【文档说明】高中数学人教版必修2教案：3.2.1直线的点斜式方程 （系列二）含答案【高考】.doc，共(12)页，1.971 MB，由小赞的店铺上传

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13.2.1直线的点斜式方程●三维目标1．知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围．(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程．(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．2．过程与方法(1)在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的

基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程．(2)学生通过对比，理解“截距”与“距离”的区别．3．情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题．●重点难点重点

：直线的点斜式方程和斜截式方程．难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用．重难点突破：以“直角坐标系内确定一条直线的几何要素”为切入点，先由学生自主导出“过某一定点的直线方程”，再通过组内分析、交流，找出所求方程的差异，明其原因，最终达成共识，

得出直线的点斜式的形式及适用前提，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，引出斜截式方程，并通过多媒体演示“截距”与“距离”的异同，化解难点．●教学建议解析几何的实质是“用代数的知识来研究几何问题”，而直线方程

恰恰体现了这种思想．由于直线的点斜式方程是推导其他直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位．故本节课易采用“启发式”的教学方法，从学生原有的知识和能力出发，寻找过某一定点的直线方程的求解方法．鉴于学生在“数”和“形”之间转换的难度，教师可引导学生通过合作、

交流等方式，对难点予以突破；可通过多媒体直观演示，让学生明确点斜式方程和斜截式方2程的适用条件．对于斜截式方程，明确以下三点：(1)它是点斜式方程的特殊形式；(2)讲清“截距”的概念；(3)了解其与一次函数的关系，其他问题不必扩充太多．由于点斜式方

程是学习其他方程的前提，故教师可适当的补充教学案例，让学生在训练中进一步感知解析法的思想．●教学流程创设问题情境，引出问题：过某一定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的斜率公式，找出求“过某一定点的直线方程”的方法.⇒通过引导学生回答所提问题理解直线的点斜式方程

及斜截式方程的适用条件.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线的点斜式方程的求法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜截式方程的求法.⇒课标解读1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)

3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)直线的点斜式方程【问题导思】1．已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．2．经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直

线l如何表示？【提示】x＝x0.方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一定点P0(x0，y0)及斜率k确定，我们把这个方程称为直线的点斜式方程，简称点斜式，适用于斜率存在的直线．直线的斜截式方程【问题导思】3经过定点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？【提示

】y＝kx＋b.1．直线l在y轴上的截距直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线在y轴上的截距．2．直线的斜截式方程方程y＝kx＋b由直线的斜率k和它在y轴上的截距b确定，我们称这个方程为直线的斜截式方程，简称为斜截式．适用范围是

斜率存在的直线.直线的点斜式方程根据下列条件，求直线的方程(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．【思路探究】注意斜率是否存在．若存在

，方程为y－y0＝k(x－x0)；若不存在，方程为x＝x0.【自主解答】(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0.(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y

＋1＝0.(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(4)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1.求直线的点斜式方程，步骤如下：4根据条件写出下列

各题中的直线方程．(1)经过点A(1,2)，斜率为2；(2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°；(3)经过点C(4,2)，倾斜角为90°；(4)经过坐标原点，倾斜角为60°.【解】(1)由直线方程的点斜式可得，所求直线的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－

y＝0.(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，所以直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.(3)由题意可知，直线的斜率不存在，且直线经过点C(4,2)，所以直线的方程为x＝4.(4)由题意可知，直

线的斜率k＝tan60°＝3，所以直线的点斜式方程为y＝3x.直线的斜截式方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【思路探究】确定直

线的斜率k―→确定直线在y轴上的截距b―→得方程y＝kx＋b【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－33.由斜截式可得方

程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝3，5∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝3x

－3”．2．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程．【解】由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率

为－2，在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x＋6.平行与垂直的应用当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2(1)平行？(2)垂直？【思路探究】已知两直线的方程，且方程中含有

参数，可利用l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解．【自主解答】(1)要使l1∥l2，则需满足{a2－2＝－1，2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1与直线l2平行．(2)要使

l1⊥l2，则需满足(a2－2)×(－1)＝－1，∴a＝±3.故当a＝±3时，直线l1与直线l2垂直．已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b

2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.6(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝_

_______；(2)若直线l1∶y＝－2ax－1a与直线l2∶y＝3x－1互相平行，则a＝________.【解析】(1)由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.(2)由题意可知－2a＝3，－1a≠－1，解得a＝－23.【答案】(1)－1(2)－23误把“截距”当

“距离”致误已知斜率为－43的直线l，与两坐标轴围成的三角形面积为6，求l的方程．【错解】设l：y＝－43x＋b，令x＝0得y＝b；令y＝0得x＝34b，由题意得12·b·(34b)＝6，∵b>0，∴b＝4，∴直线l的方程为y＝－43x＋4.【错因分析】上述解法的错误主要在于“误把直线在两轴上的

截距当作距离”．【防范措施】直线在两轴上的截距是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，而不是距离，因此本题在先求得截距后，应对截距取绝对值再建立面积表达式．【正解】设l：y＝－43x＋b，令x＝0得y＝b；令y＝0得x＝34b，由题意

得12·|b|·|34b|＝6，∴b2＝16，∴b＝±4.故直线l的方程为y＝－43x±4.71．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1x－x1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线

的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线

的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示()A．任何一条直线B．不过原点的直线C．不与坐标轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线【解析】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线

