【文档说明】【精准解析】湖南师大附中2020届高三下学期第六次月考数学（理）试题.pdf，共(23)页，356.749 KB，由小赞的店铺上传

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-1-湖南师大附中2020届高三第七次月考（理科）数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合xA{y|y2,xR}，B{x

|y1x,xR}，则AB()A.1B.0,C.0,1D.0,1【答案】D【解析】【分析】化简集合,AB，根据交集的定义计算AB．【详解】因为集合|2,0,xAyyxR，化简|1,1BxyxxR，，所以

0,1AB，故选D．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合．2.复数1zii（i为虚数

单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数除法求出z，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析：1111111222iiiiziiii

，1122zi，-2-对应点为11(,)22，在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．3.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所

得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中

，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【答案】D【解析】【详解】对于A，并无周期变化，故A错，

对于B，并不是不断减弱，中间有增强．故B错，对于C，10月份的波动大小大于11月份，所以方差要大．故C错，对于D，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．故D正确，故选

：D．4.已知函数1fxxaxb为偶函数，且在()0,+¥上单调递减，则30fx的解集为（）-3-A.2,4B.,24,C.1,1D.,11,【答案】B【

解析】【分析】根据2fxaxbaxb为偶函数，可得0ba，从而得到2fxaxa，再根据fx在0,上单调递减，得到0a，然后用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为2fxaxbaxb

为偶函数，所以0ba，即ba，∴2fxaxa，因为fx在0,上单调递减，所以0a，∴2330fxaxa，可化为2310x，即2680xx，

解得2x或4x.故选：B.【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则()A.ABCB.2BAC

C.2ABCBD.22ABABC【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个n项和，第二个n项和，第三个n项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n项和，第二个n项和，-4-第三个n项和仍然构成等比数列，则有,,ABACB

构成等比数列，2BAACB，即222BABAACAB，22ABABC，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前n项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.6.将函数2n2)3(sifxx图像上的每一个点的

横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12个单位得到数学函数()gx的图像，在()gx图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A.24xB.4xC.524xD.12x【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得24

3ysinx，根据放缩变换可得函数gx的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数223fxsinx的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到243ysinx，再将所得图象向左平移12

个单位得到函数gx的图象，即224241233gxsinxsinx，由24,32xkkZ，得1,424xkkZ，-5-当0k时，离原点最近的对称轴方程为24x

，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数sin()yAx可求得函数的周期为2；由2xk可得对称轴方程；由xk可得对称中心横坐标.7.如图正方体1111

ABCDABCD，点M为线段1BB的中点，现用一个过点,,MCD的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何

体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何

体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图-6-画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.如图在圆O中，AB，CD是圆O

互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.1B.12C.1142D.112【答案】D【解析】【分析】先设出圆O的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆O的面积，最后利用几何概型

公式求出概率.【详解】设圆O的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S,则2112111424S，圆O的面积为224，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是P，则824114

42SP,故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力.9.已知双曲线222210,0xyabab与函数0yxx的图象交于点P，若函数yx的图象在点P处

的切线过双曲线左焦点4,0F，则双曲线的离心率是（）A.1744B.1734C.1724D.1714【答案】D【解析】-7-【分析】设P的坐标为,mm，用导数表示P点处切线斜率，再由,PF两点坐标表示斜率，由此可求得m，即P点坐标，写出左焦点坐标

，由双曲线定义求得a，从而可得离心率．【详解】解析：设P的坐标为,mm，由左焦点4,0F，函数的导数1'()2fxx，则在P处的切线斜率1'()42mkfmmm，即42mm，得4m则4,2P，设右焦点为4,0A，则264404217

1aPFPA，即171a，4c双曲线的离心率1714cea．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查导数的几何意义．考查双曲线的定义．解题关键是把切线的斜率用两种方法表示，从而可求得结论．10.设锐角三角形ABC的内角A，B，C所

对的边分别为a，b，c，若2a，2BA，则b的取值范围为（）A.0,4B.2,23C.22,23D.22,4【答案】C【解析】【分析】由锐角三角形的性质，先求出的范围，结合正弦定理进行转化求解即可【详解】解：在锐角三角形中，022A

