则中线CM所在直线方程为

2(1)3yx=+，即2320xy−+=．【小问2详解】由题意得13131ABk-==--．则直线AB的方程为31(1)yx−=−−，即40xy+−=ABC中，AB边上的高线的长就是点C到直线AB的距离|104|5222h−+−==．17.已知直线:2l

yx=−+与抛物线2:8Cyx=相交于,AB两点．（1）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）求弦长AB．【答案】（1）焦点坐标为(2,0)，准线方程为2x=−（2）16【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程即可；（2）直线与抛物线方程联立，根据

弦长公式求得弦长.【小问1详解】由抛物线C的方程可知4p=，抛物线开口向右，所以抛物线C的焦点坐标为(2,0)，准线方程为2x=−．【小问2详解】将2yx=−+代入28yx=，整理得21240xx−+=．设1122(,),(,)AxyBxy，则121212,4xxxx+==，所以221

2122()42124416ABxxxx=+−=−=.18.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，ADEV是等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD，EFAB∥，1,2EFAB==，O是AD的中点．（

1）求证：EO⊥平面ABCD；（2）求直线AB与平面BCF所成角大小；（3）求三棱锥EBCF−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）π3（3）33【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理来证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，然后利用向量发求线面角；的（3）先利用

向量法求点到面的距离，然后利用体积公式求解棱锥体积.【小问1详解】因为ADEV是等边三角形，O是AD的中点，所以⊥EOAD．EO平面ADE，又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD=，所以EO⊥平面ABCD；小问2详解】记BC的中点为Q，易知,,EOOAOQ两两互

相垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−．则(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,0,3),(0,1,3)ABCEF−，所以(2,0,0),(1,1,3),(0,2,0)CBBFAB==−−=，设平面BCF的一个法向量为(),,nx

yz=，则20,30.nCBxnBFxyz===−−+=令1z=，此时(0,3,1)n=．设直线AB与平面BCF所成角为，则0023013sincos,=2203+1ABnABnABn++===+

所以直线AB与平面BCF所成角为π3；【小问3详解】设点E到平面BCF的距离为h，()0,1,0EF=，则EFnhn=0013013=2031++=++．【由平面几何知识，易知在直角梯形EFQO中22(3)12QF=+=，所以1111133223323223EBCFBCFV

ShBCFQh−====．19.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的一个焦点为(20)，，一个顶点为(0,2)．（1）求椭圆C方程和离心率；（2）已知直线l与椭圆C相切于点M，直线l交y轴于点N，O为坐标原点，||||OMON=，求OMN的面积．【答案】（1）22

162xy+=；63（2）3【解析】【分析】（1）由焦点和顶点坐标得椭圆的方程及离心率；（2）设直线方程为+ykxm=，代入椭圆方程，得切点M的坐标，由||||OMON=得213k=，24m=，求OMN的面积.【小问1详解】由题意可得2c=，2b=，所以2226abc=+=，所以椭圆C的

方程为22162xy+=，离心率2636cea===．【小问2详解】的易知直线l斜率存在，设直线l的方程为+ykxm=，代入椭圆方程22162xy+=，整理得222(13)6360kxkmxm+++−=，因为直线l与椭圆C有唯一交点M，所以222(6)4(13)(36)0

kmkm=−+−=，得22620mk−−=，设00(,)Mxy，则026213kmxk=−+，所以02313kmxk=−+，2002231313kmmykxmmkk=+=−+=++，因为||||OMON=，所以222223()()1313kmmm

kk−+=++，整理得213k=，所以22624mk=+=，所以202334113133122132133OMNkmSONxk====++．【点睛】关键点睛：由直线l交y轴于点N，考虑OMN面积表示为01||||2ONx，再由直线与椭圆相切，可知方程222(13)

6360kxkmxm+++−=只有一个实数解，可得026213kmxk=−+，易得点M坐标.20.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，190,2,,ABCABBCBBEF====分别为11,ABBC的中点.（1）求证：EF平面11ACCA；（2）若点P是棱1BB上一点，且直线AP与

平面BEF所成角的正弦值为15，求线段BP的长.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）通过取BC的中点H构建平面//EHF平面11ACCA即得；（2）由题设易于建系，运用空间向量的夹角公式表示出直线AP与平面BEF所成角的

正弦值，解方程即得.【小问1详解】如图，取线段BC的中点H，连接,FHEH,因,EF分别为11,ABBC的中点,故有1//,//EHACFHCC,又因为1,ACCC平面11ACCA，,EHFH平面11ACCA,故//EH平面11ACCA，//FH平面11ACCA，又EHFHH=,则平

面//EHF平面11ACCA,因EF平面EHF，则EF平面11ACCA.【小问2详解】如图，分别以1,,BCBABB为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz−.则1(0,2,0),(0,0,0),(0,0,2),(0,1,0),(1,0,2

)ABBEF,设点1(0,0,),PzBPBB=,则01≤≤，代入坐标得：(0,0,)(0,0,2)z=，即(0,0,2)P，于是(0,2,2)AP=−,(0,1,0),(1,1,2)EBEF=−=−,设平面BEF的法向量为(,,)nabc=，则有0,20nEBbnEF

abc=−==−+=故可取(2,0,1)n=−，依题意得，221|cos,|||5521nAP==+，解得：12=，即线段BP的长为1.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，左､右顶点分别

为,AB，23,23AFBF=+=−.（1）求椭圆C的方程；（2）设O是坐标原点，,MN是椭圆C上不同的两点，且关于x轴对称，,EG分别为线段,OMMB的中点，直线AE与椭圆C交于另一点D.证明：,,DGN三点共线.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解

析】【分析】（1）由题意得23,23AFacBFac=+=+=−=−，结合平方关系即可得解.（2）由题意不妨设()()()()(),,,,2,0,2,0,0,0MmnNmnABO−−，则2,,2222mnmnEG+

，，将直线AE的方程()2222nyxm=++，与椭圆方程联立，结合韦达定理得点D坐标，要证,,DGN三点共线，只需证明NGNDkk=即可，在化简时注意利用2244nm=−，由此即可顺利得证.【小问1详解】由题意23,23AFacBFac=+=+=−=−，所以2,3,431ac

b===−=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】由题意不妨设()()()()(),,,,2,0,2,0,0,0MmnNmnABO−−，其中()221,24mnm+=，即2244nm=−，则2,,2222mnmnEG+

，，且直线AE的方程为()2222nyxm=++，将其与椭圆方程2214xy+=联立得()221424xynyxm+==++，消去y并化简整理得()()()222222241616140444nnnxxmmm++

+−=+++，由韦达定理有()()()()2222222216441644244414ADDnmnmxxxnnmm−+−+=−==++++，所以()()222282444Dnmxnm−++=++，()()()()()22

22228244422444444DDnmnmnnyxmmnmnm−+++=+=+=++++++，即点()()()()22222282444,4444nmnmDnmnm−+++++

++，而332212NGnnkmm==−−，()()()()()()()()222322222222444444448248244444NDnmnnmnmnmnknmnmmmnmmnm++++++++==−++−++−+−−++()()()()()()()()()()22

2244444123342322442NGnmnmnmnmnkmmmmmmm++++−+====−+−−+−−+，所以,,DGN三点共线.