．【答案】D2．直线l过点A(－1,2)，斜率为3，则直线l的点斜式方程为()A．y＋1＝3(x－2)B．y－2＝－3(x＋1)C．y＋2＝3(x－1)D．y－2＝3(x＋1)8【解析】过点(x0，y0)，斜率为k的直线的点斜式方程为y－y0＝k(

x－x0)．【答案】D3．已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y轴上的截距为________．【解析】直线y－1＝x－1的斜率为1，由tan45°＝1可知，倾斜角为45°；令x＝0得y＝0，故在y轴上的截距为0.【答案】145

°04．(1)求经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程；(2)求经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程．【解】(1)由y＝2x＋7得其斜率k1＝2，∵所求直线与已知直线平行，设其斜率为k2，∴k2＝k1＝2，∴所求直线

方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)由y＝－2x＋7得其斜率k1＝－2，∵所求直线与已知直线垂直，设其斜率为k2，∴k1·k2＝－1，∴k2＝12，∴所求直线为y－1＝12(x＋1)，即x－2y＋3＝0.一、选择题1．已知直线的方程是

y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(－1,2)，斜率为1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1【解析】结合直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)得C选项正确．【答案】C2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2

－a)x＋1互相平行，则a等于()A．2B．1C．0D．－1【解析】由a＝2－a，得a＝1.9【答案】B3．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程是()A．x＝3B．y＝－5C．2y＝xD．x＝4y－1【解析】直线方程的斜截式y＝kx

＋b，等号左边为y，其系数为1，右边x的系数为斜率k，b为直线在y轴上的截距，当k＝0，b＝－5时，即为y＝－5，即B项的方程可看成直线的斜截式方程．【答案】B4．(2013·临沂高一检测)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0【解析】直线x－2y－2＝0的斜率为12，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.【答案】A5．与直线y＝2x＋1

垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()A．y＝12x＋4B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4D．y＝－12x＋4【解析】直线y＝2x＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－12，∴直线的斜截式方程为y＝－12x＋4，故选D.【答案】D二、填空题

6．经过点(1,0)且与x轴垂直的直线方程为________．【解析】如图，所求直线的方程为x＝1.10【答案】x＝17．斜率与直线y＝32x的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________．【解析】直线y＝32x的斜率为32

，又所求直线过点(－4,3)，故由点斜式得y－3＝32(x＋4)．【答案】y－3＝32(x＋4)8．(2013·浏阳高一检测)已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距为－2，则直线l的斜截式方程为________．【解析】由题意可知直线l的斜率k＝tan12

0°＝－3，又l在y轴上的截距为－2，故l的斜截式方程为y＝－3x－2.【答案】y＝－3x－2三、解答题9．求倾斜角是直线y＝－3x＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)；(2)在y轴上的截距是－5.【解

】∵直线y＝－3x＋1的斜率k＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan30°＝33，(1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为33，∴所求直线方程是y＋1＝33(x－3)．(2)∵所求直线的斜率是33，在y轴上

的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝33x－5.10．当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3(1)平行？(2)垂直？11【解】由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4.(1)若l1∥l2，则kl1＝kl2，即2a－1＝4，解得a＝52.故当a＝

52时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3平行．(2)若l1⊥l2，则4(2a－1)＝－1，解得a＝38.故当a＝38时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．11．已知直线l的斜率为－1，且

它与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线l的方程．【解】设直线l的方程为y＝－x＋b，O为坐标原点，则它与两个坐标轴的交点为A(b,0)和B(0，b)，所以直角三角形OAB的两个直角边长都为|b|，故其面积为12b2，由12b2＝12，解

得b＝±1，∴所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1.已知直线l经过点P(－1，－2)，在y轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．【思路探究】解答本题可先写出点斜式方程，再化为斜截式方程，求出直线在y轴上的截距，最后解不等式求斜率的取值范围．也可设出直线l的

斜截式方程，再将点P坐标代入，找到斜率与在y轴上截距的关系，从而求出斜率的范围．【自主解答】法一：设直线l的斜率为k，由于这条直线过点P(－1，－2)，∴它的点斜式方程是y－(－2)＝k[x－(－1)]，可化为斜截式方程是y＝kx＋k－2，∴直线l在y轴上的截距为k－2.由已知得2≤k－2≤

6，∴4≤k≤8.12∴直线l斜率的取值范围为[4,8]．法二：设直线l的斜截式方程为y＝kx＋b，由于点P(－1，－2)在直线l上，∴－2＝k(－1)＋b，即k＝b＋2.又∵b∈[2,6]，所以k∈[4,

8]．∴直线l的斜率的取值范围为[4,8]．1．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)(x＝x0除外)的所有直线．2．斜截式方程y＝kx＋b可表示斜率为k的所有直线．3．待定系数法在求直线方程问题中应用很广．已知直线过定点设点斜式，已知斜率或在y轴上

的截距设斜截式是常见的方法．已知直线l过点P(－2,0)，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程．【解】设直线l在y轴上的截距为b，则由已知得12×|－2|×|b|＝10，b＝±10.①当b＝10时，直线过点(－

2,0)，(0,10)，斜率k＝10－00－－2＝5.∴直线的斜截式方程为y＝5x＋10.②当b＝－10时，直线过点(－2,0)，(0，－10)，斜率k＝－10－00－－2＝－5.∴直线的斜截式方程为y＝－5x－10.综合①②可知直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－

10.