，即04A，且3BAA，则32A，即63A，综上64A，则23cos22A，因为2a=，2BA，-8-所以由正弦定理得sinsin2sincosabbABAA，得4cosbA

，因为23cos22A，所以224cos23A，所以2223b，所以b的取值范围为(22,23)故选：C【点睛】此题考查三角函数的性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决此题的关键，属于中档题.11.已知正方体1111A

BCDABCD的棱长为1，在对角线1AD上取点M，在1CD上取点N，使得线段MN平行于对角面11AACC，则||MN的最小值为（）A.1B.2C.22D.33【答案】D【解析】【分析】作1MMAD，垂足为1M，作1NNCD，垂足为1N，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性

质定理、线面平行的性质定理可以得出11///MNAC，设11DMDNx，由此可以求出||MN的最小值.【详解】作1MMAD，垂足为1M，作1NNCD，垂足为1N，如下图所示：-9-在正方体1111ABCDABCD中，根据面面垂直的性质定理，可

得11,MMNN,都垂直于平面ABCD，由线面垂直的性质，可知11MMNN，易知：1111//MMANNACC平面，由面面平行的性质定理可知：11//MNAC，设11DMDNx，在直角梯形11MMNN中，222211(2)(

12)633MNxxx，当13x时，||MN的最小值为33，故本题选D.【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键

.12.已知函数fx在R上都存在导函数fx，对于任意的实数都有2()e()xfxfx，当0x时，()()0fxfx，若e(21)(1)afafa，则实数a的取值范围是()A.20,3

B.2,03C.[0,)D.(,0]【答案】B【解析】【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令()()xgxefx，则当0x时，()[()()]0xgxefxfx，又()()()(

)xxgxefxefxgx，所以()gx为偶函数，-10-从而211aefafa等价于211(21)(1),(21)(1)aaefaefagaga，因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3gagaaaaaa

选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.5212xx展开式中的6x的

系数为_______【答案】30【解析】【分析】利用组合知识，5个212xx相乘，其中含6x的项，可以5个括号中3个取22x，剩余2个取1，也可以2个取22x剩余的3个括号中选2个取x，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取22x，剩余4个取x，这3项的系数和即为所求.【

详解】利用组合知识，含6x的项可以分3种情况取得，第一种取3个22x，剩余两个取1，即3235(2)Cx.第二种选2个括号提供22x，剩余的3个括号中选2个取x，剩余1个取1，即2222253(2)CxCx，第三种5个括号选一个取22x，剩余4个

取x，即124454(2)CxCx，合并同类项，系数为80+1201030，故填30.【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题.14.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有_

_____种不同的分法（用数字作答）.【答案】240【解析】【分析】先求出甲、乙连号的情况，然后再将剩余的4张票分给其余4个人即可．【详解】甲、乙分得的门票连号，共有2255210A种情况，其余四人没人分得1

张门票，共有4424A种情况，-11-所以共有1024240种．故答案为240．【点睛】本题考查两个原理的应用和排列数的计算，考查应用所学知识解决问题的能力，属于基础题．15.考虑函数xye与函数lnyx的图象关系，计算：21lnexdx____________.【答案】2

1e【解析】【分析】分别作出ln,,xyxyeyx的图象，利用函数lnyx与函数xye的图象，关于直线yx对称，得到22210lneeexxdxdx求解.【详解】如图所示，由于函数lnyx与xye互为反函数，两个函数的图象关于直线yx对

称，结合图象可知，图中两个阴影部分区域的面积相等，所以，222222010lneeeee1exxxdxdxx．故答案为：21e【点睛】本题主要考查定积分的计算，还考查了数形结合，转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.已知()fn表示正整数n的所有因数中最大

的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则123f；21的因数有1，3，7，21，则2121f，那么-12-10050511iififi_________.【答案】1656【解析】【分析】根据()fn的定义求出()fi，1,2,,100i，然

后再求值．【详解】解析：fn表示正整数n的所有因数中最大的奇数，2fnfn，且n为奇数时，()fnn，其中1,100n；maxmin9999,6424816321fnf

fnffffff那么10051()515253...100ififfff51135327557572959156131631653367176935719733

775197739795814183218543871189459123934795397495019999251357911...9925002

那么5011131537195113ifi1371511791952111233251327729153113317359371939541214311

45234734925135...2931...495121514182213151719212325251492198442-

13-那么10050511()()25008441656iififi．故答案为：1656．【点睛】本题考查新函数的定义，理解新函数的定义是解题关键．解题时按新函数定义计算即可．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.ABC中，,,abc分别是内角,,ABC所对的边，且满足2sin4abC.（1）求角B

；（2）求2sinsinAC的取值范围.【答案】（1）4B；（2）2,12.【解析】【分析】（1）由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得cosBsinC＝sinCsinB，结合sinC≠0，可求cosB＝sinB

，结合范围0＜B＜π，可求B的值；（2）由B4，利用三角函数恒等变换的应用可求2sinA﹣sinC＝cosC，由范围0＜C34＜，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．【详解】（1）由正弦定理得：sinsincossinsinABCCB

因为：sinsinsincoscossinABCBCBC故cossinsinBCCsinB因为sin0C，所以cossinBB因为0B，所以4B（2）因为4B，所以2sinsinyAC32sinsincos4CCC-14-又因

为304C，且cosyC在30,4上单调递减，所以2sinsinyAC的取值范围是2,12.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦函数的图象和性质在解

三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，且DABDBF60．1求证：AC平面BDEF；2求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析.(2)15

5.【解析】【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由菱形的性质可得ACBD，由等腰三角形的性质可得ACFO，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO平面ABCD.可得OA，OB，OF两两垂直，以OA，OB，OF建立空间直角坐标系Oxyz，求出3

,1,0AD，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，∵四边形ABCD为菱形，∴ACBD，且O为AC中点，∵FAFC，∴ACFO，又FOBDO，∴AC平

面BDEF.-15-（2）连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且60DBF，∴DBF为等边三角形，∵O为BD中点，∴FOBD，又ACFO，∴FO平面ABCD.∵OA，OB，OF两两垂直，∴建立

空间直角坐标系Oxyz，如图所示，设2AB，∵四边形ABCD为菱形，60DAB，∴2BD，23AC.∵DBF为等边三角形，∴3OF.∴3,0,0A，0,1,0B，0,1,0D，0,0

,3F，∴3,1,0AD，3,0,3AF，3,1,0AB.设平面ABF的法向量为,,nxyz，则·330·30AFnxzABnxy，取1x，得1,3,1n.设直线AD与平面ABF所成

角为，则·15sincos,5·ADnADnADn.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观

察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线216yx，过抛物线焦点

F的直线l分别交抛物线与圆22(4)16xy于,,,ACDB（自上而下顺次）四点.（1）求证：||||ACBD为定值；-16-（2）求||||ABAF的最小值.【答案】(1)见证明；(2)108【解析】【分析】（1）设直线l的方程为4xmy,1122(,),(,)AxyBxy，联

立抛物线可得1216yym，1264yy，结合抛物线定义可得112||4,||42pAFxxBFx,故12||||ACBDxx化为纵坐标即可证出.（2）根据12||||||8ABAF

BFxx，1||4AFx，1216xx,化211164||||1248ABAFxxx，利用导数求最小值即可.【详解】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l的方程为4xmy，1122(,),(,)

AxyBxy联立直线和抛物线方程2164yxxmy，消x可得216640ymy，所以1216yym，1264yy，由抛物线的定义可知，112||4,||42pAFxxBFx，又||||4,

||||4ACAFBDBF，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616yyACBDAFBFxx，所以||||ACBD为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8ABAFBFxx，1||4

AFx，212111212||||(8)(4)12432ABAFxxxxxxxx，由1216xx，可得2116xx，-17-所以211164||||1248ABAFxxx（其中1>0x），令264()1248fxxxx

，222642(2)(4)()212xxfxxxx，当(0,2)x时，()0fx，函数单调递减，当(2,)x时，()0fx，函数单调递增，所以()(2)108fxf.所以||||ABAF的最小值为108.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直

线与抛物线的位置关系，利用导数求函数最值，定值问题，属于难题.解决此类性问题，一般要联立方程组，根据根与系数的关系得到两个交点坐标之间的关系，特别注意涉及抛物线时，要主动考虑抛物线定义的使用.20.某保险

公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表

（并以此估计赔付概率）：工种类别ABC赔付频率511052104110已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元.（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；（

2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负

责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.-18-【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)方案2．【解析】【分析】（1）分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，

从而可得出保险公司的总利润期望；（2）分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论．【详解】解：（1）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为：X2525﹣100×104P511105110Y2525﹣100×104P52110521

0Z4040﹣50×104P141104110∴E（X）＝25×（15110）+（25﹣100×104）511015，E（Y）＝25×（152110）+（25﹣100×104）52105，E（Z）＝40×（14110）+（40﹣50×104）411010，保险公

司的利润的期望值为12000×15+6000×5﹣2000×10﹣100000＝90000，∴保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：12000×100×10451106000×100×104

52102000×50×104411012×104＝46×104，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：（12000×25+6000×25+2000×40）×0.7＝37.1×104，-19-46×104＞37.1×104，建议企业选择方案2．21.已知函数()||ln(0

)fxxaxa.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）比较222222ln2ln3ln23nn与(1)(21)2(1)nnn的大小nN且2n，并证明你的结论.【答案】（I）见解析；（II）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）运用零点法，把函数()fx的解析式进行分段表示，

然后利用导数，判断每段函数的单调性；（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知当1a，1x时，1ln0xx，即ln1xx，所以ln11xxx.这样222222ln2ln3ln23nn22211111123n222111123nn，注

意到211(2,)(1)nnNnnn，最后可以得出：222222ln2ln3ln(1)(21)232(1)nnnnn.【详解】（Ⅰ）函数()fx可化为ln,()ln,0xxaxafxaxxxa，当0xa时，1()10fxx，从而(

)fx在(0,)a上总是递减的，当xa≥时，11()1xfxxx，此时要考虑a与1的大小.若1a，则()0fx，故()fx在[,)a上递增，若01a，则当1ax时，()0fx，当1x时，()0fx，故()fx在[,1)a上递减

，在(1,)上递增，而()fx在xa处连续，所以当1a时，()fx在(0,)a上递减，在[,)a上递增；-20-当01a时，()fx在(0,1)上递减，在[1,)上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a，1x时，1ln0xx，即ln1xx，所以ln1

1xxx.所以222222ln2ln3ln23nn22211111123n222111123nn11112334(1)nnn11121nn1(1)2(1)n

nn2221(1)(21)2(1)2(1)nnnnnn.【点睛】本题考查了利用导数研究分段函数的单调性，利用数列与函数的关系，判断数列的和求代数式之间的大小关系，放缩法是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任

选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为6cossinxy（是参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方

程为sin24.（1）求直线l与曲线C的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线l与y轴的交点为,QM是曲线C上的动点，求点,MQ的最大距离.【答案】（1）2216xy，2yx，直线l的倾斜角为4（2）3305【解析】

【分析】（1）由公式22sincos1消去参数得普通方程，由公式cossinxy可得直角坐标方程后可得倾斜角；-21-（2）求出直线l与y轴交点Q，用参数表示M点坐标，求出MQ，利用三角函数的性质可得最大值．

【详解】（1）由6cos,sin,xy，消去得C的普通方程是：2216xy由sin24，得sincos2，将cossinxy

代入上式，化简得2yx直线l的倾斜角为4（2）在曲线C上任取一点6cos,sinM，直线l与y轴的交点Q的坐标为0,2则2226cos02sin5sin4sin10MQ当且仅当2sin5时，MQ取最大值3305.【点睛】本题考查参数方

程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数241fxxx，xR．（1）解不等式9fx；（2）若方程2fxxa在区间0,2有解，求实

数a的取值范围．【答案】（1）2,4（2）19,74【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数ya和函数25yxx图

象在区间0,2上有交点，-22-结合二次函数的性质分析函数25yxx的值域，即可得答案．【详解】解：（1）9fx可化为2419xx，故2339xx，或1259xx，或1339xx

；解得：24x，或12x，或21x；不等式的解集为2,4；（2）由题意：225fxxaaxx，0,2x．故方程2fxxa在区间0,2有解函数ya和函数25yxx，图像在区间0,2上有交点当0

,2x时，2195,74yxx实数a的取值范围是19,74.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．-23-